北京西城区2012年高三一模数学试题(理)

2024.4 第1页（共6页）西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）C（ 6 ）A（ 7 ）A（ 8 ）B（ 9 ）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11（12）π3 π3（答案不唯一） （13）y =（14）6−n 13−（15）① ③ ④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分） 解：（Ⅰ）连接1A B ，设11A BAB E =，连接DE ．………1分因为在三棱柱111ABC A B C −中，四边形11A ABB 是平行四边形， 所以E 为1A B 的中点．………2分因为D 为BC 的中点， 所以1//DE A C ．………3分又因为1A C ⊄平面1AB D ，⊂DE 平面1AB D ， 所以1//AC 平面1AB D ． ………5分（Ⅱ）因为1AB AC ⊥，AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11A ACC ．………6分所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x yz −．………7分 则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(1,1,0)D ，(0,2,0)C ． 所以1(,,)202AB =，(,,)110AD =．2024.4 第2页（共6页）设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =m ，则10,0,AB AD =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即220,0.x z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =−，则1y =，1z =．于是(1,1,1)=−m ． ………10分因为AC ⊥平面11A ABB ，所以(0,2,0)AC =是平面11A ABB 的一个法向量． ………11分 所以3cos ,3||||AC AC AC 〈〉==⋅m m m ．………13分由题设，二面角11D ABA −−的平面角为钝角， 所以二面角11D AB A −−的余弦值为 ………14分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由tan 2sin a B b A =，得sin 2sin cos a B b A B =．………1分 在ABC △中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =．………3分因为sin 0,sin 0A B >>， 所以1cos 2B =． ………4分 又0πB <∠<， ………5分 所以π3B ∠=．………6分 （Ⅱ）选条件①：BC………7分设BC 边中点为M ，连接AM ，则AM =，4BM =．在ABM △中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+−⋅⋅，………9分 即2π21168cos3AB AB =+−⋅． 整理得2450AB AB −−=． 解得5AB =或1AB =−（舍）．………11分 所以ABC △的面积为1sin 2ABC S AB BC B =⋅⋅=△．………13分2024.4 第3页（共6页）选条件③：7b =．………7分 在ABC △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，………9分即222π7816cos3c c =+−⋅． 整理得28150c c −+=． 解得3c =或5c =．………11分当3c =时，ABC △的面积为1sin 2ABC S ac B ==△ 当5c =时，ABC △的面积为1sin 2ABC S ac B ==△．………13分（18）（共13分）解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为26471081892610542⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲射击成绩的总环数为16171082492410549⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 因为549542>，所以甲进入决赛．………3分（Ⅱ）根据题中数据，“甲命中9环”的概率可估计为242605=； “甲命中10环” 的概率可估计为242605=； “乙命中9环” 的概率可估计为301602=； “乙命中10环” 的概率可估计为151604=．………5分所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：222212122212121113()()()()C ()C ()5452524100⨯+⨯+⨯⨯=． ………10分 （Ⅲ）7a =和8．（写出一个即可）………13分2024.4 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，2222,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪−=⎩………3分解得224,3a b ==．所以椭圆G 的方程为22143x y +=． ………5分（Ⅱ）由题设，直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．则(2,2)E k m +,直线OE 的方程为()2my k x =+． ………6分 由22,3412,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(43)84120k x kmx m +++−=．………7分由2248(43)0=−+>Δk m ，得2243<+m k ．设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则122843kmx x k +=−+，212241243m x x k −=+． ………8分直线AC 的方程为11(2)2yy x x =++． ………9分联立直线AC 和OE 得11(2)()22y mx k x x +=++． 解得1111111244()44()(2)2M y y kx m x mmx k mx kk x y +===++++−．………11分同理可得224()4N kx m x mx k +=+．所以122112()(4)()(4)4(4)(4)M N kx m mx k kx m mx k x x mx k mx k ++++++=⨯++．………12分因为1221()(4)()(4)+++++kx m mx k kx m mx k22121222222222(4)()82(412)8(4)8(43)4343430kmx x k m x x kmkm m km k m km k k k k =++++−++=−++++=，所以0M N x x +=，即点M 和点N 关于原点O 对称． 所以||||=OM ON ．………15分2024.4 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()ln e =++x f x x x x ，所以1()1(1)e '=+++x f x x x． ………2分所以(1)2e 2f '=+．所以曲线()y f x =在点(,())11f 处切线的斜率为2e 2+．………4分（Ⅱ）当1a =−时，()ln()e =+−−x f x x x x ，()f x 的定义域为(,0)−∞．11()1(1)e (1)(e )'=+−+=+−x x f x x x x x． ………6分因为1e 0xx−<， 所以(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． ………9分 （Ⅲ）1e ()(1)()'=++xf x x x a．当0a >时，()f x 的定义域为(0,)+∞． 所以()0'>f x ，()f x 在(0,)+∞上单调递增．因为1()0>f a ，所以0a >不合题意．………11分当0a <时，()f x 的定义域为(,0)−∞．因为(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． 所以max 1()(1)1ln()e=−=−+−−f x f a a ． ………13分设1()1ln()e =−+−−g x x x ，则2211e 1()e e +'=+=x g x x x x ， 因为1(,)e ∈−∞−x 时，()0'<g x ；1(,0)e∈−x 时，()0'>g x ，所以()g x 的单调递减区间为1(,)e −∞−；单调递增区间为1(,0)e −．所以min 1()()1e=−=−g x g ．所以集合{|()1}−≥x f x 有且只有一个元素时1ea =−．………15分2024.4 第6页（共6页）（21）（共15分） 解：（Ⅰ）记1122i i i n in t a b a b a b =+++．因为1233,2,0t t t ===， ………3分 所以2=K ．………4分（Ⅱ）（ⅰ）B 不满足3m r =，理由如下：假设B 满足3m r =．因为B 的每行恰有三个1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有3m 个． 另一方面，从B 中任选两列共有2C n 种可能，且对任意两列，都恰有r 行使得 这两列的数均为1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有2C n r 个． 所以23C n m r =．当3m r =时，得2C 9n =，此方程无解． 所以B 不满足3m r =．………9分（ⅱ）由（ⅰ）可得23C nm r =，即2C 3nr m =．下面考虑满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数：对B 中满足0≠i t 和3的−m K 行，每行恰有两组(,)p q 使1==i p i q b b 且p q a a ≠，所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为2C 2()2()3−=−n r m K K ．………11分设数列A 中有x 项为1，−n x 项为0．满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,)p q 的个数为()−x n x ． 所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为()−rx n x ．………13分所以2C ()2()3−=−n r rx n x K ．所以222C ()(33)326−=−=−+−nr rx n x r K x nx n n 22222331()()(4)6426424−+−=−−≥≥r n n r n n n n n n ． ………15分。

