高二数学双曲线例题解析_人教版

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A 版2019选择性必修一）专题20 双曲线及其标准方程题型一 利用双曲线定义求方程1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；（2）焦点在x轴上，经过点(，⎝ （3）焦点为(0,6)-，(0,6)，且经过点(2,5)-．【答案】（1）221169x y -=；（2）2213y x -=；（3）2212016y x -= 【解析】（1）因为焦点在x 轴上，设双曲线方程为22221x y a b-=，因为4a =，3b =，所以双曲线方程为221169x y -=；（2）因为焦点在x 轴上，设双曲线方程为22221x y a b -=，因为经过点(，⎝，代入可得22222315213a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令2211,m n a b ==，可得2315213m n m n -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得113m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2213a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线方程为：2213y x -=； （3）因为焦点为(0,6)-，(0,6)，所以c =6，且交点在y 轴， 因为过点且经过点(2,5)-，2(0)a a =>，解得a =又222362016b c a =-=-=， 所以双曲线方程为：2212016y x -=；2．相距1400m 的A ，B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．【答案】炮弹爆炸点在双曲线上，方程为221260100229900x y -=.【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则(700,0),(700,0)A B -，设爆炸点为(,)M x y ， 则340310201400MA MB -=⨯=<，根据双曲线的定义可得，M 在双曲线上，且2102021400a c =⎧⎨=⎩，所以510,700a c ==，所以22222700510229900b c a =-=-=， 所以点M 的轨迹方程为：221260100229900x y -=. 3．一块面积为12公顷的三角形形状的农场，如图所示△PEF ，已知1tan 2PEF ∠=，tan 2PFE ∠=-，试建立适当直角坐标系，求出分别以E ，F 为左、右焦点且过点P 的双曲线方程.【答案】2254x y -=1. 【解析】以EF 所在直线为x 轴，EF 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以E ，F 为焦点且过点P 的双曲线方程为22221x y a b -=，焦点为(,0)E c -，(c,0)F ． 由1tan 2PEF ∠=，tan 2EFP ∠=-，tan tan()2EFP απ=-∠=， 得直线PE 和直线PF 的方程分别为1()2y x c =+和2()y x c =-．将此二方程联立，解得53x c =，43y c =，即P 点坐标为5(3c ，4)3c ．在EFP 中，2EF c =，EF 上的高为点P 的纵坐标， 由题设条件24123EFPSc ==，3c ∴=，即P 点坐标为(5,4)．由两点间的距离公式PE ==PF ==a ∴=又2224b c a =-=，故所求双曲线的方程为22154x y -=．题型二 双曲线定义的应用4．已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为 A．4B．4(1+ C． D【答案】B【解析】曲线22142x y -=右焦点为F)，APF ∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当',,A P F 三点共线时取到,故l =2|AF |+2a=(41 故选B5．双曲线16x 2 - 9y 2=144的左､右两焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=64，则∠F 1PF 2=________. 【答案】60°【解析】双曲线方程16x 2- 9y 2=144，可化为221916x y -=， ∴F 1(-5,0)，F 2(5,0).设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，由双曲线的定义，知|m -n |=2a =6，又m ·n =64， 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222222212121212||||||(2)()24361281001cos 2||||221282PF PF F F m n c m n mn c F PF PF PF mn mn +-+--+-+-∠=====⋅，∴∠F 1PF 2=60°. 故答案为：60°.6．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________． 【答案】9【解析】对于双曲线221412x y -=，则2a =，b =4c =，如下图所示：设双曲线的右焦点为M ，则()4,0M ，由双曲线的定义可得4PF PM -=，则4PF PM =+，所以，4449PF PA PM PA AM +=++≥+==，当且仅当A 、P 、M 三点共线时，等号成立. 因此，PF PA +的最小值为9. 故答案为：9.7．如图，若12,F F 是双曲线221916x y-=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； （2）若P 是双曲线左支上的点，且12|||3|2F PF P =⋅，试求12F PF △的面积. 【答案】（1）10或22；（2）1216F PF S =△.【解析】解：（1）12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，则3,4,5a b c ===， 点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点M 到另一个焦点的距离为m ， 则由双曲线定义可知，|16|26m a -==，解得10m =或22m =， 即点M 到另一个焦点的距离为10或22；（2）P 是双曲线左支上的点，则21||||26PF PF a -==，则221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=，而12|||3|2F PF P =⋅， 所以2212||||36232100PF PF +=+⨯=，即2221212||||||100PF PF F F +==，所以12F PF △为直角三角形，1290F PF ∠=︒， 所以121211||||321622F PF SPF PF =⋅=⨯=. 8．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，求||||PF PA +的最小值.【答案】9【解析】由题意可知，点A 在双曲线的两支之间，设双曲线的右焦点为F ',则(4,0)F '，由双曲线定义，得||24PF PF a '-==，而||5PA PFAF ''+=，两式相加，得||||9PF PA +，当且仅当,,A P F '三点共线时等号成立，则||||PF PA +的最小值为9. 题型三 根据方程表示双曲线求参数的范围9．若方程2222x y m m-+-＝1表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．(－2，2) B ．