角的概念的推广与任意角的三角函数练习题

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为 rad.【答案】2【解析】设扇形的圆心角为，半径为,则.【考点】弧度与扇形的面积和周长.2.一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】，【解析】由题设条件给出周长，面积，因为扇形周长由两半径和弧长组成，故可列出方程，再结合扇形面积公式：，可解得半径，从而求得圆心角试题解析：由得：将上式代入得（舍去）【考点】扇形的面积公式和弧长公式.3.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程4.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{α|α=k·360°+，k∈Z}B．{α|α=2kπ+60°，k∈Z}C．{α|α=k·180°+60°，k∈Z}D．{α|α=2kπ+，k∈Z}【答案】【解析】显然错误,因为集合中角度和弧度不统一;中错在．只有正确．【考点】终边相同的角的表示．5.若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为______________．【答案】【解析】在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为.【考点】终边相同的角的集合.6.已知角的终边经过点，则= ；【答案】【解析】，，.【考点】三角函数的定义7.已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．B．C．D．－【答案】A【解析】,,.故选A.【考点】三角函数的定义8.的值是（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】，选B.【考点】诱导公式及特殊角的三角函数值.9.的值是A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三角函数的诱导公式可知，故C为正确答案.【考点】三角函数的诱导公式、三角函数值的计算.10.已知角的终边过点，的值为（）．A．－B．－C．D．【答案】A【解析】，，选A【考点】任意角三角函数的定义11.若角的终边与2400角的终边相同，则的终边在第象限.【答案】二或四【解析】由题意知，，所以的终边在第二或四象限.【考点】象限角问题12. sin(-)= ．【答案】【解析】．【考点】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式求三角函数值得方法，属基础题．13.已知角的终边过，则= ．【答案】【解析】根据题意，由于角的终边过，那么可知，该点的，则可知该点的正切值为，结合角的范围可知，的值为，故答案为。

考点07任意角与弧度制及任意角的三角函数1．（2015·福建高考真题（文））若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于A ．125B ．125-C ．512D ．512-【答案】D 【详解】∵sin a =513-,且a 为第四象限角,∴1213cosa ==，则512sina tana cosa ==-，故选D.2．（2020·浙江高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==.故答案为：1【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)..(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.任意角的三角函数(x≠0)．(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．（2021·河北衡水中学高三月考）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（）A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-2．（2021·全国高三专题练习（文））斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形51()2AB ABCD BC -=中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ，……，如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④3．（2021·四川高三月考（文））已知角α的终边绕原点O 逆时针旋转2π后，得到角β的终边，角β的终边过点()8,P m -，且24cos 5mβ=，则tan α的值为（）A ．34±B ．34-C ．43-D ．434．（2021·安徽蚌埠市·高三其他模拟（文））已知1tan 2α=-，则21sin 2cos αα=-（）A ．54-B ．58-C ．58D ．545．（2021·河南高三其他模拟（文））若93tan 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A ．1517-B ．217-C ．217D ．15176．（2020·海伦市第一中学高三期中（文））已知点()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，则α的取值范围是（）．A ．()ππ2π,2π42k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．()3π2π,2ππ4k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z C ．()3π5π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z D ．()5π7π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 7．（2020·广东广州市·华南师大附中（文））已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．247B ．43-或34-C ．34-D ．43-8．（2020·四川省南充市白塔中学高三期中（文））已知tan 32α=，则sin 1cos αα=-（）A ．3B ．13C ．3-D ．13-9．（2020·全国高三专题练习）2291sin cos αα+的最小值为（）A ．18B ．16C ．8D ．610．（2020·全国高三专题练习）已知扇形面积为252cm ，当扇形的周长取得最小值时，扇形的圆心角为（）A ．2B ．3C ．4D ．511．（2020·甘肃省武威第一中学高三月考（文））中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A ．(35)π-B ．51)π-C ．(51)πD ．52)π12．（2020·陕西榆林市·高三一模（文））已知3y ax =+与函数()2ln 5f x x =+相切，则不等式组()010x ay x a y -≥⎧⎪⎨++≥⎪⎩确定的平面区域在2224x y +=内的面积为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．2π13．（2020·青铜峡市高级中学高三期中（文））《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）23 1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米14．（2019·新乡市第一中学高三月考（文））《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为3π，弦长等于2米的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为A ．3πB ．33π-C ．95322-D ．11332-15．（2020·全国高考真题（理））已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A ．53B ．23C ．13D ．5916．（2008·全国高考真题（文））若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角17．（2018·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中， ,,,AB CDEF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ． AB B ． CDC ． EFD ． GH18．（2014·全国高考真题（文））已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．45B ．35C ．35-D ．45-19．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=,则sin β=_____.20．（2015·浙江高考真题（文））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积1．B 【分析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果.【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=，因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-.故选：B.2．A 【分析】不妨设1AB =-，则2BC =，根据弧长公式求出,,l m n ，再对①②③④逐个验证可得答案.【详解】不妨设1AB =-，则2BC =，所以 )12l BEπ==⨯-，)213ED =-=-，所以»(32m EG π==⨯，(134CG =--=，所以º())422n GI ππ==⨯-=-，所以(())341222m n l πππ⨯-+⨯=⨯==+，故①正确；(22227342m π-⨯-==，))271222l n ππ-⨯⨯=⋅=，所以2m l n =⋅，故②正确；))51222l n πππ⨯-+-+==，((22332m ππ=⨯⨯=，所以2m l n ≠+，故③不正确；11l n l n l n ++==⋅，(1135232m ππ+==⨯-，所以211m l n ≠+，故④不正确；所以①②正确，故选：A 3．D 【分析】根据三角函数的定义求得m ，继而求得tan α得选项.【详解】由24cos 5mβ==，得0m >，化简可得()()225964m m =+，解得6m =，63tan 84β-==-，1tan tan 2tan πβαα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以4tan 3α=．故选：D ．4．B 【分析】把目标转化为二次齐次式，弦化切即可得到结果.【详解】∵1tan 2α=-，∴222221sin +cos tan 15sin 2cos 2sin cos cos 2tan 18ααααααααα+===----，故选：B5．A 【分析】由诱导公式求得3tan 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而得到tan 4α=，然后由三角恒等变换可得结果.【详解】因为93tan tan 2tan 4445πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1tan 3tan 41tan 5πααα-⎛⎫-==-⎪+⎝⎭，解得tan 4α=，则22222222cos sin 1tan 11615cos2cos sin cos sin 1tan 11617ααααααααα---=-====-+++故选：A.【点睛】方法点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子.比如2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan ααααααααα===++，22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ααααααααα--=-==++.6．D 【分析】利用已知条件得到cos sin 0sin cos 0αααα+<⎧⎨-<⎩，利用同角三角函数的基本关系得到21sin 2sin 0αα⎧>⎪⎨⎪<⎩，求出2sin 2α<-，即可得出答案.【详解】()cos sin ,sin cos P αααα+- 在第三象限，cos sin 0sin cos 0αααα+<⎧∴⎨-<⎩，2222sin cos sin 1sin sin 0sin 0αααααα⎧⎧>>-∴⇒⎨⎨<<⎩⎩，21sin 2sin 0αα⎧>⎪∴⎨⎪<⎩，sin 2α∴<-，()5π7π2π,2π44k k k α⎛⎫∴∈++∈ ⎪⎝⎭Z ．故选：D.【点睛】关键点睛：利用同角三角函数的基本关系得到2sin 2α<-解决本题的关键.7．D 【分析】由1sin cos 5αα+=，平方求得242sin cos 25αα=-，进而求得7sin cos 5αα-=，联立方程组求得sin ,cos αα的值，再结合sin tan cos ααα=，即可求解.【详解】由1sin cos 5αα+=，平方可得112sin cos 25αα+=，解得242sin cos 25αα=-，又由2249(sin cos )sin cos 2sin cos 25αααααα-=+-=，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得sin cos 0αα->，所以7sin cos 5αα-=，联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得43sin ,cos 55αα==-，所以sin tan s 43co ααα==-.本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，求得sin ,cos αα的值是解答的关键，着重考查运算与求解能力.8．B【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式以及同角三角函数的基本关系式，将所求的表达式化简为正切函数的形式，代入求解即可．【详解】解：已知tan 32α=，而222sin cos 2sin cos sin 1122221cos 32sin tan 112sin 222ααααααααα====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦和余弦公式，以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．9．B【分析】直接利用三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．【详解】()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭9116≥++，故选B ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．设扇形的半径是r ，弧长是l ，扇形的周长为y ，相应列出关系式，利用函数单调性得出结果.【详解】解：设扇形的半径是r ，弧长是l ，扇形的周长为y ，则2y l r =+，由题意得1252lr =，则50l r =，故502y r r =+()0r >，利用函数单调性的定义，可以证明当05r <≤，函数502y r r =+是减函数，当5r >时，函数502y r r =+是增函数，∴当=5r 时，y 取最小值20，此时10l =，2l r α==，即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值.故选：A.【点睛】本题考查扇形的面积公式，圆心角的求法，属于中档题.11．A【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=-故选:A【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长．12．C【分析】设切点为()00,x y ，可得()0000002325f x ax y ax y lnx ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪=+⎩'⎪⎪，解方程可得2a =，然后作出不等式组在2224x y +=内的区域，再利用扇形的面积公式即可求解.【详解】由3y ax =+与函数()2ln 5f x x =+相切，设切点为()00,x y ，则()0000002325f x a x y ax y lnx ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪=+⎩'⎪⎪，解得2a =，所以不等式组为2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，则不等式组确定的平面区域在2224x y +=内的面积为阴影部分，由题意可得1tan 2α=，11tan 33β⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-，所以4παβ+=，所以阴影部分的面积为：2112432424S R πππ=⨯⨯=⨯⨯=.故选：C【点睛】本题考查了导数的几何意义、不等式表示的平面区域、两角和的正切公式以及扇形的面积公式，综合性比较强，属于中档题.13．B【分析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.14．D【分析】新型定义题，本题中要用弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积，则需要利用经验中的公式进行计算，即需要求出本题中的弦长及矢长即可.【详解】在圆心角为3π，弦长等于2米的弧田中，半径为2，圆心到弦的距离为面积=12(弦×矢+矢²)=((211122222⎡⎤⨯+=-⎢⎥⎣⎦，故选D.【点睛】新型定义题型，已知一个公式计算公式，则需要把公式中所涉及的量一一计算出来，代入到公式中，即能完成本题.15．A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又5(0,),sin 3απα∈∴==.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.16．C【解析】sin 0α<，则α的终边在三、四象限；tan 0α>则α的终边在三、一象限，sin 0α<，tan 0α>，同时满足，则α的终边在三象限．17．C【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在 AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在 CD上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=，tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在 EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=，sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在 GH上且 GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.18．D【详解】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以4cos 5x r α==-.故选D.考点：三角函数的概念.19．13【详解】试题分析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，所以()1sin sin π2πsin 3k βαα=+-==.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .20．（1）25；（2）9【解析】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.（2）由1tan 3A =可得，sin ,cos 1010A A ==.3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=，所以11sin 39225ABC S ab C ∆==⨯⨯=.考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.。

