第三章 函数的概念与性质-天津市蓟州区擂鼓台中学人教版(2019)高中数学必修第一册知识点

第三章 函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设B A ,是非空的实数集，如果对于集合A 中的 x ，按照某种 f ，在集合B 中都有 y 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(，其中，x 叫做 ，x 的取值范围A 叫做函数的 ，与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的 ，值域是集合B 的子集．2函数的三要素： 、 、 ． 求函数定义域的原则：(1)若()f x 为整式，则其定义域是 ；(2)若()f x 为分式，则其定义域是 ；(3)若()f x 是二次根式(偶次根式)，则其定义域是 ；(4)若()0f x x =，则其定义域是 ；(5)若()()0,1x f x a a a =>≠，则其定义域是 ；(6)若()()log 0,1a f x x a a =>≠，则其定义域是 ；(7)若f (x )=sinx,g (x )=cosx ，则其定义域是 ；(8)若x x f tan )(=，则其定义域是 ；求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数．6函数的单调性：(1)单调递增：设任意 ，当 时，有 .特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意 ，当 时，有 特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间．8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足: ,都有 ； 使得 ，那么称M 是函数的最大(小)值．10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数叫做 ；偶函数的图象关于 对称；奇函数：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数叫做 ；奇函数的图象关于 对称；若奇函数)(x f y =的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即(0)0f =.11幂函数：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数． 12幂函数()f x x α=的性质：①所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ； ①如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在区间[)0,+∞上是 ； ①如果0α<，则幂函数的图象在区间()0,+∞上是 ，①幂函数图象不出现于第四象限．。

高中数学教案：函数的概念与基本性质函数的概念与基本性质一、导入在高中数学课程中，函数是一个非常重要的概念。

它不仅在数学本身具有广泛的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。

了解函数的概念以及掌握其基本性质，对于理解和运用数学知识都有着至关重要的意义。

本教案旨在帮助学生深入理解函数的概念，并掌握函数的基本性质。

二、函数的定义1. 函数的概念：函数是两个集合之间元素间对应关系的特殊类型。

通俗来说，就是将自变量映射到因变量上。

2. 函数符号表示：通常我们用f(x)来表示一个函数，其中f为函数名，x为自变量。

三、函数图像与解析式1. 函数图像：通过绘制函数对应关系中所有点所构成的图形而得到，可以直观地反映出自变量与因变量之间关系的规律。

2. 解析式：也称作方程式或表达式，在数学中用符号和式子来描述一个函数。

四、常见类型的函数及其性质1. 线性函数：- 定义：线性函数描述了自变量和因变量之间的成正比关系，通常以y=kx+b的形式表示。

- 性质：线性函数的图像是一条直线，且斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b则决定了直线与y轴的交点。

