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2.1.1 指数概念的推广

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第1页 2.1.1 指数概念的推广 学习目标 重点难点 1．能说出根式的概念，知道什么是根指数，什么是被开方数； 2．能解决根式的化简问题； 3．能解决分数指数幂与根式的互化及运算问题.

重点：根式的概念以及对根式的化简； 难点：分数指数幂与根式的互化以及运算问题.

1．整数指数幂 (1)整数指数幂的概念 ①an＝naaa个(n∈N＋)；②a0＝1(a≠0)；

③a－n＝1an(a≠0，n∈N＋)． (2)整数指数幂的运算法则 a＞0，b＞0，m，n∈N＋， ①aman＝am＋n；

②aman＝am－n(m＞n，a≠0)； ③(am)n＝amn； ④(ab)m＝ambm；

⑤abm＝ambm(b≠0)． 2．根式 (1)若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，就说x是a的n次方根．

(2)当n是奇数时，数a的n次方根记作na. (3)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫

作算术根，记作na. (4)式子na叫作根式(n∈N，n≥2)，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． 预习交流1

(na)n与nan的含义相同吗？它们有何异同？ 提示：①对(na)n的理解：当n为大于1的奇数时，(na)n对任意a∈R都有意义，且(na)n＝a.当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时(na)n才有意义，且(na)n＝a(a≥0)． ②对nan的理解：nan对任意a∈R都有意义，当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝ a，a≥0，－a，a<0.如3(－3)3＝－3，(－3)2＝|－3|＝3.

3．正数的分数指数幂 (1)分数指数幂的意义 第2页

①1na＝na(a＞0)； ②mna＝nma(a＞0，n，m∈N＋，且mn为既约分数)； ③mna＝1mna(a＞0，n，m∈N＋且mn为既约分数)． (2)分数指数幂的运算法则 a＞0，b＞0，α，β∈Q， ①aαaβ＝aα＋β； ②(aα)β＝aαβ； ③(ab)α＝aαbα. 预习交流2

将分数指数幂mna化为根式时，对幂指数mn有何要求？

提示：在将分数指数幂mna化为根式时，应首先将mn化为一个最简分数，再按照分数指数幂的意义化为根式．例如：133＝33，26(42)＝13(42)＝342. 预习交流3 以下运算是否正确？ 11114444[(3)](4)]12(3)(4).

提示：不正确．在进行指数幂的运算时，若要用到指数幂的运算法则，必须注意幂的底数是正数的规定．当a＜0，b＜0时，运算法则(3)：(ab)α＝aαbα不再成立． 4．正数的无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

一、根式的求值与化简 求值或化简下列各式： (1)3(－3)3；(2)4(－3)2；(3)6(3－π)6； (4)3－x6y9z12(其中x＜0，y＜0，z＜0)． 思路分析：根式的求值与化简问题，关键是去根号，去掉根号时一定要注意对根指数n分奇数和偶数进行讨论．

解：(1)3(－3)3＝－3； (2)4(－3)2＝432＝214233＝3； (3)6(3－π)6＝|3－π|＝π－3； (4)3－x6y9z12＝－3x6y9z12＝－3(x2)3(y3)3(z4)3＝－x2y3z4. 第3页

对下列各式求值或化简： (1)40.000 1；(2)(5－3)5； (3)4x2－4x＋1；(4)4(3a－3)4. 解：(1)40.000 1＝4(0.1)4＝0.1； (2)(5－3)5＝－3； (3)4x2－4x＋1＝(2x－1)2

＝|2x－1|＝ 2x－1，x≥12，1－2x，x<12；

(4)4(3a－3)4＝|3a－3|＝ 3a－3，a≥1，3－3a，a<1. 1．解决根式的求值与化简问题，要充分运用nan与(na)n这两个根式的运算结果，将原根式进行必要的变形，使之符合上述两种形式之一，然后再进行求值与化简．

2．当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|，因此一定要分清n的奇偶性． 二、根式与分数指数幂的互化

(1)将下列分数指数幂化为根式：17a，52a，34a； (2)将下列各式用分数指数幂的形式表示：3x5，4m2，13a.

思路分析：可按照分数指数幂的定义进行互化． 解：(1)17a＝7a； 52a＝a5；

34a

＝341a＝14a3.

(2)3x5＝53x； 2124

42mmm

；

133

1aa.

