2020-2021学年数学北师大版必修4课时作业：1-2 角的概念的推广

三角函数1.2角的概念的推广自主学习一、学习目标（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

二、自学引导角的定义：______________________________________________。

角的分类：________、_________、__________ 。

象限角的定义：____________________________________。

所有与角α终边相同的角的表示方法：___________________。

知识点一象限角例1.判断下列各角是第几象限角.(1)—60°；(2)585°；(3)—950°12’．变式迁移1与—496°终边相同的角是________，它是第________ 象限的角，它们中最小正角是________，最大负角是________。

知识点二终边相同的角例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.变式迁移2若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是________；若α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是________；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是________；若角α是第二象限角，则180°—α是第________象限角。

课堂小结通过本节学要知道角的分类有正角、负角、零角。

以及象限角的定义是一个角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角，还要重点掌握住终边相同的角的表示方法，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}。

课时作业1 周期现象角的概念推广1.观察寻找规律，第100个字母是（）“ABCDABCD......”A.AB.BC.CD.D2.把一条射线绕着端点按逆时针方向旋转361°，所形成角是（）A.1°B. -1°C.361°D.-361°3.若角的定点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，给出以下四个命题：1)0°角是第一象限角；2）相等角终边一定相同；3）终边相同的角有无限多个；4）与-120°角终边相同角都是第三象限角其中正确的有几个（）A.1B.2C.3D.44.若角α为锐角，则下列各角中一定为第三象限角的是（）A.90°- αB.90°+ αC.360°- αD.180°+α5.若角α与角β终边关于y轴对称，则必有（）A.α＋β＝90°B.α＋β=k·360°＋90°（k∈Z）C.α＋β＝k·360°(k∈Z)D.α＋β=(2k+1）180°（k∈Z）6.已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°﹚，则角α=——7.判断下列现象去是否是周期现象A.钟表的时针的运动；B.地球的自传；C.物理学中的单摆运动；D.连续的抛1枚硬币，面值朝上记为0，面值朝下记为1,0和1的出现1α各是第几象限角？8.已知α是第四象限角，则2α，2参考答案1-5 DCCDD6. 0°7.ABC是D不是8. 2α是第三象限角，或第四象限角或终边在y轴非正半轴的1α是第二象限角或第四象限角角；2。

§2角的概念的推广Q 情景引入ing jing yin ru在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．你能算出他们在一次原地转身的动作中转过的角度吗？X 新知导学in zhi dao xue1．角的概念角可以看成平面内__一条射线__绕着__端点__从一个位置__旋转__到另一个位置所形成的图形．2．角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按__逆时针方向旋转__形成的角负角按__顺时针方向旋转__形成的角零角一条射线__没有作任何旋转__，称它形成了一个零角使角的顶点与__原点__重合，角的始边与__x轴的非负半轴__重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．4．终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：__S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}__，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的__整数__倍的和．[知识点拨]1.(1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视．②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．始边和终边重合的角不一定是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角．2．理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：(1)式中角α为任意角；(2)k∈Z这一条件必不可少；(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．Y 预习自测u xi zi ce1．下列说法错误的是(D)A．按逆时针方向旋转所成的角是正角B．按顺时针方向旋转所成的角是负角C．没有作任何旋转所成的角是零角D．终边和始边相同的角是零角[解析]选项A、B、C分别是正角、负角、零角的概念，若射线旋转后，终边与始边重合所形成的角不是零角．2．下列命题中正确的是(D)A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角的终边一定不相同D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同[解析]90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角，故A错；390°的角是第一象限角，但它不是锐角，故B错；390°角和30°角不相等，但终边相同，故C不正确；对于D，由终边相同的角的概念可知正确．3．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正确的命题有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]①②③正确，④错误．4．在－180°～360°范围内，与2000°角终边相同的角有__－160°，200°__.[解析]因为2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2000°角终边相同的角有－160°，200°两个．5．若将钟表拨慢了10分钟，则时针转了__5__度，分针转了__60__度．[解析]钟表拨慢10分钟，时针按逆时针方向转了10×360°12×60＝5°.分针转了10×360°60＝60°.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1⇨角的有关概念与表示典例1已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则下面正确的是(D)A．M＝N＝P B．M PC．M∩P＝N D．以上都不对[思路分析]从角的概念入手．“第一象限角”是终边落在第一象限内的角，有正角，也有负角；“锐角”只是大于0°而小于90°的角；“小于90°的角”除了锐角外，还有零角和所有负角．[解析]M＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，N＝{θ|0°<θ<90°}，P＝{θ|θ<90°}，故选D．『规律总结』(1)要区分清易混的概念．如锐角一定是第一象限的角，而第一象限角不全是锐角；(2)小于90°的角是{θ|θ<90°}，显然包括锐角、零角、负角．〔跟踪练习1〕判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)第一象限的角都是锐角．(×)(2)终边相同的角一定相等．(×)(3)第四象限角可以是负角．(√)(4)三角形的内角必是第一、二象限的角．(×)(5)－435°是第三象限角．(×)命题方向2⇨终边相同的角典例2已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角，且指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．(1)420°(2)－75°(3)855°(4)－510°[思路分析]将已知角化成α＋k·360°(k∈Z)，其中0°≤α<360°，再判断α所处的象限．[解析]作出各角的终边如下图所示：由图可知：(1)420°是第一象限角；在0°～360°范围内，60°角与其终边相同．(2)－75°是第四象限角；在0°～360°范围内，285°角与其终边相同．(3)855°是第二象限角；在0°～360°范围内，135°角与其终边相同．(4)－510°是第三象限角；在0°～360°范围内，210°角与其终边相同．『规律总结』象限角的判定有两种方法：一是根据图像，二是将角转化到0°～360°范围内，利用图像实际操作时，依据的还是终边相同的角的思想．〔跟踪练习2〕在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：(1)240°(2)300°(3)390°(4)480°.[解析]在直角坐标系中，作出以上各角，如下所示．由图可知：(1)240°角是第三象限角；(2)300°角是第四象限角；(3)390°角是第一象限角；(4)480°角是第二象限角．命题方向3⇨区域角及其求法典例3如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．[思路分析]观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合．[解析](1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60°角，与l2终边相同的角有310°角．∴图①阴影部分中角的集合为S＝{α|60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°，k∈Z}．(2)由图②知，第一象限内阴影部分中角的集合为S1＝{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}．第三象限内阴影部分中角的集合为S2＝{α|225°＋k×360°≤α≤270°＋k×360°，k∈Z}．∴所求阴影部分中角的集合为S＝S1∪S2＝{α|45°＋2k×180°≤α≤90°＋2k×180°，k∈Z}∪{α|45°＋(2k＋1)×180°≤α≤90°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z}．(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1，与l2终边相同的角有－30°角，与l1终边相同的角有30°角．∴图③阴影部分中角的集合为S＝{α|－30°＋k×360°<α<30°＋k×360°，k∈Z}．『规律总结』数形结合是表示区域角的一种重要方法：首先应按逆时针方向由小到大找出一个代表区间角，再在两端加上k×360°(k∈Z)；若是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n×180°(n∈Z)即可；若区域包括了x轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上k×360°(k∈Z)．〔跟踪练习3〕如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解析](1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k×360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k×360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k×360°，k∈Z}．(2)由图可知，阴影部分是由介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ×360°≤α≤135°＋k ×360°，k ∈Z }．X 学科核心素养ue ke he xin su yang分角、倍角所在角限的判断思路1．已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限时，可根据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．2．已知角α终边所在的象限，确定αn 终边所在象限时，运用分类讨论法时要对k 的取值分k 被n 整除，k 被n 整除余1，k 被n 整除余2，…，k 被n 整除余n －1进行讨论，然后再下结论；运用几何法时，依据数形结合的思想，简单直观．典例4 若角α是第一象限角，问－α、2α、α3是第几象限角？[思路分析] 解决这类问题有两种方法：分类讨论或几何法． [解析] ∵α是第一象限角， ∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )， ∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同， 故－α是第四象限角．(2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边落在y 轴的非负半轴． (3)k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )方法一：(分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时， n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角． 综上可知：α3是第一、二或第三象限角．方法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上1、2、3、4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角．『规律总结』 本题常会出现两种错误：(1)由α是第一象限角，仅得到0°<α<90°，仅得到α3是第一象限角，而丢掉α3是二、三象限的情况． (2)2α的范围包括y 轴的非负半轴，容易遗漏．〔跟踪练习4〕若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( B )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] ∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ，∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，即φ2终边是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角，故选B ．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi集合概念理解错误典例5 已知集合A ＝{α|α＝k ·180°±45°，k ∈Z }，集合B ＝{β|β＝k ·90°＋45°，k ∈Z }，则A 与B 的关系正确的是( )A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ⊆/ B 且B ⊆/ A[错解] ∵k ＝0时，集合A 中角α＝±45°，集合B 中角β＝45°，∴B A ，故选B ． [辨析] 错解对集合概念理解错误．应从集合中角的终边所在位置随k 的变化入手解决，或用列举法解决．[正解] C 当k 为偶数时，集合A 中角α的终边为一、四象限角的平分线，当k 为奇数时，集合A 中角α的终边为二、三象限角的平分线，角α的终边如图所示，故可以表示为k ·90°＋45°，∴A＝B，故选C．『规律总结』(1)可直接用列举法A＝{…－225°，－135°，－45°，45°，135°，225°，…}，B＝{…－135°，－45°，45°，135°，225°，…}，∴A＝B.(2)可从分析两集合中相等的角入手解决．由k·180°±45°＝n·90°＋45°得，n＝2k或n＝2k －1，∵k∈Z，n∈Z，∴A＝B.〔跟踪练习5〕已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}．求A∩B.[解析]如下图所示，A∩B中的角的始边和终边对应30°和45°角的终边，∴A∩B＝{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋45°，k∈Z}．K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．与－457°角终边相同的角的集合是(C)A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}[解析]－457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C．2．－215°是(B)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[解析]由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．3．下列各组角中，终边相同的是(B)A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3000°，－840°4．若α是第三象限角，则－α是(B)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[解析]令α＝－120°是第三象限角，则－α＝120°是第二象限角．5．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是(C)A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}[解析]如题图所示，终边落在阴影部分的角的取值是k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k ∈Z，故选C．。