2. 幂函数：- 定义：幂函数是自变量的某个非负指数次方和一个常数之积。

- 性质：幂函数分为奇数次幂函数和偶数次幂函数两类，其图像形状和对称性取决于是否为奇偶次幂。

3. 指数函数：- 定义：指数函数描述了以某个常数为底，自变量为指数的指数值和一个常量之积。

- 性质：指数函数有着特殊的增长规律，其图像在原点上方且递增。

4. 对数函数：- 定义：对数函数是指一个正实验值和底相应指数值之间的对应关系。

- 性质：对数组可以将乘法运算转化为加法运算，并且具有特殊的递减规律。

五、基本性质1. 函数定义域与值域：- 定义域：自变量取值范围，在没有限制条件时通常为实数集合。

- 值域：函数所有可能的输出值的集合，在图像上通常表现为函数曲线所覆盖的区间或点集。

2. 奇偶性：- 奇函数：满足f(-x)=-f(x)的函数，其图像关于原点对称。

2019新版高中数学人教A 版必修一 第1节 函数的概念及其表示一．知识点： 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f: A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f(x)，x ∈A. 2．函数的定义域与值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域．如果自变量x =a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f(a)或y|x ＝a .所有函数值构成的集合{y|y ＝f(x)，x ∈A}叫做这个函数的值域． 3．区间及表示设a ，b 是两个实数，而且a<b.（1） 满足不等式a≤x≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b]； （2） 满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b)； （3） 满足不等式a≤x<b 或a<x≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别 表示为[a ，b)，(a ，b]；（4）实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞) 二．考点突破 考点一：函数的概念例1：下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③2y x =；④y =.A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C练习：下列图象中，表示函数关系y ＝f （x ）的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：根据函数的定义知，一个x 有唯一的y 对应，由图象可看出，只有选项D 的图象满足这一点．故选：D ． 作业：1.下列式子中能确定y 是x 的函数的是________． ①x 2＋y 2＝1；②y ＝x －2＋1－x ； ③y ＝12gx 2(g ＝9.8 m/s 2)；④y ＝x.解析：①中每一个x 对应两个y ，故①不是函数． ②中满足式子有意义的x 取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x≥0即x≤1且x≥2，∴为∅，故②也不是，而③④可以确定y 是x 的函数． 答案：③④考点二：函数的定义域 例2：求下列函数的定义域： (1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1； (3)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. 解：(1)当且仅当x －2≠0，即x≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x≥0，x －1≥0.解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0.解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}. 练习：求下列函数的定义域： (1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x|－x.解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x≤1，所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足 |x|－x≠0，即|x|≠x， ∴x<0.∴函数的定义域为{x|x<0}． 作业：2．求下列函数的定义域： (1)f(x)＝1x ＋1；(2)y ＝x 2－1＋1－x 2； (3)y ＝2x ＋3； (4)y ＝x ＋1x 2－1. 解：(1)要使函数有意义，即分式有意义，需x ＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}．(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥1，x 2≤1.所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x|x ＝±1}＝{1，－1}． (3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x|x ∈R}．(4)因为当x 2－1≠0，即x≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x|x≠±1，x ∈R}．例3：已知函数y=f （x ）定义域是{x|-2≤x ≤3}，则y=f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．{x|0≤x ≤52}B ．{x|-1≤x ≤4}C{x|12-≤x ≤2} D ． {x|-5≤x ≤5} 解：∵函数y=f （x ）定义域是-2≤x ≤3， ∴由﹣2≤2x ﹣1≤3， 解得﹣≤x ≤2，即函数的定义域为12≤x≤2，故选：C ．练习：已知函数y=f（x+1）的定义域是{x|-2≤x≤3}，则y=f（x2）的定义域是（）A．{x|-1≤x≤4} B．{x|0≤x≤16} C．{x|-2≤x≤2} D．{x|1≤x≤4} 解：∵函数y=f（x+1）的定义域是{x|-2≤x≤3}，即﹣2≤x≤3，∴﹣1≤x+1≤4，即函数y=f（x）的定义域为{x|-1≤x≤4}，由﹣1≤x2≤4，得﹣2≤x≤2．∴y=f（x2）的定义域是{x|-2≤x≤2}．故选：C．作业：3. 已知函数y=f（x+1）定义域是{x|-2≤x≤1} ，则y=f（2x﹣1）的定义域（）A．{x|0≤x≤32} B．{x|-1≤x≤4} C．{x|-5≤x≤5} D．{x|-3≤x≤7}解：∵函数y=f（x+1）定义域是{x|-2≤x≤1}，∴-2≤x≤1，∴-1≤x+1≤2，∴-1≤2x﹣1≤2，∴0≤x≤3 2∴y=f（2x﹣1）的定义域为{x|0≤x≤32}．故答案为：A考点三：函数值例4：若f(x)＝1－x1＋x(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f[f(2)]．解：f(0)＝1－01＋0＝1；f(1)＝1－11＋1＝0；f(1－a)＝1－1－a1＋1－a＝a2－a(a≠2)；f[f(2)]＝1－f21＋f2＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2.练习: 设函数f(x)＝41－x，若f(a)＝2，则实数a＝________.解析：由题意知，f(a)＝41－a＝2，得a＝－1. 答案：－1作业：4.已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(2)]，g[f(2)]的值． 解：(1)f(2)＝11＋2＝13，g(2)＝22＋2＝6； (2)f[g(2)]＝f(6)＝11＋6＝17，g[f(2)]＝g(13)＝(13)2＋2＝199. 考点四：简单的求函数的值域 例5：求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1；(3)y ＝－x 2－2x ＋3(－1≤x≤2)； (4)y ＝1－x21＋x2.解：(1)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1，算得函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)∵x ≥0，∴x ＋1≥1，即函数的值域为[1，＋∞)．(3)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.∵－1≤x≤2，∴0≤x＋1≤3，∴0≤(x＋1)2≤9.∴－5≤－(x ＋1)2＋4≤4.∴函数的值域为[－5,4]．(4)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，∴函数的定义域为R.∵x 2＋1≥1，∴0<21＋x2≤2.∴y ∈(－1,1]． ∴函数的值域为(－1,1]．练习：（1）已知函数y=2x+1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}，则该函数的值域为（ ） A ．{y|1≤y ＜7} B ．{y|1≤y ≤7} C ．{1，3，5，7} D ．{1，3，5} 解：函数y=2x+1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}={0，1，2}． 当x=0时，y=1，当x=1时，y=3，当x=2时，y=5． ∴函数的值域为{1，3，5}．故选D ．（2）函数y=x 2﹣4x+1，x ∈[1，5]的值域是（ ） A ．{y|1≤y ≤6} B ．{y|-3≤y ≤1}C ．{y|y ≥-3}D ．{y|-3≤y ≤6}解：对于函数f （x ）=x 2﹣4x+1，是开口向上的抛物线． 对称轴x=，所以函数在区间[1，5]上面是先减到最小值再递增的．所以在区间上的最小值为f （2）=﹣3．又f （1）=﹣2＜f （5）=6，，所以最大值为6．故选D ．作业：5.求下列函数的值域：(1)f(x)＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f(x)＝(x －1)2＋1，x ∈R ； (3)y ＝1－x 2，x ∈R ； (4)y ＝2x ＋1x，x≠0. 解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，∵f(－1)＝5， f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5， ∴这个函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R ，∵(x －1)2＋1≥1， ∴这个函数的值域为{y|y≥1}． (3)函数的定义域为R ，∵1－x 2≤1， ∴函数y ＝1－x 2的值域为{y|y≤1}． (4)y ＝2x ＋1x ＝2＋1x ，∵x≠0，∴1x≠0， ∴y ＝2＋1x ≠2，∴函数的值域为{y|y≠2}．考点五：判断两函数是否相等例6：下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x≠0)与y ＝1(x≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：选C A 中两函数定义域不同，B 、D 中两函数对应法则不同，C 中定义域与对应法则都相同．练习：下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x|，g （x ）＝B ．f （x ）＝|x|，g （x ）＝（）2C ．f （x ）＝，g （x ）＝x+1D ．f （x ）＝，g （x ）＝解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，B 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为R ，后面函数的定义域为[0，+∞），C 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为{x|x ≠1}，后面函数的定义域为R ，D 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为[1，+∞），后面函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故选：A ． 作业：6. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．y ＝，y ＝（）2B ．y ＝|x|，y ＝C ．y ＝，y ＝x+1D ．y ＝x ，y ＝解：对于A ，y ＝＝|x|（x ∈R ），与y ＝＝t （t ≥0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B ，y ＝|x|（x ∈R ），与y ＝＝|t|（t ∈R ）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C ，y ＝＝x+1（x ≠1），与y ＝x+1（x ∈R ）的定义域不同，不是同一函数；对于D ，y ＝x （x ∈R ），与y ＝＝x （x ≠0）的定义域不同，不是同一函数．故选：B ．考点六：区间及其表示例7：集合{x|－12≤x<10，或x>11}用区间表示为________． 答案：[－12,10)∪(11，＋∞)练习：已知函数y ＝1－x 2x 2－3x －2，则其定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，－12)∪(－12，1)D ．(－∞，－12)∪(－12，1]解析：选D 要使式子1－x2x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，2x 2－3x －2≠0即⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x≠2且x≠－12，所以x≤1且x≠－12，即该函数的定义域为(－∞，－12)∪(－12，1]，故选D.作业： 7. 函数y=+1的值域为（ ） A ．（0，+∞） B ．（1，+∞）C ．[0，+∞）D ．[1，+∞）解：函数y=+1，定义域为[1，+∞），当x=1时，函数y 取得最小值为1， 函数y=+1的值域为[1，+∞），故选D。

高中数学教案：函数的定义和性质一、函数的定义和基本性质函数是高中数学中非常重要的一个概念，它在数学的各个领域中都得到了广泛的应用。

在本章中，我们将学习函数的定义以及与函数相关的一些基本性质。

1.1 函数的定义函数是两个数集之间的一种对应关系。

简言之，对于定义域中的每一个元素，函数都给出一个唯一确定的值，这个值对应于值域中的一个元素。

函数通常用符号f(x) 表示，其中 x 是定义域中的元素，f(x) 是对应于 x 的值域中的元素。

1.2 函数的表示方法有多种表示函数的方法，下面介绍两种常用的方法。

（1）集合表示法：函数可以表示为一个有序数对的集合形式，形如{(x,y)|y=f(x),x∈D}，其中 D 是定义域。

（2）公式表示法：函数可以用一个公式来表示，例如 f(x)=x^2，表示函数 f(x) 的值等于 x 的平方。

1.3 函数的基本性质在介绍函数的基本性质之前，我们先来了解一些基本术语。

（1）定义域：函数中所有可取的自变量值的集合称为定义域，通常用符号 D 表示。

（2）值域：所有函数值的集合称为值域，通常用符号 R 表示。

（3）单调性：函数在定义域上的单调性分为单调递增和单调递减两种。

（4）奇偶性：若对任意 x，有 f(-x) = f(x) 则函数称为偶函数；若对任意 x，有f(-x) = -f(x)，则函数称为奇函数。

二、函数的图像和性质2.1 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何表示。

横坐标表示自变量 x，纵坐标表示函数值 f(x)。

函数 f(x) 的图像常常具有一些特征，例如可导性、连续性等。

2.2 函数的可导性函数的可导性是指函数在某个点 x 处的导数存在。

导数是函数瞬时变化率的极限，是研究函数变化的重要工具。

在图像上，函数可导意味着在该点处的切线存在并且唯一。

2.3 函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数图像上是否有突变、断裂的现象。

函数在某一点 x 处连续的充要条件是 x 处的左极限等于右极限，并且与函数的函数值相等。

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念1.概念的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =f (x ),x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f x x ∈A }叫做函数的值域．2.函数三要素：定义域、对应关系、值域。

3.区间若a ,b ∈R ,且a <b ，则（1）x |a ≤x ≤b =a ,b 闭区间（2）x |a <x <b =a ,b 开区间（3）x |a ≤x <b =a ,b ) 半开半闭区间x |a <x ≤b =(a ,b ]半开半闭区间∞表示无穷大，R =-∞,+∞（4）x |x <a =-∞,a x |x ≤a =-∞,a ] （5）x |x >a =(a ,+∞)x |x ≥a =[a ,+∞)4.常见求函数定义域方法(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根号下被开方数大于等于零；(3)零的零次方无意义；a 0=1,a ≠0(4)对数式的真数大于零；(5)定义域多个取值范围同时满足，求交集。

例：函数f (x )=-x 2+4x +12+1x -4的定义域是.解：要使函数有意义，需满足-x 2+4x +12≥0x -4≠0，即-2≤x ≤6x ≠4 .即-2≤x <4或4<x ≤6，故函数的定义域为[-2,4)⋃4,6 ．5.判断函数为同一函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系也完全一致，那么这两个函数是同一个函数。