(0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【答案】A【解析】由题意，方程2222x y m m-+-＝1表示双曲线，则满足(2)(2)0m m +->， 解得22m -<<，即实数m 的取值范围是()2,2-. 故选：A.10．方程22141x y k k +=--表示的曲线为C ，下列正确的命题是（ ）A ．曲线C 不可能是圆；B ．若14k <<，则曲线C 为椭圆； C ．若曲线C 为双曲线，则1k <或4k >；D ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512k <<. 【答案】CD【解析】①22+=141x y k k --，当541,2k k k -=-=时为曲线C 为圆,故A 错误； ②若C 为椭圆得：401041k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得： 14k <<且52k ≠，故B 错误；③若C 为双曲线(4)(1)0k k --<，解得；1k <或4k >，故C 正确； ④C 表示焦点在x 轴上的椭圆，得 414010k k k k ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩解得512k <<，故D 正确．故选：CD .11．已知方程22121x y m m -=++表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________.【答案】(,2)-∞-【解析】根据双曲线标准方程且焦点在y 轴上，∴2010m m +<⎧⎨+<⎩，解得2m <-，即m 的范围为(,2)-∞-.故答案为：(,2)-∞-. 题型四 双曲线的轨迹问题12．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【答案】B【解析】连接ON ，如图，由题意可得|ON |＝1，且N 为线段MF 1的中点，∴|MF 2|＝2，∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ， ∴由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|， ∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，故选：B13．已知双曲线221416x y -=与直线:(2)l y kx m k =+≠±有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于(,0)A x ，(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点(,)P x y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？ 【答案】答案见解析【解析】联立方程221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得()22242160k x kmx m ----=，因为有唯一公共点且2k ≠±，则()()2222444160k m k m ∆=----=，整理得()2244m k =-，可解得点M 坐标为224,44km m k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，即416,k m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0km ≠，于是，过点M 且与l 垂直的直线为1614k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭， 可得20202020,0,0,,,k k A B P m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2020,k x y m m =-=-， 则22222224004001600410010044k m x y m m m ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，即22100125x y -=，其中0y ≠， 所以点(,)P x y 的轨迹方程是22100125x y -=（0y ≠），轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点），如果将此题推广到一般双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，直线:()b l y kx m k a=+≠±，其它条件不变，可得点(,)P x y 的轨迹方程是222222221(0)x y y a b a b a b -=≠⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为()222a b a+，虚轴长为()222a b b+的双曲线（去掉两个顶点）.14．M 是一个动点，MA 与直线y x =垂直，垂足A 位于第一象限，MB 与直线y x =-垂直，垂足B 位于第四象限．若四边形OAMB （O 为原点）的面积为3，求动点M 的轨迹方程．【答案】()2260x y x -=>.【解析】设(),M x y ，根据题意可知点M 在y x =和y x =-相交的右侧区域， 所以点M 到直线y x =的距离1d ==，到直线y x =-的距离2d ==221232OAMBx y S d d -===即()2260x y x -=>所以动点M 的轨迹方程：()2260x y x -=>.15．已知A ，B 两点的坐标分别是(6,0)-，(6,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是29．求点M 的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 【答案】点M 的轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点. 【解析】设(),M x y ，因为()()6,0,6,0A B -，所以()26669AM BMy y k k x x x ⋅=⋅=≠±+-，整理得()2216368x y x -=≠±， 故点M 的轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点.。

1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．3．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使+2＝成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，，且渐近线方程为，求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）在圆x2+y2＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l 与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P 分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．10．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．高中数学资料共享群734924357每天都有更新！11．已知椭圆＝1（a＞b＞0}），点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点．（1）求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值，并求出定值；（2）试对双曲线＝1写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．12．如图，若F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．