北师大版高中数学必修4-第一章三角函数-2角的概念的推广一、选择题(共36小题,每小题5.0分,共180分)1.下列说法正确的是()A．小于90°的角是锐角B．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角C．第三象限的角大于第二象限的角D．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等【答案】D【解析】小于90°的角除了锐角还有零角与负角，故A错；钝角必是第二象限角，但第二象限角不一定为钝角，故B错；第三象限角不一定大于第二象限角，如224°，500°，故C错；D正确.2.与－457°角的终边相同的角的集合是()A． {α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B． {α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C． {α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D． {α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}【答案】C【解析】由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.3.下列角中终边与330°相同的角是()A． 30°B．－30°C． 630°D．－630°【答案】B【解析】由题意可知330°＝－30°＋1×360°.4.与405°角终边相同的角是()A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z【答案】C【解析】405°＝360°＋45°，故选C.5.与1 303°终边相同的角是()A． 763°B． 493°C．－137°D．－47°【答案】C【解析】终边与1 303°相同的角是k·360°＋1 303°，k∈Z.∴k＝－4时，k·360°＋1 303°＝－137°，故选C.6.若角α，β的终边互为反向延长线，则()A．α＋β＝0°B．α－β＝180°C．α－β＝2k·180°D．α－β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)【答案】D【解析】因为角α，β的终边互为反向延长线，所以两角相差180°的整数倍，所以α－β＝(2k＋1)·180°(k∈Z).7.下列命题正确的是()A．小于90°的角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．终边落在直线y＝x上的角可以表示为k·360°＋60°，k∈ZD．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角【答案】D【解析】小于90°的角可以是锐角、零角及负角，故A错；终边相同的角相差360°的整数倍，故B 错；终边落在直线y＝x上的角可以表示为k·180°＋60°，k∈Z，故C错；D中的三个角相差360°的整数倍.8.集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()A．答案AB．答案BC．答案CD．答案D【答案】C【解析】当k＝2n时，{α|2n·180°＋45°≤α≤2n·180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样.当k＝2n＋1时，{α|2n·180°＋180°＋45°≤α≤2n·180°＋180°＋90°，n∈Z}，此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样.9.已知0°＜θ＜180°，且θ角的6倍角的终边和θ角终边重合，则满足条件的角θ为()A． 72°或144°B． 72°C． 144°D．不能确定【答案】A【解析】∵θ角的6倍角的终边和θ角终边重合，∴6θ＝θ＋k·360°，k∈Z，∴θ＝k·72°，∵0°＜θ＜180°，0°＜k·72°＜180°，∵k∈Z，∴k＝1,2，∴θ＝72°或144°.10.若角α，β终边相同，则α－β终边在()A．x轴非负半轴上B．y轴非负半轴上C．x轴上D．y轴上【答案】A【解析】角α，β终边相同可表示为α＝k·360°＋β，k∈Z.∴α－β＝k·360°，k∈Z，α－β终边在x轴非负半轴上.11.在(－360°，0°)内与角1 250°终边相同的角是()A． 170°B． 190°C．－190°D．－170°【答案】C【解析】与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k·360°，因为－360°＜α＜0°，所以－＜k＜－.因为k∈Z，令k＝－4，得α＝－190°.12.若角2α与240°角的终边相同，则α等于()A． 120°＋k·360°，k∈ZB． 120°＋k·180°，k∈ZC． 240°＋k·360°，k∈ZD． 240°＋k·180°，k∈Z【答案】B【解析】角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z，选B.13.下列角中，终边在y轴正半轴上的是()A．B．C．πD．【答案】B【解析】终边落在y轴正半轴上的角的集合为A＝{α|α＝＋2kπ，k∈Z}，取k＝0，得α＝.14.终边与x轴重合的角α的集合是()A． {α|α＝k·360°，k∈Z}B． {α|α＝k·180°，k∈Z}C． {α|α＝k·90°，k∈Z}D． {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}【答案】B【解析】设终边在x轴上的角为α，当α在x轴正半轴时，α＝k·360°＝2k·180°，其中k∈Z；当α在x轴负半轴时，α＝2k·180°＋180°＝(2k＋1)·180°，其中k∈Z，综上所述：α的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}.15.终边与y轴重合的角α的集合是()A． {α|α＝k·360°，k∈Z}B． {α|α＝k·180°，k∈Z}C． {α|α＝k·90°，k∈Z}D． {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}【答案】D【解析】设终边在y轴上的角为α，当α在y轴正半轴时，α＝n·360°＋90°，其中n∈Z；当α在y轴负半轴时，α＝n·360°＋270°，其中n∈Z，综上所述：α的集合是{α|α＝k·180°＋90°，n∈Z}.16.终边与坐标轴重合的角α的集合是()A． {α|α＝k·360°，k∈Z}B． {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C． {α|α＝k·180°，k∈Z}D． {α|α＝k·90°，k∈Z}【答案】D【解析】终边为x轴的角的集合M＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边为y轴的角的集合P＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}，设终边为坐标轴的角的集合为S，则S＝M∪P＝{α|α＝k·180°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝n·90°，n∈Z}.17.若角α满足α＝k·120°＋30°(k∈Z)，则α的终边一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x轴非负半轴上D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【答案】D【解析】当k＝3n，n∈Z时，α＝n·360°＋30°，为第一象限角；当k＝3n＋1，n∈Z时，α＝n·360°＋150°，为第二象限角；当k＝3n＋2，n∈Z时，α＝n·360°＋270°，为y轴非正半轴上的角.则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.18.角θ终边上一点的坐标为(0,1)，则角θ不可能是()A． 90°B． 180°C． 450°D．－270°【答案】B【解析】显然90°，450°，－270°角的终边在y轴的正半轴上，而180°角的终边在x轴的负半轴上，故选B.19.A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B等于()A． {锐角}B． {小于90°的角}C． {第一象限角}D．以上都不对【答案】D【解析】小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角包含有锐角及其他终边在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成的集合，故选D.20.400°角终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】400°＝360°＋40°，∵40°是第一象限，∴400°角终边所在象限是第一象限.21.－1 120°角所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限.22.若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α是第几象限角()A．一或三B．一或二C．二或四D．三或四【答案】A【解析】当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角.23.－361°的终边落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】负角是顺时针旋转，由题意知顺时针旋转一圈之后是360°，然后再顺时针旋转1°，恰好落在第四象限.24.给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个【答案】D【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.25.已知α为第三象限角，则所在的象限是()A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限【答案】D【解析】由于k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z，得·360°＋90°＜＜·360°＋135°，k∈Z.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角.26.若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.27.在－390°，－885°，1 351°，2 012°这四个角中，其中第四象限角的个数为()A． 0B． 1C． 2D． 3【答案】C【解析】∵－390°＝－360°＋(－30°)，－30°是第四象限角，∴－390°是第四象限角；∵－885°＝－3×360°＋195°，195°是第三象限角，∴－885°是第三象限角；∵1 351°＝3×360°＋271°，271°是第四象限角，∴1 351°是第四象限角；∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，∴2 012°是第三象限角.28.已知α是第一象限角，则角的终边不可能落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴·360°＜＜·360°＋30°.当k＝3m，m∈Z时，m·360°＜＜m·360°＋30°，∴角的终边落在第一象限.当k＝3m＋1，m∈Z时，m·360°＋120°＜＜m·360°＋150°，∴角的终边落在第二象限.当k＝3m＋2，m∈Z时，m·360°＋240°＜＜m·360°＋270°，∴角的终边落在第三象限，故选D.29.设α是第二象限角，则的终边不在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】360°·k＋90°＜α＜360°·k＋180°，k∈Z，则120°·k＋30°＜＜120°·k＋60°，k∈Z，角终边不在第三象限.k取0或1或－1等.30.以下各角中，是第三象限角的为()A． 580°B． 120°C． 700°D． 400°【答案】A【解析】若x是第三象限角，则360°·k＋180°＜x＜360°·k＋270°，k∈Z；当k＝1时，580°是第三象限角.31.下列四个命题中，正确的是()A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角【答案】B【解析】若x是锐角，则0°＜x＜90°；若x是第一象限角，则360°·k＋0°＜x＜360°·k＋90°，k∈Z；所以锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角.32.已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是()A．B＝A∩CB．B∪C＝CC．A⊂CD．A＝B＝C【答案】B【解析】B={x|0°＜x＜90°}，C={x|x＜90°}，则集合B是集合C的子集，故B∪C=C.33.－215°在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】设x是第二象限角，则360°·k＋90°＜x＜360°·k＋180°，k∈Z；k＝－1时，－215°∈{x|－270°＜x＜－180°}.34.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是()A．－α为第二象限角B． 180°－α为第二象限角C． 180°+α为第一象限角D． 90°+α为第四象限角【答案】B【解析】若α是第三象限角，则360°·k＋180°＜α＜360°·k＋270°；则360°·k＋90°＜－α＜360°·k＋180°，360°·k＋270°＜180°－α＜360°·k＋360°此时为第四象限角.35.角－2 015°所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】∵－2 015°=－360°×6＋145°，而90°＜145°＜180°，∴角－2 015°所在的象限为第二象限.36.下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角【答案】A【解析】由于锐角范围是(0°，90°)，显然是第一象限角；－200°是第二象限角，但不是钝角；380°是第一象限角，但不是锐角；390°是第四象限角，但不是负角，故选A.二、填空题(共12小题,每小题5.0分,共60分)37.若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.【答案】270°【解析】由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°＜α＜360°，令k＝3，得α＝270°.38.若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与的终边相同的角为________.【答案】20°，140°，260°【解析】因为角β的终边与60°角的终边相同，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)，所以＝k·120°＋20°，分别取k＝0,1,2时即可.39.落在y＝x(x≥0)上的角α的集合是________.【答案】{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}【解析】由于x≥0，故在(0°，90°)内，终边落在y＝x上的角为45°，所以α的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}.40.与角－2 138°的终边相同且绝对值最小的角是________.【答案】22°【解析】∵－2 138°＝－6×360°＋22°，∴22°与－2 138°的终边相同，且绝对值最小，故满足要求的角为22°.41.若角α的终边与－60°的终边相同，且α∈[0°，360°]，则角α＝________.【答案】300°【解析】角α的终边与－60°的终边相同，设α＝k·360°－60°，k∈Z，则只有当k＝1时，α＝300°∈[0°，360°].42.与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________.【答案】213°－147°【解析】与2 013°终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z).当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角.43.把－495°表示成k·360°＋θ(k∈Z)的形式，且使|θ|最小，则θ＝________.【答案】－135°【解析】－495°＝－135°－360°，它的终边与－135°的终边相同，且|θ|最小.44.在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为________.【答案】－160°，200°【解析】∵2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个.45.－1 040°角在第________象限.【答案】一【解析】与－1 040°角终边相同的角可表示为α＝k·360°＋(－1 040°)，当k＝3时，α＝40°，所以－1 040°角与40°角的终边相同，故－1 040°角的终边在第一象限.46.角1 539°在第________象限.【答案】二【解析】∵1 539°＝4×360°＋99°，且99°为第二象限角，∴1 539°是第二象限角.47.－710°在第________象限.【答案】一【解析】∵－710°＝－720°＋10°＝－2×360°＋10°，∴－710°与10°角的终边相同，为第一象限角.48.若θ为锐角，则β＝180°·k＋θ(k为整数)是第________象限的角.【答案】一、三【解析】∵θ为锐角，是第一象限的角，则当k为偶数时，β＝180°·k＋θ(k为整数)是第一象限角；当k为奇数时，β＝180°·k＋θ(k为整数)是第三象限角.