多元函数微分学复习题及答案38684
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第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限lim x y x yx y →→+00242= （ B ）(A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12（提示：令22y k x =）2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）(A) 处处连续；(B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续；(D) 除（0,0）点外处处连续（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。
所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续。
）4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ）(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan，则∂∂ux= （ B ） (A)x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) yx y 22+ ；(D)-+xx y 226、设f x y y x(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14； （B ）14； （C ）-12； （D ）12—7、若)ln(y x z -=，则=∂∂+∂∂yz y x z x（ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）21-．8、设y xz arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）22v u uv +-．9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ）(A) x +32； (B) x -32； (C) 21x +； (D) -+21x10、设z y x=，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1 11、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ）（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点； （C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。
12、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有 （ C ）2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（A ）点P 0是函数z 的极大值点； （B ）点P 0是函数z 的极小值点； （C ）点P 0非函数z 的极值点； （D ）条件不够，无法判定。
二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
答：π2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-）7、设z x y y =-+sin()3，则∂∂zxx y ===21_________ 。
答：3cos58、函数z z x y =(,)由方程x y z ex y z ++=-++()所确定，则22zx ∂∂= 0 9、、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ 。
答：1y9、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________。
答：（1，－1） 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+(3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 。
解：lim x y xxye xy →→-+0416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 0416 = -8 3、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，求∂∂zy。
答：2112xyz xy --4、设z y xy x=ln()，求∂∂∂∂z x zy,。
解：z y y xy xy x xx =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 四、应用题。
1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂. 证明： 因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1y e y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e ey z y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂yz x z证明：设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y -3z )-1,F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x , F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z , 3232=--=-=∂∂x x z y F F F F y z ,于是13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F F F F y z x z .3、设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x .解：因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂,zx F F x z-=∂∂, 所以1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x .。
