基于高阶剪切变形理论梁的热屈曲和后屈曲分析

115第六章 薄板的屈曲钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常宽而薄，薄板在面内压力作用下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降；另外，在构件连接的节点也存在板件失稳的可能性。

因此，对板件失稳和失稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问题。

板根据其厚度分为厚板、薄板和薄膜三种。

设板的最小宽度为b ，厚度为t 。

当t /b >1/5~1/8时称为厚板，这时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响。

当1/80~1/100<t /b <1/5~1/8时称为薄板，此时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。

当板极薄，t /b <1/80~1/100时，称为薄膜，薄膜没有抗弯刚度，靠薄膜拉力与横向荷载平衡。

平分板的厚度且与板的两个面平行的平面称为中面。

本章只介绍等厚度薄板中面内受力的板的弹性失稳。

与前面所介绍过的失稳问题比较，板的失稳有如下几个特点： ⑴作用于板中面的外力，不论是一个方向作用有外力还是在两个方向同时作用有外力，屈曲时板产生的都是出平面的凸曲现象，产生双向弯曲变形，因此在板的任何一点的弯矩x M 、y M 和扭矩xy M 以及板的挠度w 都与此点的坐标（x ，y ）有关。

⑵板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解。

可以用能量法（如瑞利—里兹法，伽辽金法）或者数值法（如差分法、有限元法等）求解屈曲荷载，在弹塑性阶段，用数值法可以得到精度很高的板屈曲荷载。

⑶理想薄板失稳属于稳定分岔失稳。

对于有刚强侧边支承的板，凸屈后板的中面会产生薄膜应变，从而产生薄膜应力。

如果在板的一个方向有外力作用而凸曲时，在另一个方向的薄膜拉力会对它产生支持作用，增强板的抗弯刚度进而提高板的强度，这种凸屈后的强度提高称为屈曲后强度。

基于高阶剪切变形理论的四边形求积元板单元及其应用申志强;夏军;宋殿义;程盼【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2018(050)005【摘要】近年来由各类新型复合材料或功能梯度材料构成的板结构在工程领域得到了广泛应用,其显著特点是材料性能沿板厚变化.为合理考虑横向剪切应变,许多学者基于Reddy高阶剪切变形理论,构建了不同的有限元单元对该类板结构进行分析,但其中满足C1连续条件的单元相对较少.本文基于Reddy高阶剪切变形理论,采用求积元方法,建立了C1连续的四边形板单元.利用该单元对均质材料、复合材料、功能梯度材料构成的等厚度矩形板、变厚度矩形板及等厚度斜板的线弹性弯曲和自由振动问题进行了计算分析,并与现有文献中的相应计算结果进行了对比.研究表明:基于高阶剪切变形理论的四边形求积元板单元具有较高的计算效率和良好的适应性,文中各类材料构成的等/变厚度矩形板及等厚度斜板均只需1个单元即可得到理想的计算结果.对于等/变厚度矩形板,可仅使用9×9个积分点,而对于等厚度斜板,随着斜角的增大,所需积分点的数目逐渐增多至15×15.该四边形求积元板单元可进一步用于新型复合材料板的非线性分析.【总页数】11页(P1093-1103)【作者】申志强;夏军;宋殿义;程盼【作者单位】国防科技大学军事基础教育学院,长沙410072;国防科技大学军事基础教育学院,长沙410072;国防科技大学军事基础教育学院,长沙410072;国防科技大学空天科学学院,长沙410072【正文语种】中文【中图分类】O343.1【相关文献】1.一种基于高阶剪切变形板模型的有限元算法 [J], 周云;孙秦2.基于1,2-3高阶剪切变形理论的四边形层合板单元列式 [J], 陈荣庚;张启光;3.基于高阶剪切变形理论梁的热屈曲和后屈曲分析 [J], 于旭光;申幸幸;郑宏4.基于高阶剪切变形理论梁的热屈曲和后屈曲分析 [J], 于旭光;申幸幸;郑宏;5.基于一阶剪切变形理论的新型复合材料层合板单元 [J], 岑松;龙驭球;姚振汉因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