高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数习题及详解一、选择题1．(2010·广州检测)若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] C[解析] ∵sin α<0，∴α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上， ∵tan α>0，∴α为第一、三象限角， ∴α为第三象限角．2．(2010·安徽省168中学联考)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( )A ．{(0,0)}B ．{(π，0)，(0,0)}C ．{(x ，y )|x ＝k π，y ＝0，k ∈Z }D ．∅ [答案] C[解析] 函数y ＝sin x 与y ＝tan x 图象的交点坐标为(k π，0)，k ∈Z .3．(2010·河北正定中学模拟)已知角α终边上一点P ⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.56π B.116π C.23πD.53π [答案] B[解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝32， sin α＝cos 2π3＝－cos π3＝－12，∴角α为第四象限角，∴α＝2π－π6＝11π6，故选B.4．(2010·山东师大附中模拟)cos ⎝⎛⎭⎫－523π＝( ) A ．－12B ．－32C.12D.32[答案] A[解析] cos ⎝⎛⎭⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝⎛⎭⎫17π＋π3 ＝－cos π3＝－12.5．(2010·河南新乡市模拟)已知角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.35 B ．－35C.45D ．－45[答案] B[解析] ∵a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝－5a ， ∴sin α＝3a r ＝－35，故选B.6．(2010·广东佛山顺德区质检)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22C ．－1D ．1[答案] D[解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π (k ∈Z )，b ＝π2＋2k π，∴cos a ＋b 2＝cos2k π＝1.7．(2010·青岛市质检)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32[答案] A[解析] 由条件知，π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴a 5＝π3，∴cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－cos π3＝－12，故选A.8．(2010·衡水市高考模拟)设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>cos25°>sin25°>0，log 12x 为减函数，∴a <c <b .9．(2010·北京西城区抽检)设0<|α|<π4，则下列不等式中一定成立的是( )A ．sin2α>sin αB ．cos2α<cos αC ．tan2α>tan αD ．cot2α<cot α[答案] B[解析] 当－π4<α<0时，A 、C 、D 不成立．如α＝－π6，则2α＝－π3，sin2α＝－32，sin α＝－12，－32<－12，tan2α＝－3，tan α＝－33，cot2α＝－33，cot α＝－3，而－3<－33，此时，cot2α>cot α.10．如图所示的程序框图，运行后输出结果为( )A ．1B ．2680C ．2010D ．1340[答案] C[解析] ∵f (n )＝2sin ⎝⎛⎭⎫n π3＋π2＋1＝2cos n π3＋1.由S ＝S ＋f (n )及n ＝n ＋1知此程序框图是计算数列a n ＝2cos n π3＋1的前2010项的和．即S ＝⎝⎛⎭⎫2cos π3＋1＋⎝⎛⎭⎫2cos 2π3＋1＋⎝⎛⎭⎫2cos 3π3＋1＋…＋⎝⎛⎭⎫2cos 2010π3＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋…＋cos 2010π3＋2010＝2×335×cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋cos 4π3＋cos 5π3＋cos 6π3＋2010＝2010.二、填空题11．(2010·南京调研)已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．[答案] 10[解析] 根据题意知tan α＝－6x ＝－35，所以x ＝10.12．已知△ABC 是锐角三角形，则点P (cos B －sin A ，tan B －cot C )，在第________象限． [答案] 二[解析] ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2，且A ＋B >π2，B ＋C >π2，∴π2>A >π2－B >0，π2>B >π2－C >0， ∵y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上都是增函数， ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，tan B >tan ⎝⎛⎭⎫π2－C ， ∴sin A >cos B ，tan B >cot C ，∴P 在第二象限．13．在(0,2π)内使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是______． [答案] (π4，5π4)[解析] 由三角函数定义结合三角函数线知，在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为(π4，5π4)．[点评] 要熟知单位圆中的三角函数线在三角函数值的大小中的应用．14．(文)(2010·上海嘉定区模拟)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________. [答案] －75[解析] 由条件知，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴cos α－sin α＝－75.(理)(2010·北京延庆县模拟)直线y ＝2x ＋1和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则sin(α＋β)＝________.[答案] －45[解析] 将y ＝2x ＋1代入x 2＋y 2＝1中得，5x 2＋4x ＝0，∴x ＝0或－45，∴A (0,1)，B ⎝⎛⎫－45，－35，故sin α＝1，cos α＝0，sin β＝－35，cos β＝－45， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－45.[点评] 也可以由A (0,1)知α＝π2，∴sin(α＋β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝cos β＝－45. 三、解答题15．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． [解析] ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.16．(文)已知sin θ、cos θ是方程x 2－(3－1)x ＋m ＝0的两根． (1)求m 的值； (2)求sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值．[解析] (1)由韦达定理可得⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝3－1 ①sin θ·cos θ＝m ② 由①得1＋2sin θ·cos θ＝4－2 3.将②代入得m ＝32－3，满足Δ＝(3－1)2－4m ≥0，故所求m 的值为32－ 3.(2)先化简：sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝cos 2θ－sin 2θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θ ＝3－1.(理)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0,2π)， (1)求sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)求m 的值；(3)求方程的两根及此时θ的值． [解析] (1)由韦达定理可知⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m 2②而sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12； (2)由①两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，将②代入得m ＝32； (3)当m ＝32时，原方程变为 2x 2－(1＋3)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12， ∴⎩⎨⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12cos θ＝32又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6或π3.17．周长为20cm 的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积． [解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， ∴l ＝20－2r ，S ＝12rl ＝12(20－2r )·r ＝(10－r )·r ， ∴当r ＝5时，S 取最大值．此时l ＝10，设卷成圆锥的底半径为R ，则2πR ＝10， ∴R ＝5π，∴圆锥的高h ＝52－⎝⎛⎭⎫5π2＝5π2－1π，V ＝13πR 2h ＝π3×⎝⎛⎭⎫5π2·5π2－1π＝125π2－13π2.。