13．已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2＝36有相同的焦点．（1）求双曲线标准方程；（2）若点M在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，求△MF1F2的面积．14．设双曲线＝1，其虚轴长为2，且离心率为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A、B，在线段AB上取点M使得＝，证明：点M落在某一定直线上；（3）在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围．15．在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为．（1）求动点P的轨迹方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为G，已知点（x1，x2）在圆x2+y2＝2上，求|OG|•|MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．16．已知双曲线＝1（b＞a＞0）渐近线方程为y＝±x，O为坐标原点，点在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求的值．17．设双曲线﹣＝1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．（1）若A、B分别为此双曲线的渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）过点N（1，0）能否作出直线l，使l交双曲线于P、Q两点，且•＝0，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．18．已知双曲线，（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．19．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为（﹣2，0）和（2，0），点P（3，）在双曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（Ⅱ）过点A（0，2）的直线与双曲线C交于不同的两点E、F，若坐标原点O 与E、F构成的三角形面积为2，求直线l的方程．20．已知双曲线的左右两个顶点是A1，A2，曲线C上的动点P，Q 关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E（0，2），轨迹D上的点A，B满足，求实数λ的取值范围．21．已知圆M：（x+1）2+y2＝，圆N：（x﹣1）2+y2＝，动圆D与圆M外切并与圆N内切，圆心D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点，直线y＝x为C的一条渐近线．①求双曲线C的方程；②过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且λ1+λ2＝﹣时，求Q点的坐标．22．已知双曲线的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥k．（1）求m的取值范围；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）设条件p：e≥k；条件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．23．已知F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|﹣|PF2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？24．若抛物线的顶点是双曲线x2﹣y2＝1的中心，焦点是双曲线的右顶点（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．25．已知双曲线过点A（1，1），它的焦点F在其渐近线上的射影记为M，且△OFM（O为原点）的面积为．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过点A作双曲线的两条动弦AB，AC，设直线AB，直线AC的斜率分别为k1，k2，且（k1+1）（k2+1）＝﹣1恒成立，证明：直线BC的斜率为定值．26．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝交于点M，双曲线C的离心率e＝，F是其右焦点，且|MF|＝1．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P 在A、Q之间，若＝λ且，求直线l斜率k的取值范围．27．已知双曲线C：﹣＝1的离心率是，其一条准线方程为x＝（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若＝λ，求实数λ的取值范围．28．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（a，0），B（0，﹣b）．（1）求双曲线的方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过B作直线与双曲线交于M，N两点，求B1M⊥B1N时，直线MN的方程．29．已知椭圆C与双曲线﹣＝1有公共焦点，且离心率e＝，（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点P是椭圆C上的一动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在椭圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？30．已知两点A（0，﹣1），B（0，1），P（x，y）是曲线C上一动点，直线PA、PB斜率的平方差为1．（1）求曲线C的方程；（2）E（x1，y1），F（x2，y2）是曲线C上不同的两点，Q（2，3）是线段EF 的中点，线段EF的垂直平分线交曲线C于G，H两点，问E，F，G，H是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由．31．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，直线x﹣3y+5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于．（1）求双曲线S的方程；（2）设经过点（﹣2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．32．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为（1）求抛物线C的方程；（2）过点D（﹣1，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点E，F，若在x轴上存在一点P（x0，0）使得△PEF是等边三角形，求x0的值．33．在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线﹣y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x0，y0），Q（x0，﹣y0）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）过坐标原点O作一条直线交轨迹E于A，B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C，连AC交轨迹E于点D，求证：AB⊥BD．34．