多元函数微分学练习题及答案

考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x0，y0)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学2．设有三元方程xy－zlny＋exz＝1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z＝z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y＝y(x，z)和z＝z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z＝x(y，x)和z＝z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x(y，z)和y＝y(x，2)．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学3．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学4．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(x0，y)在y＝y0处的导数等于零．B．f(x0，y)在y＝y0处的导数大于零．C．f(x0，y)在y＝y0处的导数小于零．D．f(x0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学填空题5．设z＝ex－f(x－2y)，且当y＝0时，z＝x2，则＝________。

第八章 多元函数微分学自测题及解答一、选择题1．若函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处不连续，则( C )（A ）) ,(lim y x f y y x x→→必不存在； （B ）) ,( y x f 必不存在；（C ）) ,(y x f 在点) ,( y x 必不可微；（D ）) ,( y x f x 、) ,( y x f y 必不存在。

2．考虑二元函数) ,(y x f 的下面4 条性质： ①函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处连续；②函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处两个偏导数连续； ③函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处可微；④函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处两个偏导数存在。

则下面结论正确的是（ A ）（A ）②⇒③⇒①；（B ）③⇒②⇒①；（C ）③⇒④⇒①； D ）③⇒①⇒④。

3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0 0 ,),(2222242y x y x y x yx y x f ，则在)0 ,0(点处（ C ）（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在； （D ）不连续，偏导数不存在。

解：取2x y =，∵0)0,0(21lim),(lim 4440002=≠=+=→→=→f x x xy x f x x y x ,∴)0,0(f 在)0 ,0(点处不连续，而0)0,0()0,0(==y x f f 。

故应选（C ） 4．设z y x u =，则=∂∂)2,2,3(yu （ C ）（A ）3ln 4； （B ）3ln 8； （C ）3ln 324； （D ）3ln 162。

5．若函数),(y x f 在区域D 内具有二阶偏导数：22x f ∂∂，22y f ∂∂，y x f ∂∂∂2，xy f∂∂∂2， 则（ D ） （A ）必有xy f y x f ∂∂∂=∂∂∂22； （B ）),(y x f 在D 内必连续； （C ）),(y x f 在D 内必可微； （D ）以上结论都不对。

多元函数微分学复习题及答案一、选择题1. 极限lim x y x y x y →→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或122、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=?1100，则极限lim (,)x y f x y →→00= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=?222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续(D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则??u x= （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22vu uv +- 8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-?? ???处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限lim sin()x y xy x →→0π= .答：π2、极限lim ln()x y x y e x y→→++01222= .答：ln 23、函数z x y =+ln()的定义域为 .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 .答：-≤≤11x ，y ≠05、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++?? ? 22，则f kx ky (,)=.答：k f x y 2?(,)6、设函数f x y xyx y(,)=+，则f x y x y (,)+-=.答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-?+<+≥??11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A=.答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x yyx (,)cos =-122的间断点为 .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=?? ???，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则??22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye x y - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则zy= _______ .答：2112xyz xy-- 19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2）27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图图图图图2、求极限lim sin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=?++→→limsin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x y xy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0 232211=-++?→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy →→-+0416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 0416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,.解：u y y x x =-sin sin u x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y +++=0，则??z x z y y x =-++同理可得：??z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =?+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：u x a a ax x yz =-+-ln 1，??u y a z a x yz =?+ln ，??u zya a x yz =+lnd (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a . 则水池造价()S xy xz yz a =++44 且xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 =-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ?，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'?=-+=?'=-++=??'=+-=?，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>?=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题 1、设)11(yx e z +-= 求证zyz y x z x 222=??+??证明：因为2)11(1x e x z y x ?=??+- 2)11(1ye y z y x ?=??+- 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=??+??+-+-2、证明函数nx e y t kn sin 2-=满足关系式22x y k ty ??=??证明：因为nx e kn kn nx e ty t kn tkn sin )(sin 2222?-=-??=??--nxne x yt kn cos 2-=?? nx e n xyt kn sin 2222--=??nx e kn xy k t kn sin 2222--=??所以22xy k t y ??=??3、设z xy xF (u ) 而xyu =F (u )为可导函数证明xyz yz y x z x +=??+证明：y z y x z x +])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ??'+?+??'++=)]([)]()([u F x y u F x y u F y x '+?+'-+=xy xF (u )xy z xy。

