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第21讲 不等式的基本性质
作者：刘族刚
来源：《高中生学习·高三文综版》2014年第10期
考情分析
不等式的基本性质与一元二次不等式式不等式是高中数学的重要内容和基础内容，是分析、解决有关数学问题的基础与工具，也是高考考查的重点，在近几年高考中，有关不等式的试题都占有较大的比重， 考查内容中不仅有不等式的基本性质、二次不等式的求解、求证、恒成立问题，而且容易与集合问题、二次方程和二次函数、三角、数列、复数、立体几何、解析几何等进行综合，形成中档或难题.
命题特点
不等关系常伴随函数、数列、立体几何、解析几何或实际问题进行考查，高考中考查不等式的性质多以选择、填空形式出现.而对于一元二次不等式，一般采用以下两种形式考查：一是考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题，二是以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题.
1. 比较代数式（值）的大小
例1 已知[x，y∈R]， 比较[x2-xy+y2]和[x+y-1]的大小.
解析 [（x2-xy+y2）-（x+y-1）] [=（x2-x）+（y2-y）-xy+1]
[=12（2x2-2x+2y2-2y-2xy+2）]
[=12（x2-2x+1+y2-2y+1+x2+y2-2xy）]
[=12[（x-1）2+（y-1）2+（x-y）2]].
∵[（x-1）2≥0]，[（y-1）2≥0]，[（x-y）2≥0]，
∴[12[（x-1）2+（y-1）2+（x-y）2]≥0].
∴[x2-xy+y2≥x+y-1].
点拨 作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论.其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法. 龙源期刊网
高中数学第一轮复习04基本不等式
·知识梳理·
模块01：平均值不等式
一、平均值不等式有关概念1、通常我们称ab
为正数ab、的算术平均值，称ab为正数ab、的几何平均值。
2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数ba、，有
2ab
ab
，
且等号当且仅当ab时成立.
3、定理：对于任意的实数ba、，有2()
2ab
ab
，且等号当且仅当ba时成立。
即对任意的实数ba、，有222abab，且等号当且仅当ba时成立。
[注意事项]：
222abab和
2ab
ab
两者的异同：
（1）成立的条件是不同的：前者只要求,ab都是实数，而后者要求,ab都是正数；
（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当ab时取等号”；
（3）222abab可以变形为：22
2ab
ab
；2ab
ab
可以变形为：2()
2ab
ab
。
4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，ACa,BCb，过点C作
DCAB交圆于点D，连接AD、BD.易证~RtACDRtDCB，那么2CDCACB，即CDab.这个圆的半径为
2ba
，它大于或等于CD，即abba
2，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.
[知识拓展]
1、当0ab
时，222
1122abab
aabb
ab
（调和平均值几何平均值算术平均值平方平均值）
2、123,,,,
naaaa是n个正数，则12naaa
n
称为这n个正数的算术平均数，12nnaaa称为这n个正数的几何平均数，它们的关系是：12
12nnnaaa
aaa
n
，当且仅当12naaa
时等号成立.
2二、利用基本不等式求最值问题
（1）“积定和最小”：2abab如果积ab是定值P，那么当ab时，和ab有最小值2P；
（2）“和定积最大”：2()
2ab
ab
课时作业(三十二) 第32讲 不等关系与不等式
时间：35分钟 分值：80分
基础热身
1．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M
C．M＝N D．M≥N
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
3．已知ab≠0，那么ab>1是ba<1的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若0
A．sin2α>2sinα
B．sin2α<2sinα
C．sin2α＝2sinα
D．无法确定
能力提升
5．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
6．设a>2，A＝a＋1＋a，B＝a＋2＋a－2，则A、B的大小关系是( )
A．A>B B．A
C．A≥B D．A≤B
7．“α＋β>2，且αβ>1”是“α>1，且β>1”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．若a
A.1a>1b和1|a|>1|b|均不能成立
B.1a－b>1a和1|a|>1|b|均不能成立
C．不等式1a－b>1a和a＋1b2>b＋1a2均不能成立
D．不等式1|a|>1|b|和a＋1a2>b＋1b2均不能成立
9．给出下列命题：①a>b与bb且b>c等价于a>c；③a>b>0，d>c>0，则ac>bd；④a>b⇒ac2>bc2；⑤ac2>bc2⇒a>b.其中真命题的序号是________．
10．若a1
11．同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：
不等式的基本性质
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
分析：起初的糖水浓度为ab，加入m克糖 后的糖水浓度为mamb，只要证mamb>ab即可。怎么证呢?
二、不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：
①、如果a>b，那么bb。(对称性)
②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。
③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d
