2019数学同步人教B必修2刷题首选卷(知识对点练+课时综合练) (46)

第21课时 两条直线平行与垂直的判定

对应学生用书P59

知识点一 两条直线平行

1．下列各对直线互相平行的是( )

A．直线l1经过A(0，1)，B(1，0)，直线l2经过M(－1，3)，N(2，0)

B．直线l1经过A(－1，－2)，B(1，2)，直线l2经过M(－2，－1)，N(0，－2)

C．直线l1经过A(1，2)，B(1，3)，直线l2经过C(1，－1)，D(1，4)

D．直线l1经过A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过M(1，－1)，N(3，2)

答案 A

解析 对于A，k1＝1－00－1＝－1，

k2＝3－0－1－2＝－1，k1＝k2．

结合图形知l1∥l2；对于B，k1＝2－－21－－1＝2，

k2＝－1－－2－2－0＝－12，k1≠k2，

∴l1与l2不平行．

对于C，∵l1过(1，2)，(1，3)，l2过C(1，－1)，D(1，4)，结合图形可知，l1与l2重合，∴l1与l2不平行． 对于D，由于l1的斜率不存在，

k2＝2－－13－1＝32，

∴两条直线不平行，故答案为A．

2．若经过两点A(2，3)，B(－1，x)的直线l1与经过点P(2，0)且斜率为1的直线l2平行，则x＝________．

答案 0

解析 设直线l1的斜率为k，则k＝3－x3．

∵l1∥l2，∴k＝1＝3－x3，∴x＝0．

知识点二 两条直线垂直

3．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．

答案 (1，0)或(2，0)

解析 以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC．

设C(x，0)，则kAC＝－3x＋1，kBC＝－2x－4，所以－3x＋1·－2x－4＝－1，解得x＝1或x＝2，所以交点C的坐标是(1，0)或(2，0)．

4．已知直线l1的斜率k1＝34，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a＝________．

答案

1或3

解析 ∵kAB＝a2＋1－－20－3a＝a2＋3－3a，

又l1⊥l2， ∴a2＋3－3a·34＝－1，得a＝1或a＝3．

知识点三 平行与垂直的应用

5．已知点A(2，0)，B(1，－1)，C(3，3)，在坐标平面内找一点P，使PA∥CB且PC⊥AB．

解 kCB＝3－－13－1＝2，kAB＝0－－12－1＝1，

∴PA和PC的斜率存在且不为0，

设P点坐标为(x，y)，则kPA＝yx－2，kPC＝y－3x－3．

又∵PA∥CB且PC⊥AB，

∴ yx－2＝2，y－3x－3·1＝－1，∴ x＝103，y＝83.

∴P点的坐标为103，83．

6．已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2)．

(1)若l1∥l2，求m的值；

(2)若l1⊥l2，求m的值．

解 由题意知直线l2的斜率存在且k2＝2－m＋21－－2＝－m3．

(1)若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，

即m≠4，又k1＝2－mm－4，由k1＝k2，得2－mm－4＝－m3， 解得m＝1或m＝6．

经检验，此时两直线不重合，

所以m＝1或m＝6．

(2)若l1⊥l2，当k2＝0，即m＝0时，k1＝－12，

不符合题意；

当k2≠0，即m≠0时，

直线l2的斜率存在且不为0，

则直线l1的斜率也存在，

且k1·k2＝－1，

即－m3·2－mm－4＝－1，

解得m＝3或m＝－4．

对应学生用书P60

一、选择题

1．经过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是( )

A．4 B．1 C．1或3 D．1或4

答案 B

解析 由题意，知4－mm－－2＝1，解得m＝1． 2．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．以A点为直角顶点的直角三角形

D．以B点为直角顶点的直角三角形

答案 C

解析 kAB＝－1－12－－1＝－23，kBC＝4－－11－2＝－5，kAC＝4－11－－1＝32，因为kAB·kAC＝－1，所以三角形是以A点为直角顶点的直角三角形．

3．下列说法中正确的有( )

①若两条直线斜率相等，则两直线平行；

②若l1∥l2，则kl1＝kl2；

③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；

④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

答案 A

解析 若两条直线斜率相等，则两直线平行或重合，①错误；若l1∥l2，则kl1＝kl2或两直线的斜率都不存在，②错误；易知③正确；若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行或重合，④错误．故选A．

4．过点0，73与点(7，0)的直线l1，过点(2，1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为( )

A．3 B．－3 C．－6 D．6

答案 A

解析 由题意知l1⊥l2，即kl1·kl2＝－1，解得k＝3，故选A．

5．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )

A．b＝a3 B．b＝a3＋1a

C．(b－a3)b－a3－1a＝0

D．|b－a3|＋b－a3－1a＝0

答案 C

解析 显然角O不能为直角(否则得a＝0，不能组成三角形)．若角A为直角，则根据点A，B的纵坐标相等，得b－a3＝0．若角B为直角，则利用kOBkAB＝－1，得b－a3－1a＝0．所以可得(b－a3)b－a3－1a＝0．

二、填空题

6．已知△ABC的三个顶点分别是A(2，3)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________．

答案 3

解析 由题意得AD⊥BC，则有kAD·kBC＝－1，所以1－3m－2·3－14－0＝－1，解得m＝3．

7．已知l1的斜率是－12，l2过点A(－1，－2)，B(x，6)，且l1⊥l2，则log19x＝________．

答案 －12

解析 ∵l1⊥l2，∴－12×6＋2x＋1＝－1，解得x＝3，

∴log193＝－12．

8．已知点A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，那么下面四个结论中正确的序号为________．

①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD

答案 ①④ 解析 ∵kAB＝－4－26－－4＝－35，kAC＝6－212－－4＝14，kCD＝12－62－12＝－35，kBD＝12－－42－6＝－4，

∴kAB＝kCD，kAC·kBD＝－1，∴AB∥CD，AC⊥BD，故填①④．

三、解答题

9．

如图，在▱OABC中，O为坐标原点，点C(1，3)．

(1)求OC所在直线的斜率；

(2)过C作CD⊥AB于D，求直线CD的斜率．

解 (1)∵点O(0，0)，C(1，3)，

∴OC所在直线的斜率kOC＝3－01－0＝3．

(2)在▱OABC中，AB∥OC．

∵CD⊥AB，∴CD⊥OC，∴kOC·kCD＝－1，

∴kCD＝－1kOC＝－13．

故直线CD的斜率为－13．

10．已知A1，－a＋13，B0，－13，C(2－2a，1)，D(－a，0)四点．当a为何值时，直线AB和直线CD：

(1)平行？

(2)垂直？

解 kAB＝－13＋a＋130－1＝－a3， kCD＝0－1－a－2＋2a＝12－a(a≠2)．

(1)kAB＝kCD，∴－a3＝12－a，即a2－2a－3＝0．

∴a＝3或a＝－1．

当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝0＋13－3＝－19≠kAB．

∴AB与CD平行不重合．

当a＝－1时，kAB＝13，kBC＝1＋134＝13，

∴AB与CD重合．

当a＝2时，kAB＝－23，kCD不存在．

∴AB和CD不平行．

∴a＝3时，直线AB和直线CD平行．

(2)由－a3·12－a＝－1，解得a＝32．

当a＝2时，kAB＝－23，直线CD的斜率不存在．

∴直线AB与CD不垂直．

∴a＝32时，直线AB与CD垂直．