角的概念的推广与任意角的三角函数基础巩固强化1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0，则角A 的终边一定落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 由sin A >0且tan A <0可知，cos A <0，所以角A 的终边一定落在第二象限．选B.(理)(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三角限角D ．第四象限角 [答案] C[解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可． 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．2．(文)(2011·杭州模拟)已知角α终边上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.56π B.116π C.23πD.53π[答案] B[解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝32， sin α＝cos 2π3＝－cos π3＝－12， ∴角α为第四象限角， ∴α＝2π－π6＝11π6，故选B.(理)已知锐角α终边上一点P 的坐标是(4sin3，－4cos3)，则α等于( )A ．3B ．－3C ．3－π2 D.π2－3[答案] C[解析] ∵π2<3<π，∴cos3<0，∴点P 位于第一象限， ∴tan α＝－cos3sin3＝sin (3－π2)cos (3－π2)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3－π2， ∵3－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝3－π2. 3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 设扇形的半径为R ，圆心角为α，则有2R ＋Rα＝12R 2α，即2＋α＝12Rα整理得R ＝2＋4α，由于4α≠0，∴R ≠2.4．已知点P (－3,4)在角α的终边上，则sin α＋cos α3sin α＋2cos α的值为( )A ．－16 B.16 C.718 D ．－1[答案] B[解析] 由条件知tan α＝－43， ∴sin α＋cos α3sin α＋2cos α＝tan α＋13tan α＋2＝16. 5．(文)设0≤θ<2π，如果sin θ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是( )A ．0<θ<3π4 B ．0<θ<π4或3π4<θ<π C.3π4<θ<π D.3π4<θ<5π4 [答案] B[解析] ∵0≤θ<2π，且sin θ>0，∴0<θ<π. 又由cos2θ>0得，2k π－π2<2θ<2k π＋π2， 即k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．∵0<θ<π， ∴θ的取值范围是0<θ<π4或3π4<θ<π.(理)(2011·海口模拟)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )A ．(π4，π2)B ．(π，5π4)C ．(3π4，5π4)D ．(π4，π2)∪(π，5π4)[答案] D[解析] ∵P 点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，如图，使sin α>cos α的角α终边在直线y ＝x 上方，使tan α>0的角α终边位于第一、三象限，又0≤α≤2π，∴π4<α<π2或π<α<5π4.6．(文)(2011·新课标全国理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45[答案] B[解析] 依题意：tan θ＝±2，∴cos θ＝±15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35或cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B.(理)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22 C ．－1 D ．1[答案] D[解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π (k ∈Z )，b ＝π2＋2k π，∴cos a ＋b 2＝cos2k π＝1.7．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.[答案] 25[解析] 由条件知x ＝－4m ，y ＝3m ，r ＝x 2＋y 2＝5|m |＝5m ，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.8．(2011·江西文)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.[答案] －8[解析] |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y2＝－255，解得y ＝±8，又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点， 可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.9．(文)(2012·南昌调研)已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值为________．[答案] －13[解析] cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13. (理)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A cos α，35，则cos α－sin α＝________.[答案] －75[解析] 由条件知，sin α＝35， ∴cos α＝－45，∴cos α－sin α＝－75. 10.(2011·广州模拟)A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC |2的取值范围．[解析] (1)∵A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，∴tan α＝43，∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋832－169＝20. (2)设A 点的坐标为(cos α，sin α)， ∵△AOB 为正三角形，∴B 点的坐标为(cos(α＋π3)，sin(α＋π3))，且C (1,0)， ∴|BC |2＝[cos(α＋π3)－1]2＋sin 2(α＋π3)＝2－2cos(α＋π3)．而A 、B 分别在第一、二象限， ∴α∈(π6，π2)． ∴α＋π3∈(π2，5π6)， ∴cos(α＋π3)∈(－32，0)． ∴|BC |2的取值范围是(2,2＋3).能力拓展提升11.(文)设α是第二象限角，且|sin α2|＝－sin α2，则α2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] C[解析] ∵α是第二象限角，∴α2是第一、三象限角， 又∵sin α2≤0，∴α2是第三象限角，故选C.(理)若α是第三象限角，则y ＝|sin α2|sin α2＋|cos α2|cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2 [答案] A[解析] ∵α为第三象限角，∴α2为第二、四象限角 当α2为第二象限角时，y ＝1－1＝0，当α2为第四象限角时，y ＝－1＋1＝0.12．(文)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B [解析]解法1：如图，由单位圆中三角函数线可知，当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.∴复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应点在第二象限．解法2：∵cos θ＋sin θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4.∴π<θ＋π4<3π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4<0. ∵π2<θ－π4<π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4>0， ∴当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.故选B.(理)(2011·绵阳二诊)记a ＝sin(cos2010°)，b ＝sin(sin2010°)，c ＝cos(sin2010°)，d ＝cos(cos2010°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d [答案] C[解析] 注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－12，cos2010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin(－32)＝－sin 32<0，b ＝sin(－12)＝－sin 12<0，c ＝cos(－12)＝cos 12>0，d ＝cos(－32)＝cos 32>0，∴c >d ，因此选C.[点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合训练．13．已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－15，则m 的值为________．[答案] －4[解析] r ＝32＋m 2＝m 2＋9， 依题意sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9，∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15.即m ＋3m 2＋9＝－15，解得m ＝－4或m ＝－94，经检验知m ＝－94不合题意，舍去． 故m ＝－4.14．(文)已知下列四个命题(1)若点P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255； (2)若α>β且α、β都是第一象限角，则tan α>tan β； (3)若θ是第二象限角，则sin θ2cos θ2>0； (4)若sin x ＋cos x ＝－75，则tan x <0. 其中正确命题的序号为________． [答案] (3)[解析] (1)取a ＝1，则r ＝5，sin α＝25＝255； 再取a ＝－1，r ＝5，sin α＝－25＝－255，故(1)错误．(2)取α＝2π＋π6，β＝π3，可知tan α＝tan π6＝33，tan β＝3，故tan α>tan β不成立，(2)错误．(3)∵θ是第二象限角，∴sin θ2cos θ2＝12sin θ>0，∴(3)正确． (4)由sin x ＋cos x ＝－75<－1可知x 为第三象限角，故tan x >0，(4)不正确．(理)直线y ＝2x ＋1和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则sin(α＋β)＝________.[答案] －45[解析] 将y ＝2x ＋1代入x 2＋y 2＝1中得，5x 2＋4x ＝0，∴x ＝0或－45，∴A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，故sin α＝1，cos α＝0，sin β＝－35，cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－45. [点评] 也可以由A (0,1)知α＝π2，∴sin(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝cos β＝－45. 15．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12， 所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 16．周长为20cm 的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积．[解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， ∴l ＝20－2r ，S ＝12rl ＝12(20－2r )·r ＝(10－r )·r ， ∴当r ＝5时，S 取最大值．此时l ＝10，设卷成圆锥的底半径为R ，则2πR ＝10， ∴R ＝5π， ∴圆锥的高h ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＝5π2－1π， V ＝13πR 2h ＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2·5π2－1π＝125π2－12.1．(2011·深圳一调、山东济宁一模)已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4[答案] D[解析] 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4. 2．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其所对圆心角的弧度数为( )A.π3B.2π3C. 3D. 2 [答案] C[解析] 设圆的半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R .∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR ＝ 3.3．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°＝sin65°>sin25°>0，y ＝log 12x 为减函数，∴a <c <b .4．如图所示的程序框图，运行后输出结果为( )A ．1B ．2680C ．2010D ．1340 [答案] C[解析] ∵f (n )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π3＋π2＋1＝2cos n π3＋1.由S ＝S ＋f (n )及n ＝n ＋1知此程序框图是计算数列a n ＝2cos n π3＋1的前2010项的和．即S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 3π3＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2010π3＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋…＋cos 2010π3＋2010＝2×335×cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋cos 4π3＋cos 5π3＋cos 6π3＋2010＝2010.5．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．[解析] ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x .∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66； 当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.。

