【新教材】人教A版(2019)1.4充分条件与必要条件-高中数学必修第一册知识点课时训练

1.4 充分条件与必要条件-人教A版高中数学必修第一
册（2019版）教案
一、教学目标
1.了解充分条件和必要条件的基本概念；
2.能够简单判断给定条件的充分条件和必要条件；
3.能够应用所学知识进行简单的证明。

二、教学重难点
1.充分条件和必要条件的区别及应用；
2.证明题型的解题方法。

三、教学过程与方法
1. 导入（5分钟）
引入“上一节课学习了什么”和“本节课要学习什么”。

2. 讲解（40分钟）
1.充分条件和必要条件的概念
1.如果某个条件能够推出另一个条件，那么这个条件就是“充分条件”；
2.如果某个条件是达成另一个条件的必要条件，那么这个条件就是“必要条件”。

2.举例说明
1.p 充分推出 q，写作p → q，即 q 是 p 的必要条件，p 是 q 的充分条件；
2.p 是 q 的必要条件，写作p ← q，即 q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件；
3.p 充分必要推出 q，写作p ↔ q，即 q 是 p 的充分必要条件，p 也是 q 的充分必要条件。

3.应用
1.判断充分条件和必要条件；
2.给出一个条件，求其充分条件和必要条件；
3.进行简单的证明。

3. 拓展（15分钟）
出示以下题目，学生进行讨论，并进行解答。

题目：设实数x满足x2−2x+1=0，则x=？
4. 课堂练习（30分钟）
1.评测练习；
2.提供练习题，让学生独立练习，并进行讲解。

四、教学总结（5分钟）
1.学习充分条件和必要条件的基本概念，能够简单判断给定条件的充分条件和必要条件；
2.掌握证明题型的解题方法，提升解题能力。

第04讲充分条件与必要条件模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3．培养逻辑思维能力，能够在复杂情况下运用充分条件与必要条件进行推理，解决数学问题.知识点1充分条件与必要条件1、命题（1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．（2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．2、充分条件与必要条件（1）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出结论q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ¿.这时，我们就说，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．（3）充分条件与必要条件的关系p 是q 的充分条件反映了p q ⇒，而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒，所以p 是q 的充分条件与q 是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒，与q 能否推出p 没有任何关系．3、充要条件（1）充要条件的概念：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔．此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．（2）充要条件的含义：若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同．（3）充要条件的等价说法：p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立，或p 与q 等价．4、充分条件与必要条件的传递性（1）若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即p q ⇒，q s ⇒，则有p s ⇒，即p 是s 的充分条件；（2）若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q p ⇒，s q ⇒，则有s p ⇒，即p 是s 的必要条件；（3）若p 是q 的充要条件，q 是s 的充要条件，即p q ⇔，q s ⇔，则有p s ⇔，即p 是s 的充要条件．5、条件关系判定的常用结论p 与q 的关系结论p q ⇒，但q p ¿p 是q 的充分不必要条件q p ⇒，但p q ¿p 是q 的必要不充分条件p q ⇒且q p ⇒，即p q ⇔p 是q 的充要条件p q ¿且q p¿p 是q 的既不充分也不必要条件知识点2从不同角度理解充分必要性1、从命题的角度充分理解充分必要性若把原命题中的条件和结论分别记作p 和q ，则原命题与逆命题同p 与q 之间有如下关系:（1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若原命题和逆命题都是真命题，则p 和q 互为充要条件；（4）若原命题和逆命题都是假命题,则p 是q 的既不充分也不必要条件.2、从集合的角度理解充分必要性若条件p ，q 以集合的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则由A ⊆B 可得，p 是q 的充分条件，（1）若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；（3）若AB ，则p 是q 的必要不充分条件；（4）若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；（5）若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；知识点3充分、必要、充要条件的证明1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。