∴若θ为锐角，则β＝180°·k＋θ(k为整数)是第一、三象限的角.三、解答题(共26小题,每小题12.0分,共312分)49.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界).【答案】(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.【解析】50.写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.【答案】由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}.∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴3≤k＜6(k∈Z).故取k＝4,5,6.k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.【解析】51.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.【答案】(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}.【解析】52.已知角β的终边在直线x－y＝0上.(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素.【答案】(1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}. (2)由于－360°＜β＜720°，即－360°＜60°＋n·180°＜720°，n∈Z.解得－＜n＜，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2,3.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.【解析】53.已知α、β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求α、β的大小.【答案】因为α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，所以α＋β＝－280°＋360°·k，α－β＝670°＋360°·k；两式相加，2α＝390°＋720°·k＝360°＋30°＋720°·k＝30°＋720°·k；α＝15°＋360°·k；因为α，β是锐角，所以α＝15°，β＝65°.【解析】54.在0°～360°范围内，找出与－950°12′终边相同的角，并判定它是第几象限角.【答案】∵－950°12′＝－1 080°＋129°48′＝－3×360°＋129°48′.∴在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′.129°48′是第二象限角.∴－950°12′是第二象限角.【解析】55.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α＝－510°.(1)在如图直角坐标系中画出角α的终边，并指出α是第几象限角；(2)在0°～360°内找出与α终边相同的角，并写出所有与α终边相同的角(包括α)构成的集合.【答案】(1)角α的终边如图，α是第三象限角；(2)在0°～360°内与α终边相同的角为210°，所有与α终边相同的角(包括α)构成的集合为：{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.【解析】56.已知α＝－1 910°.(1)把角α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求出θ的值，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.【答案】(1)∵－1 910°＝－6×360°＋250°，180°＜250°＜270°，∴把角α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式为：－1 910°＝－6×360°＋250°，∴它是第三象限的角.(2)∵θ与α的终边相同，∴令θ＝k·360°＋250°，k∈Z，k＝－1，k＝－2满足题意，得到θ＝－110°，－470°.【解析】57.写出终边在如图所示直线上的角的集合.【答案】(1)在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，因此所有与0°角的终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°的终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}.于是，终边落在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}.(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°.因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.(3)终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，于是所求角的集合S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·90°，n∈Z}.【解析】58.如图所示，阴影表示角α终边所在的位置，写出角α的集合.【答案】(1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边落在60°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}，终边落在130°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋130°，k∈Z}，终边落在220°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋220°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°≤α≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|k·360°＋130°≤α≤k·360°＋220°，k∈Z}，(2)终边落在75°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°＋75°，k∈Z}，终边落在－45°角终边上的角的集合为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}，故终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°－45°≤α＜k·360°＋75°，k∈Z}.【解析】59.在角α的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中：(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个大于－360°且小于360°的角？(3)写出其中是第二象限的角的一般表示法.【答案】(1)当k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3，n∈Z时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.(2)由－360°＜k·90°＋45°＜360°，得－＜k＜.又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.所以在给定的集合中大于－360°且小于360°的角共有8个.(3)其中是第二象限的角可表示成k·360°＋135°，k∈Z.【解析】60.写出如图所示阴影部分的角α的范围.【答案】(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°＜α≤45°＋k·360°，k∈Z}.(2)同理可表示图(2)中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.【解析】61.已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，指出下列各角是第几象限角，以及0°～360°范围内与其终边相同的角.①485°；②－35°；③770°；④－500°.【答案】①485°＝125°＋360°，所以在0°～360°范围内，与485°终边相同的角是125°，所以485°是第二象限角.②－35°＝325°－360°，所以在0°～360°范围内，与－35°终边相同的角是325°，所以－35°是第四象限角.③770°＝50°＋2×360°，所以在0°～360°范围内，与770°终边相同的角是50°，所以770°是第一象限角.④－500°＝220°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－500°终边相同的角是220°，所以－500°是第三象限角.【解析】62.在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角.【答案】(1)与角10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.【解析】63.判断下列各组角中，哪些是终边相同的角.(1)k·90°与k·180°＋90°(k∈Z)；(2)k·180°±60°与k·60°(k∈Z)；(3)(2k＋1)·180°与(4k±1)·180°(k∈Z)；(4)k·180°＋30°与k·180°±30°(k∈Z).【答案】(1)由于k·90°表示90°的整数倍，而k·180°＋90°＝(2k＋1)·90°表示90°的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角.(2)由于k·180°±60°＝(3k±1)·60°表示60°的非3的整数倍.而k·60°表示60°的整数倍，故这两个角不是终边相同的角.(3)由于(2k＋1)·180°表示180°的奇数倍，(4k±1)·180°也表示180°的奇数倍，故(2k＋1)·180°与(4k±1)·180°(k∈Z)是终边相同的角.(4)由于k·180°＋30°＝(6k＋1)·30°表示30°的(6k＋1)倍，而k·180°±30°＝(6k±1)·30°表示30°的(6k±1)倍，故这两个角不是终边相同的角.【解析】64.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.【答案】(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.【解析】65.在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角.【答案】(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同.由－720°≤k·360°＋147°＜720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.【解析】66.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β≤360°的元素β写出来：(1)60°；(2)－75°；(3)－824°30′；(4)475°；(5)90°；(6)270°；(7)180°；(8)0°.【答案】(1)根据题意得：A＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，k取－1,0时，∴β＝－300°，60°；(2)B＝{β|β＝k·360°－75°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，k取0,1时，∴β＝－75°，285°；(3)C＝{β|β＝k·360°－824°30′，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，k取2,3时，∴β＝－104°30′，255°30′；(4)D＝{β|β＝k·360°＋475°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，取－2，－1时，∴β＝－245°，115°；(5)E＝{β|β＝k·360°＋90°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，k取－1,0时，∴β＝－270°，90°；(6)F＝{β|β＝k·360°＋270°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，取－1,0时，∴β＝－90°，270°；(7)G＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，取－1,0时，∴β＝－180°，180°；(8)H＝{β|β＝k·360°，k∈Z}，又∵－360°≤β≤360°，取－1,0,1时，∴β＝－360°，0°，360°.【解析】67.若角θ的终边与168°角的终边相同，求在0°～360°内终边与角θ的终边相同的角.【答案】∵角θ的终边与168°角的终边相同，∴θ＝168°＋k·360°，k∈Z，当k＝0时，θ＝168°；当k＝1时，θ＝528°，当k＝2时，θ＝888°；当k＝3时，θ＝1 248°，∴在0°～360°内终边与角θ的终边相同的角是：168°.【解析】68.写出与30°角终边相同的角的集合A，并把A中适合不等式－360°≤α≤720°的元素α写出.【答案】根据题意得：A＝{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}，又∵－360°≤α≤720°，k取－1,0,1时，∴α＝－330°，30°，390°.【解析】69.写出与370°23′终边相同角的集合S，并把S中在－720°～360°间的角写出来.【答案】根据题意得：S＝{α|α＝k·360°＋370°23′，k∈Z}，又∵S是在－720°～360°间的角，取－3，－2，－1时，∴所求的角为－709°37′，－349°37′，10°23′.【解析】70.已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.(1)－75°；(2)855°；(3)－510°；(4)－450°.【答案】以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边作出－75°，855°，－510°，－450°，如图所示.观察终边所在位置，知－75°为第四象限角，855°为第二象限角，－510°为第三象限角，－450°角的终边在y轴的非正半轴上，不属于任何象限.【解析】71.已知α是第三象限角，则是第几象限角？【答案】∵α是第三象限角，∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，∴60°＋k·120°＜＜90°＋k·120°(k∈Z).当k＝3n(n∈Z)时，60°＋n·360°＜＜90°＋n·360°(n∈Z)，∴是第一象限的角；当k ＝3n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜＜210°＋n·360°(n∈Z)，∴是第三象限的角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，300°＋n·360°＜＜330°＋n·360°(n∈Z)，∴是第四象限的角.∴是第一、三、四象限的角.【解析】72.判断下列角的终边落在第几象限内：(1)1 400°；(2)－2 010°.【答案】(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角.(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同.∴－2 010°是第二象限角.【解析】73.已知α是第二象限角，试确定2α，的终边所在的位置.【答案】因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.所以2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上.因为k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，所以k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，所以当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋ 45°＜＜n·360°＋90°，即的终边在第一象限；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，即的终边在第三象限.所以的终边在第一或第三象限.【解析】74.若α是第二象限角，试分别确定的终边所在位置.【答案】因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°(k∈Z).方法一因为k·120°＋30°＜＜k·120°＋60°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＋30°＜＜n·360°＋60°；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋150°＜＜n·360°＋180°；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋270°＜＜n·360°＋300°.所以是第一或第二或第四象限角.方法二如图所示，作出三等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成12个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这12个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号是几的区域就是θ为第几象限角时的终边落在的区域，所以是第一或第二或第四象限角.【解析】。

