湍流的数值模拟方法进展Word版

《高等计算流体力学》课程作业 湍流的数值模拟方法进展1概述

自然环境和工程装置中的流动常常是湍流，模拟任何实际过程首先遇到的就 是湍流问题，而湍流问题本身乂是流体力学理论上的难题。对于某些简单的均匀 时均流场，如果湍流脉动是各向均匀及各向同性的，可以用经典的统讣理论来分 析，但实际上的湍流往往是不均匀的，给理论分析带来了极大困难。 湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种非线性的流体运动，表现出非常 复杂的流动状态，主要表现在湍流流动的随机性、有旋性、统汁性。传统il•算流 体力学中描述湍流的基础是Navier-Stokes (N-S)方程，根据N-S方程中对湍流 处理尺度的不同，湍流数值模拟方法主要分为：直接数值模拟(DNS)、雷诺平 均方法(RANS)和大涡模拟(LES)。 直接数值模拟可以获得湍流场的精确信息，是研究湍流机理的有效手段，但 现有的计算资源往往难以满足对高雷诺数流动模拟的需要，从而限制了它的应用 范圉。雷诺平均方法可以讣算高雷诺数的复杂流动，但给出的是平均运动结果， 不能反映流场脉动的细节信息。大涡模拟基于湍动能传输机制，直接计算大尺度 涡的运动，小尺度涡运动对大尺度涡的影响则通过建立模型体现出来，既可以得 到比雷诺平均方法更多的诸如大尺度涡结构和性质等的动态信息，乂比直接数值 模拟节省计算量，从而得到了越来越广泛的发展和应用。

2雷诺平均方法(RANS)

雷诺平均模拟(RANS)即应用湍流统计理论，将非定常的N-S方程对时 间作平均，求解工程中需要的时均量。利用湍流模式理论，对Reynolds应力做 出各种假设，即假设各种经验的和半经验的本构关系，从而使湍流的平均 Reynolds方程封闭。

2.1控制方程 对非定常的N - S方程作时间演算，并采用Boussinesp假设，得到Reynolds 方程

du： —du： — 1 dp d2Uf 加// 一 +u —=乙一 --------- +V ----------------- ------- 一— dt dxt p dxf dxpx) dxj

£ dxi

式中，附加应力可记为%=_puMj,称为雷诺应力。 这种方法只计算大尺度平均流动，而所有湍流脉动对平均流动的影响，体现 到雷诺应力％中。曲于雷诺应力在控制方程中的出现，造成了方程不封闭，为 使方程组封闭，必须建立湍流模型。

2.2湍流模型 LI前丄程计算中常用的湍流模型从对模式处理的出发点不同，可以将湍流模 式理论分类成两大类：一类引入二阶脉动项的控制方程而形成二阶矩封闭模型， 或称为雷诺应力模型，另一类是基于Boussinesq的涡粘性假设的涡粘性封闭模 式，如零方程模型，一方程模型和二方程模型。

2.2.1雷诺应力模型

雷诺应力模型(RSM)从Reynolds应力满足的方程出发，直接建立以《弘丿为 因变量的偏微分方程，将方程右端未知的项(生成项，扩散项，耗散项等)用 平均流动的物理量和湍流的特征尺度表示出来，并通过模化封闭。封闭LI标是雷 诺应力输运方程： du^u — du\u. du： — du --- + IL --- = -UIL —- 一 U U. —1- + 观 + £),. -

& k % 1 k 筑 J k dxk 咒 y y (7)

式中血

散项。 是雷诺应力再分配项，Dtj是雷诺应力扩散项，旬是雷诺应力耗

典型的平均流动的变量是平均速度和平均温度的空间导数。这种模式理论, 由于保留了 Reynolds应力所满足的方程，如果模拟的好，可以较好地反映 Reynolds应力随空间和时间的变化规律，因而可以较好地反映湍流运动规律。因 此，二阶矩模式是一种较高级的模式，但是，由于保留了 Reynolds应力的方程, 加上平均运动的方程整个方程组总计15个方程，应用这样一个庞大的方程组来 解决实际工程问题，计算量很大，极大地限制了二阶矩模式的应用。 2.2.2涡粘性模型 涡粘性模型在工程湍流问题中得到广泛应用。这是山Boussinesq仿照分子粘 性的思路提出的，即设Reynolds应力为， —— 2 2 = ~v7 P j + Uj i + - u3ij) + -k%

,1—— k = — 这里 2 是湍动能，冬称为涡粘性系数，这是最早提岀的基准涡粘性模式.即假设

雷诺应力与平均速度应变率成线性关系，当平均速度应变率确圧后，六个雷诺应力只需要通 过确左一个涡粘性系数”7•就可完全确肚，且涡粘性系数各向同性，可以通过附加的湍流量 来模化，比如湍动能k,耗散率比耗散率w以及其它湍流^T = k/£ , l=k3,2/S , q = 4k，根据引入的湍流星的不同，可以得到不同的涡粘性模式，比如常