新教材必修第一册1.4：充分条件与必要条件课标解读：1.必要条件的概念（理解）2.充分条件的概念（理解）3.充要条件.（理解）学习指导：1.学习本节内容的关键在于通过对典型数学命题的梳理，理解“充分条件、必要条件、充要条件”的概念，并熟练掌握判定方法.2.学习重点是对充分条件、必要条件和从要条件的意义的理解和辨析，判断“若p，则q”形式的命题的真假.知识导图：教材全解知识点1：充分条件与必要条件1.命题：一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”、“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.2.充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作qp⇒，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作qp⇒.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.说明：一般地（1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；（2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.3.充要条件的概念一般地，“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是正命题，即既有qq⇒,p⇒，又有p 记作qp⇔.此时，p既是q的充分条件，q也是p的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如概括地说，如果qp⇔，那么q与p互为充要条件. 知识剖析：4.充分条件与必要条件的传递性充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下：（1）若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即s q q p ⇒⇒,，则有s p ⇒，即p 是s 的充分条件；（2）若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q s p q ⇒⇒,，则有p s ⇒，即p 是s 的必要条件；（3）若p 是q 的充要条件，q 是s 的充要条件，即s q q p ⇔⇔,，则有s p ⇔，即p 是s 的充要条件；例1-1：用符号“⇒”与“⇒”填空.（1）12>x 1>x ； （2）b a ,都是偶数 b a +是偶数.例1-2：下列说法是否正确？请说明理由.（1）1=x 是)2)(1(--x x =0的充分条件；（2）1>x 是2>x 的充分条件；（3）2>+y x 是1,1>>y x 的必要条件.答案：（1）正确，因为0)1)(1(1=+-⇒=x x x ；（3）正确，因为21,1>+⇒>>y x y x .例1-3：（浙江高考题）设b a ,是实数，则“0>+b a ”是“0>ab ”的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：D例1-4：已知q p ,都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么：（1）s 是q 的什么条件？（2）r 是q 的什么条件？（3）p 是q 的什么条件？答案：（1）s 是q 的充要条件.（2）r 是q 的充要条件；（3）（3）p 是q 的充分条件.重难拓展知识点2：从集合角度看充分、必要条件1.依据设集合)}(|{)},(|{x q x B x p x A ==.若x 具有性质p ，则A x ∈；若x 具有性质q ，则.B x ∈ 若B A ⊆，就是说x 具有性质p ，则x 必有性质q ，即.q p ⇒类似地，A B ⊆与p q ⇒等价。

2019新教材)人教A版数学必修第一册知识点1.1 集合的概率集合是由元素组成的，这些元素具有确定性、互异性和无序性。

常用的数集有自然数集N，正整数集N+，整数集Z，有理数集Q和实数集R。

集合中的元素与集合之间有两种关系，即属于和不属于，用符号“∈”和“∉”表示。

集合可以用自然语言法、列举法、描述法和图示法来表示。

集合可以分为有限集、无限集和空集。

1.2 集合间的基本关系集合间有三种基本关系：子集、真子集和集合相等。

子集表示一个集合中的所有元素都属于另一个集合，真子集是指一个集合是另一个集合的子集但不相等，集合相等是指两个集合中的元素完全相同。

1.3 集合的基本运算集合的基本运算有交集、并集和补集。

交集是指两个集合中共同的元素构成的集合，而并集是指两个集合中所有元素构成的集合。

补集是指在全集中不属于该集合的元素构成的集合。

1.4 充分条件与必要条件命题是可以判断真假的陈述句，真命题是指判断为真的语句，假命题是指判断为假的语句。

充分条件是指如果A成立，则B也成立，必要条件是指如果B不成立，则A也不成立。

意一个元素x，都有唯一的元素y与之对应，且y∈B，则称f为从A到B的一个函数，记作f：A→B，x↦y=f(x)。

②x∈A称为自变量，y=f(x)∈B称为因变量或函数值，f(x)的值域为函数f的所有可能的函数值的集合。

2、函数的表示①显式表示法：y=f(x)；②参数表示法：y=f(x,k)；③分段表示法：y={f1(x)（x∈D1），f2(x)（x∈D2）}；④隐式表示法：F(x,y)=0，y=f(x)；⑤函数图象表示法：y=f(x)的图象。

3.2〗函数的性质1、奇偶性①奇函数：f(–x)=–f(x)；②偶函数：f(–x)=f(x)；③一般函数：不具有奇偶性。

2、周期性若存在正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f具有周期性，T称为函数f的周期。

3、单调性①单调递增：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1<x2，则f(x1)<f(x2)；②单调递减：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1f(x2)；③严格单调递增：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1<x2，则f(x1)≤f(x2)；④严格单调递减：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1<x2，则f(x1)≥f(x2)。

新教材】14充分条件与必要条件教学设计(1)-人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学研究特别是数学推理的研究打下基础。

从学生研究的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在研究充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.课程目标A.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；B.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．C.通过研究，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.D.在观察和思考中，在解题和证实题中。

培养学生思维能力的严密性品质．学科素养1.数学抽象：充分条件、需要条件、充要条件的寄义；2.逻辑推理：判断命题的充分条件、需要条件、充要条件；3.直观想象：对条件的判定应该归结为判断命题的真假。

