应用多元统计分析习题解答-聚类分析电子教案
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第五章 聚类分析
5.1 判别分析和聚类分析有何区别？
答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n个样本，对每个样本测得p项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。
5.2 试述系统聚类的基本思想。
答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。
5.3 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？
答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n个样本看作p维空间的n个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为
（一）闵可夫斯基距离：1/1()()pqqijikjkkdqXX
q取不同值，分为
（1）绝对距离（1q）
1(1)pijikjkkdXX
（2）欧氏距离（2q）
21/21(2)()pijikjkkdXX
（3）切比雪夫距离（q）
1()maxijikjkkpdXX
（二）马氏距离
（三）兰氏距离
对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 21()()()ijijijdMXXΣXX 11()pikjkijkikjkXXdLpXX 将变量看作p维空间的向量，一般用
（一）夹角余弦
（二）相关系数
5.4 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？
答： 设dij表示样品Xi与Xj之间距离，用Dij表示类Gi与Gj之间的距离。
（1）. 最短距离法
,minikjrkrijXGXGDdmin{,}kpkqDD
（2）最长距离法
,maxipjqpqijXGXGDd
,maxikjrkrijXGXGDdmax{,}kpkqDD
（3）中间距离法
其中
（4）重心法
2()()pqpqpqDXXXX )(1qqpprrXnXnnX 12211cos()()pikjkkijppikjkkkXXXX
12211()()()()pikijkjkijppikijkjkkXXXXrXXXX
ijGXGXijdDjjii,min
22222121pqkqkpkrDDDD 22222pqpqkrkpkqpqrrrnnnnDDDDnnn
（5）类平均法
221ipjjpqijXGXGpqDdnn 221ikjrkrijXGXGkrDdnn22pqkpkqrrnnDDnn
（6）可变类平均法
其中是可变的且 <1
（7）可变法
22221()2krkpkqpqDDDD 其中是可变的且 <1
（8）离差平方和法
1()()tntittitttSXXXX
2222kpkqkkrkpkqpqrkrkrknnnnnDDDDnnnnnn
通常选择距离公式应注意遵循以下的基本原则：
（1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。如欧氏距离就有非常明确的空间距离概念。马氏距离有消除量纲影响的作用。
（2）要综合考虑对样本观测数据的预处理和将要采用的聚类分析方法。如在进行聚类分析之前已经对变量作了标准化处理，则通常就可采用欧氏距离。
（3）要考虑研究对象的特点和计算量的大小。样品间距离公式的选择是一个比较复杂且带有一定主观性的问题，我们应根据研究对象的特点不同做出具体分折。实际中，聚类分析前不妨试探性地多选择几个距离公式分别进行聚类，然后对聚类分析的结果进行对比分析，以确定最合适的距离测度方法。
5.5试述K均值法与系统聚类法的异同。 2222(1)()pqkrkpkqpqrrnnDDDDnn 答：相同：K—均值法和系统聚类法一样，都是以距离的远近亲疏为标准进行聚类的。
不同：系统聚类对不同的类数产生一系列的聚类结果，而K—均值法只能产生指定类数的聚类结果。
具体类数的确定，离不开实践经验的积累；有时也可以借助系统聚类法以一部分样品为对象进行聚类，其结果作为K—均值法确定类数的参考。
5.6 试述K均值法与系统聚类有何区别？试述有序聚类法的基本思想。
答：K均值法的基本思想是将每一个样品分配给最近中心（均值）的类中。系统聚类对不同的类数产生一系列的聚类结果，而K—均值法只能产生指定类数的聚类结果。具体类数的确定，有时也可以借助系统聚类法以一部分样品为对象进行聚类，其结果作为K均值法确定类数的参考。
有序聚类就是解决样品的次序不能变动时的聚类分析问题。如果用)()2()1(,,,nXXX表示n个有序的样品，则每一类必须是这样的形式，即)()1()(,,,jiiXXX，其中,1ni且nj，简记为},,1,{jiiGi。在同一类中的样品是次序相邻的。一般的步骤是（1）计算直径{D（i,j）}。（2）计算最小分类损失函数{L[p(l,k)]}。(3)确定分类个数k。（4）最优分类。
5.7 检测某类产品的重量， 抽了六个样品， 每个样品只测了一个指标，分别为1，2，3，6，9，11.试用最短距离法，重心法进行聚类分析。
（1）用最短距离法进行聚类分析。
采用绝对值距离，计算样品间距离阵
0
1
0
2 1
0
5 4 3 0
8 7 6 3
0
10 9 8 5 2 0
由上表易知 中最小元素是 于是将，，聚为一类，记为 计算距离阵
0
3 0
6 3 0
8 5 2 0
中最小元素是=2 于是将，聚为一类，记为
计算样本距离阵
0
3
0
6 3
0
中最小元素是 于是将，聚为一类，记为
因此，
（2）用重心法进行聚类分析
计算样品间平方距离阵
0
1 0 4 1
0
25 16 9 0
64 49 36 9
0
100 81 64 25 4 0
易知 中最小元素是 于是将，，聚为一类，记为
计算距离阵
0
16 0
49 9 0
81 25 4 0
注：计算方法,其他以此类推。
中最小元素是=4 于是将，聚为一类，记为
计算样本距离阵
0
16
0
64 16 0 中最小元素是 于是将，聚为一类，记为
因此，
5.8 下表是15个上市公司2001年的一些主要财务指标，使用系统聚类法和K－均值法分别对这些公司进行聚类，并对结果进行比较分析。
公司
编号 净资产收益率 每股净利润 总资产周转率 资产负债率 流动负债比率 每股净资产 净利润增长率 总资产增长率
1 11.09 0.21 0.05 96.98 70.53 1.86 -44.04 81.99
2 11.96 0.59 0.74 51.78 90.73 4.95 7.02 16.11
3 0 0.03 0.03 181.99 100 -2.98 103.33 21.18
4 11.58 0.13 0.17 46.07 92.18 1.14 6.55 -56.32
5 -6.19 -0.09 0.03 43.3 82.24 1.52 -1713.5 -3.36
6 10 0.47 0.48 68.4 86 4.7 -11.56 0.85
7 10.49 0.11 0.35 82.98 99.87 1.02 100.23 30.32
8 11.12 -1.69 0.12 132.14 100 -0.66 -4454.39 -62.75
9 3.41 0.04 0.2 67.86 98.51 1.25 -11.25 -11.43
10 1.16 0.01 0.54 43.7 100 1.03 -87.18 -7.41
11 30.22 0.16 0.4 87.36 94.88 0.53 729.41 -9.97
12 8.19 0.22 0.38 30.31 100 2.73 -12.31 -2.77
13 95.79 -5.2 0.5 252.34 99.34 -5.42 -9816.52 -46.82
14 16.55 0.35 0.93 72.31 84.05 2.14 115.95 123.41
15 -24.18 -1.16 0.79 56.26 97.8 4.81 -533.89 -27.74
解:令净资产收益率为X1，每股净利润X2，总资产周转率为X3，资产负债率为X4，流动负债比率为X5，每股净资产为X6，净利润增长率为X7，总资产增长率为X8，用spss对公司聚类分析的步骤如下：
a) 系统聚类法:
1. 在SPSS窗口中选择Analyze→Classify→Hierachical Cluster，调出系统聚类分析主界面，并将变量X8-X1移入Variables框中。在Cluster栏中选择Cases单选按钮，即对样品进行聚类（若选择Variables，则对变量进行聚类）。在Display栏中选择Statistics和Plots复选框，这样在结果输出窗口中可以同时得到聚类结果统计量和统计图。
