一类胶状软物质中的孤子波与调制不稳定性分析

第６卷第ｌ３期２００６年７月　１６７ｌ一１８１５（２００６）１３—１８０１—０４　科学技术与Ｔ程　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏ１．６　Ｎｏ．１３　Ｊｕ１．２００６　④２００６　Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．　

通信技术　

一类胶状软物质中的孤子波与　

调制不稳定性分析　

姚敏　＇　文双春　雷大军　＇　（湖南大学计算机与通信学院　，长沙４１００８２；湘南学院物理系　，郴州４２３０００）　

摘要基于软物质中存在空间光孤子的预言，采用线性稳定法，对一类腋状软物质中空间光孤子调制不稳定性现象进行了研　究，得到了这类软物质中的调制不稳定性增益谱表达式，对软物暖中的孤子传播提供更进一步的理论依据。　关键词调制不稳定性　软物质　孤子波　中图法分类号ＴＮ２４１　０４３７．５；　文献标识码Ａ　

调制不稳定性（ＭＩ）具有一个最基本的作用，这　

个作用与非线性媒质中的波的传播相联系。它意　味着波传播时，波的振幅的微扰按指数增长。这种　

增加最终会导致光束传播质量下降和激光介质的　局部破坏；因而，对于高功率的光束来讲，调制不稳　

定性是一个关键问题。所以，对调制不稳定性的研　

究具有重要的实际意义。　调制不稳定性现象已在多种物理系统，例如流　体　、等离子体ｌ２　Ｊ、非线光学系统　中被证实和研　

究；还在离散非线性系统（分子链　。，费米共振界　面　。和波导序列　等）中证实和研究过。调制不稳　

定性强烈地受到存在于非线性系统中的，如在光脉　冲中的，高阶色散条件、非线性饱和度、光束相干条　

件等各种机理的影响。正因为如此，自从ｒｒａｉ等人　首次利用实验发现光纤中的调制不稳定性现象以　

来，人们对调制不稳定性已经做了大量的理论和实　

验研究Ｈ　”。　最近，Ｃｏｎｔｉ等人…。在研究软物质特性时，预言　

了光的空间自捕获可以发生在譬如胶体、泡沫、胶　

２００６年３月２日收到　国家自然科学基金（１０５７６０１２）和教育　部新世纪优秀人才支持计划课题资助　第一作者简介：姚敏，（１９６３一），湖南湘南学院副教授，湖南大学　访问学者．研究方向：非线性光学研究　Ｅ—ｍａｉｌ：ｙａｏｍｉｎ８１６２＠　ｌ６３．ｅｏｍ一　凝体等这些新材料在内的众多软物质当中，拓展了　