3.1.2函数的表示方法1.函数的表示方法：表格法、图像法、解析式法2.分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同的对应关系，则称其为分段函数。

第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b } 开区间 (a ，b ) {x |a ≤x <b } 半开半闭区间 [a ，b ) {x |a <x ≤b } 半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示 定义 R{x |x ≥a } {x |x ＞a } {x |x ≤a } {x |x ＜a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ (2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． 3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？ 提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数． 5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时 都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示12提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x 在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值 最小值条件设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 是函数y ＝f (x )的最大值 M 是函数y ＝f (x )的最小值 几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标提示：不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性 偶函数奇函数条件 设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I结论 f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x )图象特点关于y 轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 提示：定义域关于原点对称． 8．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图所示：10．幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12 y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x ∈[0，＋∞)时，增函数x ∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x ∈(0，＋∞)时，减函数x ∈(－∞，0)时，减函数函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)分段函数模型f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，x ∈D 1f 2(x )，x ∈D 2……f n (x ) ，x ∈Dn<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A ，B 必须是非空实数集．(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③④D ．①④(2)判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的函数．①A ＝N ，B ＝N *，对应法则f ：对集合A 中的元素取绝对值与B 中元素对应； ②A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ； ③A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,2,4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ； ④A ＝{三角形}，B ＝{x |x >0}，对应法则f ：对A 中元素求面积与B 中元素对应．(1)C [①f (x )＝－2x 3＝|x |－2x 与g (x )＝x －2x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ②g (x )＝x 2＝|x |与f (x )＝x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一函数．④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1的定义域都是R ，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解] ①对于A 中的元素0，在f 的作用下得0，但0不属于B ，即A 中的元素0在B 中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A 中的元素±1，在f 的作用下与B 中的1对应，A 中的元素±2，在f 的作用下与B 中的4对应，所以满足A 中的任一元素与B 中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A 中的任一元素，在对应关系f 的作用下，B 中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A 不是数集，故不是函数．] 3.函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值. (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则. 典例2：设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2， (1)求f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)，g (f (2))． (2)求g (f (x ))．[思路点拨] (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x ))． [解] (1)因为f (x )＝2x 2＋2， 所以f (2)＝2×22＋2＝10，f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20.因为g (x )＝1x ＋2，所以g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋10＋2＝1a ＋2＋12(a ≠－2)． g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112. (2)g (f (x ))＝1f (x )＋2＝12x 2＋2＋2＝12x 2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f (x )＝x ＋1x 2－1.倘若先化简，则f (x )＝1x －1，从而定义域与原函数不等价． 2．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x 的取值范围． 函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2,3]． 5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值． 6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2＋3x －2； (2)f (x )＝(x －1)0＋2x ＋1； (3)f (x )＝3－x ·x －1； (4)f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x .[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可． [解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时， 函数f (x )＝2＋3x －2有意义， 所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34.(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0， 解得a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2. 7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式. 典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．[思路点拨] 设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2) ――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明] 设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0， ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的. 典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围 (2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围 (1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)， ∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． 典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增， 所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f (4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系. (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围). (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解] (1)当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20(x ∈N *)． (2)当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y 轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合．[解] (1)因为函数f (x )是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 [思路点拨] y ＝f (x ＋2)是偶函数―→f (x )的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f (x )在[0,2]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.] 13.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________． (1)B (2)13 [(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数； y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.] 14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断.典例12：点(2，2)与点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有： (1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．[解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。

第三章 函数的概念与性质章节复习一、本章知识结构二、本章重难点概念知识点1、函数及三要素（定义域、对应法则、值域） 一、函数的概念2、区间一般区间、特殊区间、 端点大小关系、开闭区间 1、函数概念中强调三性：“任意性”、“存在性”、“唯一性”； 2、定义域、值域的结果写成集合或区间形式； 3、对应关系包括一对一、多对一。

一、判断对应法则或图象是否是一个函数（非空性、任意性x 、唯一确定性y ）二、判断两个函数是否是相同函数（定义域、对应法则） 三、求函数定义域(写成集合或区间形式)3、分段函数概念、表示方式、定义域、值域、图象4、复合函数（定义域、值域） 二、函数的表示法5、函数的单调性、单调区间 1、三种表示方法：解析法、列表法、图像法； 2、列表法表示的函数图象是一些孤立的点，函数图象呈现形式主要有2种：连续的曲线或孤立的点； 3、画函数图象方法：描点法（列表、描点、连线）6、函数的最大值、最小值7、函数的奇偶性8、幂函数（概念、图象、性质）三、题型1、求一般函数的定义域(写成集合或区间形式)函数类型定义域举例①整式函数R f(x)=x2+2x+3②分式函数分母不为0 f(x)=1 2x+3③偶次根式函数根号中式子≥0f(x)=√x2+2x−3④奇次根式函数R f(x)=√x2+2x+33⑤绝对值函数R f(x)=|x2+2x+3|⑥0次幂函数底数不为0 f(x)=(x2+2x−3)0⑦对数函数真数大于0 f(x)=log2(2x−3)⑧实际问题考虑实际意义正方形周长公式f(x)=4x(x>0)多个使函数有意义的条件用花括号连接，写成不等式组。

2、求复合函数的定义域①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域；③已知f(g(x))的定义域，求f(g(x))的定义域；④已知f(g(x))的定义域，求F(x)=f(g(x))+f(ℎ(x))的定义域关键：定义域是指自变量x的值相同对应法则f下的整体变量取值范围相同（空间不变原理）3、求简单函数的值域(写成集合或区间形式)函数类型定义域值域一次函数R R二次函数Ra>0时，[4ac−b24a,+∞)a<0时，(-∞,4ac−b24a]配方、画图、找最高点和最低点反比例函数(−∞,0)∪(0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)分式函数分母不为0 配凑法（利用基本不等式求解）4、求函数的解析式①待定系数法②换元法/配凑法③方程组法/消元法 ④赋值法最后一定要考虑定义域，定义域不是R 一定要写出来5、函数单调性的判断、证明及应用 单调递增单调递减函数f(x)在区间D 上为增函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则函数f(x)在区间D 上为减函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则① x 1<x 2⟺f (x 1)<f(x 2) ① x 1<x 2⟺f (x 1)>f(x 2) ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]>0 ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]<0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) 即x 与f(x)的变化趋势相同， 自变量增量与函数值增量同号。

高中数学教案函数的基本概念和性质高中数学教案：函数的基本概念和性质函数是数学中非常重要的一个概念，它在各个学科和实际生活中都有着广泛的应用。

本教案将介绍函数的基本概念和性质，帮助学生全面理解和掌握函数的本质和运用。

一、函数的引入和定义函数最早是由数学家高斯引入的，它描述了两个数集之间的一种特殊关系。

通常情况下，我们将函数表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。

x的取值范围称为定义域，而y的取值范围称为值域。

函数可以用图像、映射、表格或公式等形式来表示。

二、函数的图像和性质函数的图像是将函数的各个取值与对应的值域点在坐标系中标出所得到的图形。

根据函数图像的不同形态，可以得出函数的性质。

其中，常见的函数类型有线性函数，二次函数，指数函数和对数函数等。

不同的函数类型有其独特的特点和变化规律，对于理解和应用函数非常重要。

三、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域反映了函数的取值范围。

对于函数来说，每一个自变量都有且只有一个对应的因变量。

2. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数在布尔对称轴上是否对称。

其中，奇函数满足f(-x) = -f(x)，而偶函数则有f(-x) = f(x)。

3. 单调性：函数的单调性揭示了函数随自变量变化时的增减规律。

函数可以是增函数、减函数或常函数。

4. 极值：函数的极值指的是函数在其定义域内达到的最大值或最小值。

极大值对应局部最大值，极小值对应局部最小值。

5. 零点：函数的零点是指函数取值为0的自变量值。

寻找函数的零点对于解方程和求解实际问题具有重要意义。

四、函数的应用函数在实际生活中具有广泛的应用价值，例如在经济学、物理学、生物学等领域中。

通过函数，我们可以分析和描述事物之间的数学关系，进而解决实际问题。

函数的应用包括但不限于以下几个方面：1. 函数建模：将实际问题抽象成函数，利用函数的性质进行问题建模和求解。

2. 函数图像分析：通过观察函数的图像，分析函数的特点、极值、零点等，并进行数据的预测与实际意义的探讨。

3。

1。

2 函数的表示法第1课时函数的表示法学习目标核心素养1。

掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点）1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养。