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2＝2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l 与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．35．已知曲线Γ上的点到F（1，0）的距离比它到直线x＝﹣3的距离小2，过F 的直线交曲线Γ于A，B两点．（1）求曲线Γ的方程；（2）若，求直线AB的斜率；（3）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．36．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．（1）求双曲线C的方程；（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点，求实数k的值．37．已知点是椭圆C：的一个顶点，椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P（x0，y0）是定点，直线交椭圆C于不同的两点A、B，记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求点P的坐标，使得k1+k2＝0恒成立．38．已知双曲线C：的离心率为，点（4，2）在C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，且直线l与双曲线C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．39．已知命题P“双曲线﹣＝1上任意一点Q到直线l1：bx+ay＝0，l2：bx﹣ay＝0的距离分别记作d1，d2则d1，d2为定值”是真命题（1）求出d1•d2的值（2）已知直线l1，l2关于y轴对称且使得椭圆C：+＝1上任意点到l1，l2的距离d1，d2满足为定值，求l1，l2的方程（3）已知直线m与（2）中某一条直线平行（或重合）且与椭圆C交于M，N 两点，求|OM|+|ON|的最大值．40．椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆+＝1（a＞b＞0）有如下命题：AB是椭圆+＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM•k AB＝﹣，为定值．那么对于双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）则有命题：AB是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM•k AB＝定值．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．41．如图，已知双曲线，过点P（0，﹣1）的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E（点D在y轴的左侧）．（1）若，求直线l的方程；（2）求的取值范围．42．已知双曲线C1：x2﹣＝1（b＞0），A（x A，b2）是C1上位于第二象限内的一点，曲线C2是以点C（0，b2+1）为圆心过点A的圆上满足y＞b2的部分．曲线Γ由C1上满足y≤b2的部分和C2组成．记F1，F2为C1的左、右焦点．（1）若△CF1F2为等边三角形，求x A；（2）若直线AC与Γ恰有两个公共点，求b的最小值；（3）设b＝1，过A的直线l与Γ相交于另外两点P、Q，求l的倾斜角的取值范围．43．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．44．已知曲线，Q为曲线C上一动点，过Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2．（1）当Q运动到时，求的值；（2）设直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于M、N两点，与x轴正半轴交于T点，与y轴交于S点，若，，且λ+μ＝1，求证T为定点．45．设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆D：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C分别相交于点A，B，如图所示．（1）求双曲线C的方程；（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A，B的任意一点，且直线PA，PB分别与x轴相交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值（其中O为坐标原点）．46．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．47．已知双曲线C的一个焦点为，且过点．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P（x0，y0）（y0≥1）在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M（m，0）（﹣＜m＜）、N，设过点F1，N的直线l与C交于D，E两点．（Ⅰ）求C的标准方程；（Ⅱ）求△F2DE的面积最大值．48．直线上的动点P到点T 1（9，0）的距离是它到点T（1，0）的距离的3倍．（1）求点P的坐标；（2）设双曲线的右焦点是F，双曲线经过动点P，且，求双曲线的方程；（3）点T（1，0）关于直线x+y＝0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线L与（2）中的双曲线交于不同的两点M、N，且满足|QM|＝|QN|，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由．49．已知双曲线C1：的渐近线方程为y＝±x，且过点，其离心率为e，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为（I）求抛物线C2的方程；（II）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且＝12．（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ii）过点P作AB 的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．50．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m 为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）高中数学《双曲线》大题50题答案解析1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．【解析】选①．因为m＞0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝，因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c，所以a+c＝+＝3+，解得m＝3，故C的方程为﹣＝1；选②．若m＞0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝，所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝3，则故C的方程为﹣＝1；若m＜0，则a2＝﹣2m，b2＝﹣m，c2＝﹣3m，所以c＝，所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝﹣3，则C的方程为﹣＝1；选③．若m＞0，则a2＝m，所以a＝，因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2＝4，解得m＝4，则C的方程为﹣＝1；若m＜0，则a2＝﹣2m，所以a＝，因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2＝4，解得m＝﹣2，则C的方程为﹣＝1．