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多元函数微分学测试题解答

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1 多元函数微分学测试题解答 1. 求二元函数2arcsin22yxxyz的定义域D，并作D的草图。 解：}2,0,0|),{(22yxxyyyxD。作图从略。 注：D是由)0(0xy，)0(2xxy及22xy所围的有界闭区域。

2. 设yxxeyyxfcos2)(),(，求),(yxfy和)0,1(xf。 解：设xeyu2，yxvcos，则vuyxf),(，于是

yvvfyuufyxfy),()sin(ln21yxuuyvuvv

)]ln(sincos2[)(22cos2xxyxxeyyxeyyxyey，

2)0,(xexf，22)0,(xxxexf，efx2)0,1(。

注：可利用公式 ])(ln)([)]([])]([[)()(xuxvxuxuxvxv求偏导函数。

yxyxxyeyyxeyyxf])ln(cos[)(),(2cos2

]cos2)ln(sin[)(22cos2xxyxxeyyxyeyyxey。

3. 设xytdteyxf02),(，求222222yfxyyxfxfyx。 解：22yxyexf，223222yxexyxf，22222222yxyxeyxeyxf 22yxxeyf

，223222yxyexyf，

222222yfxyyxfxfyx

222yxe。

4. 设22),(yxxyyxf，求),(yxdf。 解：xyyxxyyxf2)(),(2， yxyxf2),(2， dyfdxfyxdfyx),(dyxdx22

。

5. 设(,)()xyzfxygyx， 求2zxy。 解：gxyfyfyxz2211， 2zxy

gxygxfyxfxyfyfyxfxyf3222221221221111][11][

1211222323

11xyffxyffggyyxx。 2

6. 设3333zzxy，求dz和22zx。 解：对方程3333zzxy两边求微分，得 dydxxdzdzz333322， 于是 dyzdxzxdz111222，

由dyyzdxxzdz，得 122zxxz， 22zx

2222)1(2)1(2zxzzxzx224

232(1)2(1)xzxzz

。

7. 设),,(zyxfu有连续偏导数，)(xyy和)(xzz分别由方程0yexy和0xzez所确定，求dxdu。

解：由方程0yexy可得，xyyxeyedxdyxyxy112， 由方程0xzez可得，xxzzxezdxdzz， dxdzzfdxdyyfxfdx

du

zfxxzzyfxyyxf12

。

8. 求曲线46222222xyzzyx在点)2,1,1(处的法平面方程。 解：记6),,(222zyxzyxF，4),,(222xyzzyxG， 曲线在点)2,1,1(处的切向量为

)8,16,0(422422)2,1,1(kjiGGGFFFkjiTzyxzyx



，

所求法平面方程为 0)2(8)1(16zy，即 02zy。 9. 求曲面222xzy平行于平面220xyz的切平面方程。 解：设切点为),,(cba，曲面222xzy在该切点处的法向量为)1,2,(ban， 平面220xyz的法向量为)1,2,2(1n，依题意，1//nn，于是有

11222ba，

得2a，1b，3c， 所求切平面方程为 0)3()1(2)2(2zyx，

即 2230xyz。 3

10. 求函数23uxyz在曲线1sin,cos,txtyttze上点(1,1,1)处，沿曲线在该点的切线的正方向的方向导数。 注：曲线)(txx，)(tyy，)(tzz上对应参数0tt的点处的切线的正方向（或参数

增大的方向）为切向量0|),,(ttdtdzdtdydtdxT的方向。 解：切点对应参数0t，曲线在该点的切线的正方向为切向量 )1,1,1(|),sin1,cos(|),,(00tttettdtdzdtdydtdxT，)1,1,1(31Te，

)3,2,(),,(22332zxyxyzzyzyxugrad，)3,2,1()1,1,1(ugrad

所求方向导数为 TeugradTu)1,1,1(|)1,1,1(43。

11. 设n是曲面632222zyx在点)1,1,1(P处指向外侧的法向量，求函数zyxu2286在点P处沿方向n的方向导数。

解：)2,6,4(|)2,6,4()1,1,1(zyxn，)1,3,2(141ne， )86,868,866(),,(2222222zyxyxzyyxzxzyxugrad，

)14,148,146()1,1,1(ugrad，

所求方向导数为 neugradnu)1,1,1(|)1,1,1(711。 12. 求244)(),(yxyxyxf的极值。 解：由0)(240)(2433yxyfyxxfyx， 得驻点)1,1(，)1,1(，)0,0(。 2122xfAxx，2B，2122yC，

