第15章电路方程的矩阵形式汇总

•
I
•
I
1 b
•
I
•
I
s1 sb
U• s1
•
U sb
bb階對角陣
•
•
•
•
U Z I Z Is Us
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②電路中電感之間有耦合
.
+. I1
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注意
③對應一組線性獨立的KCL方程的割集稱為獨 立割集 ，基本割集是獨立割集，但獨立割集 不一定是單樹支割集。
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15-2 關聯矩陣、回路矩陣、割集矩陣
1. 圖的矩陣表示
圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓撲性質，即 KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：
結點 回路 割集
.
I sk 0
Zk (Yk)=0
.
U sk 0 Zk (Yk)=0
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2.支路阻抗矩陣形式
①電路中電感之間無耦合
•
•
•
•
Uk
(I k
I sk )Zk
U sk
..
如有b條支路，則有
I k I ek Zk (Yk) -
.
U sk
+
•
•
•
•
.
U I I U 1 ( 1 s1)Z1 s1
ajk =0 支路 k 與結點 j 無關。
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例2-1 寫圖示電路的圖的關聯矩陣A 。 ②
支 解 結 123456
３
４
1 -1 -1 1 0 0 0 ①
６
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
２
５
③
3 1 0 01 1 0 4 0 1 0 0 -1 -1

0 1 1
u5 u6 u3 24
小结： A
KCL Ai=0
B BTil=i
KVL ATun=u
Bu=0
Q Qi=0 QTut=u
25
§4 回路电流方程的矩阵形式 1.方程的两种约束
1) 支路约束---支路方程 2) 支路间约束---支路间KCL、KVL约束（用回路矩阵表示）
设 支路电流 ii 41

ii 52

i4 i5
i

ii 63 ii 14

i6 i1

ii 25

ii36
i2 i3
Qi=0
矩阵形式的KCL。
22
3. 支路电压与树支电压的关系(割集矩阵形式的KVL)
４
５
３
２
６
1
u4
树支电压用列向量表示： ut= u5
1 -1 0 1 0 0
B = 1 -1 1 0 1 0
0 1 -1 0 0 1
由于矩阵B的每一列，也就是BT的每一行，表 示每一对应支路与回路的关联情况，所以有：
i =BTil
110
-1 -1 1
= 0 1 -1
il1+il2
il1
-il1-il2 +il3
il2 = il2 –il310 0il3
CTGU
circuit
学时： 4
1
§15.1 割集 §15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 §15.3* 矩阵A、B、Q之间的关系 §15.4 回路电流方程的矩阵形式 §15.5 结点电压方程的矩阵形式 §15.6 割集电压方程的矩阵形式 §15.7* 列表法 §15.8 状态方程

2 割集的方向
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
3 独立割集---能够列出一组独立的KCL方程的割集 n个节点b条支路的连通图,独立节点数n-1=独立割集数 4 基本割集---以树的概念确定的单树支割集
往往以基本割集互感时不是对角阵（主对 角线仍为各支路导纳，非主对角线不都为0） ，
5 节点导纳矩阵Yn=AYAT 电路中无互感时为n-1阶方 阵，
主对角线为回路自导纳，非主对角线为回路间互导纳；
电路中有互感时仍为n-1阶方 阵，主对角线的自导纳和非主对角线为节点间互导纳 都有可能含有互感。
§5 割集电压方程的矩阵形式
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
常态树：树支不包含电流源和电感元件的树
5 割集导纳矩阵Yt=QfYQfT 为n-1阶方阵， 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）中变量是割集电压， 称为割集电压法，节点电压法是割集电压法的特殊情况。
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
状态变量法借助一组称为状态变量的辅 助变量，建立关于状态变量与输入变量 的一阶微分方程组，称为状态方程。建 立输出与状态变量和输入的关系称为输 出方程。

qik =+1，表示支路 k 与割集 j 关联并且具有同一方向； qik =-1，表示支路 k 与割集 j 关联但是它们的方向相反；
2
qik =0，表示支路 k 与割集 j 无关；
（2） 基本割集矩阵 Q f 基本割集矩阵 Q f 对应于一组基本割集组，在写 Q f 时，注意安排其行列如下： 把（n-1）条树支依次排列在对应于 Q f 的第一行第（n-1）列，然后排列连支，再取每 一单树支割集的序号与相应的树支所在列的序号相同，且选割集方向与响应的方向一 致，则 Q f = [I t （3）
15．2 重点和难点分析 15．2．1 本章重点 1. 割集、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵是很基本的 概念，要理解其含义并列写。 2. 回路电流方程的矩阵形式，结点电压 方程的矩阵形式，割集电压方程的矩阵形式 的列写及导出，理解等式两边的意义。 3. 状态方程的列写应掌握。 15．2．2 本章难点 1. 割集的确定应建立在充分理解割集的含义的基础上，往往容易出错。可以检验， 即看构成割集的支路的电流代数和是否为零。 2. 在列写电路矩阵方程时，在支路间有耦合或有受控源的情况下，支路导纳矩阵 和支路阻抗矩阵的列写是一个难点，尤其是矩阵中各元素的正负的确定，应注意各 支路电流、电压的方向，支路电流源、电压源的方向与复合支路作比较。 15．3 典型例题 例 15-1 电路的有向图如图 15-4 所示， （1） 以结点⑤为参考写出其关联矩阵 A， （2） 以实线 为权枝，虚线为连支，写出其单连支回路矩阵 B f (3)写出单树支割集矩阵 Q f 。
t = t 0 时这组变量和
t ≥ t 0 时的输入，就能完全确定系统在任何时间的行为；
（2）状态变量：能够表示系统状态的一组最少数目的变量称为状态变量。用一组状态变 量确定系统的状态， 犹如一组矢量的分量来确定一个矢量， 所以系统的状态常用状态矢量来 表示。状态矢量所包含的状态变量的个数是状态空间的维数，也是系统的阶数；