2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．【解析】（1）由题意可得c＝2，c﹣＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1；（2）证明：设F（2，0）设过F的弦AB所在的直线方程为：x＝ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则有中点M（+2，），联立直线AB与双曲线的方程：整理可得：（k2﹣3）y2+4ky+1＝0，因为弦AB与双曲线有两个交点，所以k2﹣3≠0，y1+y2＝，所以x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，所以M（，）；（i）当k＝0时，M点即是F，此时直线MN为x轴；（ii）当k≠0时，将M的坐标中的k换成﹣，同理可得N的坐标（，﹣），①当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率k MN＝＝，将M代入方程可得直线MN：y﹣＝（x﹣），化简可得y＝（x﹣3），所以直线MN恒过定点P（3，0）；②当直线MN垂直于x轴时，＝可得k＝±1，直线也过定点P（3，0）；综上所述直线MN恒过定点P（3，0）．3．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．【解析】（1）①当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k，则直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），即y＝kx﹣k+1联立方程，消去y得：（4﹣k2）x2﹣2k（1﹣k）x﹣[（1﹣k）2+4]＝0，∵直线l和双曲线Γ有且仅有一个公共点，∴△＝4k2（1﹣k）2+4（4﹣k2）[（1﹣k）2+4]＝0，化简得：80﹣32k＝0，∴，∴直线l的方程为：y＝，即5x﹣2y﹣3＝0，③当直线l与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，∵双曲线Γ的渐近线方程为：y＝±2x，∴直线l的斜率为±2，∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1）或y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0，综上所述，直线l的方程为：x＝1或5x﹣2y﹣3＝0或2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0；（2）假设点R在双曲线Γ上，不妨设直线l1方程为：y＝2x，设点A（x1，2x1），B（x2，2x2），点P（x0，y0），∵P关于点A的对称点记为Q，∴点Q（2x1﹣x0，4x1﹣y0），∵Q关于点B的对称点记为R．∴点R（2x2﹣2x1+x0，4x2﹣4x1+y0），∵点R在双曲线Γ上，∴，∴﹣＝1，∴，又∵点P（x0，y0）在双曲线Γ：x2﹣＝1上，∴x02﹣＝1，∴上式化为：4（x2﹣x1）•x0﹣2（x2﹣x1）•y0＝0，又∵x1≠x2，∴4x0＝2y0，∴y0＝2x0，又∵x02﹣＝1，∴，∴0＝1，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R不可能在双曲线Γ上．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使+2＝成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．【解析】（1）双曲线I：，A（﹣2，0），B（2，0），由题意可得以A为圆心的圆经过B，则圆的半径r＝4，圆的方程为（x+2）2+y2＝16；（2）直线L过点A（﹣2，0），且直线的斜率存在，设直线L的方程为y＝k（x+2），（k＞0），联立双曲线方程消去y，可得（5﹣4k2）x2﹣16k2x﹣16k2﹣20＝0，可得x A+x P＝，可得x P＝，y P＝k（x+2）＝，可得AP的中点T坐标为（，），由题意可得k TB＝﹣，即为＝﹣，解得k＝（负的舍去），则直线L的方程为y＝（x+2）；（3）假设I上存在异于A、B点M、N，使+2＝成立．设M（x1，y1），N（x2，y2），由+2＝，可得x2＝2﹣2x1，y2＝﹣2y1，将M，N的坐标代入双曲线的方程可得﹣＝1，即﹣＝1，又﹣＝1，解得x1＝2，y1＝0，与B重合，故不存在．5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，，且渐近线方程为，求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）在圆x2+y2＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．【解析】（Ⅰ）依题可知双曲线的焦点在y轴上，设其方程为：，且①，双曲线的渐近线方程为，即②．又∵a2+b2＝c2…③，由①②③可得．得双曲线方程为：；（Ⅱ）设轨迹上任一点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则依题意可知D点坐标为（0，y0），∵PD的中点为M，∴，即，∵点P在圆x2+y2＝3上运动，，得4x2+y2＝3，经检验所求方程符合题意，∴点M的轨迹方程为．6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．【解析】（I）离心率为3，实轴长为1，即e＝＝3，a＝，可得c＝，F（﹣，0），可设抛物线的方程为y2＝2px，p＞0，可得＝，即p＝3，可得抛物线的方程为y2＝6x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+t，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1＝，x2＝，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，得y2﹣6my﹣6t＝0，由韦达定理得y1+y2＝6m，y1y2＝﹣6t，∵OM⊥ON，∴k OM•k ON＝•＝﹣＝﹣1，即t＝6，由△＝36m2+24×6＞0恒成立，则|MN|＝＝•＝6≥12，当且仅当m＝0时，|MN|取得最小值12．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l 与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【解析】（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得﹣＝，即|PA|﹣|PB|＝8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c＝10，2a＝8，即有c＝5，a＝4，b＝3，则P的轨迹方程为﹣＝1（x≥4），时刻t0时，|OP|＝4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y＝x+m，联立双曲线方程﹣＝1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144＝0，即有△＝（32m）2﹣28（16m2+144）＝0，且x1+x2＝﹣＞0，可得m＝﹣即l1：y＝x﹣与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d＝＝，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P 分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．【解析】（1）设C：，因为离心率为2，所以c＝2a，．所以C的渐近线为，由，得c＝2．于是a＝1，，故C的方程为．（2）方法一、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，．