数值分析第三章_1

插值多项式的存在惟一性 定理1 •：给定被插函数 f x ，插值节点 x0 , x1 ,
必存在惟一的形如表达式P( x) a0 a1x an x 的插值函数 P( x) ( 3-1 ) 满足插值条件: P( xi ) yi ，i 0, 1, 2, , n 。 因为方程组 a0 + a1x0 + … + anxn0 = y0 a0 + a1x1 + … + anxn1 = y1 ( 3-2 )
线性插值多项式： P1( x ) = y0 l0( x ) + y1 l1( x )
《数值分析》 冶金工业出版社
数值分析——第 3章
3．2．2 抛物线插值 （n 2 ）
• 插值条件：给定三个不同点 ( xi , yi ) ， i 0,1, 2 ， 插值多项式 P2 ( x)满足： P2 ( x) 的次数不超过 2 。 （ 1） （2）P2 ( xi ) yi ，i 0,1, 2 。 • 抛物线插值多项式形式： 2 P2 ( x) a0 a1x a2 x = y0 l0( x ) + y1 l1( x ) + y2 l2( x )
• 定义2：若 n 次多项式 l j ( x) , j= 0, 1, 2, …, n 在 n 1 个节点 x0 x1 xn 上满足条件 ：
数值分析——第 3章
第3章
插值法
《数值分析》 冶金工业出版社
数值分析——第 3章
内容概要
• • • • • • • 插值的基本概念 拉格朗日插值 均差与牛顿插值多项式 差分与等距节点插值多项式 分段线性插值 埃尔米特插值 三次样条插值
《数值分析》 冶金工业出版社

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。

它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。

数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。

2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。

它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。

数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。

3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。

与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。

数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。

4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。

在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。

计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。

第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。

例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。

绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。

2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。

对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。

相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。

3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。

计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。

舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。

4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。

f ( x1 ).
对上式两端求导，记 x1 x0 h
，有P1(x)

1 [ h
f
(x0 )
f
(x1)],
于是有下列求导公式：
P1( x0 )

1 h
[
f
(
x1
)

f ( x0 )];
P1( x1 )

1 h
[
f
(
x1
)

f ( x0 )],
第三章 数值积分与数值微分
而利用余项公式(3.5.2)知，带余项的两点公式是(当n=1时)，
第三章 数值积分与数值微分
而利用余项公式(3.5.2)知,带余项的三点求导公式(n=2)如 下：
f
' x0
1 [3 f 2h
x0 4 f
x1
f

x2
]

h2 3
f
" ,
f
' x1


1 2h
[
f
x0

f
x2
]

h2 6
f " ,
f 'x2
式
f (x) Pn(x) （3.5.1）
统称插值型的求导公式。
第三章 数值积分与数值微分
必须指出，即使f (x) 与Pn (x) 的值相差不多，导数的近似值 Pn(x)
与导数的真值 f (x) 在某些点仍然可能差别很大，因而在使用求导
公式(3.5.1)时应特别注意误差的分析。
依据插值余项定理，求导公式（3.5.1）的余项为
Gh



G1
h

第三章作业1.设节点x 0=0,x 1=π/8,x2=π/4,x3=3π/8,x4=π/2,试适当选取上述节点，用拉格朗日插值法分别构造cosx 在区间[0，π/2]上的一次、二次、四次差值多项式P 1（x ）,P 2(x)和P 4（x)，并分别计算P 1（π/3）,P 2(π/3)和P 4（π/3). 解： x0 x1 x2 x3 x4 xπ/8 π/4 3π/8 π/2 y=cosx 10.9238790.7071060.382683（1）选择x0=0,x4=π/2的节点y0=cosx0=1,y4=cosx4=0,可得)()()()()(010110101x x x x y x x x x y x P --+--=，即 333333.0)3/(1636620.0)(11≈+-≈πP x x P（2）选择x0=0,x2=π/4,x4=π/2的节点y0=cosx0=1,y2=cosx2=0.707106,y4=cosx4=0,可得))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102101x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x P ----+----+----=,即145968.1)3/(1511124.5482067.1)(222≈++-≈πP x x x P（3）选择x0=0,,x1=π/8,x2=π/4,x3=3π/8，x4=π/2的节点y0=cosx0=1,y1=cosx1=0.923879,y2=cosx2=0.707106,y3=cosx3=0.382683,y4=cosx4=0可得)()(4,044∏∑≠==--=ij j ji j i i x x x x y x P ， 得P3(x)=1+0.0031x-0.51542x +0.02423x +0.02844x4(3) 0.5001P π=/7.解：选取0123=0=1=2=3x x x x ，，，为节点 >> T0=[0.0 0.5];x=[1 2 3]';y=[1.25 2.75 3.5]';x0=2.8;T=aitken(x,y,x0,T0) T =0.0000 0.5000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 1.2500 2.6000 0.0000 0.0000 2.0000 2.7500 3.6500 4.4900 0.0000 3.0000 3.5000 3.3000 3.2300 3.4820 161）拉格朗日差值．选取函数],[),sin()cos(ππ-∈+=x x x yx0=-pi:0.5*pi:pi; y0=cos(x0);x=-pi:0.05*pi:pi;if length(x0)~=length(y0)error('The length of x0 must be equal to it of y0'); endw=length(x0); n=w-1;L=zeros(w,w); for k=1:n+1 V=1;for j=1:n+1 if k~=j ifabs(x0(k)-x0(j))<epserror('Divided by Zero,there are two nodes are the same'); endV=conv(V,poly(x0(j)))/(x0(k)-x0(j));end end L(k,:)=V;endC=y0*L;Y=polyval(C,x); y=cos(x)+sin(x); r=y-Y;plot(x,Y,'r--',x,y,'b-',x,r,'k-.','LineWidth',2);legend('Lagrange polynomial','Theoriginal f(x) ','Error',0)2）牛顿差值．选取函数]5,5[,112-∈+=x x y >> x0=-5:1:5;>>y0=1./(1+x0.*x0); >>x=-5:0.1:5;>>if length(x0)~=length(y0)>>error('The length of x0 must be equal to it of y0'); end>>n=length(x0); >>D=zeros(n,n); >>D(:,1)=y0'; >>for j=2:n for k=j:nif abs(x0(k)-x0(k-j+1))<epserror('Divided by Zero,there are two nodes are the same'); end>>D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(x0(k )-x0(k-j+1)); end endC=D(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(x0(k))); m=length(C);C(m)=C(m)+D(k,k); endY=polyval(C,x); y=1./(1+x.*x+20*x); r=y-Y;>plot(x,Y ,'r--',x,y,'b-',x,r,'k-.','LineWidth',2); >legend('Newton polynomial','The original f(x)','Error',0)。