屈曲分析屈曲分析- 分析内容屈曲分析主要用于研究结构在特定载荷下的稳定性以及确定结构失稳的临界载荷,屈曲分析包括：线性屈曲和非线性屈曲分析。

线弹性失稳分析又称特征值屈曲分析；线性屈曲分析可以考虑固定的预载荷，也可使用惯性释放；非线性屈曲分析包括几何非线性失稳分析，弹塑性失稳分析，非线性后屈曲(Snap-through)分析。

欧拉屈曲buckling结构丧失稳定性称作（结构）屈曲或欧拉屈曲。

L.Euler从一端固支另一端自由的受压理想柱出发．给出了压杆的临界载荷。

所谓理想柱，是指起初完全平直而且承受中心压力的受压杆。

设此柱是完全弹性的，且应力不超过比例极限，若轴向外载荷P小于它的临界值，此杆将保持直的状态而只承受轴向压缩。

如果一个扰动(如—横向力)作用于杆，使其有一小的挠曲，在这一扰动除去后。

挠度就消失，杆又恢复到平衡状态，此时杆的直的形式的弹性平衡是稳定的。

若轴向外载荷P大于它的临界值，柱的直的平衡状态变为不稳定，即任意扰动产生的挠曲在扰动除去后不仅不消失，而且还将继续扩大，直至达到远离直立状态的新的平衡位置为止，或者弯折。

此时，称此压杆失稳或屈曲(欧拉屈曲)。

屈曲分析- 分析分类线性屈曲：是以小位移小应变的线弹性理论为基础的，分析中不考虑结构在受载变形过程中结构构形的变化，也就是在外力施加的各个阶段，总是在结构初始构形上建立平衡方程。

当载荷达到某一临界值时，结构构形将突然跳到另一个随遇的平衡状态，称之为屈曲。

临界点之前称为前屈曲,临界点之后称为后屈曲。

侧扭屈曲：梁的截面一般都作成窄而高的形式，对截面两主轴惯性矩相差很大。

如梁跨度中部无侧向支承或侧向支承距离较大，在最大刚度主平面内承受横向荷载或弯矩作用时，荷裁达一定数值，梁截面可能产生侧向位移和扭转，导致丧失承载能力，这种现象叫做梁的侧向弯扭屈曲，简称侧扭屈曲。

理想轴向受压直杆的弹性弯曲屈曲：即假定压杆屈曲时不发生扭转，只是沿主轴弯曲。

但是对开口薄壁截面构件，在压力作用下有可能在扭转变形或弯扭变形的情况下丧失稳定，这种现象称为扭转屈曲或弯扭屈曲。

混凝土梁的屈曲分析方法一、概述混凝土梁是结构中常见的构件，其在受力过程中会出现屈曲现象。

因此，混凝土梁的屈曲分析是建筑结构设计中必不可少的一环。

本文将介绍混凝土梁的屈曲分析方法，包括理论分析方法和实验方法。

二、理论分析方法1. 弹性理论方法弹性理论方法是混凝土梁屈曲分析中最为常用的方法之一。

其基本思想是将混凝土梁看做一个弹性体，利用弹性力学理论分析其受力情况。

具体步骤如下：（1）建立混凝土梁的弹性力学模型；（2）确定混凝土梁的边界条件；（3）解出混凝土梁的位移场和应力场；（4）根据位移场和应力场计算混凝土梁的屈曲载荷。

2. 塑性理论方法塑性理论方法是另一种常用的混凝土梁屈曲分析方法。

其基本思想是将混凝土梁看做一个塑性体，利用塑性力学理论分析其受力情况。

具体步骤如下：（1）建立混凝土梁的塑性力学模型；（2）确定混凝土梁的边界条件；（3）根据应变硬化规律和流动规律计算混凝土梁的塑性应力场；（4）根据塑性应力场计算混凝土梁的屈曲载荷。