由题设，所以，，，MN中点坐标，于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，，因此D经过两个定点和．方法二、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，，由题设，所以，．设P（x，y）是圆D上点，则，即于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，，因此D经过两个定点和．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．【解析】（1）双曲线的a＝1，c＝，可令x＝c，解得y＝b＝b2，设M（c，b2），由∠MF1F2＝30°，可得b2＝2c tan30°＝，解得b＝，则双曲线的方程为x2﹣＝1，可得双曲线的方程为y＝±x，即有tanθ＝||＝2，可得夹角θ＝arctan2；（2）当直线AB的斜率不存在，可得A（，2），B（，﹣2），可得△AF1B的面积为×2×4＝4；直线AB的斜率存在，设过点F2的直线l设为y＝k（x﹣），联立双曲线方程2x2﹣y2＝2，可得（2﹣k2）x2+2k2x﹣3k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2＝﹣＞0，x1x2＝﹣＞0，可得k2＞2，可得△AF1B的面积为S＝•2c•|y1﹣y2|＝•|k（x1﹣x2）|＝•|k|•＝|k|•，设t＝k2﹣2（t＞0），可得S＝4•＝4•＞4，综上可得△AF1B的面积的最小值为4；（3）设Q（m，n），可得2m2﹣n2＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，Q到直线y＝x的距离为d＝，由平行于直线y＝﹣x的直线y＝﹣（x﹣m）+n，联立直线y＝x，可得Q2（，），|OQ2|＝|n+m|，即有行四边形OQ1QQ2的面积为d•|OQ2|＝|n+m|•＝•|2m2﹣n2|＝•2＝．10．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．【解析】（Ⅰ）由题意可得，即，所以双曲线方程为x2﹣3y2＝3b2，将点（2，1）代入双曲线方程，可得b2＝3，所以双曲线的标准方程为，c2＝a2+b2＝12，所以，所以抛物线的方程为．（Ⅱ）由题意知，l1，l2与坐标轴不平行，设直线l1的方程为，。

高二数学双曲线试题答案及解析1.双曲线3x-y=9的渐近线方程是 .【答案】y=±x【解析】根据题意，首先将方程变形为标准式方程，即由双曲线3x-y=9，得到，那么可知 ,故可知答案为y=±x【考点】双曲线的几何性质点评：本题主要考查利用双曲线的方程以及双曲线的有关性质2.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为双曲线的焦点在轴上，所以，所以双曲线的离心率是：。

【考点】双曲线的简单性质；双曲线离心率的求法。

点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法：①直接利用公式；②利用变形公式：（椭圆）和（双曲线）③根据条件列出关于a、b、c的关系式，两边同除以a,利用方程的思想，解出。

3.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设该双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），可得它的渐近线方程为y=±x，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点∴直线FB的斜率为k=FB∵直线FB与直线y=x互相垂直，∴-×=-1，得b2=ac∵b2=c2-a2，∴c2-a2=ac，两边都除以a2，整理得e2-e-1=0解此方程，得e=，∵双曲线的离心率e＞1，∴e=，故选D。

【考点】本题主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质等知识。

点评：本题给出双曲线的焦点与虚轴一端的连线与渐近线垂直，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．4.已知点、，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设M(x,y),则,所以.5.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .【答案】【解析】：解：依题意可知双曲线的焦点为F1（-c，0），F2（c，0）∴F1F2=2c∴三角形高是 3 cM（0， c）所以中点N（-， c）代入双曲线方程得b2c2-3a2c2=4a2b2再结合a,b,c关系得到离心率为6.双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】中令等号右边为0，得7.已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上,且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为 ( )A．；B．；C．；D．【答案】C【解析】MF1x轴，8.双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率为。

双 曲 线是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程为12222=-by a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y－55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252222=--b y .112132222=-by解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--(2)11213(1) 1)55(122522222222b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程（1）得,1)55125(12252222=--bb化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为：.162514422=-y x 例2. ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)，)0,2(c ．利用正弦定理，从条件得2421=⨯=-b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为1322=-y x (1>x )． 变式训练3：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准线的距离为l .（1）求双曲线的方程；（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值.典型例题（1）解：依题意有：.3,1,,12,3222222==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==b a c b a c aa b解得可得双曲线方程为.1322=-y x （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性,33,33,13.),,(222020220222020000-=-==---=++⋅--=⋅P P P P P P P P PNPM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设所以.3333322202=-+--=⋅x x x x k k P P PNPM 例3. 设双曲线C ：1222=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。