复积分(一).

2020.36科学技术创新计算复积分的常用方法麻桂英(包头师范学院,内蒙古包头014030)1概述《复变函数》中复积分的形式多样,计算灵活。

从复积分的计算到留数的定义与计算;从留数定理到计算一些特殊的实积分,通过知识整合,引导学生系统化认识,培养学生逻辑思维能力。

复积分不仅要求理解和掌握基础知识和思维方法,更注重知识间的前后贯通,相互融合,直至学生数学思想和数学素养的升华。

2复积分的计算问题2.1积分路径C 是开口路径2.1.1参数方程法设积分路径例1计算积分-c∫z dz ,其中路径c 是(1)从0到1+i 的直线段(2)圆周|z -i |=1上过0与1+i 的圆弧解:(1)原式=1∫(1+i )(1-i )t dt =10∫2t dt =1(2)c:z =i +e i θ,θ∈[0,π4],dz =i e i θd θ原式=π40∫(-i +e -i θ)i e i θd θ=(1+π4)i -i e π4i注:由例1可以得出:积分路径不同,积分结果不一样,即积分与积分路径有关。

例2.计算积分c∫z 2dz ,积分路径C 为(1)从0到1+i 的直线段(2)从0到1,1到1+i 的折线段解:(1)(2)注:由例2可以得出:积分与积分路径无关。

2.1.2N ewt on-Lei bni z 公式设f (z )在单连通区域D 内解析,则F (z )为f (z )在单连通区域D 内的一个原函数,则注:f (z )在单连通区域D 内解析,则f (z )在D 内积分与路径无关,只与连接路径的起点与终点有关。

例3计算2πz 0∫(2z 2+8z +1)dz ,其中积分路径是连接0与2πa 的摆线。

解:被积函数在复平面处处解析,故积分与路径无关,取积分路径为沿正实轴连接0与2πa 的直线段2.2积分路径C 是闭曲线2.2.1Cauchy 积分定理设C 是一条闭曲线,区域D 的边界是C ,f (z )在D 内无奇点,即f (x )在D 内解析,则例4计算解:被积函数在复平面上的奇点是故z 1,z 2都在积分路径c 外,由柯西积分定理得原式=0。

