双曲线
考纲解读 1.根据双曲线的定义和性质求标准方程；2.根据双曲线的标准方程求双曲线的性质：离心率、渐近线等；3.利用双曲线定义及性质解决简单的直线与双曲线的关系问题．
[基础梳理]
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程与几何性质
x2y2y2x2
[三基自测]
1．双曲线x 23－y 2
2＝1的焦距为( )
A ．32 B.5 C ．2 5 D ．45
答案：C
2．若双曲线E ：x 29－y 2
16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|
＝3，则|PF 2|等于( )
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3 答案：B
3.x 22＋m －y 2m ＋1
＝－1表示双曲线，则m 的范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)双曲线x 2－
y 2
3＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x
考点一 双曲线定义及应用|易错突破
[例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2
都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )
A ．x ＝0 B.x 22－y 2
14＝1(x ≥2) C.x 22－y 2
14＝1 D.x 22－y 2
14
＝1或x ＝0 (2)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43
|PF 2|，求△F 1PF 2的面积．
[解析] (1)动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2.
故得|MC 1|－|MC 2|＝22；
在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2. 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2.已知|C 1C 2|＝8，
根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b 2
＝c 2
－a 2
＝14，其方程为x 22－y 2
14
＝1.
(2)由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝1
3|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|
＝10，故三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝1
2
|PF 1|×|PF 2|＝24.
[答案] (1)D
[易错提醒]
[纠错训练]
1．(2018·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9右焦点F 2的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( )
A ．19
B ．26
C ．43
D ．50
解析：如图，由双曲线的定义
可得⎩
⎪⎨⎪⎧
|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ①|QF 2|－|QF 1|＝2a ， ②
①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ | ＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26.
答案：B
2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 2
4＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲
线上，求|AP |＋|AF 2|的最小值．
解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.
考点二 双曲线的方程及性质|方法突破
命题点1 求双曲线的方程
[例2] (1)已知焦点在y 轴上的双曲线C 的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的标准方程为( )
A.y 29－x 2
3＝1 B.x 29－y 2
3＝1 C.y 24－x 2
6
＝1 D.x 24－y 2
6
＝1 (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±1
3x ，则双曲线的方程是________。
(3)(2018·成都模拟)设双曲线与椭圆x 227＋y 2
36＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点
的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．
[解析] (1)设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线C 的一条渐近线与直线
l ：x ＋3y ＝0垂直，双曲线C 的一条渐近线为y ＝3x ，设双曲线的一个焦点为(0，c )，则其到直线l 的距离为
|3c |12＋(3)2
＝
3c
2
＝3.∴c ＝2 3.由双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，可知a b ＝ 3.∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝9，b 2
＝3.故双曲线的方程为y 29－x 2
3
＝1. (2)设双曲线的方程是y 2－
x 29＝λ.因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－9
9
＝1.所以双曲线的方程为
y 2－
x 2
9
＝1. (3)法一：椭圆x 227＋y 2
36＝1的焦点为(0,3)和(0，－3)，
∴双曲线的焦距为2c ＝6. 由双曲线的定义得