(1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．（2)如图是我国人口出生率变化曲线:(3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780。

3980.1210.050。

01问题：根据初中所学知识，请判断问题（1)、(2）、（3）分别是用什么法表示函数的?提示：解析法、图象法和列表法．函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗?提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此,图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝错误!列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”)（1)任何一个函数都可以用解析法表示．(）(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．（）[答案](1)×(2)×2．已知函数f(x）由下表给出，则f（3）等于(）x1≤x<222<x≤4f(x)123A。

1B．2C．3D．不存在C[∵当2〈x≤4时，f(x)＝3，∴f（3）＝3。

]3．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其定义域是______．［－2,3］［由图象可知f（x）的定义域为[－2，3］．］4．若f(x)＝x2＋bx＋c,且f（1）＝0，f（3）＝0，则f（－1)＝________。

函数的概念与基本性质函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学及其应用领域具有广泛的应用。

本文将介绍函数的概念以及其基本性质。

一、函数的概念函数是一种数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素。

具体来说，设有两个集合A和B，如果对于集合A中的任意一个元素a，都存在集合B中的唯一一个元素b与之对应，那么我们就称这种关系为函数。

通常用符号f来表示函数，表示为f: A → B，其中A 称为定义域，B称为值域。

例如，设有集合A={1，2，3}和集合B={4，5，6}，我们可以定义一个函数f，将A中的元素映射到B中的元素，即f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6。

二、函数的基本性质1. 定义域和值域函数的定义域是指函数的输入值可以取的全部实数集合，也就是函数的自变量的取值范围。

而函数的值域则是函数的输出值可以取的全部实数集合，即函数的因变量的取值范围。

2. 单射、满射和双射若具有函数f: A → B，对于集合B中的任意一个元素b，存在集合A中的至多一个元素a与之对应，那么我们称函数f为单射。

若对于集合B中的任意一个元素b，都存在集合A中的至少一个元素a与之对应，那么我们称函数f为满射。

若函数f既是单射又是满射，即对于集合B中的任意一个元素b，存在且仅存在集合A中唯一一个元素a与之对应，那么我们称函数f为双射。

3. 奇偶性若函数f满足f(-x) = -f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为奇函数。

若函数f满足f(-x) = f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为偶函数。

4. 复合函数若有函数g: A → B和函数f: B → C，那么我们可以定义出一个新的函数h: A → C，称为复合函数。

复合函数h的定义为h(x) = f(g(x))，其中x∈A。

5. 反函数若函数f: A → B是一个双射函数，那么存在一个函数g: B → A，使得对于任意的x∈A和y∈B，有f(g(y)) = y和g(f(x)) = x成立。