课堂导学三点剖析1.任意角和象限角的概念【例1】在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”的说法，像这种动作名称表示的角度是多大？思路分析:利用角的定义及正角、负角的概念，“转体三周”即转过3个360°（或-360°），“两周半”即2.5个360°（或-360°），则问题迎刃而解.解:如果是逆时针转体，则分别是360°×3=1 080°和360°×2.5=900°；若是顺时针转体，则分别为-1 080°和-900°.友情提示分清正角是按逆时针转动的角，负角是按顺时针转动的角,是学习角的关键.各个击破类题演练1若将时钟拨慢5分钟，则分针转了______度；时针转了______度.解析：将时钟拨慢了5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的是正角这时，分针转过的角度是：360°12=30°;时针转过的角度是：30°12=2.5°.答案:30 2.5变式提升1时针走过两小时，则分针转过______度.解析：分针按顺时针方向旋转，所以形成的角为负角.为-360°×2=-720°.答案：-7202.终边相同的符号表示【例2】在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角.（1）908°28′；（2）-734°.思路分析:将题中角化成α+k·360°（k∈Z），α在0°—360°之间的形式即可.解:（1）908°28′=188°28′+2×360°，则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限角；（2）-734°=346°-3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而-734°也是第四象限角.友情提示一般地，化角x为α+k·360°(k∈Z)时，可由x除以360°来确定k及α的值，对不合要求的α可以通过修正k来进一步求解.类题演练2在-720°—720°之间，写出与60°角终边相同的角的集合S.解析:与60°角终边相同的角的集合为：{α|α=60°+k·360°,k∈Z}，令-720°≤60°+k·360°≤720°,得k=-2，-1,0，1,相应的角为-660°,-300°,60°,420°，从而S={-660°,-300°,60°,420°}.变式提升2求终边在直线y=-x上的角的集合.解析:在0°—360°范围内满足条件的角为135°和315°，∴终边在直线y=-x上的角的集合为{α|α=k·360°+135°,k∈Z}∪{α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={α|α=n·180°+135°,n∈Z}.3.任意角的概念【例3】 下列命题中，正确的是（ ）A.终边相同的角一定相等B.锐角都是第一象限角C.第一象限的角都是锐角D.小于90°的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k ∈Z }，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C 错;小于90°的角也可以是负角，因此D 错；正确答案为B. 答案：B友情提示（1）准确区分各类型的角以及它们的差异是解决本题的关键.小于90°的角不要误认为就是锐角，它包括锐角、零角和负角，只有小于90°的正角才是锐角，要特别注意从现在起角已经推广到了零角和负角.(2)对于本题，还可结合集合知识推广出去.类题演练 3设E={小于90°的角}，F={锐角}，G={第一象限的角}，M={小于90°但不小于0°的角}，那么有（ ） A.F G E B.F E G C.M （E∩G ） D.（E∩G ）∩M=F解析：E={α|α＜90°},F={α|0°＜α＜90°},G={α|2kπ＜α＜2kπ+2,k ∈Z },M={α|0°≤α＜90°}, ∴(E∩G)∩M=F,故选D.答案：D变式提升 3设集合M={大于90°的角}，N={第二象限角}，则M∩N 等于( )A.{钝角}B.{大于90°的角}C.{第二象限角}D.以上均不对解析：第二象限角包括钝角和终边落在第二象限的角；大于90°的角也包括钝角和第二象限角，故选D.答案：D。