1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；2.教学难点：命题条件充要性的判断及其证明。

多媒体教学过程一、情景引入，温故知新情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常)。

记p:闭合开关A。

q:灯泡亮。

请把这个电路图改写为“若p，则q”形式的命题并判断真假。

落实中心素养目标通过初中所学及实例，让学生感知、了解，进而概括出充分条件与必要条件的寄义。

进步学生用数学抽象的思维体式格局思考并解决问题的能力。

谜底】真命题情景2：记p:x。

2.q:x。

0.判断命题“若x。

2，则x。

0”的真假。

谜底】真命题二、探索新知通过命题真假的判探究一充分条件与必要条件的含义定，归纳出充分条1.思考:下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假件、必要条件的含义。

第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.课程目标学科素养1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；2.教学难点：命题条件充要性的判断及其证明。

多媒体一、情景引入，温故知新情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常), 记p:闭合开关A, q:灯泡亮。

请把这个电路图改写为“若p ，则q ”形式的命题并判断真假。

【答案】真命题情景2：记p:x >2, q:x >0 。

判断命题“若x >2 ，则 x >0”的真假。

【答案】真命题 二、探索新知探究一 充分条件与必要条件的含义 1.思考:下列“若P ，则q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若2430,1;x x x -+==则（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ,则a//b 。

【答案】（1）真 (2)假 (3) 假 （4）真2、归纳新知 （1）充分条件、必要条件的含义一般地,用p 、q 分别表示两个命题,如果命题p 成立,可以推出命题q 也成立,即p q ⇒,那么p 叫做q 的充分条件, p 叫做q 的必要条件.P 足以导致q,也就是说条件p 充分了；的一个充分条件。

高中数学人教A版（2019）必修一第一章第四节充分条件和必要条件一、单选题(共16题；共80分)1．（5分）设a∈R，则“a<1”是“a2<1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要2．（5分）若不等式|x−1|<a的一个充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是（）A．a>0B．a≥0C．a>1D．a≥1 3．（5分）设a∈R，则“ 0<a<1”是“ a2<a”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列说法正确的是（）A．ac=bc是a=b的充分条件B．x≥1是x2≥1的必要条件C．四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的充要条件D．“ 1<x<3”是“ x≥0” 的充分不必要条件5．（5分）已知a，b∈R且a>0，则“ a>b”是“ ba<1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．（5分）已知a，b，c是实数，则“a≥b”是“ac2≥bc2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）“ (x−1)(x+2)>0”是“ x−1x+2>0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．非充分非必要条件8．（5分）“ x∈(1,2)”是“ x∈(0,3)”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）x>3是x2>9的_________条件；（）A．必要不充分B．充要C．充分不必要D．既不充分也不必要10．（5分）已知p:m−2<x<m+1，q:x2−8x+12<0，且q是p的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A．4<m<5B．4≤m≤5C．m>5或m<4D．m>5或m≤411．（5分）“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）“|x-2|≤5”是“-3≤x≤8”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（5分）已知实数a、b满足ab>0，则“ 1a<1b成立”是“ a>b成立”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（5分）“x >2”是“x2+x﹣6 >0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）条件p：－2<x<4，条件q：(x＋2)(x＋a)<0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(－∞，－4)C．(－∞，－4]D．[4，＋∞)16．（5分）设x>0，y∈R，则“ x>y”是“ x>|y|”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(共4题；共20分)17．（5分）若不等式|x|<a的一个充分条件为−2<x<0，则实数a的最小值是.18．（5分）“ x<−2”的一个必要非充分条件是.19．（5分）ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是．20．（5分）设α:4x+m<0，m∈R，β:x2−x−2>0．若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．三、解答题(共4题；共40分)21．（10分）已知集合A={x|x2−5x+6<0}，B={x|(x−a)(x−3a)<0}.（1）（5分）若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；（2）（5分）若A∩B=∅，求a的取值范围.22．（10分）已知A={x|x2−2x−3>0}，B={x|x2−(2a+1)x+a2+a<0}.（1）（5分）求A，B；（2）（5分）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围.23．（10分）已知集合A={x|2−a≤x≤2+a}( a>0), B={x|x2+3x−4≤0}.（1）（5分）若a=3，求A∪B；（2）（5分）若“ x∈A”是“ x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．24．（10分）已知条件p：x2−3x−4≤0；条件q：x2−6x+9−m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是什么？答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由题意，解不等式a 2<1，得−1<a <1，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，又(−1，1)⊂(−∞，1)，即满足由条件p 不能推出结论q ，且结论q 推出条件p ， 故答案为：B.【分析】由a 2<1得到−1<a <1，即可判断。