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2015年全国中考数学试卷解析分类汇编第29章 点直线与圆的位置关系

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第 1 页 共 78 页 点直线与圆的位置关系

一. 选择题

1．(2015•江苏南京,第6题3分)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）

A．B．C．D．

【答案】A．

【解析】

试题分析：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，在Rt△DMC中，，∴，∴NM=，∴DM==，故选A．

考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．

2.（2015湖南岳阳第8题3分）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ） 第 2 页 共 78 页

A． ①② B． ①②③ C． ①④ D． ①②④

考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．.

分析：根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．

解答：解：∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

而AB=CB，

∴AD=DC，所以①正确；

∵AB=CB，

∴∠1=∠2，

而CD=ED，

∴∠3=∠4，

∵CF∥AB，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2=∠3=∠4，

∴△CBA∽△CDE，所以②正确；

∵△ABC不能确定为直角三角形，

∴∠1不能确定等于45°， 第 3 页 共 78 页 ∴与不能确定相等，所以③错误；

∵DA=DC=DE，

∴点E在以AC为直径的圆上，

∴∠AEC=90°，

∴CE⊥AE，

而CF∥AB，

∴AB⊥AE，

∴AE为⊙O的切线，所以④正确．

故选D．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．

经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）

A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°

考点：切线的性质．

分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．

解答：解：如图，连接OA， 第 4 页 共 78 页

∵AC是⊙O的切线，

∴∠OAC=90°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB=20°，

∴∠AOC=40°，

∴∠C=50°．

故选：D．

点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．

3．（2015•广东广州,第3题3分）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ）

A． 2.5 B． 3 C． 5 D． 10

考点：切线的性质．

分析：根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．

解答：解：∵直线l与半径为r的⊙O相切，

∴点O到直线l的距离等于圆的半径，

即点O到直线l的距离为5．

故选C．

点评：本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．

4. （2015•浙江衢州,第10题3分）如图，已知等腰，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点，若，则的半径是【 】 第 5 页 共 78 页

A. B. C. D.

【答案】D．

【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用．

【分析】如答图，连接，过点作于点，

∵，∴.

∵，∴.∴.∴.

∵是的切线，∴.∴.

∴，且四边形是矩形.

∵，∴由勾股定理，得.

设的半径是，

则.

∴由勾股定理，得，即，解得.

∴的半径是.

故选D．

5. （2015•浙江湖州，第8题3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， tan∠OAB=，则AB的长是( )

A. 4 B. 2 C. 8 D. 4 第 6 页 共 78 页

【答案】C.

考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理

6. （2015•浙江湖州，第9题3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是( )

A. CD+DF=4B. CD−DF=2−3C. BC+AB=2+4D. BC−AB=2

【答案】A.

【解析】

试题分析：如图，设⊙O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,利用“AAS”易证△OMG≌△GCD,所以OM=GC=1, CD=GM=BC－BM－GC=BC－2.又因AB=CD,所以可得BC−AB=2.设AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b－c），所以c=a+b－2. 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab第 7 页 共 78 页 －4a－4b+4=0，又因BC−AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）－4a－4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再设DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CD−DF=，CD+DF=.综上只有选项A错误，故答案选A.

考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；

7. （2015•浙江嘉兴，第7题4分）如图，错误！未找到引用源。中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则☉C的半径为（▲）

（A）2.3 （B）2.4

（C）2.5（D）2.6

考点：切线的性质；勾股定理的逆定理．.

分析：首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC=AC•BC=AB•CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．

解答：解：在△ABC中，

∵AB=5，BC=3，AC=4，

∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，

∴∠C=90°，

如图：设切点为D，连接CD， 第 8 页 共 78 页 ∵AB是⊙C的切线，

∴CD⊥AB，

∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，

∴AC•BC=AB•CD，

即CD===，

∴⊙C的半径为，

故选B．

点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．

8. （2015•四川省内江市，第10题，3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）

A． 40° B． 35° C． 30° D． 45°

考点：切线的性质．.