多元函数微分学单元测试题A一、选择题1. 极限24200limy x y x yy x x +→→= （ ）A.等于0；B.不存在；C.等于 12；D.存在且不等于0或12. 2.设),(b a f y '存在，则yy b a f y b a f y ),(),(lim 0--+→= （ ）A.),(b a f y '；B. 0； C . 2),(b a f y '； D.21),(b a f y '. 3. 若函数) ,(y x f 在点) ,(00y x 处不连续，则 ( ) A.) ,(lim 00y x f y y x x →→必不存在； B.) ,(00y x f 必不存在；C. ) ,(y x f 在点) ,(00y x 必不可微；D.) ,(), ,(0000y x f y x f y x 必不存在.4.函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( ) A. 充分而不必要条件; B. 必要而不充分条件; C. 必要而且充分条件; D. 既不必要也不充分条件.5.函数xy xyz +=arcsin的定义域是 （ ） A.{}0,|),(≠≤x y x y x ； B.{}0,|),(≠≥x y x y x ；C.{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤⋃x y x y x ；D.{}{}0,0|),(0,0|),(<<⋃>>y x y x y x y x .6、函数22(,)ln()f x y x y =-的定义域是（ ）(A) 220x y +>； （B ）220x y ->； （C ）220x y +<； （D ）220x y -<.7、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是 （ D ） A 、（1，2） B 、（1，-2） C 、（-1，2） D 、（-1，-1） 二、判断题1. 点集E 的内点必属于E. （ ）2. 设y x z ln 2+=，则yx x z 12+=∂∂. （ ） 3. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则该函数在P 点处未必连续 （ ）4.二阶混合偏导数与求偏导的次序无关 （ ）5.具有偏导数的函数的驻点必定是极值点. （ ） 6、若(,)(,)xy yx f x y f x y 和都在点00(,)x y 连续，则0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。

多元函数微分学习题答案基本要求：二元函数的定义域及图示，二元函数的极限，二元函数的间断点，连续函数的基本性质，偏导数求法，高阶偏导数，全微分及全增量，多元函数求导法则，空间曲线的切线与法平面方程，空间曲面的切平面和法线方程，梯度计算，多元函数的极值的判定，简单的条件极值。

填空题1、函数z=ln(x-y-1)的定义域为 .2、函数22ln(4)z x y=--的定义域是 .3、极限0sinlim x a yxy y→→=，21lim(243)xyx xy x y→→+-+=，xy→→= .4、函数f(x,y)=ln(x2+y2)的间断点为 .5、1(,)f x yx y=-在处间断.6、设z=xy，则关于x的偏导数为，关于y的偏导数为。