3．1 函数3．1.1 对函数概念的再认识教材要点要点一函数的概念(1)非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集．(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值．(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应．(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系．要点二两个函数相等两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．状元随笔由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均取数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应．要点三常见函数的定义域和值域1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为________，值域是________．2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是__________，当a＞0时，值域为__________________，当a＜0时，值域为__________________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )(4)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数．( )2．下列可作为函数y＝f(x)的图象的是( )的定义域是( )3．函数y＝√x−1A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|x＞1}D．{x|x＜1}4．若f(x)＝x－√x+1，则f(3)＝________．题型1 函数关系的判断例1 (1)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积(2)设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤2}，能表示从集合A到集合B的函数关系的是( )方法归纳(1)判断所给对应是否为函数的方法 ①首先观察两个数集A ，B 是否非空；②其次验证对应关系下，集合A 中x 的任意性，集合B 中y 的唯一性，既不能没有数y 对应数x ，也不能有多于一个的数y 对应x .(2)根据图形判断对应是否为函数的方法步骤 ①任取一条垂直于x 轴的直线l ； ②在定义域内平行移动直线l ；③若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．跟踪训练1 (1)(多选)已知集合M ＝{－1，1，2，4}，N ＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝x －1，④y ＝|x |.其中不能构成从M 到N 的函数的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④(2)图中所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4题型2 求函数的定义域 例2 (1)函数f (x )＝√1−x +1x+3的定义域为( )A ．{x |－3＜x ≤0}B ．{x |－3＜x ≤1}C ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤0}D ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤1}(2)函数f (x )＝(x −12)0＋√x +2的定义域为( )}A．{x|x≥−2且x≠12B．{x|x≥－2}}C．{x|x＞−2且x≠12D．{x|x＞－2}方法归纳求给出解析式的函数的定义域的基本步骤常见函数的定义域(1)f(x)为整式型函数时，定义域为R；(2)由于分式的分母不为0，所以当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)由于偶次根式的被开方数非负，所以当f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数为非负的实数的集合；(4)函数y＝x0中的x不为0；(5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝√−x的定义域为( )2x2−3x−2A．{x|x≤0}}B．{x|x≤−12}C．{x|x≤0且x≠−12＜x≤0}D．{x|−12的定义域为________．(2)函数y＝√x+3x−2题型3 两个函数是相等函数的判断例3 (多选)下列各组函数是相等函数的是( )A．f(x)＝√−2x3与g(x)＝x·√−2xB ．f (x )＝x 与g (x )＝√x 2C ．f (x )＝x 0与g (x )＝1xD ．f (x )＝x 2－x ＋1与g (t )＝t 2－t ＋1方法归纳判断相等函数的三个步骤和两个注意点(1)判断相等函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 下列函数中与函数y ＝x 2是相等函数的是( ) A ．u ＝v 2B ．y ＝x ·|x |C ．y ＝x 3x D ．y ＝(√x )4题型4 函数值与函数的值域例4 (1)设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x+2，求： ①f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)； ②g (f (2))，f (g (2))． (2)求下列函数的值域． ①y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]； ②y ＝2xx+1； ③y ＝x －√1−2x .方法归纳1．函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．2．求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b±√cx+d(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．跟踪训练4 (1)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A．y＝√x B．y＝√xC．y＝1xD．y＝x2＋1(2)已知函数f(x)＝x+1x+2.求f(2)；f(f(1))．易错辨析忽略参数取值范围致误例5 若函数f(x)＝√mx2−mx+2的定义域为R，则实数m的取值范围是________．解析：函数f(x)＝√mx2−mx+2的定义域为R，即mx2－mx＋2＞0恒成立．当m＝0时，易知成立，当m≠0时，需满足{m＞0，Δ=m2−8m＜0，∴0＜m＜8，综上所述，0≤m＜8.答案：0≤m＜8易错警示课堂十分钟1．下列各图中，一定不是函数图象的是( )2．函数f (x )＝√1−3xx的定义域为( )A ．{x|x ≤13}B ．{x|x ＜13}C ．{x|0＜x ≤13}D ．{x|x ≤13且x ≠0}3．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．f (x )＝√x 2，g (x )＝(√x )2B ．f (x )＝√x 2，g (x )＝|x |C ．f (x )＝1，g (x )＝x 0D ．f (x )＝x+1x 2−1，g (x )＝1x−14．已知函数f (x )＝11+x ，又知f (t )＝6，则t ＝________． 5．已知函数f (x )＝1x+1+√x +2.(1)求f (x )的定义域； (2)若a ＞0，求f (a －1)的值．第三章 函数的概念与性质3．1 函数3．1.1 对函数概念的再认识新知初探·课前预习要点一实数集 唯一确定 x 要点三 1．R R 2．R [4ac−b 24a，+∞) (−∞，4ac−b 24a][基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．解析：由函数的定义可知D 正确． 答案：D3．解析：要使函数y ＝√x−1有意义，则必须{x −1≥0，√x −1≠0.∴x >1，故选C. 答案：C4．解析：f (3)＝3－√3+1＝3－2＝1. 答案：1题型探究·课堂解透例1 解析：(1)对B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.(2)A 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，不满足条件；B 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，不满足条件；C 中，在0≤x <2内，一个x 有两个y 与之对应，不满足条件；D 中，每个x 都有唯一确定的y 与之对应，是函数关系．故选D.答案：(1)A (2)D跟踪训练1 解析：(1)①中，当x ＝4时，y ＝42＝16∉N ，故不能构成函数．②中，当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0∉N ，故不能构成函数；③中，当x ＝－1时，y ＝－1－1＝－2∉N ，故不能构成函数；④中，当x ＝±1时，y ＝|x |＝1∈N ，当x ＝2时，y ＝|x |＝2∈N ，当x ＝4时，y ＝|x |＝4∈N ，故构成函数．故选ABC.(2)根据函数的概念可知③④是函数的图象．故选B. 答案：(1)ABC (2)B例2 解析：(1)要使函数f (x )有意义， 则{1−x ≥0，x +3≠0，解得x ≤1且x ≠－3， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≤1且x ≠－3}，即{x |x ＜－3或－3＜x ≤1}．故选D. (2)要使函数f (x )有意义，则{x ≠12，x +2≥0，解得x ≥－2且x ≠12，故选A. 答案：(1)D (2)A跟踪训练2 解析：(1)要使函数f (x )有意义， 则{−x ≥0，2x 2−3x −2≠0，解得x ≤0且x ≠－12，故选C. (2)∵函数解析式为y ＝√x+3x−2， ∴x ＋3≥0且x ≠2， ∴x ≥－3且x ≠2.答案：(1)C (2){x |x ≥－3且x ≠2}例3 解析：A 中，定义域都是(－∞，0]，但解析式不相同；B 中，g (x )＝√x 2＝|x |与f (x )＝x 解析式不同；C 、D 是相等函数．答案：CD跟踪训练3 解析：函数y ＝x 2的定义域为R ，对于A 项，u ＝v 2的定义域为R ，对应法则与y ＝x 2一致，则A 正确；对于B 项，y ＝x ·|x |的对应法则与y ＝x 2不一致，则B 错误；对于C 项，y ＝x 3x 的定义域为{x |x ≠0}，则C 错误；对于D 项，y ＝(√x )4的定义域为{x |x ≥0}，则D 错误；故选A.答案：A例4 解析：(1)①f (2)＝2×22＋2＝10；f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20；g (a )＋g (0)＝1a+2+12；②g (f (2))＝g (10)＝110+2＝112；f (g (2))＝f (14)＝2×(14)2＋2＝178.(2)①因为x ∈(－1，3]，所以－12≤－4x <4，所以－9≤3－4x <7， 所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)． ②因为y ＝2xx+1＝2(x+1)−2x+1＝2－2x+1≠2，所以函数y ＝2x x+1的值域为{y |y ≠2}． ③设√1−2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1−t 22，所以y ＝1−t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋1)＝－12(t ＋1)2＋1，因为t ≥0，所以y ≤12，所以函数y ＝x －√1−2x 的值域为(−∞，12].跟踪训练4 解析：(1)A 中，由x ≥0得y ＝√x ≥0，∴y ＝√x (x ≥0)的值域为[0，＋∞)，A 不符合；B 中，设√x ＝t ，由x >0得t ＝√x >0，由y ＝1t (t >0)的图象知其值域为(0，＋∞)，B 符合；C 中，由y ＝1x (x ≠0)的图象知，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，+∞)，C 不符合；D 中，y ＝x 2＋1≥1，值域为[1，＋∞)，不符合．(2)①f (2)＝2+12+2＝34； ②∵f (1)＝1+11+2＝23；∴f (f (1))＝f (23)＝23+123+2＝58.答案：(1)B (2)见解析[课堂十分钟]1．解析：对于A 选项，由图象可知，存在x 同时对应两个函数值y ，A 选项中的图象不是函数图象；对于B 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，B 选项中的图象是函数图象；对于C 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，C 选项中的图象是函数图象；对于D 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，D 选项中的图象是函数图象．故选A.答案：A2．解析：要使f (x )有意义，只需满足{1−3x ≥0，x ≠0，即x ≤13且x ≠0.故选D.11 答案：D3．解析：对于选项A ：f (x )＝√x 2的定义域为R ，g (x )＝(√x )2的定义域为[0，＋∞)，定义域不同不是相等函数，故A 不正确；对于选项B ：f (x )＝√x 2＝|x |，g (x )＝|x |是相等函数，故B 正确；对于选项C ：f (x )＝1定义域为R ，g (x )＝x 0＝1，定义域为{x |x ≠0}，定义域不同不是相等函数，故C 不正确；对于选项D ：f (x )＝x+1x 2−1的定义域为{x |x ≠±1}，g (x )＝1x−1的定义域为{x |x ≠1}，定义域不同不是相等函数，故D 不正确；故选B.答案：B4．解析：由f (t )＝6，得11+t ＝6，即t ＝－56.答案：－565．解析：(1)由{x +1≠0x +2≥0，解得x ≥－2且x ≠－1，故f (x )的定义域为{x |x ≥−2且x ≠−1}；(2)若a >0，f (a －1)＝1a−1+1+√a −1+2＝1a +√a +1.。