关于求积分的各种方法的总结数学科学学院08级应数汉班 高盼 20081115021 指导老师 毛生荣摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词：积分，解析，函数，曲线1.利用定义求积分例1、计算积分()dz ix y x c⎰+-2，积分路径C 是连接由0到i +1的直线段. 解：()10≤≤=x x y 为从点0到点i +1的直线方程，于是()dz ix y x c ⎰+-2()()iy x d ix y x i ++-=⎰+102()()ix x d ix x x ++-=⎰12 ()dx x i i ⎰+=1021 31i --=. 2.利用柯西积分定理求积分 柯西积分定理：设()z f 在单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则()0=⎰dz z f c. 柯西积分定理的等价形式：设C 是一条周线，D 为C 之内部，()z f 在闭域C D D +=上解析，则()0=⎰dz z f c. 例2、求dz iz z c ⎰+cos ，其中C 为圆周13=+i z ， 解：圆周C 为()13=--z z ，被积函数的奇点为i -，在C 的外部， 于是，iz z +cos 在以C 为边界的闭圆13≤+i z 上解析， 故由柯西积分定理的等价形式得dz iz z c ⎰+cos 0=. 如果D 为多连通区域，有如下定理： 设D 是由复周线---+++=nC C C C C 210所构成的有界多连通区域，()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则()0=⎰dz z f c. 例3.计算积分()⎰=+6113z z z dz . 分析：被积函数()()131+=z z z F 在C 上共有两个奇点0=z 和31-=z ，在1=z 内作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.解：显然，()1331131++=+z z z z 任作以0=z 与以31-=z 为心，充分小半径61<r 的圆周r z =Γ:1及r z =⎪⎭⎫ ⎝⎛--Γ31:2，将二奇点挖去，新边界构成复周线--Γ+Γ+21C ()1:=z C . ()()⎰⎰Γ+Γ=+=+2113131z z dz z z dz z()()⎰⎰ΓΓ+++=211313z z dz z z dz ⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓ+-++-=2211133133z dz z dz z dz z dz ⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓ⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22113131z dz z dz z dz z dz 0=.3.利用柯西积分公式求积分设区域D 的边界是周线或复周线C ，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则有()()()ζζζπd z f i z f c ⎰-=21 ()D z ∈，即()()()z if d z f c πζζζ2=-⎰. 例4.计算积分dz z z z c ⎰-+-1122的值，其中2:=z C 解：因为()z f 122+-=z z 在2≤z 上解析， 21<∈=z z ，由柯西积分公式得()122112222+-=-+-⎰=z z i dz z z z z π. 设区域D 的边界是周线或复周线C ，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则函数()z f 在区域D 内有各阶导数，并且有()()()()ζζζπd z f i n z f c n n ⎰+-=12!()D z ∈ () 2,1=n 即()()()()z f n i d z f n c n !21πζζζ=-⎰+. 例5.计算积分()dz i z z c ⎰-3cos ，其中C 是绕i 一周的周线. 解：因为z cos 在z 平面上解析，所以()()i z c z i dz i z z ="=-⎰|cos !22cos 3πi i cos π-= i e e 21+-=-π. 例6. 求积分()()ζζζζd c ⎰+-192，其中C 为圆周2=ζ.解：()()ζζζζd c ⎰+-192()ζζζζd i c ⎰---=29 5π= 另外,若a 为周线C 内部一点，则()⎰-c a z dz i π2= ()0=-⎰c n a z dz （1≠n ，且n 为整数）.4.应用留数定理求复积分 ()z f 在复周线或周线C 所围的区域D 内，除n a a a ,,21外解析，在闭域C D D +=上除n a a a ,,21外连续，则()()z f s i dz z f nk a z c k ∑⎰===1Re 2π.设a 为()z f 的n 阶极点，()z f ()()n a z z -=ϕ，其中()z ϕ在点a 解析，()0≠a ϕ，则()()()()!1Re 1-=-=n a z f s n a z ϕ.例7.计算积分()dz z z z z ⎰=--22125 解：被积函数()z f ()2125--=z z z 在圆周2=z 的内部只有一阶极点0=z 及1=z ， ()()2|225Re 020-=--===z z z z z f s ()2|2|25Re 1211=='⎪⎭⎫ ⎝⎛-====z z z z z z z f s 因此，由留数定理可得()dz z z z z ⎰=--22125()0222=+-=i π.例8.计算积分dz z z z ⎰=13cos . 解：()z f 3cos zz =只以0=z 为三阶极点， ()[]21cos !21Re 00-="=∴==z z z z f s 由留数定理得 dz z z z ⎰=13cos i i ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212. 5.用留数定理计算实积分某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算()θθθπd R ⎰20sin ,cos 型积分 令θi e z =，则2cos 1-+=z z θ，i z z 2sin 1--θ，iz dz d =θ， 此时有()θθθπd R ⎰20sin ,cos iz dz i z z z z R z ⎰=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1112,2.例9.⎰+πθθ20cos a d ()1>a 解：令θi e z =，则()121cos -+=z z θ，iz dz d =θ， ()()⎰=--=12z z z dz i I βα，其中12-+-=a a α，12---=a a β， 1,1,1><=βααβ，应用留数定理得122-=a I π.若()θθsin ,cos R 为θ的偶函数，则()θθθπd R ⎰0sin ,cos 之值亦可用上述方法求之，因为此时()θθθπd R ⎰0sin ,cos ()θθθππd R ⎰-=sin ,cos 21，仍然令θi e z =. 例10.计算()θθπd ia ⎰+0tan （a 为实数且0≠a ）分析：因为()()()111tan 22+-=+++ai i ai i e e i ia θθθ， 直接令()z e ai i =+θ2，则()θθid e dz ai i 22+=，于是()111tan +-=+z z i ia θ. 解：()dz z z z dz iz z z i I c c ⎰⎰+--=+-=112121111 应用留数定理，当0>a 时，πi I =当0<a 时，πi I -=.5.2计算()()dx x Q x P ⎰∞+∞-型积分 例11.计算()⎰∞+∞-+42432x dxx .解：函数()()42432z z z f +=在上半平面内只有i z 32=一个四阶极点， 令a i =32 ，t a z =-则()()43224z z z f += ()()44443a z a z z +-= ()()444423a t t a t ++= 43223433223444824321646431t at t a a a t at t a t a a t ++++++++= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 224432816131a t a t t ()343231Re a z f s az -== 即()6576323231Re 3432i i z f s i z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-== 故()⎰∞+∞-+42432x dxx i π2=6576i -6288π=. 参考文献：[1]钟玉泉.《复变函数论》.北京：高等教育出版社，2004.1.[2]王玉玉.《复变函数理论（第三版）及全程导学及习题全解》.北京:中国时代经济出版社，2008.3.[3]钟玉泉.《复变函数学习指导书》.北京：高等教育出版社，2005.。