7、函数z=x2y-xy2在点(1,2)处的全微分.函数z=y sin xy的全微分dz=8、函数f(x,y,z)=xyz在点(1,1,2)处的梯度grad f(x,y)= .9、函数z=x2y-xy的驻点为，它不是极值点.函数u=x2+y2+z2的极小值为 .10、曲面z=x3+y3-3xy在点(0,-1,-1)处的切平面方程为 .选择题1、下列说法正确的是（）（A）有界区域都是闭区域（B）开区域一定是无界区域（C）闭区域一定有界（D）邻域是闭区域2、下列说法正确的是（）（A）连续函数一定有最值（B）有界区域上的连续函数一定有最值（C）闭区域上连续函数一定有最值（D）连续函数一定有极大值和极小值3、对于二元函数f(x,y),下列说法正确的是（）（A）函数在某点处关于x,y的偏导数均存在，则函数在该点连续（B）函数在某点处关于x,y的偏导数均存在，则函数在该点可微（C）函数在某点处关于x的偏导数连续，则函数在该点可微（D）函数在某点处可微，则函数在该点关于x,y的偏导数均存在4、设函数f(x,y)在点(x,y)处间断，则（）（A）函数f(x,y)在点(x,y)处一定没有定义（B）函数f(x,y)在点(x,y)处极限一定不存在（C）函数f(x,y)在点(x,y)处可能有定义，也可能有极限（D）函数f(x,y)在点(x,y)处一定有定义和极限，但该点函数值不等于该点极限值5、0sinlim xyxy x→→（）（A）等于0（B）等于1 （C）不存在（D）等于∞6、下列说法不正确的是（ ）（A ）函数沿着梯度方向增加最快 （B ）函数沿着梯度相反方向减少最快（C ）函数沿着与梯度垂直方向增加最快 （D ）函数沿着与梯度垂直方向变化率为07、对于二元函数f (x ,y )，下列说法正确的是（ ）（A ）使偏导数都等于0的点（驻点）一定是极值点 （B ）极值点一定是驻点（C ）具有偏导数的函数，其极值点必为驻点 （D ）偏导数不存在的点是极值点 解答题1、试判断函数22(,)xy f x y x y=+在（0,0）处的极限是否存在？ 2、设z =x y ，求它的两个偏导数z x ，z y .3、设f (x ,y )= x 2y -3xy 3，求f xx ，f xy ，f yy .4、求函数z =x 3+y 3-3xy 在点(2,2)处的全微分.5、求函数z =e xy 的全微分.6、求函数z =x 3+y 3-3xy 在点(1,2)处的梯度.7、求函数z =x 2y -xy -x 的极值.8、函数z =x 3+y 3-3xy 的极值.。

多元函数微分学习题第五部分多元函数微分学第1页共27页第五部分多元函数微分学（1）[选择题]简单问题1-36，中等问题37-87，困难问题88-99。

?x?3y?2z?1?01．设有直线l:?及平面?:4x?2y?z?2?0，则直线l()2倍？Y10z？3.0（a）平行于？。

（b）在路上？。

（c）垂直于？。

（d）然后呢？歪曲回答：C?xy,(x,y)?(0,0)?2．二元函数f(x,y)??x2?y2在点(0,0)处()? （x，y）？(0,0)? 0，（a）连续，偏导数存在（b）连续，偏导数不存在（c）不连续，偏导数存在（d）不连续，偏导数不存在a:c?x?u?v?u?()3．设函数u?u(x,y),v?v(x,y)由方程组?确定，则当时，u?v22?xy?u?v?(a)十、五、uy（b）（c）（d）u？似曾相识？似曾相识？似曾相识？答案：B4．设f(x,y)是一二元函数，(x0,y0)是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是()（a）如果f（x，y）在点（x0，Y0）是连续的，那么f（x，y）在点（x0，Y0）是可微的。

(b)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。

(c)若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)可微。

(d)若f(x,y)在点(x0,y0)可微，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。

答：d5．函数f(x,y,z)?(a)(,答：a3.x2？y2？点（1，±1,2）处Z2的梯度为（）1?121?121?121?12,)(b)2(,,)(c)(,,)(d)2(,,)3333339999991第五部分多元函数微分学第2页，共27页6．函数z?f(x.y)在点(x0,y0)处具有两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)是函数存在全微分的（）。

（a）。

充分条件（b）必要和充分条件（c）必要条件（d）回答c既不充分也不必要7．对于二元函数z?f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（）。

第六章多元函数微分学[单选题]1、设积分域在D由直线所围成，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]2、（）．A、9B、4C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]3、设，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先设出，然后求出最后结果中把用次方代换一下就可以得到结果．[单选题]4、设则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到. [单选题]5、设，=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】对x求导，将y看做常数，．[单选题]6、设，则= （）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、函数的定义域为（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，综上满足：.[单选题]9、（）．A、0B、﹣1C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]10、设，则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]11、函数的确定的隐函数，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】方程左右两边求导，，.[单选题]12、设，则在(0,0)处（）．A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、无法判定是否取得极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】故，故取得极小值[单选题]13、设，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、设z=x^2/y,x=v-2u,y=u+2v，则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、设函数z=ln(x2+y2)，则=( )A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]16、设函数，则＝（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P178～179。

