高中数学-双曲线-经典例题-分类指导

龙文学校个性化辅导教案提纲
教师：学生：时间：年_月日段
授课目的与考点分析：
双曲线的定义及标准方程
[例1 ](广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
四、本次课后作业：
五、学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
六、教师评定
1.学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2.学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
学生签字：龙文学校教务处签字：
A． B．12C． D．24
解析： ①
又 ②
由①、②解得
直角三角形，
故选B。
2.(2008广州二模文)如图2所示， 为双曲线 的左
焦点，双曲线 上的点 与 关于 轴对称，
则 的值是（）
A．9 B．16C．18 D．27
[解析] ，选C
3.(广州市越秀区2009届高三摸底测试) P是双曲线 左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则 的内切圆的圆心的横坐标为（）
【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．
[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360

题型四 双曲线的综合问题
例 4 (2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点 F1(－ 17，0)， F2( 17，0)，点 M 满足|MF1|－|MF2|＝2.记 M 的轨迹为 C.
(1)求 C 的方程； (2)设点 T 在直线 x＝12上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两 点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
【解析】 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2 17， 所以点 M 的轨迹 C 是以 F1，F2 分别为左、右焦点的双曲线的右支． 设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，半焦距为 c，则 2a＝2，c＝ 17， 得 a＝1，b2＝c2－a2＝16， 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x2－1y62 ＝1(x≥1)． (2)设 T(12，t)，由题意可知直线 AB，PQ 的斜率均存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 y－t＝k1(x－12)(k1≠0)，直线 PQ 的方程为 y－t＝k2(x－12)(k2≠0)，
＋2kx－2＝0.
4k2＋8（1－k2）＞0，
由题设条件得－1－2kk2＜0，
∴－ 2＜k＜－1.
－1－2 k2＞0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，
则 Qx1＋2 x2，y1＋2 y2， y1＋y2
kPQ＝x1＋2 2x2＋2＝（x1y＋1＋x2y）2 ＋4. ∵x1＋x2＝k22－k 1，
( 3，0)． (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B
>2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围． 【解析】 (1)设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 由已知得 a＝ 3，c＝2，∴b＝1. 故所求双曲线方程为x32－y2＝1.

2021年高考数学新一轮复习详细分类题库考点41 双曲线（文、理）（含详解，13高考题）一、选择题1.（xx·湖北高考文科·Ｔ2）已知，则双曲线：与：的( )A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解题指南】分别表示出双曲线和的实轴，虚轴，离心率和焦距，最后比较即可.【解析】选D. 双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为；双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为，故只有焦距相等.故答案为D.2.（xx·福建高考理科·Ｔ3）双曲线的顶点到渐进线的距离等于（）A. B. C. D.【解题指南】先求顶点，后求渐近线方程，再用距离公式求解.【解析】选C.双曲线的右顶点为,渐近线方程为,则顶点到渐近线的距离为．3.(xx·福建高考文科·T4)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )A．B．C．D．【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式.【解析】选B.顶点到渐近线y=x的距离为.4.（xx·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ4）与（xx·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ4）相同已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解题指南】根据题目中给出离心率确定与之间的关系，再利用确定与之间的关系，即可求出渐近线方程.【解析】选C.因为，所以，又因为，所以，得，所以渐近线方程为5.(xx·天津高考理科·T5)已知双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2p x(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p= ( )A.1B.C.2D.3【解题指南】画出图示,确定抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标,表示出△AOB的面积,然后求解.【解析】选C.如图,A,B两点是双曲线的渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线的交点,其坐标分别为，故△AOB的面积为,又因为双曲线的离心率为2,即c=2a,由b 2=c 2-a 2得b=a,所以p =2.6. （xx ·湖北高考理科·Ｔ5）已知0＜＜，则双曲线C 1:与C 2: 的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【解析】选D. 对于双曲线C 1，有， .对于双曲线C 2，有sin ,sin tan ,a b θθθ==所以 θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =⋅=+=c ， .即故两双曲线的离心率相等.，实轴长、虚轴长、焦距不相等。

