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复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示 1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根 1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
西南交大复变函数与积分变换复习提纲一． 复变函数1. 复数（1）复数的运算例 ()()()()11031(1)1324,(2),(3)1,(4)11i i i i i i-+++++. （2）区域、单连通、多连通区域的判断2. 解析函数（1）解析函数的概念：函数在区域内解析、函数在某一点解析、奇点。
（2）函数解析的判断：Cauchy-Riemann 条件、导数公式。
例 判断函数2(z)f x y ixy =+ 在何处可导？何处解析？例 找出函数的奇点 2sin (1)(z 1)e zz + ，(2)sin z e z π. （3）初等函数例 计算下列表达式的值()99312(1)e ,(2)ln 1i)i i π+++ . 3.级数（1）级数敛、散性的判断例 判断下列级数是否收敛，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛。
()()3211111222(1),(2),(3),,!n nn n n n n n i i in i n n n n ∞∞∞∞====+++∑∑∑∑（2）幂级数的收敛：Abel 定理、收敛半径例 计算幂级数的收敛半径()()()110(1)(1)1,(2),(3)312121!nn n n n n n i z z n z n n +∞+∞+∞===-++++∑∑∑. （3）函数的幂级数展开：Taylor 级数、Laurent 级数例 将函数在指定点展开成幂级数12321,0,1,1(z 1)z z z z ==-=+. 例 将函数在指定的圆环域内展开成Laurent 级数21(z),(1)12,(2)013,(3)2 3.(z 1)(z 2)f z z z =<<<+<->+- 4.复变函数的积分（1）基本积分公式:[](),()()()z z t t C f z dz f z t z t dt αββα=≤≤'=⎰⎰.例 计算复积分的值,C z dz c ⎰从i -到i 的在右半平面的单位圆周.（2）Cauchy 积分定理（单连通、多连通）、积分与路径无关、Cauchy 积分公式、高阶导数公式例 复积分299cos 12sin(z 1)(z 1)e zz dz =++⎰的值等于？ 例 计算复积分的值2,C z dz c ⎰从i -到i 的在右半平面的单位圆周.例 计算复积分()24cos (z )z z dz z i π=++⎰的值.（3）留数：孤立奇点的类型、极点的级数、孤立奇点处留数的计算（重点：m 级极点处留数的计算）、留数定理、利用留数计算复积分和定积分.例 判断下列函数的孤立奇点的类型，如果是极点请指明极点的级数.12100sin 1(1),(2),(3)e (1)z z z z e z z z+-+ 例 计算下列复积分的值 223211(1),(2)tan ,(3)sin z (z 1)1z z z z e z dz zdz dz z z π===-+-⎰⎰⎰ 例 计算下列定积分的值2240011(1),(2)2sin 1x dx dx x x π+∞+++⎰⎰ 二． 积分变换1.Fourier 变换（1）Fourier 的定义、Fourier 变换的计算、函数的Fourier 积分表达式、δ函数的筛选性.例 (),kt f t e k -+=∈R 计算函数的Fourier 变换[]()f t F. 例 2(t 2)e ?t dt δ+∞--∞-=⎰（2）Fourier 变换的性质：线性性质、平移性质、伸缩性质、对称性质、微分性质、积分性质及Paeseval 等式.例 计算Fourier 变换：12[]t te+-F . 例 计算积分2212dt t +∞-∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰ 的值. （3）卷积（Fourier 变换意义下）：卷积的定义、卷积的计算及卷积定理例 设20,0,sin ,0,(t),(t),00, t t t t f g e t π-<≤≤⎧⎧==⎨⎨≥⎩⎩其它.计算卷积(t)g(t)f *.place 变换（1） Laplace 变换的定义、计算.例 设3,02,(t)1,24,0, 4.t f t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩计算Laplace 变换[()]f t L .（2） Laplace 变换的性质：线性性质、微分性质、积分性质及位移性质. 例 计算Laplace 变换202[]tx xcos x dx e ⎰L ,22002[t ],[2]t t t x cos x dx e xcos xdx e⎰⎰L L . （3） 利用Laplace 变换计算定积分.例 计算定积分的值20sin (1)cos ,(2)x xx x xe dx dx xe +∞-⎰⎰. （4） 卷积（Laplace 变换意义）：卷积的定义、卷积的计算及卷积定理. 例 计算如下卷积(1)t cos2t,(2)sint cost,(3)e cos t t ***.。
