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1. 设t 是实参数，则下列方程中表示圆周的是（ ）A 、(1)z i t =+B 、cos sin (0,0,)z a t b t a b a b =+>>≠C 、i z t t=+ D 、(0)it z a e b a =+≠2. i i 的辐角主值是（ ）A 、0B 、2π C 、2π- D 、π 3. 设210z z ++=，则1173z z z ++=( )A 、0B 、iC 、i -D 、1 4. 11(1)n i nn ∞=+∑的敛散性为（ ） A .发散 B .条件收敛 C .绝对收敛 D . 无法确定5．设C 是任意实常数，那么由调和函数22(,)v x y x xy y =+-确定的解析函数()f z u iv =+是（ ）A 、2122i z C ++B 、2122i z iC ++ C 、222i z C -+ D 、222i z iC -+ 6.(- )A 、无定义 B、等于3 C、是复数，其实部等于3 D、是复数，其模等于37. 若曲线C 为|z|=1的正向圆周，5()C dz z i π=-⎰（ ） A .i 12π B .1 C .0 D .π1. 在复数范围内，方程30z z +=的根的个数是 .2. 31z =的全部解是： ， ， .3. 复数()1Ln -的主值为 .4. ()()()()20142015201320142013201420152014i i z i i +-=+-，则=z _________ . 5. 若曲线C 为|z|=1的正向圆周，则3(2)C dz z =-⎰________. 6. 级数212!!n z z z n +++++在|z |<1时的和函数是________.7.若221()(1)f z z z =-，则Re [(),0]s f z =________. 1. 3232()m ()f z y nx y i x lxy =+++在全平面解析，求m n l 、、.（7分）2.计算积分arg CI zdz =⎰，其中C ：从原点到1+i 的直线段.（6分） 3. dz z ze z z⎰=-2||21（积分沿正向圆周进行）.（6分） 4. 3sin C z dz z ⎰（其中C 为正向圆周|z|=1）.（6分） 5. 求函数(,)2v x y xy =的共轭调和函数(,)u x y 和由它们构成的解析函数()f z ，使(0)1f =.（6分）1. 求函数0()sin f t t ω=的傅里叶变换.2. 在圆环1||z <<∞内将函数1()(1)f z z z =-展为洛朗级数.。
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数复习重点( 一 ) 复数的概念1.复数的概念： z =x +iy ， x , y 是实数, x = Re (z ), y =Im ( z ) . i =-1. 注：一般两个复数不比较大小，但其模(为实数)有大小 .2.复数的表示 1)模： z =x 2+y 2；2)幅角：在z 0时，矢量与x 轴正向的夹角，记为 Arg ( z ) (多值函 数)；主值arg (z ) 是位于(-,］中的幅角。
3) arg ( z )与arctan y 之间的关系如下： 当x0, arg z = arctan y ；xy 0,arg z = arctan x 0,y 0,arg z = arctan 4)三角表示：z =z (cos + i sin)，其中= arg z ；注：中间一定是“+”号。
5)指数表示： z = z e i ，其中= arg z 。
( 二 ) 复数的运算1.加减法：若 z 1 = x 1 + iy 1, z 2 =x 2+iy 2，则z 1z 2 =(x 1x 2)+i (y 1y 2)2.乘除法：1)若z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2 ，则z 1z 2 =(x 1x 2 -y 1y 2)+i (x 2y 1+x 1y 2)；z 1 x 1 + iy 1 (x 1+iy 1)(x 2 -iy 2) x 1x 2 + y 1y 2 y 1x 2 -y 2x 1 z 2 x 2 + iy 2 (x 2 + iy 2 )(x 2 -iy 2) x 22+y 22 x 22+y 222)若z 1 =z 1 e i 1 ,z 2 =z 2 e i 2, 则yx yx+-z 1z 2 = z 1 z 2 e i (1+2)； z 1 = z 1 e i (1-2) z 2z23.乘幂与方根 1) 若z = z (cos + i sin ) = z e i ，则z n = z (cos n + i sin n) = z e in。
第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y =3、若1231iz i i+=--，则z =4、若(3)(25)2i i z i+-=，则Re z =5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。
8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____.10、设4i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。
z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________.12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 。
13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________.15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部。
16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. ( )2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( )3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。
《复变函数和积分变换》一．（本题30分，其每小题各3分）1. 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ；2. 复数3i 1+的指数形式是 ____3. 计算34-________4.函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点5. 若∑==0n n n 2nz )(z f ，则其收敛半径 ； 6.计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；7. 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为 _____8. 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是_______ 9. C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数） ；10. 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分）(1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为： ①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r 4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。
（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =. （7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22yx ∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分）八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）答案一、(1)直线y=x (2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ (3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21- (7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微 ②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π (10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为： z=(1+i)t 1)t (0≤≤故 ⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 10++⎰ =()⎰+1tdt i 1=2i 1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤,即 z=1+it 1)t (0≤≤,故 ⎰C Rezdz =()[]⎰⎰++101idt it 1Re Retdt =⎰⎰+110dt i tdt =i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
复变函数复习重点（一）复数的概念1复数的概念：z=x・iy , x,y 是实数，x = Re z , y = Im z T _ 1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2.复数的表示1）模：z 二一x2y2；2）幅角：在z=0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-：二］中的幅角。