北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（文科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =（ ）（A ）(2,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4) 【答案】C【解析】}22{}4{2<<-=<=x x x x B ，所以}21{<<=⋂x x B A ，选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为（ ）（A ）5（B ）7（C ）15（D ）31 【答案】D【解析】输入3=x ，7=y 。

8473<=-，15,7==y x ，88157==-，31,15==y x ，8163115>=-，满足条件，输出31=y ，选D.3．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a << 【答案】D【解析】13log 2>，12log 03<<，031log 4<，所以a b c <<，选D . 4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B【解析】由复数的几何意义知i z i z =--=21,2，所以i ii z z +-=--=1221，对应的点在第二象限，选B.5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）2（B）2（C ）28cm （D ）24cm【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选A.6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为（ ）（A ）6（B ）5（C ）4（D ）3 【答案】B【解析】做出可行域，如图，设z y x =-3，则，则z x y -=31，由图象可知当直线经过A 和C 点时，Z 取得最值。

2024北京西城高三一模数 学2024.4本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U =R ，集合{|3}A x x =<，{|22}B x x =−≤≤，则U AB=（A ）(2,3) （B ）(,2)(2,3)−∞−（C ）[2,3)（D ）(,2][2,3)−∞−（2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）2=+y x x （B ）cos y x = （C ）2=x y （D ）2||log =x y（3）在622()−x x的展开式中，常数项为 （A ）60 （B ）15 （C ）60−（D ）15−（4）已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是（A ）1x =− （B ）2x =− （C ）1y =−（D ）2y =−（5）设1=−a t t ，1=+b t t，(2)=+c t t ，其中10−<<t ，则（A ）<<b a c （B ）<<c a b （C ）<<b c a（D ）<<c b a（6）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()⋅−=c a b （A ）1− （B ）1 （C ）7− （D ）7（7）已知函数2,20,(),0.⎧+−<<⎪=⎨<⎪⎩≤x x x f x x c 若()f x 存在最小值，则c 的最大值为 （A ）116 （B ）18（C ）14（D ）12（8）在等比数列{}n a 中，00>n a ．则“001+>n n a a ”是“0013++>n n a a ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）关于函数()sin cos 2f x x x =+，给出下列三个命题：① ()f x 是周期函数；② 曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③ ()f x 在区间[0,2π)上恰有3个零点． 其中真命题的个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3（10）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的 趋势可由函数0.2710.6=−y t 近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为 （参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈） （A ）2小时 （B ）0.8小时 （C ）0.5小时（D ）0.2小时第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

1 n [(x1
x)2
(x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

x )2
(xn
6．已知函数 f (x) kx 1，其中实数 k 随机选自区间[2,1] ．对 x [0,1] ， f (x) 0 的
概率是（ ）
1
（A）
3
1
（B）
2
7．某大楼共有12 层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第 2 至第12 层，每层
14．曲线 C 是平面内到定点 F (0,1) 和定直线 l : y 1的距离之和等于 4 的点的轨迹，给
出 下列三个结论：
① 曲线 C 关于 y 轴对称； ② 若点 P(x, y) 在曲线 C 上，则| y | 2 ； ③ 若点 P 在曲线 C 上，则1 | PF | 4 .
其中，所有正确结论的序号是____________．
9．在△ ABC 中， BC 3 ， AC 2 ， A π ，则 B _____． 3
10．已知复数 z 满足 (1 i) z 1 ，则 z _____．
11．如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形， PA 是⊙ O 的切 线， PB 交 AC 于点 E ，交⊙ O 于点 D ．若 PA PE ， ABC 60 ， PD 1， PB 9 ，则 PA _____； EC _____．
8．对数列{an}，如果 k N* 及 1, 2 ,, k R ，使 ank 1ank 1 a2 nk 2 k an 成立，其中 n N* ，则称{an}为 k 阶递归数列．给出下列三个结论： ① 若{an}是等比数列，则{an}为1阶递归数列； ② 若{an}是等差数列，则{an}为 2 阶递归数列； ③ 若数列{an}的通项公式为 an n2 ，则{an}为 3 阶递归数列．