三、实验方法1. 静态试验方法静态试验方法是混凝土梁屈曲分析中最为常用的实验方法之一。

其基本思想是在实验室中对混凝土梁进行一系列加载，记录其变形和载荷数据，从而得出混凝土梁的屈曲载荷。

具体步骤如下：（1）制备混凝土梁试件，包括尺寸、配筋等参数；（2）进行预应力或预加载处理；（3）按照一定的步长逐渐增加载荷；（4）记录载荷和变形数据；（5）根据载荷和变形数据绘制载荷-变形曲线和变形-应力曲线；（6）根据载荷-变形曲线计算混凝土梁的屈曲载荷。

2. 动态试验方法动态试验方法是一种较为复杂的混凝土梁屈曲分析方法。

其基本思想是在实验室中对混凝土梁进行冲击或震动加载，记录其变形和载荷数据，从而得出混凝土梁的屈曲载荷。

具体步骤如下：（1）制备混凝土梁试件，包括尺寸、配筋等参数；（2）进行预应力或预加载处理；（3）进行冲击或震动加载；（4）记录载荷和变形数据；（5）根据载荷和变形数据绘制载荷-变形曲线和变形-应力曲线；（6）根据载荷-变形曲线计算混凝土梁的屈曲载荷。

整体屈曲分析一阶分析二阶分析
钢结构标准中要求按照结构二阶效应系数的大小判断结构设计的分析方法是采用一阶分析法还是二阶分析法。

根据标准5.1.6条，当结构二阶效应系数大于0.1时，需要进行二阶效应分析。

标准对结构二阶效应系数的计算区分了不同的结构类型。

对弯曲型和剪弯型变形形态的一般钢结构，包括钢框架支撑结构、复杂钢结构及钢结构混凝土混合结构等按钢结构标准5.1.6-2公式进行结构二阶效应系数的计算，该系数按照整体结构最低阶弹性临界荷载与荷载设计值比值得到的临界因子取倒数得到。

因此，要按照钢结构标准计算结构二阶效应系数，需要对结构进行弹性屈曲分析，得到结构整体最低阶的屈曲因子。

需要注意排除可能出现的一些最薄弱构件的屈曲模态。

PKPM的SATWE软件对一般钢结构，如钢框架支撑体系等，并未完全按照新钢标的公式计算二阶效应系数，而是通过二阶效应系数与刚重比的关系，按照刚重比结果来计算，并输出结构两个方向的二阶效应系数。

也可使用PMSAP软件对结构进行屈曲分析，按照计算的屈曲因子，结合钢结构标准5.1.6-2公式得结构的二阶效应系数。

结合某框架支撑结构案例，按照两种方法分别计算结构的二阶效应系数，并对结果进行对比分析，对设计师在设计中如何正确执行规范提供相
关建议。

屈曲分析分析原理屈曲分析原理字数 765预计阅读时间 5min1、小位移和大位移小位移：在利用欧拉公式计算时，属于线弹性计算，忽略了结构的变形对结构的影响，结构的刚度矩阵是不变的。

而实际上，结构的变形是可以影响荷载的作用效应的。

如下图所示。

对杆件施加一定的荷载后，杆件会产生相应的变形，在这个变形的基础上，荷载会继续作用在这个（刚度矩阵）已经改变的杆件上从而导致二阶变形。

为了更好理解，我用银行利息的例子比喻一下这个现象。

比如我拿一万元钱作为荷载，施加到银行这个杆件上，那么它会产生相应的利息。

之后我这个本金加利息的基础上再次对银行施加荷载以获取进一步的利息。

这就是大位移：几何非线性的，考虑了结构变形的影响。

小位移和大位移的计算公式：2、几何刚度在大位移计算中，考虑了结构变形对荷载作用效应的影响，也就是结构刚度的改变，于是引入几何刚度的概念。

同样用一个比喻来帮助大家理解几何刚度的概念，就是拔河。

在大家的感性认识中，绳子在张紧（受拉）状态下的刚度是不是要比松弛（不受力）状态下的刚度大呢？而实际上，绳子的弹性刚度是没有改变的，所以随着外力的改变，我们引入几何刚度来描述这一现象。