将Ｍａｘｗｅｌｌ方程捕获态的特点与特殊物质可测量的　静态结构因子联系起来的一般非局域理论，并提出　了软物质中孤波光谱的可能性．　

１　理论模型与计算　

考虑光束在软物质中传输，在傍轴近似下，电　场包络Ｅ（　，ｙ，　）的演化满足下列传输方程¨　

＋Ｖ　０㈢Ｉ　。　㈩　ｄｚ　１　ｎ、ｄｐ　

（１）式中Ｖ　＝０２／Ｏｘ　＋０２／０３＂　为横向拉普拉斯算　

符，ｋ＝∞ｎ。／ｃ是光波波数，ｎ。是软物质的线性折射　

率，△ｎ＝ｐ（Ｏｎ／　）　是电致伸缩，它与粒子数密度变　

化Ｐ（平均值为Ｐ。）成正比。　在傅立叶空间，ｑ＝ｑ（ｑ　一ｑ）表示调制频率（严　

格地讲是横向波矢）。在此空间粒子数密度变化　

Ｐ＝（　，　）可表示为…　

）＝　）　（２）　

（２）式中：　＝（　。／　。ｎ　）　表示阻抗，　＝　Ｐ（Ｏｅ／　）　表示电致伸缩，　是温度，ｋ　表示玻耳兹　

曼常数．，ｑ表示ｑ＝（ｑ　～ｑ）空间的光强度，ｓ（ｑ）为　静态结构因子，

代表了物质与理想气体之间可压缩　维普资讯 http://www.cqvip.com １８０２　科学技术与工程　６卷　

性的比率，它表明从光强到密度的转化函数的作用。　在胶体软物质里，ｓ（ｑ）可表示为…，　

ｓ㈤　（　×　

ｓｉｎ［（Ｄ一１）ｔａｎ　（　）］　（３）　

其中，厂表示Ｇａｍｍａ函数，　表示胶体悬浮粒　子的球半径，　表示一维线性空间的集合．Ｄ表示分　

形维数。　当　口１的限定条件下，ｓ（ｑ）变为…　

）＝Ｆ（Ｏ＋１　［１一　］（４）　ｓ（ｇ）＝＋１）　【　一　ｇ　（４　

下面，具体研究分形维数Ｄ＝３的一类胶体软　物质中存在的调制不稳定性。　将Ｄ＝３代入（４）式，得：　

ｓ（ｑ）＝６　（１—２ｑ　）／ｒ　（５）　将（５）式代入（２）式，这样，相应的Ｐ的表达式为　

ｐ（ｒ　：　）＋　Ｖ　训（６）　

（６）式中，，（ｒ，ｚ）＝ＩＥＩ　是光的强度。　将（６）式代入（１）式中，即可得到光束在这种胶　

体软物质里所遵循的传输方程：　

ｉ　ｏ　Ｅ＋　１　Ｖ　２　＋　ｋ立ｒ［１　ＥＩ　＋２　］Ｅ＝０　，　Ｖ　Ｚ　ｌ　ＥＩ　

（７）　

（７）式中　＝　㈢　。　

作归一化变换Ｅ（　，Ｙ，ｚ）＝（　）一　“（Ｘ，Ｙ，　

Ｚ），Ｘ＝ｘ／ｗｏ，Ｙ＝ｙ／ｗ０，Ｚ＝ｚ／２ｋｗ　。其中　。为波　束宽。得　

ｉ　Ｏｕ＋ｖ　／２　２　＋２篆Ｖ　】“＝０　

（８）　其中Ｖ　／　－０　／ＯＸ　＋０２／０１１２，Ｖ　Ｅ＝Ｖ　。　

设　＝２　／ｗ　，　＝１２Ｃｒ，　（９）　则方程（８）简化为　

ｉ　＋Ｖ　２ｕ＋　ｌ“ｌ　＋　Ｖ　Ｉ“ｌ　］“＝０（１０）　

很显然，方程（１０）有稳态解。　为了研究解的调制不稳定性，在稳态解上叠加弱　调制。　

“（　，ｌ，，Ｚ）＝“。［１＋ｎ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）］ｅ　（１１）　

这里“。和，０＝ｌ“。ｌ　分别表示初始振幅和平面波的　

光强，ａ（Ｘ，ｙ，Ｚ）是叠加在稳态波解上的弱调制，且　

弱微扰满足ｌｎ（　，ｌ，，Ｚ）ｌ：１条件。　将（１　１）式代入方程（１０），进行线性稳定性分　析，我们得到ｎ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）的下列演化方程　

Ｏａ＝ｉ（１＋　，０）Ｖ　ｎ＋ｉ　，０　Ｖ　ｎ　＋ｉ８Ｉｏ（ｎ　

＋ｎ　）＝０　（１２）　取微扰形式如下：　

ａ（ｘ，ｌ，，ｚ）＝ｎｌｅ‘　。７　＋ｎ　ｅ—ｉ彳。７　（１３）　

这里　是调制频率（严格地讲是横向波矢），ｇ是不　稳定性增长率．　

将（１３）式代入（１２）式，并将方程实部和虚部分　

开，可以得到下列不稳定性的行列式　

Ｍ＝｛ｍ　｝，（Ｚ，Ｐ＝１，２）。　

其中：ｍｌｌ＝ｇ＋ｉ（１＋　ｙ，０）ｇ　一ｉ　，０，ｍｌ２＝一ｉ　，０＋　

研，０ｑ　，ｍ２１＝　一研，０ｑ　，　＝ｇ—ｉ（１＋　）×ｑ　＋　ｉ　。　显然，要有非平凡解的条件是系数行列式等于　

０，这样，就可得到适合于软物质的调制不稳定性增　益谱的表达式为：　

ｇ＝ｑ√２６，０一（１＋２卸，０）ｑ　（１４）　

将　＝２　／ｗ：，　＝１２　值代入方程（１４），即　

得胶状软物质的调制不稳定性增益谱关系式：　

ｇ＝ｇ，／２４（Ｃｒ　），０一（１＋４８（Ｃｒ　）（Ｃｗ。）　，０）ｇ　

（１５）　从（１５）式可以得出调制不稳定性存在的条件　是ｇ必定是实数。为此，要求ｇ　＜ｇ　，其中调制不稳　

定性增益的截止频率ｇ　为　

ｑ　＝　２４（　ｒ　），０］／［１＋４８（　ｒ　）（　）　，０］　

（１６）　调制不稳定性条件ｑ　＜ｑ：表明，在一定的频率范围　

内，增益存在，在这些频率下，稳态解是不稳定的。由　

此，可以得出胶状软物质中可以产生调制不稳定性。　

此外，

利用（１５）式可以得到调制不稳定性的最大增长　维普资讯 http://www.cqvip.com ｌ３期　姚敏，等：一类胶状软物质中的孤子波与调制不稳定性分析　ｌ８０３　