1．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是( )． A．－x＝12()x B．13x＝－3x 第4页

C．34xy＝4yx3(x，y≠0) D．6x2＝13x(x＜0) 答案：C

解析：12xx，故A错；13x＝13x，故B错；34xy＝43yx＝4yx3，故C

正确；216263xxx，故D错． 2．将下式化为分数指数幂的形式：3ab2＋a2b. 解：3ab2＋a2b＝1223()abab. 三、分数指数幂与根式的化简与运算

(1)化简下列各式：

①21111332265()ababab；

②933337132aaaa. (2)求下列各式的值：

①210032(4)12(15)8221；

②2790.5＋0.1－2＋2310227－3π0＋3748. 思路分析：先将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算法则进行幂的乘方、乘除运算，最后再做加、减运算．

解：(1)①原式＝2111133221566()ababab

＝111115326236ab＝a－1＝1a； ②原式＝13719113132332232[][]aaaa ＝937136666a＝a0＝1. (2)①原式＝12＋12－12－1－1·233(2)

＝22＋22－2＋1(2－1)(2＋1)－22 ＝2－2－1－4 第5页

＝－5； ②原式＝12259＋102＋236427－3＋3748 ＝53＋100＋916－3＋3748 ＝100.

1．化简：(1)23634()mn________(m＞0，n＞0)； (2)614－3338＋30.125＝________； (3)a2a·3a2(a＞0)＝__________.

答案：(1)942mn (2)32 (3)56a 解析：(1)22339666433442()()()mnmnmn； (2)原式＝52－32＋12＝32；

(3)原式＝1252236aa. 2．化简或计算下列各式：

(1)140.008 1－－3×780－1×112130.2533813100.0278； (2)11112424(2)(2)xyxy(x＞0，y＞0)； (3)12111334424(3)(6)xxyxy．

解：(1)原式＝144310－(3×1)－1×1123113344333100.32 ＝103－13×1－3＝0. (2)原式＝11122242()(2)4xyxy. (3)原式＝112111233344[4(3)(6)]2xyxy. 1．若式子中既含有分数指数幂，又含有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，再利用有理指数幂的运算法则化简． 2．在进行指数幂的运算时，通常要把负指数化为正指数，把小数化成分数，把大数化成小数再进行运算． 3．在解决求值问题时，要注意掌握一些常用的平方数、立方数等． 四、条件求值问题 第6页

已知4x＋4－x＝m(m为常数)，求下列各式的值： (1)16x＋16－x；(2)2x＋2－x；(3)8x＋8－x. 思路分析：寻求已知条件式4x＋4－x与欲求值的各式之间的联系，代入求值． 解：(1)16x＋16－x＝(4x)2＋(4－x)2＝(4x＋4－x)2－2·4x·4－x＝(4x＋4－x)2－2＝m2－2. (2)由于4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝(2x＋2－x)2－2， 即m＝(2x＋2－x)2－2， ∴2x＋2－x＝m＋2. (3)8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)(4x－2x·2－x＋4－x)＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝m＋2(m－1)．

已知11223xx，求x＋x－1－3x2＋x－2－2. 解：∵11223xx， ∴21122xx＝x＋2＋x－1＝9. ∴x＋x－1＝7. ∴(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝49. ∴x2＋x－2＝47.

∴x＋x－1－3x2＋x－2－2＝7－347－2＝445. 1．条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程． 2．注意下列乘法公式的灵活应用： 11112222()()ababab，111122222()2ababab，

112112333333()()abaabbab＝.

1．4(－2)4的值是( )． A．2 B．－2 C．±2 D．16 答案：A

解析：4(－2)4＝424＝2. 2．5a－2可化为( )． A．25a B．52a C．25a D．52a 答案：A

解析：1252255()aaa，故选A． 3．(－a)2·a－3等于( )． A．－a－1 B．－a－6 C．a－1 D．a－6 答案：C 解析：(－a)2·a－3＝a2·a－3＝a－1，故选C．

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对数及指数、对数、幂函数

对数及指数、对数、幂函数

函数（2）学案主备人：_________ 编号：___005______ 【本课概论】1、对数的定义：在方程N =xa 中，已知底数和幂，定义指数N log a x =2、指数函数x a x f =)(，对数函数xx f a log )(=，幂函数a x x f =)(【概念应用】1、利用对数的降次特征化简大数据运算。

2、利用指数函数、对数函数和幂函数刻画数学模型。

【知识点及习题剖析】 对数1、对数的定义与转化。

在N log a x=中，a 叫做底数，N 叫做真数，该式读作“x 等于N 以a 为底的对数”其中a>0且a ≠1，真数N>0（若N=0或N<0则无意义） 指数式N =xa与对数式N log a x =可相互转化。

例：将指数式64126=-，对数式416log 21-=分别转为对数式和指数式。

解：①6641log 2-= ②16214=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-剖析：指数式和对数式底数相等，真数与幂相等，指数与对数相等，不要搞混。