第七章 三角函数【一】角的概念的推广与弧度制一、单选题1.在下列各组角中，终边不同的一组是（ ）A.60°与-300°B.1000°与-280°C.950°与230°D.1050°与-390°2.下列说法正确的有几个（ ）（1）锐角是第一象限的角（2）第一象限角是锐角（3）小于90°的角是锐角（4）0°～90°的角是锐角A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知α是锐角，那么2α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第一象限角或第二象限角D.小于180°的正角4.已知α是钝角，那么2α是（ ） A.第一象限的角 B.第二象限的角C.第一或第二象限角D.不大于直角的正角5.已知α是第三象限角，那么2α是（ ） A.第一象限角 B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角6.-135°用弧度制表示为（ ） A.43π B.- 43π C.-45π D.47π 7.如果α和β终边相同，那么下式中正确的是（ ）A.βα=B.)(2z k k ∈=+πβαC.πβα2=-D.)(2z k k ∈=-πβα8.时钟转过一小时，时针转过了（ ） A.rad 6π B.- rad 6π C.rad 12π D.- rad 12π二、填空题：1.终边落在y 轴上的角的集合是 ；终边落在x 轴上的角的集合是 .2.终边落在第三象限的角的集合是 .3.直径是8的圆中，圆心角210°所对的弧长是 .4.在0°～360°之间与角-570°终边相同的角是 .三、解答题：1.判定下列各角是第几象限角：（1）45π （2）-526π (3)-35π (4)311π (5)635π (6)-427π2.在0°～360°之间，找出与下列各角终边相同的角：（1）-135° （2）420° （3）2741° (4)397°【二】任意角的三角函数（诱导公式、基本关系式、三角函数值符号）一、单选题：1.下列关系式中正确的是（ ）A.sin(-195°)<0B.cos(-675°)<0C.tan585°>0D.tan1010°>02.若α是第二象限角，)5,(x P 为其终边上一点，且x 42cos =α，则αsin =（ ） A.410 B.46 C.42 D.-410 3.sin600°的值是（ ） A.21 B.- 21 C.23 D.- 23 4.若tan α=3,则sin αcos α=（ ） A.-310 B.310 C.-103 D.103 5.sin 21)(=+πθ,则cos(2θπ-)=（ ） A.23 B.- 23 C.±23 D.±21 6.已知θθ,54sin =是第二象限角，则θcos 等于（ ） A.53 B.- 53 C.±53 D.±54 7.若53sin =α且),2(ππα∈，则=-)tan(απ（ ） A.34 B.- 34 C.43 D.- 43 8.设317πα=，则（ ） A.0cos ,0sin >>αα B.0cos ,0sin <<ααC.0cos ,0sin <>ααD.0cos ,0sin ><αα9.已知0cos sin <•αα，则α是第几象限角（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第二或第四象限角二、填空题：1.已知21cos -=α，α是第三象限角，则αsin = ，αtan =2.43tan =α，则αsin = ，αcos = 3.已知3tan =α，则ααααcos 4sin 3cos sin +-= 4.a =+ααcos sin ，则αα33cos sin += 5.πππcos 1023sin 30cos 22sin 5+-+= 6.若51cos =α，α是第四象限角，则)2cos(απ+= 三、解答题：1.化简（1）)sin()2tan()2tan()cos(απαππαπα+---（2）)3tan()5cos()tan()tan()2sin(απαππαπααπ----+-2.已知2cos sin =+αα，求值：（1）ααcos sin ⋅（2）αα44cos sin +3.若ααπ,53)cos(=-是第三象限角，ββ,54sin =是第二象限角，求)tan(βα-的值.4.已知21)sin(=-θπ，θ是第二象限角，求)2cos(θπ-的值.5.已知2tan =θ，求αααα22cos sin cos sin 21-+的值.【三】两角和与差的三角函数一、单选题：1.=-)75sin( （ ） A.262- B.- 262- C.462- D.- 426+ 2. 15sin 2115cos 23-=（ ） A.22 B.2 C.- 22 D.226+ 3.在ABC ∆中，若135cos ,54cos ==B A ，则C cos 的值是（ ） A.6516 B.6556 C.- 6516 D.- 6556 4.若53sin =α，且),2(ππα∈，则=-)4cos(απ（ ） A.-52 B.-102 C.-1027 D.-527 5.已知3tan ,2tan ==βα，则)tan(βα+的值为（ ） A.-71 B.-1 C.75 D.51 6.已知54tan 1tan 1+=+-αα，则=-)4tan(απ（ ） A.4+5 B.4-5 C.-4-5 D.-4+57. 在ABC ∆中，已知B A tan ,tan 是方程01832=-+x x 的两个根，则=C tan （ ）A.2B.-2C.4D.-4 8.=-8sin 8cos 22ππ（ ）A.0B.22C.1D.- 229.已知31cos sin =+αα，则α2sin 的值是（ ） A.98 B.- 98 C.917 D.- 91710.已知54cos ),0,2(=-∈x x π，则=x 2tan （ ） A.247 B.- 247 C.724 D.- 72411.已知 360180<<α，则=2cos α（ ） A.-2cos 1α- B. 2cos 1α- C.-2cos 1α+ D. 2cos 1α+12.已知α是第三象限角，并且2524sin -=α，则=2tan α（ ） A.34 B.43 C.- 43 D.- 3413.已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，则θ2sin 等于（） A.322 B.- 322 C.32 D.- 3214.化简=-ααcos 3sin 3（ ） A.)3sin(32πα- B.)3cos(32πα- C.)6sin(32πα- D.)6cos(32πα+ 15.=---)4(sin )4(cos 22απαπ（ ）A.α2sinB.-α2sinC.α2cosD.-α2cos二、填空题：1.已知θ是锐角，且a =θ2sin ，则θθcos sin +=2.化简=--+2cos 4)24(sin 2sin 12ααπα 3.已知2tan =α，则=-+αααα22cos sin cos sin 21 4.已知31sin cos 2cos sin =-+αααα，则=α2tan 5.=+-15tan 3115tan 36.若322cos =α时，=+αα44cos sin 7.=-+ 50tan 70tan 350tan 70tan 8.=+12cos 12sin 3ππ，=125cos 12cos ππ 9.已知αα,53cos =是第四象限角，则=2tan α 10.已知3tan =α，则=ααcos sin三、解答题：1.已知1312sin =α，53cos -=β，βα,均为第二象限角，求)cos(βα-.2.已知βα,都是锐角，1411)cos(,71cos -=+=βαα，求βcos 的值.3.已知 18090,900,2tan ,31tan <<<<-==βαβα，求βα+.4.计算：（1） 10cos 310sin 1-；（2）)310(tan 40sin - ；（3）)212cos 4(12sin 312tan 32-- ；（4） 20sin 280cos 380sin --.5.已知2tan =θ，求)2sin(21sin 2cos 22θπθθ+--.6.设32+是一元二次方程01)cot (tan 2=++-x x θθ的一个根，求θ2sin 的值.7．已知2cos sin 2cos 3sin -=+-αααα，求：（1）α2tan ；（2）αααα22cos cos sin sin 2++.8.已知θθcos 4sin 3=，且0sin <θ，求2tan θ.9.已知222tan -=θ，且πθπ22<<，求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值.10.已知θsin 和θcos 是方程0)13(22=++-m x x 的两根，求θθθθtan 1cos cot 1sin -+-的值.11.已知135)4sin(=-x π，且)4,0(π∈x ，求x 2cos .【四】三角函数的图象和性质 一、单选题：1.要得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数2sin xy =的图象（ ）A.向右平移6π个单位B.向左平移6π个单位C. 向右平移3π个单位D. 向左平移3π个单位2.在下面函数中，既是偶函数，又是周期函数的是（ ）①)42sin(2)(π-=x x f ②2cos )(xx f =③x x x f sin )(=④|tan |)(x x f =A.①和④B.③和④C.②④D.①②③④ 3.如果α是锐角，ααcos sin +的值域为（ ）A.[)2,1B.(]2,1 C.[]1,0 D.(]1,0 4.下列函数中，周期为π的偶函数是（ ）A.x y 2sin =B.2cos xy =C.x x y 2cos 2sin =D.xxy 22tan 1tan 1+-= 5.函数)0)(5cos()5sin(>--=ωπωπωx x y 的周期是2，则ω=（ ）A.1B.πC.2πD.4π6.已知π<<x 0，且x x cos sin >，则∈x （ ）A.（0，4π）B.（4π，43π）C.（4π，π） D.（43π，π）7. 函数x y 2cos 2=的最小正周期是（ ）A.4π B.2πC.πD.2π 8.函数)326)(3cos(2πππ≤≤-=x x y 的最小值是（ ）A.-2B.-3C.-1D.19.若函数x x f y sin )(=是周期为π的奇函数，则)(x f 可以是（ ） A.x sin B.x cos C.x 2sin D.x 2cos 10.函数)2||0,0,0)(sin(πϕωϕω<<>>+=A x A y 在一个周期内的图象的最高点是（12π，2），最低点是（127π，-2），则ϕω，的值分别是（ ） A.321π， B.2，6π C.2，3π D.1，3π 11.函数)3sin()23cos(ππ-+=x x y 的周期是（ ）A.32π B.3πC.- 32πD.π 12.下列函数中不是奇函数的是（ ）A.x x y cos sin +=B.1cos -=x x yC.xxx y cos tan sin -=D.|tan |x x y =二、填空题：1.x y sin =的定义域为2.若函数a x y +=2sin2的最大值为4，则a = ；若函数2sin 2x a y -=的最大值为4，则a =3.函数2)5cos 5(sin xx y +=的最小正周期为4.函数)32sin(2π-=x y 的单调增区间为 ，单调减区间为5.函数x x y 44cos sin -=的周期为 ，当x = 时，m ax y = ；当x = 时，min y =6.函数)4tan(π-=x y 的定义域为7.比较大小：（1）︒80cos ︒130cos ；（2）)3tan(π- 5tan π；（3）56sin π 58sin π；（4）511tan π 45tan π8.若35sin ax -=成立，则a 的取值范围是9.函数x x y cos sin 2+=的值域为三、解答题：1．求函数最大值和最小值及对应的x 取值.（1）x y cos 21-= （2）x x y cos sin += （3）)3cos()3cos(ππ--+=x x y（4）x x y 2cos 2sin 3= （5）x x y 2sin 2cos 3-= （6）)cos (sin sin 2x x x y +=2.求下列函数的值域:（1）3sin 4sin 2+-=x x y （2）1sin cos 2+-=x x y3.已知函数12cos 2sin 3)(++=x x x f （1）求函数的周期；（2）当x 取何值时，函数有最大值与最小值，并求出最大值和最小值.4.已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y （1）求函数的周期；（2）当x 取何值时，函数有最大值与最小值.5.已知222sin -=θ且πθπ22<<，求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值.6.已知函数)sin(ϕω+=x A y 的图象如下图所示：（1） 求函数周期；（2）求函数解析式.【五】三角函数综合测试 一、 单选题：1.（03年）若α是第二象限角，则下列命题中正确的是（ ）A.αααcos sin tan = B.αα2cos 1sin -=C.ααcos )cos(-=-D.απαsin )3sin(=- 2.（03年）函数x x y cot 2sin =的最小正周期是（ ）A.πB.2πC.23πD.2π3.（04年）︒960sin =（ ）A.-21 B.21C.-23D.23 4.（05年）若角α满足条件ααααcos sin ,0cos sin ><，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知θθ,52cos =为第四象限角，则)3sin(θπ+=（ ）A.53B.- 53C.521D.- 5216.（06年）函数x x y 22sin cos -=的最大值是（ ） A.2 B.2 C.0 D.17.（06年）设2tan =α，且0cos <α，则αsin =（ ） A.-522 B. 522 C.-52 D.518.（07年）若21)sin(=+πθ，则)2cos(θπ-=（ ） A.23 B.- 23 C.±23 D.±21 9.（08年）已知31sin -=α，α是第三象限角，则αtan =（ ）A.42 B.- 42 C.22 D.- 22 10.（10年）若函数)0(cos sin >⋅=ωωωx x y 的最小正周期为4π，则ω=（ ） A.41 B.21C.2D.4 11.下列区间是函数)4sin(π+=x y 的单调增区间的是（ ）A.],2[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ 12.要得到)32sin(π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ）A.向右平移3π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D. 向左平移6π个单位13.设Z k ∈，正切函数x y tan =的定义域为（ ）A.R z k ∈B.)232,22(ππππ++k k z k ∈ C.)22,22(ππππ+-k k z k ∈ D.)2,2(ππππ+-k k z k ∈14.函数)4sin(π+=x y 取得最大值时，x =（ ）A.{}Z k k x x ∈=,2|πB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,22|ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,4|ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,42|ππ15.下列函数周期为π的偶函数是（ ）A.|sin |x y =B.x x y 2cos 2sin +=C.x x y cos sin ⋅=D.x x y tan sin ⋅= 二、填空题：16.（03年）︒+︒15cot 15tan =17.（04年）βα,都是锐角，且βαsin sin >，则αcos 与βcos 的大小关系是18.（06年）若)2(53sin παπα<<=，则)6sin(πα+=19.（07年）)4cos(cos sin πααα-+=20.（08年）=︒+︒15cos 15sin21.已知2tan =α，则=+)4tan(απ三、解答题：22.（03年）求函数1cos 2cos 21)(+-=x x x f 的最大值和最小值.23.(05年)已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值.24.（06年）已知)20(1tan 12sin sin 22παααα<<=++，求ααcos sin +的值.25.（08年）正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如图：（1）指出函数的周期；（2）写出函数的解析式.26.（09年）已知函数x x x x f 2cos cos sin 2)(+⋅=,（1）求)43(πf 的值；（2）若22)4(=αf 且23παπ<<，求αcos 的值.27.（10年）已知3tan -=θ，（1）求θ2tan 的值；（2）求)4sin(21sin 2cos 22θπθθ--+的值.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