课时作业2角的概念的推广时间：45分钟满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α(D)A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角又是第四象限角D．不属于任何一个象限解析：∵M(0，－3)在y轴非正半轴上，∴角α的终边在y轴非正半轴上，∴角α不属于任何一个象限．2．与－525°角的终边相同的角可表示为(C)A．525°－k·360°(k∈Z)B．165°＋k·360°(k∈Z)C．195°＋k·360°(k∈Z)D．－195°＋k·360°(k∈Z)解析：－525°＝－2×360°＋195°，故与－525°角的终边相同的角可表示为195°＋k·360°(k∈Z)．3．已知角α是第三象限角，则角－α的终边在(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，∴则－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z.所以－α的终边与(－270°，－180°)内的角的终边相同．则－α的终边在第二象限．∴应选B.4．设A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B等于(D) A．{锐角}B．{小于90°的角}C ．{第一象限角}D ．{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z 且k ≤0}解析：∵A ＝{小于90°的角}＝{锐角、零度角和负角}，B ＝{第一象限角}＝{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }，∴A ∩B ＝{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z 且k ≤0}．5．集合M ＝{α|α＝k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{β|β＝k ·45°，k ∈Z }，则集合M 与集合N 的关系是( B )A ．MNB ．M NC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：如图a ，集合M 中的各类角的终边用实线(包括坐标轴)表示．图b 中的实线(包括坐标轴)表示集合N 中的各类角的终边．比较图a 和图b ，不难得出：M N ，故选B. 6．若α是第一象限角，则－α2是( D ) A ．第一象限角 B ．第四象限角 C ．第二或第三象限角 D ．第二或第四象限角解析：解法一：由题意知k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，则k ·180°<α2<k ·180°＋45°，所以－k ·180°－45°<－α2<－k ·180°，k ∈Z .当k 为偶数时，－α2为第四象限角；当k 为奇数时，－α2为第二象限角． 解法二：由等分象限法易知α2为第一象限角或第三象限角，根据－α2与α2的终边关于x 轴对称，知－α2为第四象限角或第二象限角．7．若角α，β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系一定是( D )A ．α＝－βB ．α＝(－2)×360°＋βC ．α＝180°＋βD ．α＝(2k ＋1)×180°＋β(k ∈Z )解析：在选项A 中，角α与角β的终边关于x 轴对称，一般情况下，其终边不可能互为反向延长线；在选项B 中，角α与角β的终边相同，故排除；在选项C 中，β与α(α＝180°＋β)的终边虽然互为反向延长线，但题干中α、β之间的关系不仅是α＝180°＋β，还可相差360°的整数倍，即α＝k ×360°＋180°＋β＝(2k ＋1)×180°＋β(k ∈Z )．8．已知角α与120°角的终边相同，那么α3的终边不可能落在( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意，知α＝120°＋k ·360°(k ∈Z )，所以α3＝40°＋k ·120°(k ∈Z )．当k ＝3m (m ∈Z )时，α3＝40°＋m ·360°(m ∈Z )是第一象限角； 当k ＝3m ＋1(m ∈Z )时，α3＝160°＋m ·360°(m ∈Z )是第二象限角； 当k ＝3m ＋2(m ∈Z )时，α3＝280°＋m ·360°(m ∈Z )是第四象限角． 所以α3的终边不可能落在第三象限． 二、填空题(每小题5分，共15分)9．若将时针拨慢5分钟，则分针转了30度，时针转了2.5度． 解析：将时针拨慢5分钟，分针、时针都是按逆时针方向旋转，转过的角都是正角．这时，分针转过的角度是360°12＝30°，时针转过的角度是30°12＝2.5°.10．90°<β<α<120°，则α＋β的范围是(180°，240°)，α－β的范围是(0°，30°)．解析：因为90°<β<α<120°，所以90°<α<120°，90°<β<120°，所以180°<α＋β<240°.由90°<α<120°，－120°<－β<－90°，得－30°<α－β<30°.由α>β知α－β>0°，故0°<α－β<30°.11．若角2α的终边在x轴的上方，则角α的终边在第一或第三象限．解析：因为2α的终边落在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°(k ∈Z)．所以k·180°<α<k·180°＋90°(k∈Z)．当k为偶数时，角α在第一象限，当k为奇数时，角α在第三象限．故角α是第一或第三象限角．解决本题要注意分类讨论的思想方法，把握住判断角α所在象限要用k·360°＋β才能确定，否则要分情况讨论．三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)写出下图区域表示的角α的集合(包括边界)．解：(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．13．(13分)如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合．解：由y＝3x(x≥0)与60°角的终边相同，确定y＝3x(x≤0)与240°角的终边也相同．将它们用集合的形式表示出来并求并集．终边落在y＝3x(x≥0)上的角的集合为：S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝3x(x≤0)上的角的集合为：S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k ∈Z}．于是，终边落在y＝3x上的角的集合为：S＝S1∪S2＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋180°的偶数倍}∪{α|α＝60°＋180°的奇数倍}＝{α|α＝60°＋180°的整数倍}＝{α|α＝60°＋n·180°，n ∈Z}．——能力提升类——14．(5分)已知角α的终边过点P(3，3)，则与角α终边相同的角的x|x＝k·360°＋30°，k∈Z.集合是{}解析：因为角α的终边经过点P(3，3)，所以角α的终边在第一象限，所以满足条件的锐角是30°.故与角α终边相同的角的集合是{}x|x＝k·360°＋30°，k∈Z.15．(15分)如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针方向匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，则两只蚂蚁都在第14 s 回到点A，并且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值．解：根据题意可知，14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z .由于两只蚂蚁在第 2 s 时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，进而可知2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，∴45°<α＝m 7·180°<90°，45°<β＝n 7·180°<90°.∴74<m <72，74<n <72. ∵α<β，∴m <n .又m ，n ∈Z ，∴m ＝2，n ＝3，即α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3607°，β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5407°.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

