高中数学教程 双曲线

双曲线及其标准方程（一）目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的能力重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组 内容分析：“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握 而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键 应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节 坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具 犹如前面学习的圆和圆锥曲线一样，双曲线也是一种动点的轨迹 双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起 因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题 一、复习引入：1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.椭圆标准方程：（1）2222=+b y a x （2）2222=+bx a y 其中22b c a +=二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21F F ，的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设P （y x ,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c （0>c ）则 )0,(),0,(21c F c F -，又设M 与)0,(),0,(21c F c F -距离之差的绝对值等于2a （常数），a 22<{}a PF PF P P 221±=-=∴ 221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴，化简，得：)()(22222222a c a y a x a c -=--， 由定义c a 22< 022>-∴a c令222b a c =-∴代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得：12222=-by a x ，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -， 其中222b ac +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到12222=-bx a y ，此也是双曲线的标准方程3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上三、讲解范例：例1 已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点)24,3(1-P ，)5,49(2P ，在此双曲线上，求双曲线的标准方程分析：由于已知焦点在y 轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数b a ,的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将22,b a 的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组解：因为双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为12222=-bx a y （0,0>>b a ） 则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--1)49(513)24(22222222b ab a ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-⋅=⋅-⋅1116811251191322222b a b a 解关于221,1b a 的二元一次方程组，得911,161122==b a所以，所求双曲线的标准方程为91622=-x y 变式例题1 点A 位于双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上，21,F F 是它的两个焦点，求21F AF ∆的重心G的轨迹方程分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件解：设21F AF ∆的重心G 的坐标为),(y x ，则点A 的坐标为)3,3(y x因为点A 位于双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上，从而有)0(1)3()3(2222≠=-y by a x ，即)0(1)3()3(2222≠=-y b y a x 所以，21F AF ∆的重心G 的轨迹方程为)0(1)3()3(2222≠=-y b y a x 点评：求轨迹方程，常用的方法是直接求法和间接求法两种 例1是直接利用待定系数法求轨迹方程 本题则是用间接法(也叫代入法)来解题，补充本例是为了进一步提高学生分析问题和解决问题的能力 另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系，而这一点正是学生容易忽略，造成错误的地方，所以讲解本题有利于培养学生数学思维的缜密性，养成严谨细致的学习品质变式例题2 已知ABC ∆的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A C B sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹分析：首先建立坐标系，由于点A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时)0,6(),0,6(C B -，由A C B sin 21sin sin =-得621==-a c b ,即||||=-AB AC 所以，点A 的轨迹是以)0,6(),0,6(C B -为焦点，2a =6的双曲线的左支 其方程为：3(127922-<=-x y x 点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的例2 一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ． (1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340 m ／s ，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型根据本题设和结论，注意到在A 处听到爆炸声的时间比B 处晚2s,这里声速取同一个值解：(1)由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上因为爆炸点离A 处比离B 处更远，所以爆炸点应在靠近B 处的一支上．(2)如图，建立直角坐标系xoy ，使A 、B 两点在x 轴上，并且点O 与线段AB 的中点重合设爆炸点P 的坐标为),(y x ，则 |PA|－|PB|=340×2=680，即 2a ＝680，a ＝340． 又|AB|=800， ∴ 2c=800，c=400，222a c b -=＝44400∵ |PA|－|PB|＝680＞0， ∴ x ＞0所求双曲线的方程为14440011560022=-y x （x ＞0） 例2说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C ，利用B 、C(或A 、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用想一想，如果A 、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段AB 的中垂线上）点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力例3求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程解：设动圆的半径为r ，则由动圆与定圆都外切得r MF r MF +=+=1,321，又因为2)1()3(21=+-+=-r r MF MF ， 由双曲线的定义可知，点M 的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18122=-y x )1(≥x 例4 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y （1232222=-x y ）分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，2x 项的分母是2a ；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，2y 项的分母是2a解：①是双曲线，6,2,2===c b a ； ② 是双曲线，2,2,2===c b a ；③是双曲线，6,2,2===c b a ； ④是双曲线，,2,3===c b a 例5 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 12222=-by a x (0>a ,0>b )∵102,62==c a ∴5,3==c a ∴35222=-=b所求双曲线标准方程为116922=-y x 四、课堂练习：1．判断方程13922=---k y k x 所表示的曲线。