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高一数学三角函数与平面向量单元测试题

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高一数学三角函数与平面向量单元测试题姓名: 班级: 学号一、选择题: 本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、若),1,3(),2,1(-==则=-2 （ ）A 、)3,5( B 、 )1,5( C 、 )3,1(- D 、 )3,5(--2．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度。

A 、 1B 、 2C 、3 D. 43、如图是函数f (x)sin(x )=+ϕ一个周期内的图像，则ϕ可能等于 （ ）A 、56π B 、 2πC 、 6π- D 、6π4．化简00sin15-得到的结果是 （ ）A B 、 C 、 D +5、 已知函数f (x)sin(x )cos(x )=+ϕ++ϕ为奇函数，则ϕ的一个取值为（ ） A 、0 B 、2π C 、4π- D 、π 6.把函数742++=x x y的图像按向量经过一次平移以后得到2x y =的图像，则是（ ） A 、)3,2(- B 、 )3,2(- C 、 )3,2(-- D 、 )3,2(7.设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =则点P 的坐标是（ ）A 、)15,8(-B 、 (0,3)C 、)415,21(-D 、)23,1(8.函数44f (x)sin(x)sin(x)ππ=+-是（ ）A 、周期为2π的奇函数B 、周期为2π的偶函数C 、周期为π的奇函数D 、周期为π的偶函数 9. 若为则ABC AB ∆=+•,02（ ）A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、等腰直角三角形10.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方面积的价格，单位为元）与第x季度之间近似满足：y500sin(x)9500(0)=ω+ϕ+ω>，已知第一、二季度平均单价如右表所示：则此楼群在第三季度的平均单价大约是（）元A、10000B、9500C、9000D、8500二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.11、已知113a(,2sin),b(cos,),a322=α=αr r r且∥br，则锐角α的值为；12、m,n a2m a n,|a|=⊥=u u r r r u u r r r r r设是两个单位向量，向量-n，则；13、函数y cos2x4cos x,x[,]32ππ=-∈-的值域是；14、在三角形ABC中，设a=AB，b=AC，点D在线段BC上，且DCBD3=，则AD用,表示为；15、已知偶函数f(x)2sin(x)(0,0)=ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期是π，则f(x)的单调递减区间为；16、下列命题：①若cacbba=⋅=⋅，则②若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量：-=+，则0=⋅④若a与是单位向量，则1=⋅其中真命题的序号为。

三、解答题：本大题共4小题，满分46分.17.（本小题满分10分）已知21()sin(2)cos(2)cos263f x x x xππ=-+-+-+.（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间5[,]88ππ上的最大值，并求出f(x)取最大值时x的值.18．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知31tan ,21tan ==B A 且最长边为1. （1）求角C ；（2）求△ABC 的面积S.19、（本小题满分12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别是A （3，0），B （0，3），C (sin ,cos )αα，其中322π<α<π，（1）若AC BC =u u u r u u u r ，求角α的值；（2）若AC BC 1=-u u u r u u u r g ，求22sin sin 21tan α+α+α的值。

20、（本小题满分12分）设ABC ∆的外心为O ，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC 、OD 为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H 。

（1）若，，，c b a ρρρ===用c b a 表示、、ρρρ；（2）求证：BC AH ⊥；（3）设ABC ∆中，，，04560=∠=∠B A 外接圆半径为R ，用R 表示.(外心是三角形外接圆的圆心)高一数学三角函数与平面向量期末复习试题(三) 试卷答案一、选择题: 本大题共10小题,每小题3分,共30分.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.11、4π； 1213、 [-3，-1] ； 14、 31a b 44+r r；15、 [k ,k ],k Z 2πππ+∈； 16、 (3) 三、 解答题：本大题共4小题，满分46分.15. （本小题满分10分） 解：1cos2x 1(1)f (x)cos(2x )cos(2x )3322ππ+=++-+- cos2x cos2x cos32π=+=3cos 2x 2………………………………………………………3分 故f(x)的周期是π。