在点)1,1(处，0962BAC，且010A，2)1,1(f为极小值； 在点)1,1(处，0962BAC，且010A，2)1,1(f为极小值； 在点)0,0(处，02BAC，对任意10a，因为 042),(24aaaaf，02),(4aaaf，

所以0)0,0(f不是极值。

13. 设),(yxzz是由0182106222zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz的驻点，并判别它们是否为极值点。 解： 令182106),,(222zyzyxyxzyxF，则 yxFx62，zyxFy2206，zyFz22，

于是 zyyxFFxzzx3，zyzxyFFyzzy310， 4

令 00yzxz，得 031003zxyyx， 故 yzyx3，代入0),,(zyxF，可得 339zyx， 或 



339zyx

，

于是),(yxzz的驻点为)3,9(和)3,9(。

222)()3(zyxzyxzyxzA

，

22)()1)(3()(3zyyzyxzyyxzB



，

222)()1)(3())(10(zyyzyxzyyzyzC

，

在点)3,3,9(处，61A，21B，35C，因03612BAC，且0A，从而点)3,9(是),(yxz的极小值点，极小值为3)3,9(z。 在点)3,3,9(处，61A，21B，35C，因03612BAC，且0A，从而点)3,9(是),(yxz的极大值点，极大值为3)3,9(z。

14. 在椭圆4422yx上求一点，使其到直线0632yx的距离最短。 解：设所求点为),(yx，该点到直线0632yx的距离为

13|632|yxd

且有 4422yx， （1） 问题转为求2)632(),(yxyxf在条件（1）下的极值。 作拉格朗日辅助函数 )44(),(),(22yxyxfyxL， 建立方程组





04408)632(602)632(422yxLyyxLxyxL

yx



解此方程组，得可能的条件极值点为 )53,58(，)53,58(，由问题的实际意义，此两点之一是所求的点，又因131)53,58(d，1311)53,58(d，故所求点为)53,58(。

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第五章-多元函数微分学习题参考答案

第五章-多元函数微分学习题参考答案

第五章-多元函数微分学习题参考答案第五章多元函数微分学习题练习5.11.在空间直⾓坐标系下,下列⽅程的图形是什么形状? (1) )(4222椭圆抛物⾯z y x =+ (2)圆锥⾯）(4222z y x =+(3) 椭球⾯）(19164222=++z y x (4) 圆柱⾯）(122=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --=解：??≥-≥0y x y即??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),((2) z =解：0≥-y x{}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为3. ()y x f ,对于函数=yx yx +-,证明不存在),(lim 0y x f x →分析：由⼆元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所得极限值不同即可。

证明：①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时，(,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→===②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k kf x y f x y k x kx k k→→---=1.求下列函数的偏导数①;,,33yz x z xy y x z -=求解：23323,3xy x yz y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(yzx z xy z =求解：[]1211ln()2z xy y x xy -?=??=?[]1211ln()2z xy x y xy -== ③222ln(),,z z z x x y x x y=+?求解：1ln()z x y x x x y=+++ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++=+-+++=+++??==??2221()(ln())()()z z x x yx y x y y x y x y x y x y x y ==++=-=?++++ ④;,3z y x ue u xyz=求解；22,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y==+=+? 3222()(())(12)()xyz xyz xyzu u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z==+=+++???=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++y x f y xy ?-?+=→?)1,2()1,2(lim,),(02则解：①22(1)200(2,1)(2,1)0lim lim ()0y y y f y f e e y y +??→?→+?--=??未定式22(1)04(1)10lim 1y y e y +??→?+??-= = 42e ②22201(2,1)(2,1)lim(2,1)24xy y x y y f y f f e xye y=?→=+?-'==?=?3．设23ln(1),111x y z ux y z u u u '''=+++++在点（，，）处求解：2311x u x y z '=+++ 2321yyu x y z '=+++ 22331z z u x y z '=+++ (1,1,1) 1233()|4442x y z u u u '''∴++=++= 4．设2,20xy z zz e xy x y=+=求证: 证明：2xy y z e y e x y-?=?=?Q 22331(2)2x xy y z e x xy e y y-?=??-=-?Q22222323122(2)22x x x xy y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y---??∴+=+??-=-?+?? = 0证毕练习5.31.求下列函数的全微分(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=?=?y x 解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-?=--+=?f f zx y dz z dx z dy ydx xdy ''=+=+(2,3)0.10.230.12(0.2)0.1dx dy dz==-=?+?-=-（2）求时的全微分当2,1),1ln(22==++=y x y x z解：22222211z z x y dz dx dy dx dy x y x y x y ??=+=+??++++ dy dx dy dx dz323141144112)2,1(+=+++++=（3）,u xy yz zx du =++求解：u u udu dx dy dz x y z=2．计算下列各式的近似值（分析运⽤公式010000000()(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?）（1）03.2)1.10(解：令03.0,2,1.0,10,),(00=?==?==y y x x x y x f y 取2.03(10.1)=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?01.0ln 1.010)2,10()2,10(12?+?+=-x x yx y y9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=?==?=y y x x 原式(10.03,10.02)f =+-23(1,1)11)|(0.03)x -≈+-+34(1,1)1|(0.02)y -+-= 0+005.002.04103.031=?-(3) 0046tan 29sin解：令y x y x f tan sin ),(= 取 00,,,61804180x x y y ππ==-=?=则原式=)1804,1806(ππππ+-f(,)(,)()(,)646418064180x y f f f ππππππππ''≈+-+ =2(,)(,)646411cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ?+-+?= 0.5023练习5.41. 求下列函数的导数或偏导数。