考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷28(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知f’x(x0，y0)存在，则=( )A．f’x(x0，y0)。

B．0。

C．2f’x(x0，y0)。

D．f’x(x0，y0)。

正确答案：C解析：由题意=f’x(x0，y0)+f’x(x0，y0)=2f’x(x0，y0)，故选C。

知识模块：多元函数微积分学2．二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( )A．[f(x，y)一f(0，0)]=0。

B．，且。

C．。

D．[f’x(x，0)一f’x(0，0)]=0，且f’y[f’y(0，y)一f’y(0，0)]=0。

正确答案：C解析：按可微性定义，f(x，y)在(0，0)处可微其中A，B是与x，y无关的常数。

题中的C项即A=B=0的情形。

故选C。

知识模块：多元函数微积分学3．设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是( )A．x1＞x2，y1＜y2。

B．x1＞x2，y1＞y2。

C．x1＜x2，y1＜y2。

D．x1＜x2，y1＞y2。

正确答案：D解析：由需对x和y分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数f(x，y)关于变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。

因此，当x1＜x2，y1＞y2时，必有f(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y2)。

故选D。

知识模块：多元函数微积分学4．设，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则( )A．I3＞I2＞I1。

B．I1＞I2＞I3。

C．I2＞I1＞I3。

D．I3＞I1＞I2。

正确答案：A解析：在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，从而有≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0。

已知函数cosx在上为单调减函数，于是≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)y2，因此故选A。

―z =击5?的定义域是（{(x, y)| / < 4x,0 < X2 + / <1}).函数g =润+)，. 2]OXA 5.函数z = -x/y2在点（2 , 1 ）处对x的偏导数为（；OX_ 17 (2J))广=-1(2,1))•成）.（1,2）4dz = 48c/x+i08dy（A）］血,（*。

+&'，。

+匀）-/（*。

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）A O （B）Hm/（*。

+&40+颂）一/（*。

"。

）Ax（C）/（—+&，，.）-六*.，））Ax （D）hm/（毛）'月 + 颂）一，（％丸）Ax多元微分学复习题答案一、填空题7 = In X——的定义域是({3y)|x>0,0 V]2 +,2 < [}) yji-x2 - y22.设二元函数/。

,了）=旦】，则f（x-y,x+y）=（-21—）.x y JT _）广2 23.设函数/(x+j) = xj,则f(x,y)=(* 一)').44.设函数z = e'+，，则翌=（；=2/+、（1 + 2/））.dx志~6.函数z = 2xy2-x/y2在点（1 , 2）处对），的偏导数为X= (4xy + 2~)(i,2) y7.二元函数z=x2y3在点（3, 2）处的全微分是（8.函数z = %2+5y2 -6x + 10y+ 6 的驻点是(三、选择题:I.以下极限中，（c ）表示阳2.以下结论中正确的是（C ）（A）f（x,y）在点（％了。

）处一阶偏导数存在，则f（x,y）在点（乩,光）连续;（B）f（x,y）在点（％坊）处一阶偏导数存在，则f（X,y）在点（工0，光）可微;（C ）f（x,y）在点（Do）时微，则f（X, y）在点（x0o T0）处一阶偏导数存在;(A)若|（S =。

，的（》0，光）=0(A)点（0 , 0 ）是该函数的一个驻点;sin-2/-2r(2sin4r-6r)（D ） f （x ,y ）在点（m ）连续，则f （x,y ）在点（X 。