分析：连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．

解答：解：连接BD，

∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°， 第 9 页 共 78 页 ∵PD是切线，

∴∠ADP=∠ABD=30°，

故选：C．

点评：本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．

9. （2015•四川乐山,第10题3分）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）

A．8 B．12 C． D．

【答案】C．

10．（2015•广东梅州,第6题，3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心.若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）

ACBO第 10 页 共 78 页 A．20° B．25° C． 40° D．50°

考点：切线的性质．.

分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．

解答：解：如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠OAC=90°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB=20°，

∴∠AOC=40°，

∴∠C=50°．

故选：D．

点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．

11. （2015•山东潍坊第7 题3分）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（ ）

A．70°B．50°C．45°D．20°

考点：切线的性质．.

分析：由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°．

解答：解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，

∴∠OBC=90°，

∵OA=OB，

∴∠A=∠ABO=20°，

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中考数学第一轮总复习教案29 点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系

中考数学第一轮总复习教案29 点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系

章节 第八章 课题 点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系

课型 复习课 教法 讲练结合

教学目标（知识、能力、教育） 1.了解点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系．并能运用有关结论解决有关问题.

2.了解切线概念，掌握切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

3.能够运用圆有关知识进行综合应用.

教学重点 能运用点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系解决有关问题

教学难点 能够运用圆有关知识进行综合应用.

教学媒体 学案

教学过程

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】

1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.

设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外d＞r．点在圆上d=r．点在圆内d＜r．

2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．

设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交d＜r，直线与圆相切d=r，直线与圆相离d＞r

3.圆与圆的位置关系

(1)同一平面内两圆的位置关系：

①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．

②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.

③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．

④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．

(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．

(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则

①两圆外离d＞R+r；有4条公切线；

②两圆外切d=R＋r；有3条公切线；

③两圆相交R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；

④两圆内切d=R－r（R＞r）有1条公切线；

⑤两圆内含d＜R—r（R＞r）有0条公切线．

（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）

4.切线的性质和判定 (1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系29.5正多边形与圆正多边形与圆中的直角三角形题解素材冀教版

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系29.5正多边形与圆正多边形与圆中的直角三角形题解素材冀教版

正多边形与圆中的直角三角形题解

每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，两个圆为同心圆. 外接圆的半径为正多边形的半径R，内切圆的半径为正多边形的边心距r .

解决正多边形与圆的有关问题，常转化为直角三角形，斜边为正多边形的半径R，直角边分别为边心距r和边长的一半.正多边形可以转化为2n个全等的直角三角形，如图所示：

OA为R，OB为r，AB为边长的一半，∠AOB为中心角的一半，等于180n.

那么有：R2= r2+14a2,sin∠AOB=sin180n=12aR=2aR,

cos∠AOB=cos 180n=rR

（一） 知R、r、a、n（正多边形的边数）中的任意二个，可以求另外二个量.

例1、正五边形的边长为a， 求半径及边心距.

解：如上图， ∠AOB=1805=36°；

sin36°=12aR ∴R=2sin36a≈0.85a，

cos36°=rR ∴r=R cos36°≈0.69 a

（二） 知上述四个中的二个，求周长及面积.

例2、已知正八边形的边心距为r，求此八边形的周长及面积.

解：如上图，∠AOB=1808=22.5°∵12ar=tan22.5°∴a=2rtan22.5°

则L=8a=16rtan22.5° S=2×8×12×12ar=4ar=8r2 tan22.5°

（三） 正多边形割补后的面积

例3、如图有一个正五边形的图案，它的边长为2cm，分别以每个顶点为圆心，1cm为半径作圆弧，求这些圆弧所围成的图形的面积（精确到0.1cm2）

分析：这里须求出正五边形面积，为此须求边心距r,再减去5个扇形面积，

但关键的正五边形面积的计算.