3）a rg z与arcta门丫之间的关系如下：xy当x 0, argz = arctan丄；xyy _ 0,arg z 二arctan 二! x；yy : 0,arg z =arctan -二L x4）三角表示：z=z COST isi nr，其中v - argz ;注：中间一定是“ + ”号。
5）指数表示：z=|ze旧，其中日=arg z。
（二）复数的运算1.加减法：若z^x! iy1, z2 = x2 iy2，贝U 互-二为 _ x? i % - y?2乘除法: 1) 若z,二花• iy「Z2 =X2 iy2，贝UGK X2 -y$2 i X2% x1y2 ；互二x「i% _ x i% X2 - iy2 二沁yy . - yxi 2 2 。
“亠 2 2Z2 X2 iy2 X2 iy2 x? - iy? x? y? x? y?2)若乙=|乙e#, Z2 =肚 2 e旧,贝y3. 乘幂与方根1 ) 若 z=z(cos^+isin 日)=|ze '日，贝U z "=才(cos 用+isi 门帀)=丄飞吩。
2) 若 z=z(cos&+isind)=|ze 旧，贝卩吃=z|n &s 日+2心+isi n 日*2小) (k = 0,1,2川n —1)(有n个相异的值) I n n 丿（三）复变函数1 •复变函数：w = f z ，在几何上可以看作把z 平面上的一 个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2 •复初等函数1）指数函数：e^e x cosy isiny ,在z 平面处处可导，处处解析; 且 e z =e z 。
《 复变函数与积分变换 》复习题（专升本）一、判断题1、cos z与sin z 在复平面内有界.( ) 2、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛.( )3、若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )4、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）. ( ) 5、若()f z 在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ()0Cf z dz . ( )6、若()f z 在0z 的某个邻域内可导，则函数()f z 在0z 解析. ( )7、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )8、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）. ( )9、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点. ( ) 10、若0lim ()zz f z 存在且有限，则0z 是函数()f z 的可去奇点. ( )二、选择题 1.arg 13i ( )A.-3π B.3πC.32π D.3n 2π+2 2.2z 在0z 复平面上( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z xyi ，则下列函数为解析函数的是( )A.22()2f z x y xyB.()f z x iyC. ()2f z x i yD.()2f z xiy4.0z 是3sin zz的极点，其阶数为( ) A.1 B.2 C.3D.45.整数0k 则Res[cot ,]z =（ ）A.1kB.0C.1kD.k6、设复数1cossin33z i ，则arg z（ ）A.-3B.6C.3D.237、2w z 将z 平面上的实轴映射为w 平面的（ ）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴8、下列说法正确的是（ ）A.ln z 的定义域为0zB.|sin |1zC.0zeD.3z 的定义域为全平面9、设C 为正向圆周||1z ，sin n Czdz z=2i ，则整数n 为（ ） A.-1 B. 0 C. 1 D. 210、设nn n a z 0n n n b z 和()n n n n a b z 的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ）A. 1R RB.12min{R ,R }RC. 2R RD.12min{R ,R }R三、填空题1、设11zi，则Im z__________。
复变函数复习重点(一）复数的概念1。
复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数， ()()Re ,Im x z y z ==。
21i =-。
注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2。
复数的表示1）模：z =2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角.3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x =;当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=;注:中间一定是“+"号. 5)指数表示:i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2。
乘除法:1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==， 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3。
乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
《复变函数与积分变换》复习题一、判断题1、cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )2、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )3、若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )4、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）.( )5、若()f z 在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ()0Cf z dz .( )6、若()f z 在0z 的某个邻域内可导，则函数()f z 在0z 解析. ( )7、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )8、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）.( )9、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点. ( )10、若0lim ()zz f z 存在且有限，则0z 是函数()f z 的可去奇点.( )二、选择题 1.arg13i ( )A.-3π B.3πC.32πD.3n 2π+2 2.2z 在0z 复平面上( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z xyi ，则下列函数为解析函数的是( )A.22()2f z x y xyB.()f z x iyC. ()2f z x i yD.()2f z xiy7.0z 是3sin zz 的极点，其阶数为( ) A.1 B.2 C.3 D.410.整数0k 则Res[cot ,]z =（ ）A.1kB.0C.1kD.k11、设复数1cossin33z i ，则arg z （ ）A.-3B.6C.3D.2312、2w z 将z 平面上的实轴映射为w 平面的（ ）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴13、下列说法正确的是（ ）。
《复变函数》及《积分变换》复习题一、 填空题： ⒈i i i 2)52)(43(-+的实部位为________,虚部为_______,共轭复数为________。
i231+的实部位为___________,虚部为__________,共轭复数为__________。
⒉复变函数的指数函数表达式为_________。
⒊欧拉公式的表达式为_____________________。
⒋在|z|<1时，z-11可展开成幂级数为___________________________。
⒌如果z 0为)(z f 的m 级极点，那末[]=0),(Re z z f s _____________________。
⒍设)()()(z Q z P z f =,如果满足__________________，而且_______，_______，_______，那末，z 0为)(z f 的___级极点，且[])()(),(Re 0z Q z P z z f s '=⒎傅氏变换的位移性质表达式为_____________，逆变换的为___________。
二、简答题：1、一个复数乘以－i ，它的模与幅角有何改变?2、简述复合闭路定理的内容。
3、解析函数和调和函数是什么关系？4、孤立奇点的种类有哪些？各有什么特点？5、如何判断函数零点的级数？极点和零点有什么关系？6、用表达式表达δ-函数的筛选性质。
7、用表达式写出傅氏变换的微分性质和积分性质。
8、写出常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数)(t u ，指数函数kt e ，单位脉冲函数)(t δ，正弦函数kt sin ，余弦函数kt cos ，幂函数m t （m 为正整数）。
三、画图题:1、已知复平面点z 1和z 2，在复平面内画出)(2121z z z +=。
2、作图并说明|z+i|=|z-i|中z 的轨迹。
3、作图并说明|z+2i|≤1中z 的轨迹。
四、 判断题：1、若c 为实常数，则c c =2、如果)(0z f '存在，那末)(z f 在0z 解析。