.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
（一）复数的概念1. 复数的概念：z x iy , X, y 是实数,x Re z , y Im z . i 2注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2. 复数的表示1） 模：z 贋~y 2 ；2） 幅角：在z 0时，矢量与x 轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z 是位 于（，］中的幅角。
3） a rg z 与arctan#之间的关系如下:x当 x 0, arg zarctan'；xy0,arg z arcta n — x y0,arg z arcta n 丄x4） 三角表示：z z cos isin ，其中 arg z ;注：中间一定是“ +”号5） 指数表示:z z e i ，其中 arg z 。
（二）复数的运算复变函数复习重点y 当x 0,y1. 加减法：若乙x! iy“Z2 X2 i y2，贝U x x2 i y1 y22. 乘除法：1) 若 z-i 捲 iy 「Z 2 X 2 iy 2，则召勺住 yy i X2% w ；N i% X 2 iy 2 X 2 iy 2 X 2 iy 23.（三）复变函数1.复变函数：w f z ，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个 点集G 的映射.2.复初等函数e z e X cosy is in y ,在z 平面处处可导，处处解析；且 e z1ie% i% Z 2X 2 iy 2X 1X 2 y“2 i y 1X 2 y 2X 12) 若 Z | Z i e 1, Z 2z 2 e i 21) 若Z 2) 若ZnZz (cos Z (cos 1ncosisinisin 2kzdzd ，则，则2k i sin —nnz (cosni sin n(k 0,1,2卅 n 1))z"e in 。
（有n 个相异的值）1）指数函数注：e z是以2 i为周期的周期函数。
（注意与实函数不同）3) 对数函数：Lnz ln z i(argz 2k ) (k 0, 1, 2”)(多值函数);主值：In z lnz i argz。
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数第二章解析函数u （x, y ） iv （x, y ）可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
幕函数与根式函数3、对数函数1,（3）在单值解析分枝上：（In z ）'kz kiz ize e cosz2iz ize e sin z2i5、反三角函数（了解）掌握利用C-R 方程U x V y 掌握复变函数的导数:U y判别复变函数的可导性与解析性。
V xf'⑵匚UxiVxiU y VyU x iU yiVxn nr (cos i sin ) (cosni sinnn inr e单值函数1 i arg z2 k n nr ek =o 、 1、2、…、n-1)n 多值函数2、 指数函数：w e z e x(cos y i siny)性质：（1）单值.（2） 复平面上处处解析, (e z )'(3)以 2 i 为周期w Lnz lnz i(arg z2k ) lnz i2k（k=0、土 1、土 2 . ）性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析（3）周期性 （4）无界、复变数和复变函数U x, y 二、复变函数的极限与连续iv x, y极限 lim f (z)z z连续 lim f (z)f (z 0)z z、复变函数w f （z ） 1、 性质：（1 ）多值函数，（2） 除原点及负实轴处外解析4、三角函数:反正弦函数 wArc sin z丄L n(iz 、1 z 2) i反余弦函数 w Arccosz !Ln （z z 2 1）i性质与对数函数的性质相同。
s sLnz s[ln z| （2k arg z ） i]6、一般幂函数：z e e（k =o 、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1） 调和函数：2u （x, y ） 02） 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部） 有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程 c）不定积分法第三章解析函数的积分一、 复变函数的积分| f z dz udx vdy i vdx udy 存在的条件。