2、对数的运算法则（请自行用对数的定义推导）。

推导过程： 公式：①MNN M a a alog log log =+②NM N M aa a log log -log =③Mn M a n a log log =nMM a alog log n=④x a a x a xa ==log log例1：求125log 3log 30log 31022+-的值。

解：由公式②④③⑤得原式=310log 3)5log 2(log 35log 310log 13101010102==+=+⋅剖析：合理运用公式。

记住从对数里提为降次，放到对数里为升次。

*例2（应用）：已知5.145.23170log ,2416777216log 22==求5.2317016777216的近似值。

解：5.95.14245.2317016777216log 2=-=， 3.7144.110002225.2317016777216105.9=≈==（实际724左右，误差2%以内）剖析：合理运用对数及编制好的对数表可以极大地简化问题。

数学必修1课件：第二章 基本初等函数(I)1.1 第2课时

数学必修1课件：第二章 基本初等函数(I)1.1 第2课时


12
4．已知 m＞0，则 m3 ·m3 ＝( )
A．m
2
B．m3
C．1 [答案] A
2
D．m9
5．( 3)1＋ 3·( 3)1－ 3＝( )
A. 3
C．1 [答案] D
B．2 3 D．3
[解析] 原式＝( 3)1＋ 3＋1－ 3＝( 3)2＝3.
第二章 2.1 2.1.1 第二课时 第十六页，编辑于星期日：十一点 二十九分。
第二章 2.1 2.1.1 第二课时 第九页，编辑于星期日：十一点 二十九分。
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
●自主预习
1．分数指数幂
m
(1)意义：a n
＝___n_a_m___，a－
m n
1 1 ＝_a_mn ______＝_n__a_m____，
其中a＞0，m，n∈N*，n＞1.
第二章 2.1 2.1.1 第二课时 第二十四页，编辑于星期日：十一点 二十九分。
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化简下列各式：
(1)2 3×3 1.5×6 12；
4
1
a3－8a3b
3
(2)
÷(1－2
4b23＋23
2
ab＋a3
ba)×3 a.
[解析]
(1)2
3×3
1.5×6
23
23
13
[解析] (1)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 ；
111
111
111
7
(2)原式＝[a·(a·a2 )2 ]2 ＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 ；
1
1
2020高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1

2020高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1

n次方根的概念和性质一、教学分析分数指数幂是必修一第二章第一节的内容，是研究基本初等函数之一的指数函数的基础。

分数指数幂不同于整数指数幂，要理解分数指数幂，首先要深入理解n次方根的概念和性质.根式的概念教学是一个难点，但它是后续学习所必需的。

教学中可考虑以具体的例子为载体，类比平方根、立方根的定义，给出n次方根的定义，可以在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子。

将平方根和立方根的性质推广到n次方根时，多给学生提供一些实例，经过比较让学生自己归纳出结论。

教学时，要让学生充分体会当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。

对于结论0的n次方根都是0，要启发学生用n次方根的定义去理解。

根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到n次方根的性质1。

但性质2是不能由n次方根的意义直接得出的，因此，教学中可让学生从具体实例中自己探究归纳得出结论。

二、学情分析学生在义务阶段的学习中已经知道了平方根和立方根的概念，掌握了平方根和立方根的相关性质。

然而知识需在运用中得到巩固，学生较长时间不接触平方根和立方根的知识，所以在教学中以正方形的面积和正方体的体积为例，帮助学生回顾平方根和立方根的概念。

教学中要充分利用学生已有的知识，着眼于学生的最近发展区，为学生提供学生感兴趣的的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能。

由此，学生将很容易类比平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念及其表示方法。

然而，让学生直接抽象地得出n次方根的相关性质，难度很大，学生的抽象概论能力还需进一步培养，所以，教学中应用大量丰富的实例，让学生从实例中观察，归纳得出结论。

通过本节课的学习，不仅要求学生掌握n次方根的相关知识，同时要培让学生感受基本数学思想，数学方法。

三、教学目标：（1）知识与技能：n次方根的概念，根式的性质（2）过程与方法：类比平方根和立方根，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，结合具体实例，总结n次方根性质；（3）情感态度价值观：类比思想，分类讨论思想；四、教学重难点重点：n次方根的概念和性质，难点：n次方根的性质五、教学过程1.触景生情问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%。

(完整版)北师大版高中数学课本目录

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必修1 第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1 函数概念2.2 函数的表示法2.3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数和的图像和性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念5.2 y=log2x的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平型关系的判定5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率1.2 直线的方程1.3 两条直线的位置关系1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分布5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想 1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率 1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像6.1正弦函数的图像6.2 正弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质7.2 正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4 平面向量的坐标 4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特征§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理 1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全。