………………………………………………………………5分（2）5x [,]88π∈πQ ，52x [,]44π∈πf (x)[,]82ππ∴在上是减函数，5f (x)[,]28ππ∴在上是增函数5f ()f 88π⎛⎫∴>π ⎪⎝⎭…………………………………………………………………………8分故当x 8π=时，f(x)10分16．（本小题满分12分）解：（1）由,1tan tan 1tan tan )tan(=-+=+BA BA B A …………2分而在△ABC 中，0<A+B<π，…………………………………3分 所以4π=+B A ，则π43=C ；…………………………………5分 （2）在△ABC 中，∵∠C 是钝角， ∴∠B 、∠A 是锐角， 由31tan =B ，得.1010sin =B ……………………………7分 由正弦定理CcB b sin sin =，得.55=b ……………………………9分 由21tan =A ，得55sin =A .∴△ABC 的面积101sin 21==A bc S ………………………………12分 17、（本小题满分12分）解：（1）由题意；AC (sin 3,cos )=α-αu u u r ，BC (sin ,cos 3)=αα-u u u r………………………2分AC BC =u u u r u u u r Q 22AC BC ∴=u u u r u u u r既2222(sin 3)cos sin (cos 3)α-+α=α+α-……………………………4分 化简得sin cos α=α又322π<α<π 54∴α=π……………………………………………………………………6分（2）由AC BC 1=-u u u r u u u rg得：(sin 3)sin cos (cos 3)1α-α+αα-=- 化简得：2sin cos 3α+α=……………………………………………………8分于是：252sin cos (sin cos )19αα=α+α-=-……………………………10分 22sin sin 22sin (sin cos )52sin cos cos sin 1tan 9cos α+ααα+α∴==αα=-α+α+αα…………12分18、（本小题满分12分）解：（1） ()=+=++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r rOH OC OD OC OA OB a b c …………2分（2）()4=+=-+++=+=-u u u r u u u r u u u r r r r r r r u u u r r r L L L L L L L L L 分AH AO OH a a b c c b BC c b 22()()06∴⋅=+⋅-=-∴-∴⋅=∴⊥⊥u u u r u u u r r r r r r r r r u u u r u u u rQ u u u r u u u rL L L L L L L L L L 又是外心，，，即分AH BC c b c b c bo c b AH BC AH BC AH BC （3）222222222)22232cos ,2cos ,2cos ,=++=+++⋅+⋅+⋅=+<>+<>+<>u u u r r r r r r r r r r r r r r r r r r r（OH a b c a b c a b b c c a R R a b R b c R c a …………8分60,,120(1cos ,2cos ,cos ,0∠=∴<>=∴<>=-<>=<>=oo r r Q r r r r r r 是外心，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）同理，，A o b c b c a b c a … (10)分2222∴=∴=====u u u r u u u r （OH R OH R…………12分B。

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高中数学必修《平面向量》单元测试

高中数学必修《平面向量》单元测试

平面向量单元测试卷（5）一、选择题1．在△OAB中，=，=，M为OB的中点，N为AB的中点，ON，AM交于点P，则=（）A．﹣B．﹣+C．﹣D．﹣+2．已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）A．⊥B．⊥（﹣）C．⊥（﹣）D．（+）⊥（﹣）3．已知A，B，C是坐标平面内不共线的三点，o是坐标原点，动点P满足（λ∈R），则点P的轨迹一定经过△ABC的（）A．内心B．垂心C．外心D．重心4．已知平面上三点A、B、C满足，，，则的值等于（）A．25 B．﹣25 C．24 D．﹣245．已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，]6．设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°7．设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|•|的值一定等于（）A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积8．设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心，若集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i=1，2，3}，则集合S表示的平面区域是（）A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域9．已知P={|=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={|=（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（）A．{（1，1）} B．{（﹣1，1）} C．{（1，0）} D．{（0，1）}10．已知、是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ，μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（）A．λ+μ=1 B．λ﹣μ=1 C．λμ=﹣1 D．λμ=1二、填空题11．若平面向量，满足，平行于x轴，，则=．12．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是．13．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ=．14．如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，则x=，y=．三、解答题15．如图，已知点A（1，1）和单位圆上半部分上的动点B．（1）若，求向量；（2）求||的最大值．16．已知在△ABC中，三条边a、b、c所对的角分别为A、B、C，向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），且满足．（1）求角C的大小；（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且=18，求c的值．17．已知△ABC中，，∠ABC=120°，∠BAC=θ，记f（θ）=．（Ⅰ）求f（θ）关于θ的表达式；（Ⅱ）求f（θ）的值域．18．已知△ABC的面积为3，且满足，设和的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值与最小值．19．设向量，，，，其中θ∈（0，）．（1）求的取值范围；（2）若函数f（x）=|x﹣1|，比较f（）与f（）的大小．20．已知m∈R，，，．（Ⅰ）当m=﹣1时，求使不等式成立的x的取值范围；（Ⅱ）求使不等式成立的x的取值范围．《第2章平面向量》单元测试卷（5）参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．B 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．A 8．D 9．A 10．D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（-1，1）或（-3，1）12．2 13．14．三、解答题（共6小题，满分0分）15．16．17．18．19．20．。