- 1 -第八章多元函数微积分习题一一、填空题1. 设f(x,y)=x-3y. ，则f(2,-1)=_______,f(-1,2)=________x2+y2_______. 2. 已知f(x,y)=2x2+y2+1，则f(x,2x)=__________二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.z=3. z=y-x 2. z=-x+-y 4-x2-y24. z=log2xy习题二一、是非题1. 设z=x+lny，则2∂z1=2x+ （）∂xy2. 若函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)均存在，则该函数在P点处一定连续（）3. 函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处一定有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0) （）xy⎧,x2+y2≠0⎪4. 函数f(x,y)=⎨x2+y2在点(0,0)处有fx(0,0)=0及⎪0,x2+y2=0⎩fy(0,0)=0 （）5. 函数z=x2+y2在点(0,0)处连续，但该函数在点(0,0)处的两个偏导数zx(0,0),zy(0,0)均不存在。

（）二、填空题- 2 -1. 设z=lnx∂z∂z，则=___________;∂x∂yy2x=2y=1=___________;2. 设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数fx(a,b)和fy(a,b)均存在，则limh→0f(a+h,b)-f(a,b-2h)=_________.h2xy+sin(xy);x2+ey三、求下列函数的偏导数：1. z=x3y-y3x+1;2. z=3. z=(1+xy)y;4. z=lntanx; y5. u=xy2+yz2+zx2∂2z∂2z∂2z四、求下列函数的2,和：∂x∂y2∂x∂y3241. z=x+3xy+y+2;2. z=xy五、计算下列各题1. 设f(x,y)=e-sinx(x+2y),求fx(0,1),fy(0,1);∂2z2. 设f(x,y)=xln(x+y)，求2∂x六、设z=ln(x+y)，证明：x1313∂2z,2x=1∂yy=2∂2z,x=1∂x∂yy=2.x=1y=2∂z∂z1+y=. ∂x∂y3习题三一、填空题2xy_____. 1．z=xy+e在点(x,y)处的dz=__________ 2．z=xx+y_____. 在点(0,1)处的dz=__________- 3 -3．设z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量为∆z，全微分为dz，则f(x,y)在点(x0,y0) 处的全增量与全微分的关系式是__________________.二、选择题1．在点P处函数f(x,y)的全微分df存在的充分条件为（）A、f的全部二阶偏导数均存在B、f连续C、f的全部一阶偏导数均连续D、f连续且fx,fy均存在2．使得df=∆f的函数f为（）A、ax+by+c(a,b,c为常数)B、sin(xy)C、e+eD、x2+y22三、设z=xy，当∆x=0.1,∆y=0.2时，在(1,2)点处，求∆z和dz。

1 多元函数微分学练习题 一、选择 1、设fr()具有二阶连续导函数，而rxyufr22,()，则2222uxuy=

(A) fr() (B) frrfr()()1(C) frrfr()()1 (D) rfr2() 2、曲线xeytztt22,ln,在对应于t2点处的切线方程是（ ） (A) xeeyz4422144ln(B) xeeyz44221242ln

(C) xeeyz442122124ln(D xeeyz44122124ln 3. 若fxxxfxxxxx(,),(,)'23224，则fxxy'(,)2= (A) 2224xx (B) xx3(C) xx25 (D) 222xx 4．极限limxyxyxy00242= 。

(A)等于0 (B)不存在 (C)等于12 (D)存在且不等于0或12 5、若fxxxxfxxxx(,),(,)'232612，则fxxy'(,)2= (A) x32 (B) x32 (C) 21x (D) 21x

6．设ufr(),而rxyz222，fr()具有二阶连续导数，则222222uxuyuz= (A)frrfr"'()()1 (B)frrfr"'()()2 (C) 112rfrrfr"'()() (D)122rfrrfr"'()() 7．若fxxxxxfxxxxx(,),(,)'243222221，则fxxy'(,)2= (A) 2212xx (B) 23122xxx(C) 2212xx (D) 2312xx

8．设uft()，而teexy，f具有二阶连续导数，则2222uxuy= (A)()()()()"'eefteeftxyxy22(B) ()()()()"'eefteeftxyxy22 (C) ()()()()"'eefteeftxyxy22(D) ()()()()"'eefteeftxyxy22 2