高中数学双曲线知识归类总结一、双曲线上点到坐标轴上点的距离最大值及最小值根据两点距离公式,利用双曲线方程,借助代入消元法,消去其中一个变量,得到双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量的函数表达式,将点点之间距离的最值问题转化成常见函数——二次函数的最值问题进行求解,注意变量的取值范围. 先看例题：已知双曲线224:y C x -=求点(1,0)P 到此双曲线上的点的最近距离.整理：焦点在x 轴上的双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任一点(),P x y , (),0M m ,2222222||()()(1)x PM x m y x m b a =-+=---()0,N n ,2222222||()(1)()y PN x y n a y n b =+-=++-两点距离的最值问题转化成二次函数的最值问题进行求解,注意变量,x y 的取值范围,其中||,x a ≥y R ∈焦点在y 轴上的双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 类似处理. 再看一个例题,加深印象例：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率25=e ,点A （0,1）与双曲线上的点的最小距离是5302,求双曲线的方程．总结：1.根据双曲线不同形式的标准方程及两点距离公式,写出双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量x或y的函数表达式.2.根据变量,x y的取值范围,求出二次函数的最值,进而求出双曲线上点到坐标轴上点的距离最值.练习：1.已知双曲线C:221x y-=,点A(a,0) (a>0) 到双曲线上的点的最近距离为d,求解析式d=f(a).2.已知双曲线C:2214xy-=,P是C上的任意点.(Ⅰ)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (Ⅱ)设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值.答案：1.解：2222222()()12()122a a d x a y x a x x =-+=-+-=-+-,||1x ≥0＜a ≤2时,点A(a ,0)到双曲线的距离的最小值()|1|f a a ==-；当 a ＞2时,点A(a ,0)到双曲线的距离的最小值()f a =(Ⅱ)设P 的坐标为(x ,y ),则|PA |2＝(x －3)2＋y 222(3)14x x =-+-25124()455x =-+.∵|x|≥2, ∴当125x =时,|PA|2的最小值为45,即|PA |的最小值为5.二、有关双曲线中线段的和的最值问题本内研究双曲线中线段之和的最值.根据双曲线的第一定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值. 先看例题：例：已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线上的动点,则|PF |+|PA |的最小值为________.思考：P 是双曲线右支上的动点,答案如何？例如：已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|PA |的最小值为________.整理：根据双曲线的第一定义,利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三 边画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.设P 为平面内一动点,A 、B 为两定点,则||||||PA PB AB +≥当且仅当点P 在线段AB 上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB -≤-≤ 当且仅当点P 在线段AB （或BA ）的延长线时取等号．B A P P图2再看一个例题,加深印象：例：已知F 是双曲线22: 2C x y -=的右焦点,P 是C 的左支上一点,()0,2A .当APF ∆ 周长最小时,求P 的坐标.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.1.已知F是双曲线C:2218yx-=的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,).当△APF周长最小时,该三角形的面积为________.2.已知F是双曲线221412x y-=的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________.3.已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=,离心率e=（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图,点A的坐标为(,B是圆22(1x y+=上的点,点M在双曲线右支上,求MA MB+的最小值,并求此时M点的坐标；（Ⅱ）设点D的坐标为,则点A 、D 为双曲线的焦点,||||22MA MD a -== 所以||||2||||2||MA MB MB MD BD +=+++≥ ,B是圆22(1x y +=上的点,其圆心为C ,半径为1,故||||11BD CD -=≥从而||||2||1MA MB BD ++≥由方程组2244x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩得x y ==∴M .三、双曲线中另一种线段之和的最值问题本内容主要研究双曲线中线段之和1+||eM MFA（|MF|为焦半径,A是定点）的最值.根据双曲线的第二定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.先看例题：例：已知点A（5,3）,F（2,0）,在双曲线2213yx-=上求一点P,使1||||2PA PF+的值最小.显然直线垂直于准线时合题意,且在双曲线的右支上,此时P点纵坐标为3,所以所求点P的坐标为P(2,3)注意：题目中PF的系数并不是任意的,它与双曲线的离心率有关.再看一个例题,加深印象例：已知P是双曲线221169yx-=右支上的动点,点F是双曲线的右焦点,定点()8,4A,求45PF PA+的最小值.解：由所求45PF PA+和54e=的特殊性,巧用第二定义化归为平几最值求解.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.练习：1.已知点A（3,2）,F（2,0）,在双曲线2213yx-=上求一点P,使1||||2PA PF+的值最小.2.已知P是双曲线2211620yx-=右支上的动点,点P是双曲线的右焦点,定点()7,6A,求23PF PA+的最小值.答案： 1.