第七章 三角函数【一】角的概念的推广与弧度制一、单选题1.在下列各组角中，终边不同的一组是（ ）A.60°与-300°B.1000°与-280°C.950°与230°D.1050°与-390°2.下列说法正确的有几个（ ）（1）锐角是第一象限的角（2）第一象限角是锐角（3）小于90°的角是锐角（4）0°～90°的角是锐角A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知α是锐角，那么2α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第一象限角或第二象限角D.小于180°的正角4.已知α是钝角，那么2α是（ ） A.第一象限的角 B.第二象限的角C.第一或第二象限角D.不大于直角的正角5.已知α是第三象限角，那么2α是（ ） A.第一象限角 B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角6.-135°用弧度制表示为（ ） A.43π B.- 43π C.-45π D.47π 7.如果α和β终边相同，那么下式中正确的是（ ）A.βα=B.)(2z k k ∈=+πβαC.πβα2=-D.)(2z k k ∈=-πβα8.时钟转过一小时，时针转过了（ ） A.rad 6π B.- rad 6π C.rad 12π D.- rad 12π二、填空题：1.终边落在y 轴上的角的集合是 ；终边落在x 轴上的角的集合是 .2.终边落在第三象限的角的集合是 .3.直径是8的圆中，圆心角210°所对的弧长是 .4.在0°～360°之间与角-570°终边相同的角是 .三、解答题：1.判定下列各角是第几象限角：（1）45π （2）-526π (3)-35π (4)311π (5)635π (6)-427π2.在0°～360°之间，找出与下列各角终边相同的角：（1）-135° （2）420° （3）2741° (4)397°【二】任意角的三角函数（诱导公式、基本关系式、三角函数值符号）一、单选题：1.下列关系式中正确的是（ ）A.sin(-195°)<0B.cos(-675°)<0C.tan585°>0D.tan1010°>02.若α是第二象限角，)5,(x P 为其终边上一点，且x 42cos =α，则αsin =（ ） A.410 B.46 C.42 D.-410 3.sin600°的值是（ ） A.21 B.- 21 C.23 D.- 23 4.若tan α=3,则sin αcos α=（ ） A.-310 B.310 C.-103 D.103 5.sin 21)(=+πθ,则cos(2θπ-)=（ ） A.23 B.- 23 C.±23 D.±21 6.已知θθ,54sin =是第二象限角，则θcos 等于（ ） A.53 B.- 53 C.±53 D.±54 7.若53sin =α且),2(ππα∈，则=-)tan(απ（ ） A.34 B.- 34 C.43 D.- 43 8.设317πα=，则（ ） A.0cos ,0sin >>αα B.0cos ,0sin <<ααC.0cos ,0sin <>ααD.0cos ,0sin ><αα9.已知0cos sin <∙αα，则α是第几象限角（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第二或第四象限角二、填空题：1.已知21cos -=α，α是第三象限角，则αsin = ，αtan =2.43tan =α，则αsin = ，αcos = 3.已知3tan =α，则ααααcos 4sin 3cos sin +-= 4.a =+ααcos sin ，则αα33cos sin += 5.πππcos 1023sin 30cos 22sin 5+-+= 6.若51cos =α，α是第四象限角，则)2cos(απ+= 三、解答题：1.化简（1）)sin()2tan()2tan()cos(απαππαπα+---（2）)3tan()5cos()tan()tan()2sin(απαππαπααπ----+-2.已知2cos sin =+αα，求值：（1）ααcos sin ⋅（2）αα44cos sin +3.若ααπ,53)cos(=-是第三象限角，ββ,54sin =是第二象限角，求)tan(βα-的值.4.已知21)sin(=-θπ，θ是第二象限角，求)2cos(θπ-的值.5.已知2tan =θ，求αααα22cos sin cos sin 21-+的值.【三】两角和与差的三角函数一、单选题：1.=-)75sin( （ ） A.262- B.- 262- C.462- D.- 426+2. 15sin 2115cos 23-=（ ） A.22 B.2 C.- 22 D.226+ 3.在ABC ∆中，若135cos ,54cos ==B A ，则C cos 的值是（ ） A.6516 B.6556 C.- 6516 D.- 6556 4.若53sin =α，且),2(ππα∈，则=-)4cos(απ（ ） A.-52 B.-102 C.-1027 D.-527 5.已知3tan ,2tan ==βα，则)tan(βα+的值为（ ） A.-71 B.-1 C.75 D.51 6.已知54tan 1tan 1+=+-αα，则=-)4tan(απ（ ） A.4+5 B.4-5 C.-4-5 D.-4+57. 在ABC ∆中，已知B A tan ,tan 是方程01832=-+x x 的两个根，则=C tan （ ）A.2B.-2C.4D.-4 8.=-8sin 8cos 22ππ（ ） A.0 B.22 C.1 D.- 229.已知31cos sin =+αα，则α2sin 的值是（ ） A.98 B.- 98 C.917 D.- 91710.已知54cos ),0,2(=-∈x x π，则=x 2tan （ ） A.247 B.- 247 C.724 D.- 72411.已知 360180<<α，则=2cos α（ ） A.-2cos 1α- B. 2cos 1α- C.-2cos 1α+ D. 2cos 1α+12.已知α是第三象限角，并且2524sin -=α，则=2tan α（ ） A.34 B.43 C.- 43 D.- 3413.已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，则θ2sin 等于（） A.322 B.- 322 C.32 D.- 3214.化简=-ααcos 3sin 3（ ） A.)3sin(32πα- B.)3cos(32πα- C.)6sin(32πα- D.)6cos(32πα+ 15.=---)4(sin )4(cos 22απαπ（ ）A.α2sinB.-α2sinC.α2cosD.-α2cos二、填空题：1.已知θ是锐角，且a =θ2sin ，则θθcos sin +=2.化简=--+2cos 4)24(sin 2sin 12απα 3.已知2tan =α，则=-+αααα22cos sin cos sin 21 4.已知31sin cos 2cos sin =-+αααα，则=α2tan 5.=+-15tan 3115tan 36.若322cos =α时，=+αα44cos sin 7.=-+ 50tan 70tan 350tan 70tan 8.=+12cos 12sin 3ππ ，=125cos 12cos ππ 9.已知αα,53cos =是第四象限角，则=2tan α 10.已知3tan =α，则=ααcos sin三、解答题：1.已知1312sin =α，53cos -=β，βα,均为第二象限角，求)cos(βα-.2.已知βα,都是锐角，1411)cos(,71cos -=+=βαα，求βcos 的值.3.已知 18090,900,2tan ,31tan <<<<-==βαβα，求βα+.4.计算：（1） 10cos 310sin 1-；（2）)310(tan 40sin - ；（3）)212cos 4(12sin 312tan 32-- ；（4） 20sin 280cos 380sin --.5.已知2tan =θ，求)2sin(21sin 2cos 22θθθ+--.6.设32+是一元二次方程01)cot (tan 2=++-x x θθ的一个根，求θ2sin 的值.7．已知2cos sin 2cos 3sin -=+-αααα，求：（1）α2tan ；（2）αααα22cos cos sin sin 2++.8.已知θθcos 4sin 3=，且0sin <θ，求2tan θ.9.已知222tan -=θ，且πθπ22<<，求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值.10.已知θs i n 和θcos 是方程0)13(22=++-m x x 的两根，求θθθθt a n 1c o sc o t 1s i n -+-的值.11.已知135)4sin(=-x π，且)4,0(π∈x ，求x 2cos .【四】三角函数的图象和性质 一、单选题：1.要得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数2sin xy =的图象（ ）A.向右平移6π个单位 B.向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移3π个单位2.在下面函数中，既是偶函数，又是周期函数的是（ ）①)42sin(2)(π-=x x f ②2cos )(xx f =③x x x f sin )(=④|tan |)(x x f =A.①和④B.③和④C.②④D.①②③④ 3.如果α是锐角，ααcos sin +的值域为（ ）A.[)2,1B.(]2,1 C.[]1,0 D.(]1,0 4.下列函数中，周期为π的偶函数是（ ）A.x y 2sin =B.2cos xy =C.x x y 2cos 2sin =D.xxy 22tan 1tan 1+-= 5.函数)0)(5cos()5sin(>--=ωπωπωx x y 的周期是2，则ω=（ ）A.1B.πC.2πD.4π6.已知π<<x 0，且x x cos sin >，则∈x （ ）A.（0，4π）B.（4π，43π）C.（4π，π）D.（43π，π）7. 函数x y 2cos 2=的最小正周期是（ ）A.4π B.2πC.