解：21a：r=tan5180= tan36°∴r=1.3764 S=2×5×21r×21a=25ar=6.872

∴S=6.872-5×360114.31082=6.872-4.71≈2.2（cm2）

初三九年级数学冀教版 第29章 直线与圆的位置关系 专训5 圆与学科内知识的综合应用

初三九年级数学冀教版 第29章 直线与圆的位置关系 专训5 圆与学科内知识的综合应用

第1页 共6页 专训5 圆与学科内知识的综合应用

名师点金：

圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点，在中考中常常与三角函数、相似、二次函数等结合，作为压轴题出现．

圆与三角函数的综合

1．【中考·遂宁】如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.

(1)求证：∠ADC＝∠ABD；

(2)求证：AD2＝AM·AB；

(3)若AM＝185，sin ∠ABD＝35，求线段BN的长．

(第1题)

圆与相似的综合

2．如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点P在AB︵上移动，P，C分别位于AB的异侧(P不与A，B重合)，△PCD也为直角三角形，∠PCD＝90°，且Rt△PCD的斜边PD经过点B，BA，PC相交于点E.

第2页 共6页 (1)当BA平分∠PBC时，求BECD的值；

(2)已知AC＝1，BC＝2，求△PCD的面积的最大值．

(第2题)

圆与函数的综合

3．如图，在平面直角坐标系中，有一正方形AOBC，

(第3题)

反比例函数y＝kx的图像经过正方形AOBC对角线的交点，半径为(4－22)的圆内切于△ABC，则k的值为________．

第3页 共6页 4. 如图(1)，已知直线l的表达式为y＝x－8，它与x轴，y轴分别相交于A，B两点，平行于直线l的直线l1从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持l1∥l，直线l1与x轴，y轴分别相交于C，D两点，以线段CD为直径作⊙P，⊙P的面积为S，当直线l1与直线l重合时，停止运动．

(1)求A，B两点的坐标；

(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；

(3)直线l1在运动过程中，

①如图(2)，当t为何值时，⊙P与直线l相切？

②是否存在这样的t值，使得S＝S梯形ABDC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

中考数学一轮复习考点28 点和圆、直线和圆的位置关系(解析版)

中考数学一轮复习考点28 点和圆、直线和圆的位置关系(解析版)

考点28〖点和圆、直线和圆的位置关系〗

【命题趋势】近三年来点和圆、直线和圆的位置关系主要考查：切线的性质和判定。在选择题、填空题中常运用切线的性质进行相关的计算，涉及求角度或线段长；在解答题中常结合相似三角形，锐角三角函数、全等三角形的性质求线段、角度或判定四边形的形状。常命中档题。

【考查题型】选择题、填空题、解答题

【常考知识】切线的性质和判定。在选择题、填空题中常运用切线的性质进行相关的计算，涉及求角度或线段长；在解答题中常结合相似三角形，锐角三角函数、全等三角形的性质求线段、角度或判定四边形的形状。

【夺分技巧】1、判断直线与圆相切时：（1）直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；（2）直线与圆的公共点未知时，过圆心作2直线的垂线，证垂线段等于半径。

2、利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决。

3直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a、b是直角三角形ABC的两条直角边，c为斜边，则:(1)

直角三角形的外接圆半径R=𝐶2 ;(2) 直角三角形的内切圆半径r=𝑎+𝑏−𝑐2 .

【易错点】圆心与直线的距离不一定是圆心到直线的距离。

一、选择题

1.（2020·山东·中考真卷）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷为△𝐴𝐵𝐶的内心，∠𝐴＝60∘，𝐶𝐷＝2，𝐵𝐷＝4．则△𝐷𝐵𝐶的面积是（ ）

A.4√3 B.2√3 C.2 D.4

【答案】B

【考点】三角形的内切圆与内心，角平分线的性质

【解析】过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐶𝐷于点𝐻．由点𝐷为△𝐴𝐵𝐶的内心，∠𝐴＝60∘，得∠𝐵𝐷𝐶＝120∘，则∠𝐵𝐷𝐻＝60∘，由𝐵𝐷＝4，求得𝐵𝐻，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐶𝐷于点𝐻．

∵ 点𝐷为△𝐴𝐵𝐶的内心，∠𝐴＝60∘，

∴ ∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐷𝐶𝐵=12(∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵)=12(180∘−∠𝐴)，