新教材湘教版2019版数学必修第一册第3章知识点清单目录第3章函数的概念与性质3. 1 函数3. 2 函数的基本性质3. 2. 1 函数的单调性与最值3. 2. 2 函数的奇偶性3. 1 函数一、函数的概念1. 函数的有关概念2. 两个函数相等两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U 都有f(x)=g(x)时，叫作相等. 也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数.二、表示函数的方法三、简单的分段函数一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数.四、已知函数解析式求定义域 (1)如果函数的解析式是整式，那么在没有特殊说明的情况下，函数的定义域是实数集R.(2)如果函数解析式中含分式或0次幂，那么函数的定义域应使分母或0次幂的底数不为零.(3)如果函数解析式中含偶次根式，那么函数的定义域应使偶次根式有意义.(4)如果函数解析式是由几部分式子混合运算后构成，那么函数的定义域应使各部分式子都有意义，定义域为各部分自变量取值集合的交集.(5)由实际背景确定的函数，其自变量的值不仅要使解析式本身有意义，还要考虑自变量的实际意义.五、求抽象函数的定义域 1. 求抽象函数的定义域应明确的几点(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围.(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的取值范围.(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在相同的对应关系f下的取值范围相同.2. 抽象函数定义域的求解方法(1)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值范围为A，求x 的取值范围.(2)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围，此范围就是f(x)的定义域.(3)已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C，求出φ(x)的取值范围D，再令g(x)的取值范围为D，求出g(x)中x的取值范围，此范围就是f(g(x))的定义域.六、函数的求值问题 1. 求自变量的值为a时的函数值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的x并进行计算，即得f(a) 的值.(2)已知函数f(x)与g(x)的解析式，求f(g(a))的值，应遵循由内到外的原则.注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义. 2. 已知函数值a，求自变量的对应值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时，列方程f(x)=a并求解，即可得到函数值为a时自变量的对应值.(2)已知函数f(x)与g(x)，求f(g(x))=a中的x的值时，可以由内到外，也可由外到内进行求解.七、函数解析式的求法 1. 当函数类型已知时，可采用“先设后求，待定系数”法来求其解析式. 解题步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式. 如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a≠0)；反比例函数解析式设为f(x)=k(k≠0)；二次函数解析式可根据条件设为x①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，②顶点式：f(x)=a(xh)2+k(a≠0)，③交点式：f(x)=a(xx1)(xx2)(a≠0).(2)根据已知条件列出关于待定系数的方程或方程组.(3)解方程或方程组，得到待定系数的值.(4)将所求待定系数的值代入所设的解析式并化简整理.2. 函数类型未知时，可根据条件选择以下方法求其解析式.(1)代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，通常把g(x)作为一个整体替换f(x) 中的x.(2)换元法：已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此将x用含t的式子表示，得出x=h(t)，将x=h(t)代入f(g(x))，得到f(t)的解析式，再用字母x替换字母t，便可得到f(x)的解析式.(3)配凑法：将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)的函数解析式，然后把g(x)整体代换为x，即得所求函数解析式，这里的g(x)可以是整式、分式、根式等.)或f(x)的关系式，可根据已知条件再构造出另外(4)消元法(方程组法)：已知f(x)与f(1x一个等式，二者组成方程组，通过解方程组求出f(x).(5)赋值法：依题目的特征，可对变量赋特殊值，由特殊到一般寻找普遍规律，从而根据找出的一般规律求出函数解析式. 此方法主要适用于抽象函数求解析式.八、如何理解与解决分段函数问题 1. 正确理解分段函数(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.(2)处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值属于哪一个区间.(3)分段函数的定义域是各段的“定义域”的并集，其值域是各段的“值域”的并集.(4)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况. 2. 分段函数的求值策略(1)已知自变量的值求函数值的步骤：①确定自变量属于哪一个区间；②代入相应段的解析式求值. 当出现f(f(x0))(x0为自变量的某个值)的形式时，应从内到外依次求值.(2)已知函数值求对应的自变量的值，可分别利用各段函数的解析式求得自变量的值，但应注意检验各段求出的值是否在本段函数的定义域内. 也可先判断每一段上的函数值的范围，确定相应的解析式后再求解.3. 2 函数的基本性质3. 2. 1 函数的单调性与最值一、函数的最值1. 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集. 如不加说明，我们认为I是个区间.2. 如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点.3. 如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=b处取到最小值N=f(b)，称N为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点.4. 最大值和最小值统称为最值.二、函数的单调性具有(严格的)单调性，区间I叫作y=f(x)的单调区间.三、函数单调性的判断与证明 1. 利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤第一步：取值，设x1，x2是区间I内的任意两个值，且x1<x2.第二步：作差，即f(x1)f(x2)(或f(x2)f(x1)).第三步：变形，通过因式分解、配方、分母有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.第四步：判断正负，确定f(x1)f(x2)(或f(x2)f(x1))的正负，当正负不确定时，需进行分类讨论.第五步：下结论，指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性.注意：第一步强调取值的任意性；第二步也可以用作商法比较；第三步是关键，在变形时一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个非负数的和的形式.2. 函数单调性的等价变形>0⇔f(x)在I上是增函数；任取x1，x2∈I，且x1≠x2，那么(x1x2)·[f(x1)f(x2)]>0⇔f(x1)−f(x2)x1−x2(x1x2)[f(x1)f(x2)]<0⇔f(x1)−f(x2)<0⇔f(x)在I上是减函数.x1−x23. 常见函数的单调性由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合，得到函数y=f(g(x))，其单调性的判断方法如下表：相异时单调递减.四、函数单调性的应用 1. 利用函数的单调性解不等式(1)利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的概念，将符号f“脱掉”，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.(2)解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤：①将不等式化为f(x1)<f(x2)的形式，其中x1，x2在f(x)的定义域D内；②若函数f(x)是D上的增函数，则x1<x2，若函数f(x)是D上的减函数，则x1>x2.2. 利用函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)利用单调性的定义：在单调区间内任取x1，x2，且x1<x2，由f(x1)f(x2)<0(或f(x1)f(x2)> 0)恒成立求参数的取值范围.(2)利用具体函数本身所具有的特征：如根据二次函数的图象的对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式，解不等式求参数的取值范围.注意：若某个函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.根据分段函数的单调性求参数的取值范围时，一般从两方面考虑：一方面，每个分段区间上的函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面，要考虑分界点处函数值之间的大小关系，由此列出另外的式子，从而解得参数的取值范围.五、求二次函数最值的常见类型及解法 1. 求二次函数的最大(小)值有两种类型：一种是函数的定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；另一种是函数的定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.2. 求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下几种情况：(1)若b2a 在区间[m，n]内，则最小值为f(−b2a)，最大值为f(m)，f(n)中的较大者.(2)若b2a<m，则f(x)在区间[m，n]上单调递增，最大值为f(n)，最小值为f(m).(3)若b2a>n，则f(x)在区间[m，n]上单调递减，最大值为f(m)，最小值为f(n).3. 2. 2 函数的奇偶性一、偶函数、奇函数的定义1. 用图象特征描述函数的奇偶性(1)如果F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，就称F(x)是偶函数.(2)如果F(x)的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，就称F(x)是奇函数.2. 用数学符号语言描述函数的奇偶性(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)=F(x)成立，则称F(x)为偶函数.(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)=F(x)成立，则称F(x)为奇函数.二、如何判断函数的奇偶性 1. 判断函数奇偶性的常见方法(1)定义法：(2)图象法：2. 分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，必须判断每一段函数是否都具有相同的奇偶性，也可以作出函数图象，结合对称性判断.三、函数奇偶性的应用 1. 由函数的奇偶性求参数(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)若函数解析式中含参数，则根据f(x)=f(x)或f(x)=f(x)求参数的值；若定义域的表示中含参数，则根据定义域关于原点对称，利用关于原点对称的区间端点值之和为0求参数的值.2. 由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若函数具有奇偶性，则利用f(x)=f(x)或f(x)=f(x)求解；若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值.3. 由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤(1)在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间.(2)把x对称转化到已知解析式的区间上，利用已知的解析式进行代入.(3)利用函数的奇偶性把f(x)改写成f(x)或f(x)，从而求出f(x).四、函数奇偶性与单调性的综合应用 1. 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2. 利用函数的奇偶性与单调性比较不同单调区间内的函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较.3. 利用函数的奇偶性与单调性解决不等式问题时，一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的单调性列出不等式(组)，要注意函数的定义域对参数的影响.。

第3章 函数的概念与性质§3.1函数的概念及其表示1. 设A .B 是非空的实数集，使对于集合A 中的任意一个数x ，如果按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有惟一确定的数y 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2. 函数的构成要素为：定义域.对应关系.值域.3. 区间：闭区间、开区间、半开半闭区间.4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5. 分段函数§3.2.函数的基本性质§3.2.1单调性与最大（小）值1.函数单调性的定义：设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆，如果12,x x D ∀∈、当12x x <时，都有：12()()f x f x <或12()()0()f x f x f x D -<，就称在区间上单调递增；特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数；12()()f x f x >或12()()0()f x f x f x D ->，就称在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数；2. 最大值、最小值：设函数()f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）x I ∀∈，都有()M f x ≤;（2）0,x I ∃∈使得0()M f x =，我们就称M 是函数()y f x =的最大值.如果存在实数N 满足：（1）x I ∀∈，都有()f x N ≥;（2）0,x I ∃∈使得0()f x N =，我们就称N 是函数()y f x =的最小值.§3.2.2奇偶性1.定义：设函数()x f 的定义域为I , 如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()x f x f =-（或()()0f x f x --=），那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.且若()()f x f x -=-（或()()0f x f x -+=），那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.2.奇函数的性质：若奇函数()x f 的定义域为I , 如果0I ∈，则有(0)0f =.3.奇偶性与单调性：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.§3.3幂函数1.幂函数的解析式： y x α=，x 是自变量，α是常数.2.几种幂函数的图象：3.幂函数的性质：（1） 定点：()1,1.（2） 单调性：当0α>时，y x α=在()0,+∞上单调递增；当0α<时，y x α=在()0,+∞上单调递减；。

