第五章 湍流流动

1 2
设脉动流速的绝对值与时间流速差成比例关系，则
' 又知 u x
' u 与 y 成比例，即
du x u c1 l1 dy
' x
dux u c2c1 l1 dy
' y
' ' ' ' 虽然 u x u y 与 u x u y
不等，但两者存在比例关系，则
' ' ' ux u y c2 u x u 'y c1c2l12 (
根据动量定理
dvx ' v l y dAdt dvx ' dy dF v l y dt dy
五. 紊流的半经验理论
混合长度理论是最基本的一种寻求雷诺应力与平均流速关系 的半经验理论。 混合长度理论假设微团垂向移动 l1 后，进入并与相邻流层混 合，类比于分子运动的自由程。 核心：找出雷诺应力满足的 方程
d ux t const dy
非常数
d ux const dy
为了能在紊流情况下，由已知的总切应力分布得到时均流速分 布，做以下工作：
决定混合长度的取值：根据试验结果，对于固壁 （y = 0） 附 近的流动，有 l y ，于是 d ux 2 2 d ux yx y
l1
y
ux
x
混合长度理论:
紊流的混合长度理论 ( 也即动量传递理论及掺长假设 ) 是 普朗特在1925年提出来的，这是—种半经验理论。推导过程 简单，所得流速分布规律与实验检验结果符合良好，是工程 中应用最广的半经验公式。
我们已经知道，在层流运动中，由于流层间的相对运动所 引起的粘滞切应力可由牛顿内摩擦定律计算。但紊流运动不同， 除流层间有相对运动外，还有竖向和横向的质点混掺。因此， 应用时均概念计算紊流切应力时，应将紊流的时均切应力 看作是由两部分所组成的。一部分为相邻两流层间时间平均流 速相对运动所产生的粘滞切应力 1 ,另一部分为由脉动流速所引 起的时均附加切应力 2 (又称为紊动切应力)，即
两边取平均 u x u y u z 0 x y z 时均量满足 的连续方程
u x u y u z 0 x y z
N-S 方程两边取平均
2 ux 2 ux 2 u x 1 p X 2 2 2 x y z x
紊流的基本方程指的是时均流场所满足的方程，紊流流动的 瞬时量仍满足连续方程和 N-S 方程。 通过对瞬时量所满足的连续方程和 N-S 方程两边取平均的方 法可以得到紊流时均流动的连续方程和运动方程。 因为连续方程的各项都是线性项，取平均值后脉动量不出现。
瞬时量满足 的连续方程
(u y u (ux u (uz u y) x) z) 0 x y z
第五章 湍流流动
由于粘性的影响，实际流体的流动会呈现出两 种不同的型态 — 层流和紊流，它们的流场结构 和动力特性区别很大，必须加以判别，并分别研 究。
不可压缩实际流体的层流流动可直接从 N-S 方 程出发求解，但能得到解析解的实例是极少的， 平行平板间和圆管中的均匀流是其中的两个。
在紊流流场中存在随机的脉动量，须对瞬时 量取统计平均，分别讨论平均流动和脉动量。 不可压缩实际流体紊流平均流动的运动方程 （雷诺方程）的应力项中含有脉动量的贡献（雷 诺应力）。须用半经验理论建立雷诺应力与平均 流速的关系，才能使方程封闭。 讨论壁面附近紊流切应力的特性，给出紊流 流速的对数分布律。
扰动因素
对比 抗衡
v
粘性稳定
d
Re
vd

利于稳定
圆管中恒定流动的流态转化仅取决于雷诺数，这是客观规律 用无量纲量表达的又一例证，也是粘性相似准则的实际应用。
雷诺实验表明：流动状态不仅和流速v有关，还和管径d、流体 的动力粘滞系数μ和密度ρ 有关。 以上四个参数组合成一个无因次数，叫雷诺数，用Re表示。
u x u u u ux x u y x uz x t x y z

( u ( u 1p 1 ( u xu y ) 2 xux ) xuz ) X 粘 ux x x y z
对瞬时量满足的 N-S 方程两边取平均，得到紊流时均量所满 足的运动方程 — 雷诺方程。
u u u ux ux ux ux 1p xu y 2 xux xuz ux uy uz X 粘 ux t x y z x y z x
一般取
04 .

dy dy
在粘性底层，粘性应力占主导地位。特别地，壁面上雷诺应 力为零，总切应力完全是粘性应力。若总切应力沿断面分布为 常数，则该常数即为壁面上的粘性应力。 const 0 鉴于壁面切应力的重要 性，定义壁面切应力与密 度之比的开方为摩阻流速
1883 年，雷诺试验表明：圆管中恒定流动的流态转化取决 于雷诺数 vd
Re
粘
d 是直径，v 是断面平均流速，粘 是流体的运动粘性系数。
实际流体的流动之所以会呈现出两种不同的型态是扰动因素 与粘性稳定作用之间对比和抗衡的结果。针对圆管中恒定流动 的情况，容易理解：减小 d ，减小 v ，加大 三种途径都 是有利于流动稳定的。综合起来看，小雷诺数流动趋于稳定， 而大雷诺数流动稳定性差，容易发生紊流现象。
(u xu x ) (u xu y ) (u xu z ) x y z
根据瞬时量连续方程
(uxu y u (uxux u (uxuz u xu y ) xu x ) xu z ) x y z
根据时均量连续方程
u u u x u x u x u u xu y xu x ux uy uz x z x y z x y z
1 2
du dux l 2 ( x ) 2 dy dy
雷诺应力代表的紊动混掺作用的结果总是使时均流动在整个 断面上更加均匀化，这一点是与粘性应力的作用相同的。 类比于粘滞切应力，将雷诺应力写成
yx t
d ux dy
则时均流动的总切应力
yx
d ux d ux 2 d ux t l dy dy dy
雷诺应力无法用解析方法确定，只能用基 于试验的经验方法给出其与平均流速的关系， 以使雷诺方程封闭。
雷诺应力分析：
液体质量：
y
u y d A y
ux
u x f ( y)
dm v y dAdt