解：∵a=1，c=2，e=2ca=， 设点P 到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d ，则||12,||2PF PF d d =∴=即在双曲线上求点P ,使P 到定点A 的距离与到准线的距离之和最小,显然直线垂直于准线时合题意,且在双曲线的右支上,此时P 点纵坐标为2,∴所求的点为P（3,2）.2.四、双曲线中线段之差的最值问题本内容主要研究双曲线中线段之差的最值.根据双曲线的第一定义和第二定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.例：已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线上的动点,则|PF |-|PA |的最大值为________.解：由双曲线的图象,连接F A 延长交双曲线于点P ,满足|PF |-|P A |最大.由两点间距离公式，A (1,4),F (-4,0)求得最大值为||AF =整理：根据双曲线第一定义和第二定义利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边,画出图形利用几何图形的性质,三点共线线段之和取得最值.例如：设P为平面内一动点,A、B为两定点,则||||||PA PB AB+≥当且仅当点P在线段AB上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB-≤-≤当且仅当点P在线段AB（或BA）的延长线时取等号．BAP P图2再看一个例题：例：P为双曲线x2－y215＝1右支上一点,M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点,则|PM|－|PN|的最大值为__________．解：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2－y215＝1的两焦点．如图：当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大， |PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和， 同样|PN |最小＝|PF 2|－1，从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.总结：1.在遇到双曲线中线段差的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.双曲线上到的双曲线内（不含焦点的区域）一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与双曲线的交点.3.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.练习：1．P 为双曲线2218-=y x 右支上一点,M 、N 分别是圆(x ＋3)2＋y 2＝4和(x －3)2＋y 2＝1上的点,则|PM |－|PN |的最大值为__________．2．设圆C与两圆2222(4,(4x y x y +=+=,中的一个内切,另一个外切. (Ⅰ)求C 的圆心轨迹L 的方程;(Ⅱ)已知点M且P 为L 上动点.求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标.答案：1.解：已知两圆圆心(－3,0)和(3,0)(记为F1和F2)恰为双曲线2218yx-=的两焦点．当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|－|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样|PN|最小＝|PF2|－1，从而|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝5.五、双曲线中另一种线段之差的最值问题本内容主要研究双曲线中线段之差1-||eM MFA（|MF|为焦半径,A是定点）的最值.根据双曲线的第二定义,利用三角形中两边之和大于第三边,三角形中两边之差小于第三边,处理线段之和的最值问题时,画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.先看例题：例：已知点A（5,3）,F（2,0）,在双曲线2213yx-=上求一点P,使1||||2-PA PF的值最大.解：∵a=1，c=2，e=2ca=，设点P到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d，则||12,||2PFPF d d=∴=即在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离之差最大，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的左支上，此时P点纵坐标为3，∴所求的点为P（-2，3）.注意：题目中PF的系数并不是任意的,它与双曲线的离心率有关. 整理：根据双曲线的第二定义,将1||MF e 转化为点到准线的距离,利用三角形两边之和大于第三边,或三角形两边之差小于第三边, 画出图形,利用几何图形的性质三点共线线段之差取得最值.例：已知P 是双曲线221169y x -=右支上的动点,点F 是双曲线的右焦点,定点()5,4A ,求45PF PA-的最大值.解：由所求4|PF|-5|PA|和45=e 的特殊性，巧用第二定义化归为平几最值求解.设P 1为P 在右准线上的射影，A 1为A 在右准线上的射影， 则4|PF|-5|P A |=5（|P A 1|-|P A |）≤5|A 1A |.当且仅当A ,P ,P 1，A 1共线时取最大值. 此时的最大值为116955(5)5955AA =-=⨯=.即4|PF |-5|P A |的最大值为9.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时,常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a-=）及三角形三边关系.2.注意双曲线上点的位置,在哪一支上,影响所求最值.练习：1.已知点A （3,2）,F （2,0）,在双曲线2213y x -=上求一点P,使1||||2-PA PF 的值最大.2.已知P 是双曲线2211620y x -=右支上的动点,点P 是双曲线的右焦点,定点()7,6A ,求23PF PA-的最大值.答案： 1.解：∵a=1，c=2，e=2ca=， 设点P 到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d ，则||12,||2PF PF d d =∴=即在双曲线上求点P ,使P 到定点A 的距离与到准线的距离之差最大,显然直线垂直于准线时合题意,且在双曲线的左支上,此时P 点纵坐标为2,∴所求的点为P （3-,2）.2.解：设P 1为P 在右准线上的射影,A 1为A 在右准线上的射影,则2|PF |-3|P A |=3（|P A 1|-|P A |）≤3|A 1A |. 当且仅当A ,P ,P 1，A 1共线时取最大值. 此时的最大值为1163AA 3(7)196=-=.即4|PF |-5|P A |的最大值为19.。