πD.2π 8.函数)326)(3cos(2πππ≤≤-=x x y 的最小值是（ ） A.-2 B.-3 C.-1 D.19.若函数x x f y sin )(=是周期为π的奇函数，则)(x f 可以是（ ） A.x sin B.x cos C.x 2sin D.x 2cos10.函数)2||0,0,0)(sin(πϕωϕω<<>>+=A x A y 在一个周期内的图象的最高点是（12π，2），最低点是（127π，-2），则ϕω，的值分别是（ ）A.321π，B.2，6πC.2，3πD.1，3π 11.函数)3sin()23cos(ππ-+=x x y 的周期是（ ）A.32π B.3π C.- 32π D.π 12.下列函数中不是奇函数的是（ ）A.x x y cos sin +=B.1cos -=x x yC.xxx y cos tan sin -=D.|tan |x x y =二、填空题：1.x y sin =的定义域为2.若函数a x y +=2sin2的最大值为4，则a = ；若函数2sin 2x a y -=的最大值为4，则a =3.函数2)5cos 5(sin xx y +=的最小正周期为4.函数)32sin(2π-=x y 的单调增区间为 ，单调减区间为5.函数x x y 44c o s s i n -=的周期为 ，当x = 时，m a xy = ；当x = 时，min y = 6.函数)4tan(π-=x y 的定义域为7.比较大小：（1）︒80cos ︒130cos ；（2）)3tan(π- 5tan π；（3）56sin π 58sin π；（4）511tan π 45tan π8.若35sin ax -=成立，则a 的取值范围是9.函数x x y cos sin 2+=的值域为三、解答题：1．求函数最大值和最小值及对应的x 取值.（1）x y cos 21-= （2）x x y cos sin += （3）)3cos()3cos(ππ--+=x x y（4）x x y 2cos 2sin 3= （5）x x y 2sin 2cos 3-= （6）)cos (sin sin 2x x x y +=2.求下列函数的值域:（1）3cos2+-sinxy（2）1=xy4sinsin2+-=xx3.已知函数1=x+x(+xf（1）求函数的周期；（2）当x取何值时，22cossin)3函数有最大值与最小值，并求出最大值和最小值.4.已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y （1）求函数的周期；（2）当x 取何值时，函数有最大值与最小值.5.已知222sin -=θ且πθπ22<<，求)4sin(21sin 2cos 22θθθ+--的值.6.已知函数)sin(ϕω+=x A y 的图象如下图所示：（1） 求函数周期；（2）求函数解析式.【五】三角函数综合测试 一、 单选题：1.（03年）若α是第二象限角，则下列命题中正确的是（ ）A.αααcos sin tan = B.αα2cos 1sin -=C.ααcos )cos(-=-D.απαsin )3sin(=- 2.（03年）函数x x y cot 2sin =的最小正周期是（ ）A.πB.2π C.23π D.2π3.（04年）︒960sin =（ ） A.-21 B.21 C.-23 D.234.（05年）若角α满足条件ααααcos sin ,0cos sin ><，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知θθ,52cos =为第四象限角，则)3sin(θπ+=（ ）A.53B.- 53C.521D.- 5216.（06年）函数x x y 22sin cos -=的最大值是（ ） A.2 B.2 C.0 D.17.（06年）设2tan =α，且0cos <α，则αsin =（ ） A.-522 B. 522 C.-52 D.518.（07年）若21)sin(=+πθ，则)2cos(θπ-=（ ） A.23 B.- 23 C.±23D.±219.（08年）已知31sin -=α，α是第三象限角，则αtan =（ ）A.42 B.- 42 C.22 D.- 22 10.（10年）若函数)0(cos sin >⋅=ωωωx x y 的最小正周期为4π，则ω=（ ） A.41 B.21C.2D.4 11.下列区间是函数)4sin(π+=x y 的单调增区间的是（ ）A.],2[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ12.要得到)32sin(π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ）A.向右平移3π个单位B.向左平移3π个单位C.向右平移6π个单位D. 向左平移6π个单位13.设Z k ∈，正切函数x y tan =的定义域为（ ） A.R z k ∈ B.)232,22(ππππ++k k z k ∈ C.)22,22(ππππ+-k k z k ∈ D.)2,2(ππππ+-k k z k ∈14.函数)4sin(π+=x y 取得最大值时，x =（ ）A.{}Z k k x x ∈=,2|πB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,22|ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,4|ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,42|ππ15.下列函数周期为π的偶函数是（ ）A.|sin |x y =B.x x y 2cos 2sin +=C.x x y cos sin ⋅=D.x x y tan sin ⋅= 二、填空题：16.（03年）︒+︒15cot 15tan =17.（04年）βα,都是锐角，且βαsin sin >，则αcos 与βcos 的大小关系是18.（06年）若)2(53sin παπα<<=，则)6sin(πα+=19.（07年）)4cos(cos sin πααα-+=20.（08年）=︒+︒15cos 15sin21.已知2tan =α，则=+)4tan(απ三、解答题：22.（03年）求函数1cos 2cos 21)(+-=x x x f 的最大值和最小值.23.(05年)已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值.24.（06年）已知)20(1tan 12sin sin 22παααα<<=++，求ααcos sin +的值.25.（08年）正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如图：21 （1）指出函数的周期；（2）写出函数的解析式.26.（09年）已知函数x x x x f 2cos cos sin 2)(+⋅=,（1）求)43(πf 的值；（2）若22)4(=αf 且23παπ<<，求αcos 的值.27.（10年）已知3tan -=θ，（1）求θ2tan 的值；（2）求)4sin(21sin 2cos 22θπθθ--+的值.。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.如果角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用三角函数的定义，求出.因为角θ的终边经过点,由三角函数的定义可知，，故选A.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.半径为，中心角为所对的弧长是（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】弧长cm,故选D.【考点】弧长公式：（其中的单位是弧度）.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程7.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.8.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.9.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.10.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】先利用诱导公式化简，根据三角函数的定义知，即，故选B.【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．11. 60°=_________．（化成弧度）【答案】【解析】根据,可得．【考点】角度与弧度的互化．12.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角13.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.14.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．15.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．16.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．17.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．18.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为 .【答案】π【解析】扇形的面积公式为.【考点】扇形的弧度制面积公式.19.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.20.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算21.已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为___________cm2。