率ｇ　及其对应的最快增长频率ｑ　：　

ｇ　＝１２（ｓＣ／ｒ￣）Ｉｏ／　（１７）　

ｇ　＝４１２（　），０／［１＋４８（　／　）（　。）　，０］　

（１８）　从（１５）一（１８）式可见，调制不稳定性增长率ｇ、、　

截止频率ｑ　、最快增长频率ｑ　和最大增长率ｇ　都　

与光束强度，０有关。　

２　数值模拟与分析　

胶状软物质中产生的调制不稳定性的增益由方　程（１５）式决定。光束的初始强度决定了调制不稳定　性的增益，只有当满足条件ｇ　＜ｇ：时，才产生调制不　

稳定性。这说明胶状软物质只在一定范围内存在增　

益，在此频率范围的稳态解对微扰是不稳定的。　

通过（１５）式一（１８）式来寻找调制不稳定性增长　的范围。为了简单起见而又不失一般性，在讨论光　

束初始强度，ｎ对调制不稳定性增益谱的影响时，有　

关参量可按文献［１１］取值，其中　。＝０．１，　

＝１００。　图１为根据方程（１５）式得到的胶状软物质中　

调制不稳定性的增益谱，从图１中可以看出，无论　

‘；　』　＼　饕　娶　

空间频率／【ａｕ】　

图１　初始强度，ｎ取不同值时调制不稳定性增益谱　

光束初始强度　多大，增益谱线均过原点，即当ｇ＝　

０时，增益ｇ为零。随着，０的增大，其对应的调制不　稳定性增益谱ｇ、截止频率ｇ　、最大增长率ｇ　增加，　

最大增长率对应的最快增长频率ｇ　也逐渐远离原　始频率∞，增益谱右移并增宽．这说明初始强度，ｎ　

可改变增益谱，值得注意的是，对应于初始强度，ｎ　

的增加，截止频率ｑ　和最大增长频率ｑ　并不是无　限制地增长，截止频率ｇ　和最快增长频率ｇ　最终　

达到各自截止频率ｑ　的极限值。　

图２、图３是根据（１　６）式、（１７）式得到的初　

ｉ　＼　瓣　

裎　

初始光强Ｉａ．ｕ】　罔２　截止频率ｇ　随光束初始强度，０的变化　

了　＝＝＝　暴　娶　

初始光强／［ａｕｌ　

图３最大增长频率口　随光束初始强度，０的变化　

始强度，０对截止频率ｇ　和最大增长频率ｇ　影响　

的关系曲线。显而易见，随着光束初始强度，ｎ的　增加，对应的截止频率ｑ　和最大增长频率ｑ　增　

大，并最终达到一个截止频率ｑ　的极值。由于最　

大增长频率ｇ　的表达式与截止频率ｇ　的表达式　仅相差一个倍数，因此截止频率ｑ　和最大增长频　

率ｇ　随光束初始强度，０的变化相似，仅极限值　

有所差别。　

利用（１８）式，我们还可以得到光束初始强度厶　

对最大增长率ｇ　的关系曲线，如图４所示。同样可　见，最大增长率ｇ　是随光束初始强度，０的增大而　单调增加。

　维普资讯 http://www.cqvip.com １８Ｏ４　科学技术与工程　６卷　

ｉ　三　＼　

ｇ　

初始光强，　【ａ　Ｕ】　

罔４最大增长率ｇ　随光束初始强度，０的变化　

３结论　

基于文献［１１］关于软物质中存在空间光孤子　

的预言，采用线性稳定法，对软物质中空间光孤子　调制不稳定性现象进行了研究。导出了胶体软物质　中孤子波的调制不稳定性增益谱函数的数学表达　式，并以此为基础展开分析。具体讨论了光束初始　

强度对调制不稳定性的增益谱、截止频率、最大增长　频率和最大增长率的影响。理论分析和数值模拟的　结果均表明：随着，ｎ的增大，其对应的调制不稳定性　

增益谱ｇ、最大增长率ｇ　都单调增加，截止频率ｑ　、　

最大增长频率ｑ　也逐渐远离原始频率∞，最终达到　极限值。本文的研究结果不仅从理论上证实软物质　中存在调制不稳定性现象，从而对软物质中的孤子传　播提供更进一步的理论依据；同时，借助于这一研究　

规律，在实际工作中，可以根据光束初始强度对软物　质调制不稳定性的影响效果，设计抑制软物质调制不　稳定Ｉ生的增益范围，用以避免激光传输介质的局部破　

坏而达到最佳的传输效果。　

参考文献　

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