6.轻弹簧弹力做功和能量转化问题
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6.轻弹簧弹力做功和能量转化一 知能掌握（一）轻弹簧弹力做功1.弹力功的特点弹簧弹力的功与路径无关。
同一弹簧在某一过程中弹力的功只是取决于初末状态弹簧形变量的大小，与弹力的作用点经过的路径没有关系。
2.弹力做功的计算（1）平均力求功：因为弹力随着位移是线性变化的，所以弹力功的大小可以用平均力求得即，说明： ①上式是弹簧由原长到伸长或者压缩x 长度的过程弹力做的功，上式中的F 是形变量为x 时的弹力。
②当形变量由x 1变为x 2时弹力功的大小为（2）图像法求功：如图所示，弹力F 与形变量l 成线性关系，如果将形变量l 分成很多小段Δl ，在各小段上的弹力可以当作恒力处理，由W ＝F Δl 知，很多个矩形的面积之和就与弹力做功的大小相等，综合起来考虑，图线与l 轴所夹面积，就等于弹力做功的大小．则W ＝12F ·l ＝12kl ·l ＝12kl 2.（3）功能关系、能量转化和守恒定律求功.同时要注意弹力做功的特点：W k = —（21kx 22 —21kx 12）， （二）轻弹簧弹性势能的大小计算方法1.功能关系：弹力的功等于弹性势能增量的负值即：W k = —（21kx 22 —21kx 12）＝－ΔE p ＝E p1－ E p2，弹力做正功时弹性势能减少；弹力做负功时弹性势能增加。
2.计算公式：弹性势能的大小计算公式：（此式的定量计算在高中阶段不作要求）。
3.能的转化和守恒定律：（三）弹性势能大小的三个特点：1.同一弹簧弹性势能与形变量的平方成正比；2.同一弹簧形变量（拉伸或压缩）相同时弹性势能相同；3.同一弹簧形变量（拉伸或压缩）的变化量相同时弹性势能的变化量相同。
（四）轻弹簧弹力作用下的做功和能量转化分析的两种情形1.机械能守恒情境下的弹力做功和弹性势能的变化；2.和机械能变化情境下弹力做功和弹性势能的变化。
（五）轻弹簧弹性势能相关问题的解题策略1.选择合适的对象分析，是单个物体还是几个物体组成的一个系统。
2.对物体系统进行动力学分析时，往往需画出受力图，运动草图，注意转折点的状态分析，建立物情景是很重要，这也是应该具有的一种解决问题的能力。
3.对物体系统进行功能分析时，着眼系统根据功能关系明确各个力做功的情况，依托各种功能关系明确各类形式能量的转化情况，特别注意弹力做功和弹性势能的特点4.注意物体初末状态的位置变化对应的弹簧形变量的变化关系，结合功能关系，能量守恒定律列方程。
二探索提升题型一机械能守恒情境下的弹力做功和弹性势能变化判断（1）分析问题可以采用分析法和综合法：关注过程中的临界状态和转折点（2）物体和弹簧在一定时间和范围内做往复运动是一种简运振动。
可以结合简谐运动的对称性作出分析和判断。
【典例1】如图所示,轻质弹簧竖直放置在水平地面上,它的正上方有一金属块从高处自由下落,从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中,下列说法不正确的是( )A.重力先做正功,后做负功B.弹力没有做正功C.金属块的动能最大时,弹力与重力相平衡D.弹簧的弹性势能最大时,金属块的动能为零【答案】 A【解析】从开始自由下落至第一次速度为零的全过程包括三个“子过程”,其受力如图所示。
在整个过程中,重力方向始终与位移同方向,重力始终做正功,故A选项不正确。
在整个过程中,弹力F方向与位移方向始终反向,所以弹力始终做负功,故B选项正确。
在自由落体与压缩弹簧至平衡位置前的两个子过程①与②中,F<mg时,加速度a向下,v向下,且不断增大。
在F=mg平衡位置,a=0,此时速度最大为v m、动能最大,故C选项正确。
速度为零时,弹簧形变最大,所以此时弹簧弹性势能最大,故D选项正确。
【典例2】如图所示,固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环,圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接,弹簧的另一端连接在墙上,且处于原长状态。
现让圆环由静止开始下滑,已知弹簧原长为L,圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度),则在圆环下滑到最大距离的过程中( )A.圆环的机械能守恒B.弹簧弹性势能变化了√3mgLC.圆环下滑到最大距离时,所受合力为零D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变【答案】B【解析】圆环在下滑过程中,圆环的重力和弹簧的弹力对圆环做功,圆环的机械能不守恒,圆环和弹簧组成的系统机械能守恒,系统的机械能等于圆环的动能和重力势能以及弹簧的弹性势能之和,选项A、D错误;对圆环进行受力分析,可知圆环从静止开始先向下加速运动且加速度逐渐减小,当弹簧对圆环的弹力沿杆方向的分力与圆环所受重力大小相等时,加速度减为0,速度达到最大,而后加速度反向且逐渐增大,圆环开始做减速运动,当圆环下滑到最大距离时,所受合力最大,选项C错误;由图中几何关系知圆环的下降高度为√3L,由系统机械能守恒可得mg×√3L=ΔE p,解得ΔE p=√3mgL,选项B正确。
【典例3】如图6甲所示，将一倾角为θ的光滑斜面体固定在地面上，在斜面的底端固定一轻弹簧，弹簧处于原长时上端位于斜面上的B 点。
现将一质量为m ＝2 kg 的可视为质点的滑块由斜面处的A 点静止释放，最终将弹簧压缩到最短(此时弹簧上端位于C 点)。
已知滑块从释放到将弹簧压缩到最短的过程中，滑块的速度—时间图象如图乙所示。
其中0～0.4 s 内的图线为直线，其余部分均为曲线，且BC ＝1.2 m 。
重力加速度g ＝10 m/s 2。