高一数学平面向量单元测试题课标 试题

高一数学平面向量单元测试题课标 试题

卜人入州八九几市潮王学校师范大学附属扬子高一数学平面向量单元测试题一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕． 1、假设向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a那么b a 与一定满足：………………〔〕〔A 〕b a 与的夹角等于βα-〔B 〕)(b a +⊥)(b a -〔C 〕a ∥b 〔D 〕a ⊥b2、在四边形ABCD 中，，，，b a CD b a BC b a AB 3542--=--=+=其中b a 、不一共线，那么四边形ABCD 是：…………………………………………………………………〔〕 〔A 〕梯形〔B 〕矩形〔C 〕菱形〔D 〕正方形3、两点P (4,-9),Q (-2,3),那么y 轴与直线PQ 的交点分有向线段PQ 所成的比为：()(A)31(B)21(C)2(D)3 4、设c b a 、、是任意的非零平面向量，且互相不一共线，那么①0)()( =⋅⋅-⋅⋅b a c c b a ；②b a b a -<-；③b ac a c b )()(⋅-⋅不与c 垂直； ④)23()23(b a b a-⋅+=2249b a -：……………………〔〕〔A 〕①②〔B 〕②③〔C 〕③④〔D 〕②④5、),4,3(),1,2(==b a 那么向量a在向量b 方向上的投影为：……………………〔〕〔A 〕52〔B 〕2〔C 〕5〔D 〕106、ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，那么点P 与ΔABC 的关系是：……………………………………………………………〔〕 A 、P 在ΔABC 内部B 、P 在ΔABC 外部C 、P 在直线AB 上D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点上7、假设θ的夹角与，则，，b a b a b a 721=+==的余弦值为：………………〔〕〔A 〕21-〔B 〕21〔C 〕31〔D 〕以上都不对 8、ABCD 的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，那么它的第4个顶点D 的坐标是：〔〕A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)9、△ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，那么BC AB ⋅的值是：………………〔〕〔A 〕19〔B 〕－19〔C 〕－18〔D 〕－1410、在ΔABC 中，c AB =，a BC =，b CA =①假设0>⋅b a ，那么ΔABC 为钝角三角形②假设0=⋅b a ,那么ΔABC 为直角三角形 ③假设c b ba ⋅=⋅,那么ΔABC 为等腰三角形④假设0)(=++⋅cb ac ,那么ΔABC …………………………………………………………〔〕 A ．1B ．2 C ．3D ．411、假设b a b a 与，，12==的夹角为060，且，，b m a d b a m c -=+=23d c ⊥，那么m 的值是：…………………………………………………………………………〔〕〔A 〕0〔B 〕1或者-6〔C 〕-1或者6〔D 〕6或者-612、O 为ΔABC 所在平面内一点，满足｜OA ｜2+｜BC ｜2=｜OB ｜2+｜CA ｜2=｜OC ｜2+｜AB ｜2,那么点O 是ΔABC 的：……………………………………()A.外心B.内心C.垂心D.重心二、填空题：(本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分)．13、在菱形ABCD 中，〔AB +AD 〕·〔AB -AD 〕=。