高三数学第一轮复习实用知识点归纳（一）-------适用于广东考纲主要内容：三角函数 知识点归纳：这部分知识考查出现频率较高，主要出现在选择填空题和解答题第一题，内容有： 1、角的概念的推广．2、任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．3、两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．4、正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像 和性质．已知三角函数值求角． 三角函数复习主要路线： 一、三角函数的概念设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: ⑴ 叫做α的正弦,记作 , ⑵ 叫做α的余弦,记作 , ⑶ 叫做α的正切,记作 , 二、各象限内三角函数正负号的判断三、同角的三角函数关系1、同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 ，商等于 。

即 ; 。

对应练习：4、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－55 B ．－ 5 C ．552 D ．255、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A ．sin α B ．cos αC ．tan α D ．tan 1α 6、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ）A ．25B ．－25 C ．0 D ．与α的取值有关7、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=42x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 8、),0(,54cos παα∈=，则tan α的值等于（）A ．34B ．43C ．34±D ． 43±9、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 23 ,则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形 10、已知sin αcos α = 18,则cos α－sin α的值等于 （ ）A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－2311、若15tan =α，则=αcos；=αsin．12、化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β=．13、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________． 四、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”1、公式一 sin sinCos 整数π ± ∂ = ± cos ∂ Tan tan注：“整数π”既是“2π偶数”， 也就是在用诱导公式的时候把复杂的角度拿出“整数π”，剩下的∂在运用公式的时候要看成是锐角去理解，但实际只要符合以上公式的形式的情况下，即可用相应的诱导公式化简。

第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式3.任意角的三角函数 (1)定义(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝yr；cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.已知角θ的终边过点P (－12，m )，cos θ＝－1213，则m 的值为( ) A.－5 B.5C.±5D.±8答案 C解析 由三角函数的定义可知cos θ＝－12（－12）2＋m2＝－1213，解得m ＝±5. 3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°}解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0D.sin 2α<0答案 D解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角 答案 BD解析 对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，∵角α的终边在第二象限， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4＜α2＜2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4＜α2＜(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三象限角，故正确.6.(2021·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad. 答案 π50解析 ∵周角为2π rad ， ∴1密位＝2π6 000＝π3 000(rad)， ∴60密位＝π3 000·60＝π50(rad).考点一 角的概念及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A 、B ，易知D 错误，C 正确.2.(多选题)(2021·海南调研)已知α为第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 BD解析 ∵α为第三象限角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2m ，m ∈Z 时，π2＋2m π<α2<3π4＋2m π，m ∈Z ，此时α2在第二象限， 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，3π2＋2m π<α2<7π4＋2m π，m ∈Z ， 此时α2在第四象限.综上，α2的终边在第二或第四象限.3.终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3解析 终边在直线y ＝3x 上的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，又由α∈[－2π，2π)，即－2π≤π3＋k π<2π，k ∈Z ， 解得k ＝－2，－1，0，1，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.感悟升华 1.确定nα，αn (n ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn 的范围，然后根据n 的可能取值讨论确定nα或αn 的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法). 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 考点二 弧度制及其应用【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，若α＝π3，R ＝10 cm ，求：(1)扇形的面积；(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 (1)由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). (2)l ＝α·R ＝π3·10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3·10－12×102×32＝50π－7533(cm 2).感悟升华 应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练1】 (1)(多选题)(2020·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2(2)已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 答案 (1)ABC (2)4解析 (1)设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1. (2)设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ， 则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r ) ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4， 所以S max ＝4(cm 2).考点三 三角函数的定义及应用角度1 求三角函数值【例2】已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A.－33 B.±33C.－32D.±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32. 综上sin α·tan α＝－32. 角度2 由三角函数值求参数【例3】已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32 C.12D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m >0，解得m ＝12.角度3 三角函数值的符号【例4】 (多选题)(2021·重庆调研)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边可能在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.y 轴上D.x 轴上答案 AD解析∵|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，∴cos θ≥0，tan θ≤0，∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上，∴角θ2的终边在第二、四象限或x轴上.故选AD.感悟升华 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【训练2】(1)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y＝________.答案(1)D(2)－3解析(1)由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.故选D.(2)因为sin θ＝－31010<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y ＝－3.A 级 基础巩固一、选择题1.小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为( ) A.π3 B.π6C.－π3D.－π6答案 B解析 因为当地时间比北京时间晚一个小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针转过的角的弧度数为π6.故选B.2.(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是( ) A.－3π4是第二象限角B.4π3是第三象限角C.－400°是第四象限角D.－315°是第一象限角答案 BCD解析 －3π4是第三象限角，故A 错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，B 正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而C 正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而D 正确.3.(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，则sin α＝( )A.－32B.－12C.32D.12答案 D解析 由任意角三角函数的定义得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.故选D.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.8答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.5.若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－3π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－π4，k ∈Z 答案 D解析 由图知，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π＋3π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝（2n ＋1）π－π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π－π4，k ∈Z . 6.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角， 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2<0， 综上可知，θ2为第二象限角.7.(2020·长沙模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析 由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去).故选A.8.(多选题)(2021·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )A.经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3B.经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12C.经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D.经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇答案 ABD解析 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确.二、填空题9.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________.答案 (－1，3)解析设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以点P 的坐标为(－1，3).11.(2021·河北九校联考)已知点P (sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________.答案 55°解析 由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，所以α＝55°.12.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝________.答案 55解析 由O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15， 即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝|a |＝55.B 级 能力提升13.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .14.(2019·北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β＋4cos βB.4β＋4sin βC.2β＋2cos βD.2β＋2sin β 答案 B解析 如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧上取一点C ，则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和.因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当△ABP 的面积最大时，阴影部分的面积最大.又AB 的长为定值，故当点P 为优弧的中点时，点P 到弦AB 的距离最大，此时△ABP 面积最大，即当P 为优弧的中点时，阴影部分面积最大.下面计算当P 为优弧的中点时阴影部分的面积.因为∠APB 为锐角，且∠APB ＝β，所以∠AOB ＝2β，∠AOP ＝∠BOP ＝180°－β，则阴影部分的面积S ＝S △AOP ＋S △BOP ＋S 扇形OAB ＝2×12×2×2sin(180°－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β.故选B.15.一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案 7＋439解析 设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439.16.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________.答案解析 因为tan α<cos α，所以P 所在的圆弧不是，因为tan α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，又cos α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，所以P 所在的圆弧是.。