§2角的概念的推广知识点一角的概念[填一填]1．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．[答一答]1．一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对．如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故这个说法不正确．知识点二角的分类[填一填]2．(1)按旋转方向可将角分类(2)按角终边的位置分类[答一答]2．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？提示：不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为－90°.知识点三终边相同的角的表示[填一填]3．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．[答一答]3．锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角这四种角有什么差别？提示：受初中所学角的范围的影响，看到这四种角往往就说它们相同．其原因是虽然已经将角扩充到了任意角，但是解决问题时，考虑的角还仅仅是锐角、直角、钝角，即初中所学的角的范围，没有按任意角来看待．其突破方法是把握各种角的取值范围．这四种角的范围用集合表示如下：锐角的集合是{α|0°<α<90°},0°～90°的角的集合是{α|0°≤α<90°}，小于90°的角的集合是{α|α<90°}，第一象限角的集合是{α|k×360°<α<k×360°＋90°，k∈Z}，所以锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90°的角包括锐角、零角、负角．1．对角的概念的两点说明(1)描述角时，往往用角的第二种定义，即用运动观点来定义角，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆．(2)在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点：①要明确旋转方向；②要明确旋转的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．任意角概念的四个关注点类型一角的概念的推广【例1】下列各种说法正确的是()A．终边相同的角一定相等B．第一象限角就是锐角C．锐角是第一象限角D．小于90°的角都是锐角【思路探究】锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}，当k＝0时，第一象限角的范围就与锐角的范围一致．【解析】对于选项A，－60°与300°是终边相同的角，它们并不相等，故说法错误；对于选项B,390°是第一象限角，但它不是锐角，故说法错误；对于选项D，－30°是小于90°的角，但它不是锐角，故说法错误．【★答案★】 C规律方法(1)熟记一些角的概念，如第一象限角α可表示为{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．(2)熟悉一些角与角的基本关系，如锐角是第一象限角，反之不成立；钝角是第二象限角，反之也不成立．经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转过多少度？解：时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5512小时，由此可求出时针转的度数；而分针每小时转－360°，因而分针转的度数也可求．所以，时针转过的角度为－⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋512×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋512×360°＝－1 950°. 类型二 终边相同的角及象限角【例2】 在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是哪个象限的角．(1)1 005°；(2)2 583°34′；(3)－1 342°15′；(4)－470°.【解】 (1)因为1 005°＝2×360°＋285°，所以285°就是与1 005°终边相同的角，它是第四象限角，所以1 005°是第四象限角．(2)因为 2 583°34′＝7×360°＋63°34′，所以63°34′就是与 2 583°34′终边相同的角，它是第一象限角，所以2 583°34′是第一象限角．(3)因为－1 342°15′＝－4×360°＋97°45′，所以97°45′就是与－1 342°15′终边相同的角，它是第二象限角，所以－1 342°15′是第二象限角．(4)因为－470°＝－2×360°＋250°，所以250°就是与－470°终边相同的角，它是第三象限角，所以－470°是第三象限角．规律方法 先将这些角表示成k ·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，再根据角α来确定它们所属的象限．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β<－360°的角β.解：法1：赋值法与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件；故符合条件的角有－1 055°，－695°.法2：解不等式法与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．解不等式－1 080°≤k·360°＋25°<－360°，得－3572≤k<－1572.又∵k∈Z，∴k＝－3或k＝－2.当k＝－3时，β＝－1 055°；当k＝－2时，β＝－695°，故符合条件的角有－1 055°，－695°.类型三区域角的表示【例3】如图所示，写出终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ(不包括边界)的角的集合．【思路探究】由题知，角的终边在两个对顶阴影区域内(不包括边界)．可以先根据图形写出终边在每个区域内的角的集合，再对写出的两个集合求并集，并化简．也可以用k·180°＋α(k∈Z)的形式直接写出．【解】法1：在0°～360°范围内，终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ(不包括边界)的角α应分别满足45°<α<135°，225°<α<315°.所以终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ中的角的集合分别为A＝{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋135°，k∈Z}，B＝{α|k·360°＋225°<α<k·360°＋315°，k∈Z}．故满足题意的角的集合为A∪B＝{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋135°，k ∈Z}∪{α|k·360°＋225°<α<k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋45°<α<2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋45°<α<(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．法2：终边落在第一、三象限内的边界线上的一个角为45°，则终边落在该边界线上的角可写为45°＋k·180°，k∈Z；终边落在第二、四象限内的边界线上的一个角为135°，则终边落在该边界线上的角可写为135°＋k·180°，k∈Z，故所求角的集合为{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．规律方法区域角的表示是在有限制条件的角的基础上进行的，解题的关键是找出终边落在区域边界上的角．解题时，需注意以下三点：(1)区域边界线是实线还是虚线；(2)角的旋转方向；(3)一般地，角α的终边在两个对顶阴影区域内(不包括边界)时，角可以表示为“k·180°＋θ1<α<k·180°＋θ2，k∈Z”(θ1<θ2)的形式．(1)若角α＝45°，β＝150°的终边分别在射线OA，OB上，求终边落在如图(1)中阴影范围内(包括边界)的角的集合；(2)已知角α的终边在如图(2)的阴影部分(不包括边界)内，求角α的集合．解析：(1)在0°～360°之间落入阴影部分的角是45°≤θ≤150°，则终边落在图中阴影范围内(包含边界)的角的集合是{θ|k·360°＋45°≤θ≤k·360°＋150°，k∈Z}．(2)终边落在l1上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}，终边落在l2上的角的集合为{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，则所求角的集合为{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋120°，k∈Z}．类型四由已知角的范围、象限，研究未知角的范围、象限【例4】若角α是第二象限角，试确定角2α,α3分别是第几象限角.【思路探究】【解】∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．(1)180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．(2)法1：k ·120°＋30°<α3<k ·120°＋60°(k ∈Z )，当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°＋30°<α3<n ·360°＋60°(n ∈Z )，此时，α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋150°<α3<n ·360°＋180°(n ∈Z )，此时，α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋270°<α3<n ·360°＋300°(n ∈Z )，此时，α3是第四象限角．综上所述，α3是第一象限角或第二象限角或第四象限角．法2：将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把各等分区域依次循环标上号码1,2,3,4，如图所示．∵α是第二象限角，∴图中标有数字2的区域即α3的终边所在的区域，故α3是第一象限角或第二象限角或第四象限角．规律方法 倍角是第几象限角的判定思路已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．已知角θ终边所在的象限，确定θn (n ∈N ＋)终边所在象限的常用方法有以下两种：方法1 分类讨论法．利用已知条件写出角θ的范围(用k 表示)，由此确定θn 的范围，然后对k 进行分类讨论，从而确定θn 的终边所在的象限．方法2 等分象限法．要确定θn 终边所在的象限，可以作出n 等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号是几的区域，就是θ为第几象限角时θn 的终边所在的区域，这样角θn 的终边所在的象限就可以直观地看出．说明：当n ≥4时，角θn 的终边所在的区域分布在四个象限，研究的价值不大，一般只讨论n ＝2，n ＝3的情形．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( D )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：由k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°，k ∈Z .当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．——易错警示——对角的概念理解不正确致误【例5】 下面说法正确的个数为( )(1)第二象限角大于第一象限角．(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角．(3)钝角是第二象限角．(4)小于90°的角是锐角．A．1 B．2C．3 D．4【错解】选B或C【正解】第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角①，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的；小于90°的角②如－60°，不是锐角，故(4)错．所以正确的只有1个．【错解分析】在①处三角形的内角误认为只有锐角和钝角，忽略了直角，从而误认为(2)正确；在②处依据初中的习惯，认为小于90°的角为锐角误认为(4)正确．【★答案★】 A【防范措施】明确角的分类的实质按照角的旋转方向分为正角、负角和零角类似于实数正负之分；按照角的终边位置分为象限角和终边在坐标轴上的角，如在本例①处易忽略终边落在坐标轴上的角的情况．在坐标系中，下列说法中错误的是(C)A．锐角是第一象限角B．顺时针方向旋转生成的角是负角C．始边与终边重合的角是零角D．相等的角终边相同解析：360°角的终边也与始边重合．即始边与终边重合的角的集合应为{α|α＝360°k，k∈Z}．故选C．一、选择题1．下列说法正确的是( D )A ．终边相同的角都相等B ．钝角比第三象限角小C ．第一象限角都是锐角D ．锐角都是第一象限角解析：任何一个角α的终边旋转360°的整数倍后，还与它的终边相同，但它们相差360°的整数倍．象限角只反映角的终边的位置，而不反映角的大小，某象限角有无数多个，其中有正角，也有负角，所以第三象限角不一定比钝角大．第一象限角不一定是锐角，但锐角一定是第一象限角．2．下列各组角中，终边相同的是( C )A ．495°和－495°B ．1 350°和90°C ．－220°和140°D ．540°和－810°解析：终边相同的两角差应是360°的整数倍．3．下列命题中正确的是( D )A ．终边在y 轴负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角D ．若β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，则α与β终边相同解析：根据任意角的概念可以判断D 正确．二、填空题4．(1)一个30°的角，将其终边按逆时针方向旋转三周，则旋转后的角是1_110°.(2)若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是－960°.解析：(1)终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为360°×3＝1 080°.再加上原来的角度30°，所以旋转后的角是1 110°.(2)∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°.5．终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k ×180°＋45°，k ∈Z }；终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k ×180°＋135°，k∈Z}．三、解答题6．已知α＝－1 640°，试把α写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并求角θ，使θ与α的终边重合，且满足－720°<θ<0°.解：α＝－5×360°＋160°(k＝－5，β＝160°)．因为θ与α的终边相同，所以可设θ＝k·360°＋160°(k∈Z)．又－720°<θ<0°，所以k＝－2或k＝－1.所以θ＝－560°或θ＝－200°.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

