高考数学(理)真题分类汇编平面向量
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数 学
F1 平面向量的概念及其线性运算
5．、[2014·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
5．A
15．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．
15．90°
7．[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
7．2
F2 平面向量基本定理及向量坐标运算
4．[2014·重庆卷] 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A．－92 B．0
C．3 D.152
4．C
8．[2014·福建卷] 在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
8．B
16．，[2014·山东卷] 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点π12，3和点2π3，－2.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
16．解：(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x＋ncos 2x.
因为y＝f(x)的图像过点π12，3和点2π3，－2， 所以3＝msinπ6＋ncosπ6，－2＝msin4π3＋ncos4π3，
即3＝12m＋32n，－2＝－32m－12n，
解得m＝3，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6.
由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin2x＋2φ＋π6.
设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．
由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．
将其代入y＝g(x)得，sin2φ＋π6＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝π6.
因此，g(x)＝2sin2x＋π2＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－π2≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z.
13．[2014·陕西卷] 设0<θ<π2，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________．
13.12
18．，[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若PA→＋PB→＋PC→＝0，求|OP→|；
(2)设OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
18．解：(1)方法一：∵PA→＋PB→＋PC→＝0，
又PA→＋PB→＋PC→＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
∴6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2， 即OP→＝(2，2)，故|OP→|＝22.
方法二：∵PA→＋PB→＋PC→＝0，
则(OA→－OP→)＋(OB→－OP→)＋(OC→－OP→)＝0，
∴OP→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝(2，2)，
∴|OP→|＝22.
(2)∵OP→＝mAB→＋nAC→，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴x＝m＋2n，y＝2m＋n，
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
F3 平面向量的数量积及应用
10．[2014·北京卷] 已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．
10.5
11．[2014·湖北卷] 设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
11．±3
14．[2014·江西卷] 已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．
14.2 23
4．[2014·全国卷] 若向量a，b满足：＝1，(a＋b)⊥a，(＋b)⊥b，则|＝( )
A．2 B.2
C．1 D.22
4．B
3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．A
12．，[2014·山东卷] 在△ABC中，已知AB→·AC→＝tan A，当A＝π6时，△ABC的面积为______．
12.16
8．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE→·AF→＝1，CE→·CF→＝－23，则λ＋μ＝( )
A.12 B.23 C.56 D.712
8．C
F4 单元综合
15．[2014·安徽卷] 已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量，，，，和，，，，均由2个a和3个b排列而成．记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①S有5个不同的值
②若a⊥b，则Smin与|a|无关
③若a∥b，则Smin与|b|无关
④若|b|＞4|a|，则Smin＞0
⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为π4
15．②④
16．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D满足|CD→|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的最大值是________．
16．1＋7
10．，[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→·OB→＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2 B．3 C.1728 D.10
10．B
8．[2014·浙江卷] 记max{x，y}＝x，x≥y，y，x B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2 8．D