第四章三角函数练习一角的的概念的推广(一)要点1．正角、负角和零角：规定，一条射线绕它的端点按逆时针方向旋转形成的角为正角.按顺时针方向旋转形成的角为负角.射线没有旋转,形成零角.2．象限角:在平面直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的终边在x轴的非负半轴上,角的终边落在第几象限内,就称这个角是第几象限角.3. 轴上角:当角的终边落在坐标轴上时,就称之为轴上角,它不属于任何象限.同步练习1.给出命题:①－880是第四象限角;②2560是第三象限角;③4800是第二象限角;④－3000是第一象限角.其中正确的有别( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.有下列四个角:⑴－2100,⑵－1900,⑶－6300,⑷12300其中第二象限的角为( )(A)⑴⑷(B)⑴⑶⑷(C)⑴⑵⑷(D)⑴⑵⑶⑷3.下列各组的两个角中,终边不重合的一组是( )(A) －210与6990(B) 1800与－5400(C) 900与9900(D) 1500与69004.时针的分针经过期2小时40分钟,它所转过的角是______度,这个角是第____象限角.5.在00～3600范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角或哪个轴上的角.⑴6900; ⑵5400; ⑶－2000; ⑷－4500.6.在平面直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角.⑴－3300; ⑵－18300; ⑶－6300; ⑷9900.7.在[－1800, 12600]内,写出与1800角终边相同的所有角.练习二 角的概念的推广（二）要点1． 与角α终边相同的角的集合为{β|β=α+k ·3600,k ∈Z}.2． 第一象限角、锐角和小于900的角的区别与联系.1.下列命题中,正确的是 ( )(A)第一象限角必是锐角 (B)终边相同的角必相等(C)相等的角终边位置必相同 (D)不相等的角终边位置必不相同2. 以下四个命题:⑴小于900的角为锐角 ; ⑵钝角是第二象限角; ⑶第一象限角不一定是负角;⑷第二象限角必大于第一象限角.其中正确命题的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C) 3 (D)43. 角α的终边上一点的坐标是(2,－2),则角α的集合是________________.4. 与－20050终边相同且绝对值最小的角是________________.5. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－3600≤α≤3600的元素α写出来.⑴ 600; ⑵ －834030/.6.写出下列角的集合:⑴终边在y 轴负半轴上的角;⑵终边在坐标轴上的角;⑶终边在第二、第四象限角平分线上的角;⑷终边在第三象限的角;⑸终边在第四象限的角. [思考与研究]若α是第一象限角,试确定2α、2α、3α所在的象限.练习三 弧度制 (一)要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π6. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin17. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.8. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.练习五 任意角的三角函数 (一)要点1. 三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.三角函数的定义域:sin α,cos α的定义域都是R,tan α的定义域是{α|α≠k π＋2π, k ∈Z}. 2. 三角函数值在各个象限的符号:第一象限全正,第二象限只有正弦正,第三象限只有正切正,第四象限只有余弦正. 同步练习1.当α为第二象限角时ααsin |sin |－|cos |cos αα的值是 ( ) (A)－2 (B)0 (C)－1 (D)22.设角α的终边过点P(－3α,－4α),(α≠0),则sin α－cos α的值是 ( ) (A)51 (B)－ 51 (C)－ 51或 －57 (D) －51或51 3.在三角形ABC 中,若cosA ·tanB ·cotC<0,则这个三角形的的形状是_____. 4.设θ为第二象限角,其终边上一点为P(m,5),且cos α,则α的值为_______. 5.已知β的终边经过点P(m,－3)(m ≠0),且cos β=2m,求sin β,tan β的值.6.求cos 3π－tan 45π＋43tan 26π＋sin 611π＋cos 267π－sin 23π的值.7.求函数y=xxsin 1tan +的定义域.练习六 任意角的三角函数(二)要点1. 终边相同角的同名三角函数值相等(公式一),利用这组公式可以将任意角的三角函数值化为00～3600(或0～2π)间的角的三角函数值. 2. 三角函数线都是有向线段、线段的方向表示三角函数值的正负,线段的长度表示三角函数值的绝对值.书写三角函数线时,要注意起点与与终点的次序. 同步练习 1.sin637π的值等于 ( ) (A)21 (B)23 (C)－ 21(D) －232.设α、β是第二象限角,若sin α>sin β,则 ( )(A)tan α>tan β (B)cos α<cot β (C)cos α>cos β (D)sec α>sec β 3. 在下列各题中的_____处,填上适当的符号(>,=,<). ⑴sin1560·cos(－4400)_____0; ⑵cot(－817π)·sin(－34π)_______0;⑶5.1tan 4sin ____0;⑷sin320π·tan(－417π)·cos 27π______0. 4. 已知α∈(－π,π),且cos α>－23,则角α的取值范围是________. 5. 计算:(1) m 2sin(－6300)+n 2tan(－3150)－2mncos(－7200);(2) sin(－623π)+cos 713πtan4π－cos 313π.6. 在单位圆中,用阴影线表示满足条件的θ的终边的范围: (1)tan θ≥1 (2)cos θ＜21 (3)－21<sin θ≤237. 设0<α<2π,利用单位圆中的三角函数线证明:sin α+cos α>1练习七 同角三角函数的基本关系式(一)要点同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2α=1,ααcos sin =tan α,tan α·cot α=1.(1)公式中应注意“同角”二字,如sin 2α+cos 2β=1就不恒成立.(2)注意α的范围,第二个关系式中α≠k π＋2π(k ∈Z),第三个关系式中α≠2πk (k ∈Z).(3)对公式的的使用要做到顺用、逆用、变用、活用.同步练习1.下列各式正确的是 ( ) (A)sin 2300＋cos 2600=1 (B)sin23π/cos 23π=tan 23π (C)tan2π·cot2π=1 (D)sin 220050+cos 220050=12.下列各式能成立的是 ( ) (A)sin α=cos α=21 (B)cos α=21且tan α=2 (C)sin α=21且tan α=33 (D)tan α=2且cot α=－213. 已知cos θ=31,,则1+tan 4θ=______. 4. 已知sin α+ sin 2α=1则cos 2α+cos 4α的值等于_________. 5. 已知sin α=－53,α是第四象限角,求cos α、tan α的值.6. 已知cot α=－3,求sin α、cos α的值.7. 已知cos α=m(|m|≤1),求tan α和sin α.练习八 同角三角函数的基本关系式(二)要点1. 化简三角函数式的一般要求是(1)能求出函数值的要求出函数值,函数种类尽可能的少;(2)要使化简后的式子项数最少,次数最低;(3)尽量化去含有根式的式子,尽可能的不含分母.2. 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,一般由繁到简,可采用:①左边⇒右边 ②右边⇒左边③左边－右边=0④分别从左右两边推出相同的结果. 同步练习1.化简02100sin 1-等于 ( )2.若tan α=a,且sin α=21aa +,则α是 ( )(A) 第一、二象限角 (B)第一、三象限角 (C)第一、四象限角 (D)第二、三象限角3. 化简sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β=____________4. 若tanx=3则xx22cos 1sin +的值是___________ 5. 化简下列各式: (1) ααcos 1cos 1-+-ααcos 1cos 1+-,其中α为第二象限角;(2)αααα2222tan sin tan sin -.6. 证明下列恒等式(1) cos α(αcos 2+tan α) (αcos 1-2tan α)=2cos α-3tan α (2) x x x x 2sin 2cos 2cos 2sin 2122--=xx2tan 12tan 1+-练习九 正余弦的诱导公式(一)要点1.公式二:sin(1800+α)=-sin α,cos(1800+α)=-cos α. 公式三: sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α.2. 公式中的α是任意角,但在记忆时,可把α看作锐角,从而1800+α可看作第三象限角, -α可看作第四象限角. 同步练习1.下列等式中,恒成立的是 ( )(A) sin(1800+2000)=sin2000(B)cos(-α)=-cos α(C) cos(1800+2000)=-cos2000(D)sin(-α)=sin α 2.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值是 ( )(A) 2sin 2α (B)0 (C)1 (D)2 3. 计算sin34πcos(-6π)tan(-45π)=_________.4. 化简sin 2(-α)tan α+cos 2(π+α)cot α-2 sin(π+α) cos(-α)=_____5. 求下列各三角函数值:(1) sin(-13200) (2) tan9450(3)cos655π(4)cot(-322π)6.(1)求值sin 2(-300) +sin 22250 +2sin2100 +cos 2(-450) ; (2)若sin(π+α)= 41,求[]1)cos(cos )cos(-++απααπ-)cos()cos()2cos()cos(απαπαπα-+++--值;(3) 已知sin(3π-α)= 31;求sin(6π+α),sin(310π-α)的值.7. 化简:)(cos )tan()2cot()cos()(sin 32πααππααππα++--++练习十 正余弦的诱导公式(二)要点1.公式四: sin(1800-α)=sin α,cos(1800-α)=-cos α.公式五sin(3600-α)=-sin α,cos(3600-α)=cos α.2.记忆公式时, 1800-α可看作第二象限角, 3600-α可看作第四象限角 同步练习 1.sin(-619π)的值是 ( ) (A)21 (B) -21(C)23 (D) -232.已知cos(π-x)=-21,23π<x<2π,则sin(2π-x)的值等于 ( ) (A)21(B)± 23 (C)23 (D) -233.计算:sin(-15600)cos9300+cos(-13800) sin(-14100)=_______. 4. 已知COS(6π+θ)= 33,则COS(65π-θ)=__________.5. 求值0200170cos 110cos 10cos 10sin 21---6. 已知cos(π-α)=-21,计算: (1) sin(2π-α); (2)cot[2)12(π+k +α](k ∈Z)7. 已知sin(α-π) =2cos(2π-α),求)sin()cos(3)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值数学家陈景润陈景润（1933~1996），中国数学家、中国科学院院士。

专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一 象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。

(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。

【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。

(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )， 所以角－α的终边在第二象限。

由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。

所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。

【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。

(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。

(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。

(4)求并集化简集合。

2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的X 围，再写出kα或αk的X 围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置。

【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二 扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。