课时作业2角的概念的推广时间:45分钟满分：100分--- 基础巩圈类----~、选择题（每小题5分，共40分）1.若角。

的终适经过点M（0, - 3）,则角。

r D ）A、是第三象F艮角B、是第四象F艮角C、既是第三象F艮角又是第四象F艮角D、不属于任何~个象F艮解析:\-M（0, -3）在y轴非正半轴上,.•.角。

的终也在y轴非正半轴上，.•.角。

不属于任何~个象F艮.2.与-525。

角的终适相同的角可表示为（C ）A.525。

- >360。

（莉Z）B.165。

+上360。

（kgC.195。

+上360。

（kgD.-195° + ^360°（^€Z）解析：-525° = - 2x360° + 195。

,故与一525°角的终适相同的角可表示为195o + ^360°（^€ZJ.3.巳知角。

是第三象F艮角，则角-。

的终边B ）A、第〜象F艮B,第二象F艮C,第三象F艮D,第四象F艮解析 L.P 是第三象F艮角，..土• 360。

+180。

V Q以.360。

+ 270。

* € Z,.•.贝1 —k' 360°— 270°〈—。

< —k・ 360°— 180°, k C Z.所以—。

的终适与（—270°, — 180°J内的角的终适相同、贝1 —。

的终适在第二象F艮、二应选_B.4,设4=［小于90。

的角｝,B=£第一象F艮角｝,则AAB等于（D JA、£锐角｝B,｛小于90。

的角JC、｛第一象F艮角JD,｛。

| £360。

<« <Z:-360o + 90o, kCZ且AMO｝解析:-/A=［小于90。

的角｝= £锐角、零度角和负角B=｛第〜象F 艮角J = ［a\h360°<a<^360°+ 90°, keZ｝,：.AQB =｛a\k-360°<«<^360° + 90°, kEI JL KO J.5、集M = ｛a\a = k-90°f Z: € Z｝U （« I a = k-180° + 45°,k € ZJ, N=枝|” 二£45。

双基达标(限时20分钟)1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()．A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D解析锐角θ满足0°<θ<90°；而B中θ<90°，可以为负角；C中θ满足k·360°<θ<k·360°＋90°，k∈Z；D中满足0°<θ<90°，故A＝D.答案 D2．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分后，钟摆的大致位置是()．A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析经过0.45秒，钟摆到达O点，经过0.9秒钟摆到达B点，而1分＝59.4秒＋0.6秒＝33×1.8秒＋0.6秒，∵0.6秒介于0.45秒和0.9秒之间，∴钟摆的位置介于O、B之间．答案 D3．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是()．A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限解析由k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，得k2·360°＋90°<α2<k2·360°＋135°，k∈Z.当k为偶数时，α2为第二象限角；当k为奇数时，α2为第四象限角．答案 D4．一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角度数为________．解析逆时针方向旋转得到的角是正角，旋转三周则得30°＋3×360°＝1 110°.答案 1 110°5．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.解析5α与α的终边相同，∴5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°<α<360°，∴令k＝3，得α＝270°.答案270°6．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．综合提高(限时25分钟)7．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m、n∈Z，则α、β终边的位置关系是()．A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析∵θ与－θ终边关于x轴对称，∴α、β终边关于x轴对称．答案 C8．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在()．A．x轴非负半轴上B．y轴非负半轴上C．x轴或y轴上D．x轴非负半轴或y轴非负半轴上解析当k＝4n，n∈Z时，α＝n·360°；当k＝4n＋1，n∈Z时，α＝90°＋k·360°；当k＝4n＋2，n∈Z时，α＝180°＋n·360°；当k＝4n＋3，n∈Z时，α＝270°＋k·360°.因此，集合M表示的角的终边在x轴或y轴上．答案 C9．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．解析特殊值法，给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α在第三象限．答案三10．终边在直线y＝x上的角的集合是________．解析在0°～360°终边在直线y＝x上的角是45°和225°，所以终边在直线y＝x 上的角的集合是{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°＋45°，n∈Z}．答案{β|β＝n·180°＋45°，n∈Z}11．设集合A＝{x|60°＋k·360°<x<300°＋k·360°，k∈Z}，B＝{x|－210°＋k·360°<x<k·360°，k∈Z}，求A∩B，A∪B.解∵A＝{x|60°＋k·360°<x<300°＋k·360°，k∈Z}，B＝{x|－210°＋k·360°<x<k·360°，k∈Z}＝{x|150°＋k·360°<x<360°＋k·360°，k∈Z}，∴A∩B＝{x|150°＋k·360°<x<300°＋k·360°，k∈Z}，A∪B＝{x|60°＋k·360°<x<360°＋k·360°，k∈Z}．12．(创新拓展)如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角θ并判断其终边所在的象限．解由题意，得14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z，则θ＝k ·180°7，k ∈Z.又180°<2θ＋45°<270°， 即67.5°<θ<112.5°，则67.5°<k ·180°7<112.5°，k ∈Z ，所以k ＝3，或k ＝4.故θ＝540°7，或θ＝720°7.易知0°<540°7<90°，90°<720°7<180°， 故角θ在第一或第二象限．。