3、计算原理Midas的线性屈曲分析可计算包含桁架单元、梁单元、板单元、实体单元的结构的临界荷载系数和相应的屈曲模态。

结构的静力平衡方程如下：结构的几何刚度矩阵由各单元的几何刚度矩阵构成，各单元的几何刚度矩阵与构件的内力相关。

将几何刚度矩阵用临界荷载系数与使用初始荷载计算的几何刚度矩阵的乘积表示如下：上述平衡方程失稳的条件是存在奇异解，即等效刚度矩阵的行列式的值为零。

即线性屈曲分析就是解下式的特征值，屈曲分析中的特征值就是临界荷载系数。

所谓临界荷载就是初始荷载乘以临界荷载系数的荷载值，表示结构作用临界荷载时结构会发生屈曲(失稳)。

结构失稳时常伴随大位移变形和材料屈服，所以屈曲分析常要求考虑几何非线性线或材料非线性。

1概述圆端形空心墩因其横向刚度大、纵横向尺寸搭配合理、适应流水特性好、材料用量少以及施工适应性强等优点被广泛应用于铁路、公路桥梁中。

随着交通大流量的发展，尤其是我国铁路运量的大幅度增加和高铁事业的迅猛发展，多线铁路的建设将成为我国铁路事业的一大发展方向，多线超宽圆端形薄壁空心桥墩的应用也将日益增多。

过去，我国建造的桥墩粗大、笨重、不注重造型，不仅浪费材料而且影响美观。

随着社会经济和科学研究的不断发展，近年来我国建造的桥墩也向着高强、高耸、轻型、薄壁、注重造型的方向发展，不仅可以合理有效地利用下部结构的功能，而且提高了桥梁结构的整体美感。

因此，超宽圆端形薄壁空心桥墩的稳定性问题就越来越凸显出来，其直接关乎着整座桥梁结构的安全和经济性问题。

超宽圆端形薄壁空心桥墩的稳定性问题主要包括墩身的整体稳定和墩壁的局部稳定。

在我国目前的相关规范中并没有明确规定其计算与设计方法，现阶段依然采用经验的办法来解决。

尤其是超宽圆端形薄壁空心桥墩墩壁的局部稳定性，可以参考的规范与文献资料甚少。

通常而言，空心墩的局部稳定问题，主要是采取控制墩壁厚度和设置隔板来增强空心墩墩壁的局部稳定性。

但在过去的模型试验和理论计算中，至今尚未能确定隔板对桥墩稳定和强度有明显的作用。

因在采用滑动模板技术施工时，隔板的影响很大，空心墩不设隔板能否满足各项力学指标，具有很高的研究价值。

在目前我国的铁路桥梁中，单线或者双线圆端形空心墩应用较多，双线以上的超宽桥墩并不多见。

超宽圆端形薄壁空心桥墩壁厚的选取基于什么原则，目前研究很少。

西南研究所、铁二院、西南交大在上世纪70年代曾对矩形、圆柱形、圆锥形空心墩的整体稳定和局部稳定问题进行了研究，但仅仅局限于宽度较小的单线或双线混凝土空心墩，且截面形式中并没有涉及到圆端形。