复变函数的积分总结引言复变函数积分是复分析的重要内容之一。

与实变函数不同的是，复变函数在积分时需要同时考虑实部和虚部，因此在处理复变函数的积分时需要注意一些特殊的性质和方法。

本文将对复变函数的积分进行总结，包括复积分的定义、性质和常见的积分方法。

复积分的定义复积分是对复变函数沿着曲线或者面积进行积分的操作。

复积分可以分为线积分和面积积分两种形式。

线积分对于复变函数f(z)，其在线段L上的线积分定义为：$$ \\int_L f(z)dz = \\int_a^b f(z(t))z'(t)dt $$其中z(t)是L上参数化曲线的方程，$t \\in [a, b]$。

线积分的结果是一个复数。

面积积分对于复变函数f(z)，其在有界连续曲线围成的区域D上的面积积分定义为：$$ \\int_D f(z)dz = \\iint_D f(z) dxdy $$其中z=x+iy，dxdy是区域D上的面积微元。

复积分的性质复积分具有一些重要的性质，它们在计算复积分时非常有用。

线积分的基本性质•线积分与路径无关：如果L1和L2是起点和终点相同的两条路径，且f(z)在路径间连续，则 $\\int_{L_1} f(z)dz = \\int_{L_2} f(z)dz$。

•线积分的线性性质：对于任意的复数c1和c2，以及复变函数f(z)和g(z)，有 $\\int_L (c_1f(z) + c_2g(z))dz = c_1\\int_L f(z)dz + c_2\\int_L g(z)dz$。

•同路径积分相等：如果L是起点为z1终点为z2的路径，且f(z)在L 上连续且有原函数F(z)，则 $\\int_L f(z)dz = F(z_2) - F(z_1)$。

面积积分的基本性质•面积积分与区域无关：如果D1和D2是相同的区域，且f(z)在区域D上连续，则 $\\int_{D_1} f(z)dz = \\int_{D_2} f(z)dz$。

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第一节 解析函数的概念
➢ 一、积分的定义
有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选
定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有 向曲线．与曲线C反方向的曲线记为 C 1
简单闭曲线的正方向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线
内部始终位于P点的左方，
如果把z0除去，虽然在除去z0的C的内部，函数处处解析，
但是这个区域已经不是单连通区域.
由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线积分值为零的条件 与被积函数的解析性及区域的单连通性有关．究竟关系如何，下面我 们讨论此问题．
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➢一、柯西积分定理
定理3.2（柯西—古萨基本积分定理） 设函数f (z)在单连通区域D内 处处解析，那么函数f (z)在D内沿任何一条封闭曲线C的积分为零，
G
(
Q x
P y
)dxdy.
证明： 因为函数f (z)在区域D内解析，故f (z)存在,(下面在f (z)连续的假设下证明)
因为u与v的一阶偏导数存在且连续，故应用格林公式得：
C f (z)dz C (u iv)(dx idy) C u(x, y)dx v(x, y)dy iC v(x, y)dx u(x.y)dy
k 1
k 1
k 1
其中sk是小弧段z¼ k1zk的长， | zk | xk2 yk2 sk
n
n
n
lim |
0
k 1
f
( k )zk
|
lim
0
|
k 1
f
( k ) || zk
|
lim
0
|
k 1
f
( k ) ||