11.5几何证明举例(1)

AB=A′B′ AC= A′C′
C B C′
B′
符号语言： 在Rt △ABC和Rt△A′B′C′中，
简记作： “斜边，直角边” “HL”
∠C= ∠C′=90°, AB=A′B′, AC= A′C′, ∴ Rt △ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
1、已知：如图，BD,CE是△ABC的高，且BD=CE. 求证： ∠BCE=∠CBD.
A
E
D
B
证明： ∵BD⊥AC,CE⊥AB( ) ∴ ∠BDC=∠CEB= 90°( 又∵ BD=CE( ),BC=CB( ∴ Rt△BDC≌Rt△CEB(HL) C ∴ ∠BCE= ∠CBD( )
) )
2、如图，已知∠ACB=∠BDA=90°,要使△ACB≌△BDA还 需要什么条件？把它们写出来，并说明判定方法。
∟
B
∟
B
E
C
1. 1. 求证：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 分类讨论思想 段的垂直平分线上。 已知：点P和线段AB,PA=PB. P 求证：点P在线段AB的垂直平分线上 三角形三边的中垂线相交于一点， B这一点到三角形三个顶点的距离相等。 A C 2.已知：在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线相交于点P. 求证：点P在边AC的垂直平分线上。 A 证明： 连接PA,PB,PC ∵点P是边AB,BC的垂直平分线的 交点 P ∴PA=PB,PB=PC B C ∴PA=PC ∴点P在边AC的垂直平分线上
达标检测
D
探索与创新
已知：如图，在△ABC中，AB>AC,∠A的平分线AD与BC的 垂直平分线DG相交于点D.过点D作DE⊥AB,垂足为点E, 作DF⊥AC,垂足为AC延长线上的点F. 求证：（1）AE=AF 角平分线上的点到 (2) BE=CF A 角两边的距离相等。 线段垂直平分线上的点到 线段两端点的距离相等。

Cபைடு நூலகம்
BD
(4) 以点A为圆心,m为半径画弧，交CD于点B;
(5) 连接AB.
△ABC即为所求作的三角形.
如图：已知AC＝BD，∠C=∠D=90°.
求证:Rt∆ABC≌Rt∆BAD.
D
O
A
C B
1.应用斜边直角边（HL）定理判定两个三角 形全等，要按照定理的条件，准确地找出“对应 相等”的边；
2.寻找使结论成立所需要的条件时，要注意 充分利用图形中的隐含条件，如“公共边、公共 角、对顶角等等”.
作业；
习题5.6 3题4题5题
现在你有几种判定直角三角形
全等的方法？
前
1.边角边 简称 “SAS” 三 个
2.角边角 简称 “ASA” 是
3.边边边
简称 “SSS”
基 本
4.角角边 简称 “AAS” 事
实
如图，在Rt△ABC和Rt△A ´B ´C´中，∠C= ∠C =90°，AB＝A ´B ´,AC＝A ´C ´. 能证明Rt∆ABC ≌Rt∆A´B´C´吗？
先利用基本作图“过一点作已知直线的 垂线”,作出三角形的直角顶点C.再根据直角 边AC的长确定顶点A，最后根据斜边长作出 另一个顶点B.
已知:线段l,m(l<m).
l
求作Rt∆ABC,使直角边AC=l,斜边AB=m.
m
作法： E
(1)任取一点C,作射线CD; A
(2) 过点C作射线CE⊥CD；
(3) 在CE上截取CA=l；
A/ ( A )
B/
B
C/ ( C)
方法2 将两个直角三角形的斜边重合在一起， 你能证明这两个直角三角形全等吗？
B(B/)
C

ABC ABC AB AB,
在ABD和ABD中
ADB ADB B B
A
AB AB
ABD ABD
AD AD
B D C B
A D C
已知：如图， ABC ABC, AD, AD分别是边 BC, BC上的中线。 求证：AD AD.
证明：ABC ABC
AB AB, BC BC,B B
求证：ＢＨ＝ＡＣ
A
HE
B
C D
Hale Waihona Puke 选做题• 已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点， AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC
• 求证：AB=AC
作业
课后练习2
谢谢聆听，再见！
3、利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
4、证明两条线段（或角）相等的方法：（1）先观察 要证明的线段（或角）在那两个可能全等的三角形中， 再证明这两个三角形全等；（2）若图中没有全等三角 形，可以把要证明的线段（或角）用和它相等的线段 （或角）代换，再证明它们所在的三角形全等；（3） 如果没有相等的线段（或角）代换，可设法作辅助线 构造全等三角形。
例 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
例 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
1
B
3
2C
4
D
变式1、 已知：如图，AB=AC，∠B=∠C. 求证： DB=DC.
A
1
B
3 ?
2C
4
?
D
练习
已知：如图，PB=PC，CE、BD相交于
点P，∠BDA=∠CEA. 求证：AB=AC. A
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么

A
F B E D C
∠BED=∠ FEC EF=FC ∠C= ∠FEC ∠BED=∠C
∠A+ ∠C=90° ∠A=∠D ∠ABC=90° 证AF=DF ∠D+ ∠BED=90° 欲证AF=DF,只需证∠A= ∠D即可。
读题标注
练习： 已知：如图，AB=DC, ∠ABC= ∠DCB,OE平分∠BOC 交BC于点E。 A D O 求证：OE垂直平分BC。 证明：在△ ABC和△ DCB中， AB=DC B C E ∠ABC= ∠DCB
求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
例 （温州中考）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三 角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已 知”“ 求证”，他们对各自所作的辅助线描述如下： 文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”; 彬彬：“作△ABC的角平分线AD”； 数学老师看了两位同学的辅助线作法后说：“彬彬的做 法是正确的，而文文的做法需要订正。” （1）请你说明文文的辅助线作法错在哪里； （2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程。 A 已知：如图，在△ABC中，∠B= ∠ C. 求证：AB=AC.
B D C
定理名称
等边对等角
性质定理
内容
A
符号语言及图形
在ABC中， ∵AB=AC ∴∠B=∠C
C A
等腰三角形的 两个底角相等
B
如果一个三角形 等角对等边 有两个角相等， 那么这个三角形 判定定理 是等腰三角形 B 等腰三角形底边 等腰三角 上的高线、中线 形“三线 B 合一”(性 顶角平分线重合 质定理) ∵ AB=AC， BD=CD ∴AD⊥BC,且∠BAD=∠CAD
第11章
几何证明初步
学习目标： 1、进一步学习几何证明的思路和步骤； 2、牢固掌握等腰三角形的性质定理和判定定理， 并能够熟练地应用它们。