多线超宽圆端形空心薄壁桥墩在这一方面的研究几乎是个空白，国内外的研究和报道很少。

综上所述，对超宽圆端形薄壁空心桥墩进行稳定性问题的研究具有重要的意义和很高的科学价值。

厚板的高阶剪切变形理论研究段铁城;李录贤【摘要】已有多种厚板理论和高阶剪切变形模型，但仍需要进一步研究以更加完善。

首先根据平均转角及上下表面剪应力自由这两个条件，提出了具有统一高阶剪切变形模型的中面位移模式，并将之表示为正交分解形式。

根据正交特性，定义了板的广义应力；运用板问题应变能密度表示的等价性，提出了与广义应力功共轭的广义应变表示形式，建立了板的本构关系。

证明了不同转角定义时虚功原理板理论表示的客观性，以及与三维弹性理论表示的等价性。

运用虚功原理，建立了变分自洽的高阶厚板理论和变分渐近的低阶厚板理论，推导了相应的平衡方程及边界条件，分析了与已有板理论的异同。

以广义应力形式建立了厚板理论的平衡方程，厘清了不同转角表示时板理论间的关系、低阶厚板理论与高阶厚板理论间的关系以及剪切系数计算等若干基本问题。

对圣维南扭转问题的求解证明了该理论的正确性。

%It is still necessary to study the thick plate theory and higher-order shear deformation models with a lot of published work. Starting with the definition of average rotation and the free shear stress condition at the bottom and top surfaces, the displacements on the neutral plane are suggested with a unified higher-order shear deformation model, and then expressed in the orthogonal form. On this basis, the generalized stresses are defined, then the generalized strains are obtained in light of the work conjugate, and the constitutive relations are established for the plate theory. The objectivity of the principle of virtual work in the plate theory is proved for different definitions of rotation, as well as the identity to three-dimensional elasticity theory. Based on the principle of virtual work, thevariationally consistent higher-order plate theory and the variationally asymptotic lower-order plate theory are respectively established by deriving the corresponding equilibrium equations and boundary conditions, and then compared with the existing plate theories. The current work originally presents the equilibrium equations of the plate theory in terms of the generalized stresses, and clarifies some fundamental problems such as the relations of different definitions of rotation, the relation between the higher-order plate theory and the lower-order plate theory, and the evaluation of the shear factor. The current plate theory is finally validated by solving the Saint-Venant torsion problem.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2016(048)005【总页数】18页(P1096-1113)【关键词】统一高阶剪切变形模型;广义应力;广义应变;虚功原理;高阶理论;低阶理论【作者】段铁城;李录贤【作者单位】西安交通大学航天航空学院/机械结构强度与振动国家重点实验室，西安710049;西安交通大学航天航空学院/机械结构强度与振动国家重点实验室，西安710049【正文语种】中文【中图分类】O342Kirchhoff于 1850年发表了第一个完善的板弯曲理论，被称为经典板理论.