见的kY, k-w 模式，以及后来不断得到发展的k-T, q-w, k-l等模式，涡粘性系数可以分别表示为 vT = C^C Is r k VT=C — co

VT =C“好

匚 co yT = c应i 雷诺平均方法的优点为 (1) 对计算机的要求较低，同时可以得到符合工程要求的计算结果。 (2) —旦给定合理的Reynolds应力模型，可以很容易地从RANS方程解出湍 流的统计量，所需要的计算资源小。 (3) 儿乎能对所有雷诺数范围的匸程问题求解，并得出一些有用的结果。 其不足之处在于： (1) 对不同类型的湍流，需要采用不同的Reynolds应力模型，甚至对于同一 类型的问题，对应于不同的边界条件需要修改模型的常数。 (2) 由于不区分旋涡的大小和方向性，对旋涡的运动学和动力学问题考虑不 足，不能用来对流体流动的机理进行描述。

(3) 对于非定常流动、大分离流动、逆压力梯度数值模拟等问题，受湍流模 型条件的限制，很难得到满意的讣算结果。 (4) 严重依赖流场形状和边界条件，普适性差，计算很大程度上依赖于经验。

2.3常用的湍流模型 常用的湍流模型有： 零方程模型：C-S 模型，由 Cebeci-Smith 给出；B-L 模型,ill Baldwin-Lomax 给出。 一方程模型：来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步 发展起来，如Spalart-AlImaras(S-A)模型；另一种山二方程模型简化而来，如 Baldwin-Barth(B-B)模型。 二方程模型:应用比较广泛的两方程模型有Jones与Launder提出的标准k-e 模型，以及k-omega模型。

1、零方程模型 上世纪30年代发展的一系列湍流的半经验理论，如Prandtl的混合长度理论、 Taylor的涡量输运理论、von Karman的相似性理论等，本质上即是零方程湍流模 型。零方程模型直接建立雳诺应力与平均速度之间的代数关系，山于不涉及代数 关系故称为零方程模型： du ~Pli V = P£.n —

其中刍称为涡粘系数，与分子的运动粘性系数V有相同的量级。对于一般的三维 的情况，上式可写为： 2 ~Pll.vj = 2£,爲一

K为单位质量的湍流脉动动能。为了发展上述方法，需要建立召与平均速度之 间的关系。1925年，普朗特提出混合长度理论，认为存在这样的长度/,在此长 度内流体质点运动是自由的，/称为混合长度。由于湍流漩涡的作用，到达新位 置后他会低于当地周圉的平均速度，此即流向脉动速度(/(儿)，显然, 此速度差取决于当地的平均速度梯度6(7/勿与微团沿y向跳动的距离/,即： 6y 此/表示在此距离内微团沿y向脉动时基本不丧失其原有速度。实际测量表明， 虽然一般情况下流向的脉动速度的均方根值大于法向值，但他们有相同的量级, 因此有： ・ 8U v a / ----- ay

所以有:

山此可算岀涡粘性系数为:

山此可见，若假设/不随速度变化，则可得出湍流切应力与平均速度平方成比例, 这与实验结果是一致的。 混合长度理论已成功用于研究多种湍流剪切流，如流管、边界层和各种湍流 剪切流。 U询应用最广泛的零方程模型是Baldwim-Lomax模型，该模型对湍流边界层 的内层和外层采用不同的混合长度假设，在流体分离不严重的流场计算中结果较 好。但是实际上，零方程湍流模型仅适用于局部平衡状态的湍流流动。

2, 、一方程模型 一方程模型一般求解湍流动能或涡粘性系数的输运方程，精度较好，鲁棒性 也比较好，B-B模型和S-A模型是典型的单方程模型。特别是S-A模型，从经 验和量纲分析出发得岀了涡粘性系数的输运方程，采用大量的实验结果标定模型 系数，具有良好的鲁棒性和讣算准确性，U前已经被集成在各种商业软件和科学 计算的代码中，在航空航天领域的空气动力学计算中得到了十分广泛的应用。 S-A模型常被认为介于B-L代数模型和两方程模型之间。由于其容错功能好, 处理复杂流动的能力强，已得到广泛应用。与B-L模型相比，其湍流涡粘场是 连续的。且容错性好，讣算量少。该湍流的原理是建立在一个附加的涡粘输运方 程的解决上。方程中包含对流项，扩散项和源项，以非守恒形式建立。

-puv = pl1 du du dy dy