课时作业1周期现象角的概念的推广|根底稳固|(25分钟,60分)一、选择题(每题5分,共25分)1．观察 "ABCDABCDAB…〞,寻找规律,那么第20个字母是()A．A B．BC．C D．D解析：周期是4,20＝5×4 ,所以第20个字母是D.答案：D2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()A．120°B．－120°C．240°D．－240°解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240° ,应选D.答案：D3．假设角的顶点在原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,给出以下四个命题：①0°角是第|一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：0°角是轴线角而不是象限角,①不正确；②显然正确；终边相同的角有无限多个,并且相差360°的整数倍,所以③正确；－30°角是第四象限角,故④正确．答案：C4．假设α为锐角,那么以下各角中一定为第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：∵0°<α<90° ,∴270°<360°－α<360° ,应选C.答案：C5．假设角α与角β的终边关于y轴对称,那么必有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)解析：α与β的终边关于y轴对称,那么α与180°－β终边相同,故α＝180°－β＋360°·k ,即α＋β＝(2k＋1)·180° ,k∈Z.答案：D二、填空题(每题5分,共15分)6．假设角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称,且0°<α<360° ,那么角α的值为________．解析：如图,设75°角的终边为射线OA ,射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB ,那么以射线OB为终边的一个角为－75°,所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75° ,k∈Z}．又0°<α<360° ,令k＝1 ,得α＝285°.答案：285°7．角α与2α的终边相同,且α∈[0° ,360°) ,那么角α＝________.解析：由条件知,2α＝α＋k·360° ,所以α＝k·360°(k∈Z) ,因为α∈[0° ,360°) ,所以α＝0°.答案：08．如图,终边在阴影局部内的角的集合为________．解析：先写出边界角,再按逆时针顺序写出区域角,那么得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360° ,k∈Z}．答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360° ,k∈Z}三、解答题(每题10分,共20分)9．判断以下现象是否为周期现象．(1)钟表的秒针的运动；(2)地球的自转；(3)物理学中的单摆运动；(4)连续地抛掷一枚硬币,面值朝上记为0 ,面值朝下记为1,0和1的出现．解析：(1)钟表的秒针每一分钟转一圈,并且每一分钟总是重复前一分钟的动作,因此它是周期现象．(2)地球的自转为每24小时转一圈,并且每24小时总是重复前一个24小时的动作,因此地球的自转是周期现象．(3)物理学中单摆的运动,完成一个来回之后,以后的运动都是有规律地重复这一动作,因此它是周期现象．(4)在抛掷硬币的过程中,0和1的出现虽然可能重复,但没有规律(数学中称之为随机现象) ,因此它不是周期现象．10．如下图,分别写出适合以下条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360° ,k∈Z}．(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360° ,k∈Z} ,终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360° ,k∈Z} ,那么终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360° ,k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360° ,k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°,k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°,k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180° ,n∈Z}．(3)终边落在直线ON上的角的集合为C＝{β|β＝60°＋n·180° ,n∈Z} ,那么终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180° ,n∈Z}．|能力提升|(20分钟,40分)11．假设角α与65°角的终边相同,角β与－115°角的终边相同,那么α与β之间的关系是()A．α＋β＝－50°B．α－β＝180°C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)解析：由题意可知,α＝k1·360°＋65°(k1∈Z) ,β＝k2·360°－115°(k2∈Z) ,所以α－β＝(k1－k2)·360°＋180° ,记k＝k1－k2∈Z ,故α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)．答案：D12．如下图,终边落在直线y＝3x上的角的集合为________．解析：终边落在射线y＝3x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z} ,终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°,k∈Z} ,于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360° ,k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360° ,k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180° ,k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180° ,k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180° ,n∈Z}．答案：{α|α＝60°＋n·180° ,n∈Z}13．α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；(2)求θ ,使θ与α的终边相同,且－720°≤θ<0°.解析：(1)因为－1 910°÷360°＝－6余250° ,所以－1 910°＝－6×360°＋250°.(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z) ,因为－720°≤θ<0° ,所以－720°≤250°＋k·360°<0° ,即－9736≤k<－25 36,因为k∈Z ,所以k＝－1或－2.即250°＋(－1)·360°＝－110° ,250°＋(－2)·360°＝－470°.14．α是第四象限角,那么2α ,α2各是第几象限角?解析：由题意知k·360°＋270°<α<k·360°＋360°(k∈Z) ,因此2k·360°＋540°<2α<2k·360°＋720°(k∈Z) ,即(2k＋1)360°＋180°<2α<(2k＋1)360°＋360°(k∈Z) ,故2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．又k·180°＋135°<α2<k·180°＋180°(k∈Z) ,当k为偶数时,令k＝2n(n∈Z) ,那么n·360°＋135°<α2<n·360°＋180°(n∈Z) ,此时,α2是第二象限角；当k为奇数时,令k＝2n＋1(n∈Z) ,那么n·360°＋315°<α2<n·360°＋360°(n∈Z) ,此时,α2是第四象限角．。

专家点评（高新一中党效文）
张老师《角的概念的推广》一节的教学设计内容全面，环节齐全，过程详细，反思深刻，体现了老师对教材的深刻理解，新课标教学理念的贯彻和精细认真的工作态度。

教材分析透彻深刻，不但从教学内容上进行了全面的分析，还能从数学思想方法恰当把握；学情分析中重视初中知识基础和学生认知特点的分析，较好认识教学内容和学生认知特点的联系与对策；教学过程设计能从四个实例入手引出课题，及凸显出学习本节内容的必要性，有不失时机的激发学生的学习兴趣；教学中巧妙的运用多媒体投影对教学内容进行展示，既节省了宝贵的教学时间，有直观的展现学生不易理解的正角、负角、象限角形成过程，加深学生理解记忆。

设计的反馈练习更是别具匠心，体现易错概念的辨析、重点知识的巩固和主要方法的落实。

总的来说本节教学设计是一节优秀的教学案例，但有几个问题需再探讨一是角的定义中“一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角 ”应该没有旋转方向，逆时针方向旋转只定义了正角；二是教学设计中应把教师活动活动多、学生活动显得少了一些，概念的形成、理解、辨析多让学生参与或独立完成，会更有利于学生的发展。