1.1等腰三角形
一、知识点梳理
1.等腰三角形的性质定理：
①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）
②等腰三角形的两腰相等（定义）
③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三
线合一）
2.等边三角形的性质定理：
①等边三角形的三条边都相等
②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
3.等腰三角形的判定定理：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）
②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
4.等边三角形的判定定理：
①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、
已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形
二、经典题型总结
题型一：利用等腰三角形的性质求角
题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度
题型三：用反证法证明简单证明题 题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明
题型五：动点与等腰三角形题型
题型六：与等腰三角形相关的综合提升题
三、解题技巧点睛
1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。
2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：
①两条线段所在的两个三角形“全等”
②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰
3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”
第1讲 等腰三角形
1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
知识点01 等腰三角形
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A .
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
4.等腰三角形是轴对称图形 目标导航
知识精讲 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
5.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【知识拓展1】根据等边对等角求角度
例1．（2021·贵州·思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？
北师大数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形练习
一、选择题
1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
答案：B
解析：
解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.
分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.
2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10或12 D．11或13
答案：D
解析：
解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13.
分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.
3．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
答案：C
解析：
解答：设AB=AC=x BC=y
则有
12,2152xxxy或者12,2152xxxy
所以x=8， y=11或者x=10，y=7.
即三角形AB=AC=8，BC=11.
或AB=AC=10，BC=7.
故选C.
分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
答案：D 解析：
解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°.
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知识讲解：
一、提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；
在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：
1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；
2.回忆全等三角形的性质。
二、等腰三角形两个底角的平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等．
通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
问题2.我们是如何证明上述定理的？
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？
三、顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；
底角是60°的等腰三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
三条边都相等的三角形是等边三角形。
二、1、定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．
2、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半
3、 第一讲：等腰三角形与直角三角形
适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级
适用区域 北师大版 课时时长（分钟） 120
知识点 1、 等腰三角形判定与性质
2、 直角三角形判定与性质
学习目标 1、理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
2、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性
