大一高等数学期末考试试卷及答案详解.doc

1 大一高等数学期末考试试卷

（一）

一、选择题（共12分）

1. （3分）若2,0,(),0xexfxaxx为连续函数,则a的值为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1

2. （3分）已知(3)2,f则0(3)(3)lim2hfhfh的值为（ ）.

(A)1 (B)3 (C)-1 (D)12

3. （3分）定积分2221cosxdx的值为（ ）.

(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若()fx在0xx处不连续,则()fx在该点处( ).

(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限

二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)xy处的切线斜率为23x的曲线方程为 .

2. （3分） 1241(sin)xxxdx .

3. （3分） 201limsinxxx= .

4. （3分） 3223yxx的极大值为 .

三、计算题（共42分）

1. （6分）求20ln(15)lim.sin3xxxx

2. （6分）设2,1xeyx求.y

3. （6分）求不定积分2ln(1).xxdx

2 4. （6分）求30(1),fxdx其中,1,()1cos1,1.xxxfxxex

5. （6分）设函数()yfx由方程00cos0yxtedttdt所确定,求.dy

6. （6分）设2()sin,fxdxxC求(23).fxdx

7. （6分）求极限3lim1.2nnn

四、解答题（共28分）

1. （7分）设(ln)1,fxx且(0)1,f求().fx

2. （7分）求由曲线cos22yxx与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周所得旋转体的体积.

3. （7分）求曲线3232419yxxx在拐点处的切线方程.

4. （7分）求函数1yxx在[5,1]上的最小值和最大值.

五、证明题(6分)

设()fx在区间[,]ab上连续,证明

1()[()()]()()().22bbaabafxdxfafbxaxbfxdx

（二）

一、 填空题（每小题3分，共18分）

1．设函数23122xxxxf，则1x是xf的第 类间断点.

2．函数21lnxy，则y .

3． xxxx21lim

.

4．曲线xy1在点2,21处的切线方程为 .

3 5．函数2332xxy在4,1上的最大值 ，最小值 .

6．dxxx21arctan .

二、 单项选择题（每小题4分，共20分）

1．数列nx有界是它收敛的（ ） .

 A必要但非充分条件；  B充分但非必要条件 ；

 C 充分必要条件；  D 无关条件.

2．下列各式正确的是（ ） .

 ACedxexx；  BCxxdx1ln ；

 CCxdxx21ln21211；  DCxdxxxlnlnln1.

3． 设xf在ba,上，0xf且0xf，则曲线xfy在ba,上.

 A沿x轴正向上升且为凹的；  B沿x轴正向下降且为凹的；

 C沿x轴正向上升且为凸的；  D沿x轴正向下降且为凸的.

4．设xxxfln，则xf在0x处的导数（ ）.

 A等于1；  B等于1；

 C等于0；  D不存在.

5．已知2lim1xfx，以下结论正确的是（ ）.

 A函数在1x处有定义且21f；  B函数在1x处的某去心邻域内有定义；

 C函数在1x处的左侧某邻域内有定义； D函数在1x处的右侧某邻域内有定义.

三、 计算（每小题6分，共36分）

1．求极限：xxx1sinlim20.

2. 已知21lnxy，求y.

3. 求函数xxysin0x的导数.

4 4. dxxx221.

5. xdxxcos.

6.方程yxxy11确定函数xfy，求y.

四、 （10分）已知2xe为xf的一个原函数，求dxxfx2.

五、 （6分）求曲线xxey的拐点及凹凸区间.

六、 （10分）设Cexdxxfx1，求xf.

（三）

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).

（1） 210)(coslimxxx =_____e1________.

（2）曲线xxyln上与直线01yx平行的切线方程为___1xy______.

（3）已知xxxeef)(，且0)1(f, 则)(xf______)(xf2)(ln21x_____ .

（4）曲线132xxy的斜渐近线方程为 _______.9131xy__

（5）微分方程522(1)1yyxx的通解为_________.)1()1(32227xCxy

二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).

（1）下列积分结果正确的是（ D ）

(A) 0111dxx (B) 21112dxx

(C) 141dxx (D) 11dxx

（2）函数)(xf在],[ba内有定义，其导数)('xf的图形如图1-1所示，则（ D ）.

(A)21,xx都是极值点.

(B) )(,,)(,2211xfxxfx都是拐点.

(C) 1x是极值点.，)(,22xfx是拐点.

(D) )(,11xfx是拐点，2x是极值点. 图1-1

（3）函数212eeexxxyCCx满足的一个微分方程是（ D ）. )(xfyyO1x2xabx

5 （A）23e.xyyyx （B）23e.xyyy

（C）23e.xyyyx （D）23e.xyyy

（4）设)(xf在0x处可导，则000limhfxfxhh为（ A ）.

(A) 0fx. (B) 0fx. (C) 0. (D)不存在 .

（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.

(A) (())().fxdxfx (B) ()().dfxfx

(C) [()]().dfxdxfx (D) ()().fxdxfx

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.

1．求极限)ln11(lim1xxxx.

解 )ln11(lim1xxxx=xxxxxxln)1(1lnlim1 1分

=xxxxxln1lnlim1 2分

= xxxxxxln1lnlim1 1分

= 211ln1ln1lim1xxx 2分

2.方程tttytxsincossinln确定y为x的函数，求dxdy与22dxyd.

解 ,sin)()(tttxtydxdy （3分）

.sintansin)()sin(22tttttxttdxyd （6分）

3. 4. 计算不定积分 arctan(1)xdxxx.

2arctanarctan22(1)(1) =2arctanarctan2 =arctan2xxdxdxxxxxdxxC解：分分（）分

4.计算定积分3011dxxx.

解 3030)11(11dxxxxdxxx30)11(dxx （3分）

6 35)1(3233023x

（6分）

（或令tx1）

四、解答题（本题共4小题，共29分）.

1．（本题6分）解微分方程256xyyyxe.

2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．

解：建立坐标系如图

22022220322203241213213RRRPgxRxdxgRxdRxgRxgR分（）分[（）]分分

3. （本题8分）设()fx在[,]ab上有连续的导数，()()0fafb，且2()1bafxdx，

试求()()baxfxfxdx.

222()()()()21 ()221 =[()]()2211 =0222bbaababbaaxfxfxdxxfxdfxxdfxxfxfxdx解：分分分分

4. （本题8分）过坐标原点作曲线xyln的切线，该切线与曲线xyln及x轴围成平面图形D.