多元函数微分学习题课

第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。

思路： 应用有理化方法去根号。

复习题8（A ）1. 设3(1)z y f x =+-，且已知y =1时，z =x 则()f x = ,z = .2. 设322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩，则(0,0)x f = , (0,0)y f = .3. 设arctanx yz x y+=-,,则d z = . 4. 设()()y x u yf xg x y =+,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则222u u x y x y x∂∂+=∂∂∂ . 5. 若函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处的偏导数存在，则在该点处函数(,)z f x y = ( ) A 有极限 B 连续C 可微D 以上三项都不成立6. 偏导数f x (x 0,y 0)，f y (x 0,y 0)存在是函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)连续的( ) A 充分条件 B 必要条件C 充要条件D 即非充分也非必要条件7. 设函数f (x ,y )=1－x 2+y 2,则下列结论正确的是( )A 点(0,0)是f (x ,y )的极小值点B 点(0,0)是f (x ,y )的极大值点C 点(0,0)不是f (x ,y )的驻点D f (0,0)不是f (x ,y )的极值 8. 求下列极限：(1) 22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+； (2) (,)(0, 0)11lim x y xy →+-. 9. 设u =e 3x -y ，而x 2+y =t 2,x －y =t +2,求0d d t u t =.10. 设z =f (x ,y )由方程xy +yz +xz =1所确定,求222,,.z z z x x y x ∂∂∂∂∂∂∂ 11. 设f (u ,v )具有二阶连续偏导数,且满足22221f f u v∂∂+=∂∂，又221(,)[,()]2g x y f x y x y =-,试证222222g gx y x y∂∂+=+∂∂. 12. 求函数f (x ,y )=x 2(2+y 2)+y ln y 的极值.13. 设商品A 及B 的收益函数分别为：22121624 , R 20410R x x xy y xy y =-+=+-，总成本函数为2888C x y =-+，,x y 为商品A 及B 的价格，试问价格取何值时可以使总利润最大？14. 某同学现有400元钱，他决定用来购买x 张计算机磁盘和y 盒录音磁带。

第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。

(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。

(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。

(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。

2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。