教案函数的概念和性质函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学中具有广泛的应用。

本文将介绍教案函数的概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用函数。

一、函数的概念在数学中，函数是一个非常重要的概念，它描述了一个集合和另一个集合之间的关系。

简单来说，函数就是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素上。

具体来说，设A和B为两个非空集合，如果对于A中的每一个元素a，都存在B中唯一的元素b与之对应，那么我们就称这种对应关系为函数。

记作f：A→B，其中f表示函数的名称，A为定义域，B为值域。

函数的输入为定义域内的元素，输出为值域内的元素。

二、函数的性质函数具有多种性质，本节将介绍函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等常见性质。

1. 定义域和值域函数的定义域是指能使函数有意义的输入值的集合。

在函数中，不是所有的值都能使函数有意义，因此定义域限制了函数的输入范围。

值域是函数所有可能的输出值的集合。

在函数中，输出值是由输入值确定的，定义域的不同对应不同的值域。

2. 单调性如果函数的值随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小，我们就称该函数为增函数；如果函数的值随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大，我们就称该函数为减函数。

函数的单调性是通过函数图像上函数曲线的斜率来判断的，当函数的曲线向上倾斜时，函数为增函数，向下倾斜时，函数为减函数。

3. 奇偶性如果对于函数中的任意一个自变量x，函数关于原点(0,0)对称，即f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数；如果对于函数中的任意一个自变量x，函数关于原点(0,0)对称，即f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。

奇偶性可以通过函数的解析式进行判断，如果函数的解析式中只有奇次幂的项，那么该函数为奇函数；如果函数的解析式中只有偶次幂的项，那么该函数为偶函数。

三、函数的应用函数在实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用实例。

1. 物理学中的运动问题函数在描述各种运动问题中起着重要作用。

第三章 函数的概念与性质重点追击练1.函数1()12f x x=-的定义域为M ，()1g x x =+的定义域为N ，则M N ⋂=( ) A.[1,)-+∞B.11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2.下列四个函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A.()3f x x =-B.2()3f x x x =-C.()||f x x =-D.1()1f x x =-+ 3.函数2441()2x f x x -+=的大致图象是( )A. B.C. D.4.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（a ，b ，c 是常数），下图记录了三次试验的数据.根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟5.若幂函数()f x 过点(3,27)，则满足不等式(3)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是___________.6.设2()21f x x ax =-+，[0,2]x ∈，当3a =时，()f x 的最小值是__________，若()f x 的最小值为1，则a 的取值范围为_____________.7.已知函数()f x 对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，有()0f x >. （1）求证：()f x 是R 上的增函数； （2）求证：()f x 是R 上的奇函数；（3）若(1)1f =，解不等式()2(2)4f x f x -+>.难点突破练8.已知函数(4),0,()(4),0,x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩若()5f a ≤，则实数a 的取值范围是( )A.[1,1]-B.[5,5]-C.(,1][1,)-∞-⋃+∞D.(,5][5,)-∞-⋃+∞9.已知函数32,0,()3,0,x x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩()52(0)g x kx k k =+->，若对任意的1[1,1]x ∈-，总存在2[1,1]x ∈-使得()()12f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为( )A.(0,2]B.20,3⎛⎤⎥⎝⎦C.(0,3]D.(1,2]10.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数1x ，2x ，都有()()12120f x f x x x -<-，且(2)0f =，则满足(1)()0x f x ->的x 的取值范围是( )A.(,2)(0,1)(2,)-∞-⋃⋃+∞B.(2,0)(1,2)-⋃C.(2,1)(2,)-⋃+∞D.(,2)(1,2)-∞-⋃11.用函数()M x 表示函数()f x 和()g x 中的较大者，记为()max{(),()}M x f x g x =.若()||f x x =，2()g x x -=，则()M x 的大致图象为( )A. B.C. D.12.某品牌电动车有两个连锁店，其月利润（单位：元）分别为21590016000y x x =-+-，23002000y x =-，其中x 为销售量.若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为( )A.11000元B.22000元C.33000元D.40000元13.已知y f x =（）是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则0x <时，f x （）的解析式为___________________.14.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，定义函数()[]f x x x =-.有下列结论： ①函数的图象是一条直线；②函数()f x 的值域为[0,1)；③方程1()2f x =有无数个解；④函数是R 上的增函数.其中错误的是______________.（填序号）15.设,a b ∈R ，若函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称；反之，若函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称，则函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=.已知函数53()1x g x x +=+. （1）证明：函数()g x 的图象关于点(1,5)-对称；（2）已知函数()h x 的图象关于点(1,2)对称，当1][0,x ∈时，2()1h x x mx m =-++.若对任意的1[0,2]x ∈，总存在22,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()()12h x g x =成立，求实数m 的取值范围.答案以及解析1.答案：B解析：要使函数()f x =120x ->，解得12x <，所以1|2M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，要使函数()g x =10x +≥，解得1x ≥-，所以{|1}N x x =≥-， 因此1|12M N x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭，故选B.2.答案：D解析：对于A ，()3f x x =-为一次函数，在区间(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于B ，2()3f x x x =-为二次函数，在区间30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不符合题意；对于C ，,0,()||,0x x f x x x x -≥⎧=-=⎨<⎩在区间(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于D ，1()1f x x =-+在区间(0,)+∞上单调递增，符合题意.故选D. 3.答案：D解析：易知函数2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，C ；当2x =时，15(2)032f -=<，对应点在第四象限，故排除A.故选D. 4.答案：B解析：由已知得9370%,16480%,25550%,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得0.2,1.5,2,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩22115130.2 1.525416p t t t ⎛⎫∴=-+-=--+⎪⎝⎭， ∴当153.754t ==时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.故选B. 5.答案：(2,)+∞解析：设幂函数为()f x x α=，因为其图象过点(3,27)，所以273α=，解得3α=，所以3()f x x =.因为3()f x x =在R 上为增函数，所以由(3)(1)f a f a ->-，得31a a ->-，解得2a >. 所以满足不等式(3)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是(2,)+∞. 6.答案：-7；(,0]-∞解析：当3a =时，2()61f x x x =-+在2[]0,x ∈上单调递减，max ()(2)7f x f ∴==-. 由函数的解析式知(0)1f =，若()f x 的最小值为1，则()f x 在[0,2]x ∈上单调递增， 而2()21f x x ax =-+的图象开口向上，对称轴为直线x a =，0a ∴≤，即a 的取值范围是(,0]-∞.7.答案：（1）证明：任取1x ，2x ∈R ，且12x x <， 则()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-， 对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=+，()()()211211f x x x f x x f x ∴-+=-+， ()()()2121f x f x f x x ∴-=-.当0x >时，()0f x >，且210x x ->，()210f x x ∴->，()()21f x f x ∴>，即()f x 在R 上为增函数.（2）证明：对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=+，∴令0a b ==，则(0)(0)(0)2(0)f f f f =+=，(0)0f ∴=，令a x =，b x =-，则()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==， ()()f x f x ∴-=-，即函数()f x 为R 上的奇函数.（3）若(1)1f =，则(2)2(1)2f f ==，(4)2(2)4f f ==，∴不等式()2(2)4f x f x -+>等价于()2(2)(4)f x f x f -+>，由（2）知()f x 为奇函数， (2)(2)f x f x ∴-+=--，()()22(2)(2)f x f x f x f x ∴-+=+--， ()22(4)f x x f ∴-->，又由（1）知，()f x 在R 上为增函数， 224x x ∴-->，即260x x -->， 3x ∴>或2x <-.∴原不等式的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞.8.答案：A 解析：()5f a ≤，20,450a a a ≥⎧∴⎨+-≤⎩或20,450,a a a <⎧⎨--≤⎩即0,51a a ≥⎧⎨-≤≤⎩或0,15,a a <⎧⎨-≤≤⎩01a ∴≤≤或10a -≤<，即11a -≤≤.故a 的取值范围是[1,1]-，故选A.9.答案：A解析：在函数()f x 中，当[1,0)x ∈-时，()f x 是减函数，因此，()(2,3]f x ∈； 当[0,1]x ∈时，()f x 也是减函数，因此，()[2,3]f x ∈.∴当[1,1]x ∈-时，()[2,3]f x ∈，即max ()3f x =.在函数()g x 中，由0k >知，()g x 在[1,1]-上单调递增， max ()(1)525g x g k k k ∴==+-=-.若1[1,1]x ∀∈-，总存在2[1,1]x ∈-使得()()12f x g x ≤， 则35k ≤-，解得2k ≤，又0k >，02k ∴<≤.故选A. 10.答案：B解析：因为()f x 对任意两个正数1x ，2x ，都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，根据奇函数的性质可知，(0)0f =，()f x 在(,0)-∞上单调递减且(2)0f -=， 由(1)()0x f x ->可得1,()0x f x >⎧⎨>⎩或1,()0,x f x <⎧⎨<⎩解得12x <<或20x -<<. 故选B. 11.答案：A解析：在同一直角坐标系中作出两个函数()y f x =和()y g x =的图象，如图所示：由图象可知，(),0||1,()max{(),()}(),|| 1.g x x M x f x g x f x x <<⎧==⎨≥⎩因此，函数()y M x =的大致图象为选项A 中的图象.故选A. 12.答案：C解析：设月利润为1y 的连锁店销售x 辆电动车，则月利润为2y 的连锁店销售(110)x -辆电动车，由题意可知两店的月利润之和为222590016000300(110)20005600150005(60)33000L x x x x x x =-+-+--=-++=--+，所以当60x =时，两店的月利润之和取得最大值，为33000元.故选C. 13.答案：2()2f x x x =--解析：当0x <时，0x ->，则22()()2()2f x x x x x -=---=+，又()f x 是R 上的奇函数，2()(),()2f x f x f x x x ∴-=-∴-=+，即2()2f x x x =--.故0x <时，f x （）的解析式为2()2f x x x =--. 14.答案：①④解析：根据定义函数(01),()[]1(12),2(23),x x f x x x x x x x ⎧⎪≤<⎪⎪=-=-≤<⎨⎪-≤<⎪⋯⎪⎩对于①，作出函数()f x 的部分图象如图所示，因此①中结论错误；对于②，根据函数的图象可知函数的值域为[0,1)，因此②中结论正确； 对于③，直线12y =与函数()f x 的图象有无穷多个交点，因此③中结论正确； 对于④，根据函数的图象知，函数在每个小区间内单调递增，但是在整个定义域内不具备单调性，因此④中结论错误.故答案为①④. 15.答案：（1）证明：53()1x g x x +=+，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃-+∞，57(2)1x g x x +∴--=+. 5357()(2)1011x x g x g x x x ++∴+--=+=++. 即对任意的(,1)(1,)x ∈-∞-⋃-+∞，都有()(2)10g x g x +--=成立.∴函数()g x 的图象关于点(1,5)-对称.（2）532()511x g x x x +==-++，易知()g x 在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，()g x ∴在2,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,4]-.记函数()y h x =，[0,2]x ∈的值域为A .若对任意的1[0,2]x ∈，总存在22,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()()12h x g x =成立，则[1,4]A ⊆-.当[0,1]x ∈时，2()1h x x mx m =-++， (1)2h ∴=，即函数()h x 的图象过对称中心(1,2).①当02m≤，即0m ≤时，函数()h x 在[0,1]上单调递增.由对称性知，()h x 在[1,2]上单调递增，∴函数()h x 在[0,2]上单调递增.易知(0)1h m =+.又(0)(2)4h h +=， (2)3h m ∴=-，则[1,3]A m m =+-.由[1,4]A ⊆-，得11,43,0,m m m -≤+⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩解得10m -≤≤.②当012m <<，即02m <<时，函数()h x 在0,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.由对称性，知()h x 在1,22m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,22m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减.∴结合对称性，知[(2),(0)]A h h =或,222m m A h h ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.02m <<，(0)1(1,3)h m ∴=+∈.又(0)(2)4h h +=，(2)3(1,3)h m ∴=-∈.易知当(0,2)m ∈时，21(1,2)24m m h m ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭.又2422m m h h ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2(2,3)2m h ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，∴当02m <<时，[1,4]A ⊆-恒成立.③当12m≥，即2m ≥时，函数()h x 在[0,1]上单调递减.由对称性，知()h x 在[1,2]上单调递减. ∴函数()h x 在[0,2]上单调递减.易知(0)1h m =+，又(0)(2)4h h +=，(2)3h m ∴=-， 则[3,1]A m m =-+.由[1,4]A ⊆-，得13,41,2,m m m -≤-⎧⎪≥+⎨⎪≥⎩解得23m ≤≤.综上可知，实数m 的取值范围为[1,3]-.。