高一数学平面向量单元测试题 必修 试题

高一数学平面向量单元测试题 必修 试题

卜人入州八九几市潮王学校高一数学平面向量单元测试题(一)班级:学号一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题4分,一共48分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 〕①一共线向量是在同一条直线上的向量②假设两个向量不相等，那么它们的终点不可能是同一点③与非零向量一共线的单位向量是唯一的④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是CD AB 与、AD BC 与分别一共线 A2．平面上有A 、B 、C 三点，设m =BC AB +，n =BC AB -，假设m 与n 的长度恰好相等，那么有〔〕 A.A 、B 、C 三点必在一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角 C.△ABC 必为直角三角形，且∠B =90°D.△ABC 必为等腰直角三角形3．假设1a b ==，a ⊥b ，且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，那么k 的值是〔〕 A.－6B.6C.3D.－34．1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，那么a =21e ＋2e 与b =－31e ＋22e 的夹角是〔〕 °°C.120°°5．设两个非零向量b a ,不一共线，且b k a b a k ++与一共线，那么k 的值是()A ．1B ．1-C ．1±D ．06．(2,1),(,1)ab λ=--=．假设a 与b 的夹角为钝角，那么λ的取值范围是〔〕A ．),2(2,21+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ．),2(+∞C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,p ：向量b 与a q ：有且只有一个实数λ，使得b =λa .那么p 是q 的〔〕A.充分不必要条件 B8．设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =那么点P 的坐标是〔〕 A 、)15,8(-B 、(0,3)C 、)415,21(-D 、)23,1(9．将函数y =log 2〔2x 〕的图象F ，按a =〔2，－1〕平移到F ′，那么F ′的解析式为〔〕 A.y =log 2［2〔x －2〕］－1 B.y =log 2［2〔x ＋2〕］－1 C.y =log 2［2〔x ＋2〕］＋1D.y =log 2［2〔x －2〕］＋110．向量(cos ,sin ),(3,4)a b θθ==，其中(0,)2πθ∈，那么a b ⋅的最大值为()A3B4C5D 不确定11．在边长为1的正三角形ABC 中，设,,BC a AB c AC b ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅的值是() AB －C12．,,OA a OB b ==C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，那么用,a b 表示OD 的表达式为() A1(45)a b +B 1(97)a b +C 1(2)a b +D 1(3)a b +二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题4分，总分值是20分.把答案填在题中横线上. 13．113a(,2sin ),b (cos ,),a 322=α=α且∥b ，那么锐角α的值是； 14．m,n a 2m a n,|a |=⊥=设是两个单位向量，向量-n ， 则； 15．假设对n 个向量12,,,n a a a ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n，使得1122n n k a k a k a +++=0成立，那么称向量12,,,n a a a 为“线性相关〞.依次规定，请你求出一组实数k 1，k 2，k 3的值，它能说明1a =(1,0),2a =(1,－1),3a =(2,2)“线性相关〞：k 1，k 2，k 3的值分别是，，.16．P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0．延长AP 交BC 于点D ，假设AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP =______________、AD =________________．17．假设把函数5422+-=x x y 的图象按a 平移，得到22x y =的图象，且a ⊥b ， c =〔1，－1〕，b ·c =4，那么b 的坐标为______________. 三．解答题〔一共32分〕18．〔本小题总分值是10分〕在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值.19．〔本小题总分值是12分〕A 、B 、C 三点的坐标分别是A 〔3，0〕，B 〔0，3〕，C (sin ,cos )αα，其中322π<α<π，〔1〕假设AC BC =，求角α的值；〔2〕假设AC BC 1=-，求22sin sin 21tan α+α+α的值。