则下列说法正确的是( )图6A.θ＝π6B.滑块在压缩弹簧的过程中机械能先增加后减小C.弹簧储存的最大弹性势能为16 JD.滑块从C 点返回到A 点的过程中，机械能一直增大【答案】AC【解析】由题图乙可知，滑块在0.4 s 末刚好到达B 点，在0～0.4 s 内，滑块做匀加速直线运动，加速度为a ＝20.4m/s 2＝5 m/s 2，由牛顿第二定律得mg sin θ＝ma ，解得sin θ＝a g ＝0.5，则θ＝π6，选项A 正确；滑块从B 点到C 点的运动过程中，除重力做功外，弹簧弹力对滑块做负功，故滑块的机械能一直在减少，选项B 错误；对滑块和弹簧组成的系统由机械能守恒定律可得，在C 点，弹簧的弹性势能为E p ＝12mv 2B ＋mgh BC ＝16 J ，选项C 正确；滑块从C 点返回到A 点的过程中，开始时弹簧的弹力对滑块做正功，滑块的机械能增加，当滑块离开弹簧后，只有重力对滑块做功，则滑块的机械能守恒，选项D 错误。
题型二 机械能变化情境下的弹力做功和弹性势能变化判断【典例4】(多选)(2017山东威海模拟)如图所示,轻质弹簧的一端固定在竖直墙面上,另一端拴接一小物块,小物块放在水平面上,小物块与水平面之间的动摩擦因数为μ,当小物块位于O 点时弹簧处于自然状态。
现将小物块向右移到a 点,然后由静止释放,小物块最终停在O 点左侧的b 点(图中未画出),以下说法正确的是( )A.O、b之间的距离小于O、a之间的距离B.从O至b的过程中,小物块的加速度逐渐减小C.小物块在O点时的速度最大D.整个过程中,弹簧弹性势能的减少量等于小物块克服摩擦力所做的功【答案】AD【解析】设小物块的质量为m,根据F弹=kx,对小物块进行受力分析可知,kx Oa>μmg,kx Ob≤μmg,故O、a之间的距离大于O、b之间的距离,选项A正确;从O至b的过程中,小物块受到向右的摩擦力及向右的弹力,且弹力逐渐变大,故物块的加速度逐渐变大,选项B错误;当物块从a点向左运动时,受到向左的弹力和向右的摩擦力,且弹力逐渐减小,加速度逐渐减小,当弹力等于摩擦力时加速度为零,此时速度最大,故小物块速度最大的位置在O点右侧,选项C 错误;由能量守恒定律可知,整个过程中,弹簧弹性势能的减少量等于小物块克服摩擦力所做的功,选项D正确。
【典例5】(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上，上端连接一带正电小球，小球静止时位于N点，弹簧恰好处于原长状态．保持小球的带电量不变，现将小球提高到M点由静止释放．则释放后小球从M运动到N过程中( ) A．小球的机械能与弹簧的弹性势能之和保持不变B．小球重力势能的减少量等于小球电势能的增加C．弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量D．小球动能的增加量等于电场力和重力做功的代数和【答案】BC【解析】由于有电场力做功，小球的机械能不守恒，小球的机械能与弹簧的弹性势能之和是改变的，A项错误．由题意，小球受到的电场力等于重力．在小球运动的过程中，克服电场力做功等于重力做功，小球重力势能的减少量等于小球电势能的增加，B项正确；根据动能定理，有重力、弹簧弹力和电场力做功，由于电场力做功和重力做功抵消，所以弹力做功等于动能的增加量，即弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量．故C项正确，D 项错误．【典例6】(2019·山东省临沂市模拟)如图所示，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面体上方的固定木板B上，另一端与质量为m的物块A相连，弹簧与斜面平行．整个系统由静止开始加速上升高度h的过程中( )A．物块A的重力势能增加量一定等于mghB．物块A的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的和C．物块A的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的和D．物块A和弹簧组成系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和B对弹簧的拉力做功的和【答案】CD【解析】本题考查功能关系。
当物块具有向上的加速度时，弹簧弹力在竖直方向上的分力和斜面的支持力在竖直方向上的分力的合力大于重力，所以弹簧的弹力比物块静止时大，弹簧的伸长量增大，物块A相对于斜面向下运动，物块A上升的高度小于h，所以重力势能的增加量小于mgh，故A错误；对物块A由动能定理有物块A的动能增加量等于斜面的支持力、弹簧的拉力和重力对其做功的和，故B错误；物块A机械能的增加量等于斜面支持力和弹簧弹力做功的和，故C正确；物块A和弹簧组成系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和B对弹簧的拉力做功的和，故D正确．【典例7】(2018·江苏联考)如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m连接，且m与M及M与地面间接触光滑，开始时，m和M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F 1和F2，从两物体开始运动以后的整个运动过程中，弹簧形变不超过其弹性限度。
对于m、M和弹簧组成的系统，下列说法正确的是( ) A．由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒B．当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M各自的动能最大，此时系统机械能最大C．在运动的过程中，m、M动能的变化量加上弹簧弹性势能的变化量等于F1、F2做功的代数和D．在运动过程中m的最大速度一定大于M的最大速度【答案】 C【解析】本题考查功能关系的应用，解题关键是分析动态运动过程。