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3。

1.1函数的概念【素养目标】1．通过丰富实例,学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．（数学抽象）2．了解构成函数的三要素．(数学抽象)3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(直观想象）4．理解同一个函数的概念．（数学抽象)5．能判断两个函数是否是同一个函数．（逻辑推理）【学法解读】1．函数概念的引入,学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念．例如，学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次．2．本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解y＝f(x）的含义，学生要加深理解．第1课时函数的概念(一）必备知识·探新知基础知识知识点1函数的概念定义设A、B是非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个数x__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一确定__的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数,记作y＝f（x）,x ∈A三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域__x__的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.思考1：(1）对应关系f一定是解析式吗？(2)f（x)与f（a）有何区别与联系?提示：（1）不一定．对应关系f可以是解析式、图象、表格,或文字描述等形式．(2)f(x)与f(a）的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f（x）的值,是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量,f（a）是f(x）的一个特殊值．知识点2区间及有关概念(1）一般区间的表示．设a，b∈R，且a〈b，规定如下：定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间__[a，b］__{x｜a＜x ＜b}开区间__(a,b）__｛x｜a≤x ＜b｝半开半闭区间__［a，b）__{x|a＜x≤b}半开半闭区间__（a，b］__(2）特殊区间的表示．定义R{x｜x≥a｝{x｜x〉a}｛x|x≤a}{x｜x<a}符号__（－∞,＋∞)____[a，＋∞)____(a，＋∞）____(－∞,a］____(－∞，a）__思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？以“－∞"或“＋∞”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？提示：（1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．（2)“∞"读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号．基础自测1．区间［5，8）表示的集合是（C）A．｛x|x≤5或x>8}B．｛x｜5<x≤8}C．{x|5≤x〈8｝D．{x｜5≤x≤8}［解析］区间[5,8）表示的集合是{x|5≤x〈8｝，故选C．2．已知f(x）＝2x＋1,则f(5)＝(C)A．3 B．7C．11 D．25［解析]f(5)＝2×5＋1＝11，故选C．3．（2019·江苏,4)函数y＝7＋6x－x2的定义域是__［－1,7]__.［解析]要使函数y＝错误!有意义，应满足7＋6x－x2≥0，∴x2－6x－7≤0，∴（x－7)（x＋1)≤0，∴－1≤x≤7，∴函数y＝错误!的定义域是［－1，7]．4．已知f(x)＝错误!，g(x)＝－x2＋2。

必修第一册第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。

（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

3．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

4．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a<b,我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示(a,b);（3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a,b)或(a,b];a,b都叫做区间的端点。

（4）代数与几何表示对照表（数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点）（5）3.2 函数的基本性质⊆: 1．单调性：（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D I①∀ x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们成它是增函数。