第9章 多元函数微分法及其应用(题库)答案

第9章 多元函数微分法及其应用(题库)答案


C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
第 4 页
共计 10 页
C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求 解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
第 3 页 共计 10 页
dz . dt
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2

z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y
《高等数学一》第六章 多元函数微分学 历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)

《高等数学一》第六章 多元函数微分学 历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)

第六章多元函数微分学[单选题]1、设积分域在D由直线所围成，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档[单选题]2、（）．A、9B、4C、3实用文档D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】?? [单选题]3、设，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档首先设出，然后求出最后结果中把用次方代换一下就可以得到结果．[单选题]4、实用文档设则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到. [单选题]5、设，=（）．A、B、实用文档C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档对x求导，将y看做常数，．[单选题]6、设，则= （）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】实用文档【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、实用文档函数的定义域为（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，，综上满足：.[单选题]9、（）．A、0B、﹣1C、1D、∞【从题库收藏夹删除】实用文档【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]10、设，则（）．A、实用文档B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]11、函数的确定的隐函数，则=（）．A、B、C、实用文档D 、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】方程左右两边求导，，实用文档.[单选题]12、设，则在(0,0)处（）．A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、无法判定是否取得极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】故，故取得极小值[单选题]13、设，则=（）．A、实用文档B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]实用文档14、设z=x^2/y,x=v-2u,y=u+2v，则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、设函数z=ln(x2+y2)，则=( )A、实用文档B、C、D、实用文档【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]16、设函数，则＝（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P178～179。

考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷34(题后含答案及解析)

考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷34(题后含答案及解析)

考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷34(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．二元函数，在(0，0)点处( )A．连续，且f’x(0，0)，f’y(0，0)存在B．连续，但f’x(0，0)，f’y(0，0)不存在C．不连续，但f’x(0，0)，f’y(0，0)存在D．不连续，且f’x(0，0)，f’y(0，0)不存在正确答案：A解析：本题考查判断分段函数在分段点处的连续性和偏导数的存在性，用定义判断．连续性：故f(x，y)在点(0，0)处连续．偏导数：同理故f(x，y)在(0，0)处偏导数存在，故应选A．知识模块：多元函数微分学2．设函数f(x，y)=｜x-y｜g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且g(0，0)=0，则在点(0，0)处( )A．f’x(0，0)与f’y(0，0)都不存在B．f’x(0，0)与f’y(0，0)都存在，但都不为0C．f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0，但f(x，y)不可微D．f(x，y)可微，且df(x，y)｜(0，0)=0正确答案：D解析：由于｜Δx｜/Δx为有界变量，，故即f’x(0，0)=0．同理f’y(0，0)=0，排除A，B．可知f(x，y)在(0，0)点可微，故应选D．知识模块：多元函数微分学3．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则( )A．点(0，0)不是函数f(x，y)的极值点B．点(0，0)是函数f(x，y)的极大值点C．点(0，0)是函数f(x，y)的极小值点D．根据条件无法判别点(0，0)是否为函数f(x，y)的极值点正确答案：A解析：由又因为f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，由极限与无穷小的关系知f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)，其中当xy≠0时，显然f(x，y)=xy+0(xy)．当xy＞0时，f(x，y)-f(0，0)=xy+0(xy)＞0．当xy＜0时，f(x，y)-f(0，0)=xy+0(xy)＜0．故由极值的定义知点(0，0)不是函数f(x，y)的极值点，应选A．涉及知识点：多元函数微分学填空题4．设函数f，g均可微，z=f(xy，lnx+g(xy))，则=______________．正确答案：f’2解析：由复合函数的求导法则，则知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。