高一数学高中数学必修第二平面向量单元测试题及答案解析

高一数学高中数学必修第二平面向量单元测试题及答案解析

第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式： ①|a ＋b |＝|a |＋|b |； ②|a －b |＝±(|a |－|b |)； ③a 2>|a |2； ④|a ·b |＝|a |·|b |.其中正确的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．42．下列命题中，正确的是( ) A ．a ＝(－2,5)与b ＝(4，－10)方向相同 B ．a ＝(4,10)与b ＝(－2，－5)方向相反 C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反 D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A.7B.10C.13D ．4 4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．05．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( )A.49 B.43 C ．－43D ．－496．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．37．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)8．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( )A.34B.537C.2537D.537379．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b10．已知点B 为线段AC 的中点，且A 点坐标为(－3,1)，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则C 点坐标为( )A ．(1，－3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 C ．(4,2)D ．(－2,4)11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 12．在△ABC 所在平面内有一点P ，如果P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(3，3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.14．假设|a |＝25，b ＝(－1,3)，若a ⊥b ，则a ＝________. 15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝2，那么c ＝__________.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b .(1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？18．(12分)如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .19．(12分)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．21．(12分)如图，在平面斜坐标系xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程． 22．(12分)如图，在四边形ABCD 中，BC →＝λAD →(λ∈R )，|AB →|＝|AD →|＝2，|CB →－CD →|＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值；(2)求CB →·BA →的值．1.解析 对于①仅当a 与b 同向时成立．对于②左边|a －b |≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a 2＝|a |2，∴a 2>|a |2不成立．对于④当a ⊥b 时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案 A2.解析 在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反． 答案 B3.解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋9b 2＋6a·b ＝1＋9＋6|a ||b |cos60°＝13，∴|a ＋3b |＝13.答案 C4.解析 ∵a ∥b ，∴(8＋12x )×2－x (x ＋1)＝0，即x 2＝16，又x >0，∴x ＝4.答案 B5.解析 M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2.又∵AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23|AM →|＝23. ∴AP →2＝|AP →|2＝49.答案 A6.解析8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c ＝(3，x )，∴(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x . 又(8a －b )·c ＝30，∴18＋3x ＝30，x ＝4. 答案 C7.解析 依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)， 则b ＝12(λ－1)a ，∴a ·b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)×2＝λ－1>－1. 答案 B8.解析 ∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋16e 22＋24e 1·e 2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e 1＋4e 2|＝37.设3e 1＋4e 2与e 1的夹角为θ，则 cos θ＝537×1＝537.答案 D9.解析 如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ：BE ＝DF ：BA ＝1：3. ∴DF →＝13AB →.∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b . 答案 B10.解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∴a ·b ≤|a |24，∴cos θ＝a ·b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案 B11.解析 设C (x ，y )，则由AB →＝BC →，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－(－3)，32－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12＝72，y －32＝12，⇒⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，∴C (4,2)．答案 C12.解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以2P A →＋PC →＝0，PC →＝－2P A →＝2AP →，所以点P 是线段AC 的三等分点(如图所示)．所以△P AB 与△ABC 的面积之比是13.答案 A13.解析 由a ∥b ，得23cos θ＝6sin θ，∵cos θ≠0， ∴tan θ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6. 答案 π6或76π14.解析 设a ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝20.① 又a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－x ＋3y ＝0.② 由①②解得x ＝32，y ＝2，或x ＝－32， y ＝－2，∴a ＝(32，2)，或a ＝(－32，－2)． 答案 (32，2)或(－32，－2) 15.解析 由题知 AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案216.解析当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD ＝60°，AC →＝a ＋b ，由菱形的性质可知，a 与a ＋b 的夹角为∠BAC ＝30°.答案 ②17.解 (1)令c ·d ＝0，则(3a ＋5b )·(m a －3b )＝0， 即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ·b ＝0， 解得m ＝2914. 故当m ＝2914时，c ⊥d .(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b ) 即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧3－λm ＝0，5＋3λ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－53，m ＝－95.故当m ＝－95时，c 与d 共线．18.证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则 AD →·CE →＝(AC →＋CD →)·(CA →＋AE →)＝AC →·CA →＋CD →·CA →＋AC →·AE →＋CD →·AE →＝－a 2＋0＋a ·223a ·22＋a 2·223a ·22 ＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0， ∴AD →⊥CE →，∴AD ⊥CE .19.解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎨⎧ x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0.∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.∴|AD →|＝ (1－2)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．20.解 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )，∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O ，M ，A 三点共线，∴OM →∥OA →.∴x 4＝y －4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x (5－x )＋y (1－y )＝0，x 4＝y －4，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2. ∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21.解 (1)因为点P 的斜坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1·e 2＝8－8cos60°＝4，∴|OP →|＝2，即|OP |＝2.(2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )，则OM →＝x e 1＋y e 2， 又|OM →|＝1.故(x e 1＋y e 2)2＝1.∴x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝1.即x 2＋y 2＋xy ＝1. 故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.22.解 (1)因为BC →＝λAD →，所以BC ∥AD ，且|BC →|＝λ|AD →|.因为|AB →|＝|AD →|＝2，所以|BC →|＝2λ.又|CB →－CD →|＝23，所以|BD →|＝2 3.作AH ⊥BD 交BD 于H ，则H 为BD 的中点．在Rt △AHB 中，有cos ∠ABH ＝BH AB ＝32，于是∠ABH ＝30°，所以∠ADB ＝∠DBC ＝30°. 而∠BDC ＝90°，所以BD ＝BC ·cos30°，即23＝2λ·32，解得λ＝2.(2)由(1)知，∠ABC ＝60°，|CB →|＝4，所以CB →与BA →的夹角为120°， 故CB →·BA →＝|CB →|·|BA →|cos120°＝－4.。