引起ຫໍສະໝຸດ Baidu地动量变化
x
dvx ' dvx ' dm vx l v x v l y dAdt dy dy
——层流内层为传递过程的主要阻力
Re越大，湍动程度越高，层流内层厚度越薄。
§5—3 紊流流动
一. 紊流的发生 紊流发生的机理是十分复杂的，下面给出一种粗浅的描述。
层流流动的稳定 性丧失（雷诺数 达到临界雷诺数）
扰动使某流层发 生微小的波动
流速使波动 幅度加剧
造成 新的 扰动
在横向压差与切应力的 综合作用下形成旋涡
可见 t 不仅取决于流体的物理属性，还与流动本身有关。
六. 紊流中壁面附近切应力和流速的分布 把壁面附近紊流时均流动看作由主流带动的无压均匀流
τ τ 若是层流
相当于
τ τ
τ=const
τ
τ
d ux const dy
导致 ux 的线性分布
而在紊流情况下
const
并不能导致 ux 的线性分布
层流
紊流 Re
层流
紊流 Re
上临界雷诺数 ReC
12000-40000
ReC 2000 下临界雷诺数
§5—2 湍流结构
湍流主体：速度脉动较大，以湍流粘度为主，径向 传递因速度的脉动而大大强化； 过渡层：分子粘度与湍流粘度相当； 层流内层：速度脉动较小，以分子粘度为主，径向 传递只能依赖分子运动。
f ( f f ) f f f x x x x
f f 2 2 x x
2 2
f1 f2 f1 f2
f1 f 2 ( f1 f1)( f2 f 2) f1 f 2 f1 f 2
f0
三. 紊流的基本方程
统计平均的方法有多种：对 时间、对空间、对集合都可以 取平均，在“各态历经”假设 成立的前提下，一般采用时间 平均法 1T ui ui d t T0
ui(t)
ui
t T
紊流运动的特征:瞬时值、时间平均值、脉动值
25 20 系列1
u(cm/s)
15 10 5 0 0 2000 4000 6000 8000 t(ms) 10000 12000 14000
紊流运动的模化方法
f f f
在对瞬时量取平均时所取的时段 T 应远大于脉动量的振荡 周期，远小于流动涉及的时间域尺度，只有这样，才能把平均 量定义在空间和时间点上。
脉动量的平均值为零。
f f f
f ff f f ff f
f0
紊流流场各项物理量的平均值一般是随时间缓变的（相对于 脉动量的变化而言），如果不随时间而变，则可称为“恒定” 的紊流。
du x 2 ) dy
du x 2 2 u u l ( ) dy
' x ' y 2
式中 c1 与 令 则
2 1
c2 均为比例常数。
' 2
l c1c2l
du 2 2 l ( ) dy
'
上式就是由混合长度理论得到的附加切应力的表达式，式中 l ' 亦称为混合长度，但已无直接物理意义。
第五章 湍流流动
§5—1 流动的两种型态
§5—2 湍流结构 §5—3 紊流流动
§5—4 圆管中的紊流流动
§5—5 圆管的沿程损失的计算
§5—1 流动的两种型态
实际流体的流动会呈 现出两种不同的型态： 层流和紊流，它们的区 别在于：流动过程中流 体层之间是否发生混掺 现象。在紊流流动中存 在随机变化的脉动量， 而在层流流动中则没有。
雷诺方程
雷诺应力常记为
四. 雷诺应力 雷诺方程中出现新增 的应力 uiuj，叫做紊 流附加应力或雷诺应力， 它是脉动流速对平均流 动的贡献。
uiuj (i 1,2,3; j 1,2,3) ij
共有九个量，组成二阶对称张 量，其中只有六个量是独立的。
雷诺应力是流体微团的脉动造 成的对时均流动新增的应力，原 有的粘性应力仍然存在。
2 ux 2 ux 2 ux 1 p X 2 2 2 x x y z
u x u x u x ux uy uz x y z
ux ux ux ux ux uy uz x y z t
u x u x u x u x ux uy uz x y z t
旋涡受升 力而升降
引起流体 层之间的 混掺
任意流层之上下侧的 切应力构成顺时针方向 的力矩，有促使旋涡产 生的倾向。
+
+
-
+
高速流层
低速流层
涡体
旋涡受升力而升降，产生横向运动，引起流体层之间的混掺
二. 紊流中物理量的表示
紊流的基本特征是有一个在时间和空间上随机分布的脉动流场 叠加到本为平滑和平稳的流场上。所以对于紊流的各种物理量采 用取统计平均的处理方法，把瞬时物理量看成平均量与脉动量之 和，如 ui ui ui (i 1,2,3)
Re
vd


vd
粘
Rek
vk d

2000
vd 层流： Re 2000 ν vd 紊流:Re 2000 ν
圆管中恒定流动的流态发生转化时对应的雷诺数称为临界雷 诺数，又分为上临界雷诺数和下临界雷诺数。上临界雷诺数表示 超过此雷诺数的流动必为紊流，它很不确定，跨越一个较大的取 值范围。有实际意义的是下临界雷诺数，表示低于此雷诺数的流 动必为层流，有确定的取值，圆管定常流动取为 ReC 2000