经典板理论基于两个基本假设[1]：(1)原来垂直于平板中面的直线，变形后仍保持为直线且垂直于弯曲后的中面，即直法线假设；(2)在横向载荷作用下板产生微弯时，板的中面并不变形.因此，经典板理论要求板的厚度与边长之比处于薄板范围内.依据经典的弯矩、扭矩、剪力(统称广义应力)表示的平衡方程(本文简称为板的经典平衡方程)，经典板理论最终表示为挠度的4阶偏微分方程和2个边界条件.对于工程结构中大量使用的薄板问题，经典板理论能够给出精度满意的解.然而，对于中厚板或厚板，或者薄板在集中力作用点附近、边界周围以及小孔周边区域，经典板理论的解不仅精度不高、甚至还会导致错误的结果.为避免运用三维弹性理论求解带来的数学困难[2-3]、消除经典板理论因忽略横向剪切变形所致误差，人们开始了厚板理论研究.所谓厚板理论，就是在经典板理论基础上考虑横向剪切变形的板理论.Mindlin[4]将Timoshenko梁理论[5-6]中剪切系数K的概念应用于厚板，给出了沿板厚度一次变化的中面位移假设，依据板的经典平衡方程，得到了关于挠度和转角的3个偏微分方程和3个边界条件，建立了一阶剪切变形理论，并在工程中得到了广泛应用.在一阶剪切变形理论基础上，相继提出了多种高阶剪切变形模型.Reissner[7-8]采用力法，考虑了剪切变形的影响，通过挠度和广义应力的混合变分原理，得到了相应的3个偏微分方程和3个边界条件，其中不协调的应力假设(即式(1))在接下来的工作中得到了改正，因而发展成为以力法表示的厚板理论.Levinson[9-10]基于中面上的挠度和转角，提出了沿板厚度三次变化的中面位移假设，并依据板的经典平衡方程，建立了以位移法表示的厚板理论，即Levinson理论.由于力法中的应力分布假设需经协调方程检验，本文主要关注板理论研究的位移法.为脉络清晰起见，下面从两个不同方面予以叙述.首先介绍中面位移模式中的高阶剪切变形模型.根据模式中高阶项函数形式的不同，常见的高阶剪切变形模型有三阶剪切模型[9-16]、正弦剪切模型[17]、双曲剪切模型[18]以及指数剪切模型[19]等.不同模式的位移由于高阶项函数形式不同会存在一些差异，但这些差异只反映在更高阶项部分，因而理论上可断定是很小的.多种高阶剪切变形模型的存在，丰富了中面的位移模式.接下来讨论另一个更重要方面，即Levinson理论[9-10]表现出的两个问题：(1)板的经典平衡方程、边界条件与变分的不自洽问题，该问题使得低阶厚板理论(如文献[9,11])受到了批评[13-14，16].(2)广义应变定义的恰当性问题，不恰当的广义应变导致了错误的剪切系数2/3[20-22]，也使得大多数学者认为高阶理论中不存在剪切系数[10，17，23-26].更深层次，不恰当的广义应变会导致势能原理、本构关系、虚功原理三者之间产生矛盾[13-14，27-28].许多学者对Levinson理论[9-10]进行了不断发展和完善.例如，运用平均挠度和平均转角描述板的中面位移模式，提出了Murthy理论[11]；由于采用的转角概念能给出正确的广义应变，Murthy理论得到了正确的剪切系数5/6，解决了问题(2)；但由于仍然采用经典平衡方程(或与之等价的不自洽的变分形式)，Murthy理论中依旧存在问题(1)，因而，其实质与力法的Reissner理论[8]完全相同，计算结果也与Mindlin理论[4]取K=5/6时完全一致.Bickford[12]注意到Levinson理论[9，11]存在的问题(1)，从二维问题的虚功原理出发，推导了梁问题的虚功原理，建立了变分自洽的梁的高阶理论，得到了用挠度和转角表示的2个控制方程和3个边界条件；但由于转角定义的原因，不能正确定义广义应力和广义应变，因而无法建立梁(板)理论的虚功原理及平衡方程.受 Bickford[12]工作的启发，结合 Levinson理论[9-10]的中面位移模式，Reddy[13-14]运用三维问题的虚功原理，建立了变分自洽的板的高阶理论，得到了用挠度和转角表示的3个控制方程和5个边界条件，该理论真正提高了板的计算精度，被称为Reddy--Bickford理论[27-28]；但由于转角定义的原因，仍然未能建立板理论的虚功原理及平衡方程.Shi等[15-16]认为Levinson[9-10]采用的位移模式并不合理(归咎于转角定义问题)，运用Murthy[11]给出的位移模式，对Reddy-Bickford理论进行了重新表述，被称为Shi-Voyiadjis理论[27-28]；该理论虽然采用了平均转角定义，但由于中面位移模式没能表示成正交形式，根据依此定义的广义应力也未能建立梁(板)理论的虚功原理及平衡方程[29]；另外，根据物理问题的客观性，Shi--Voyiadjis理论实质上是Reddy--Bickford理论的一种变体.至此，板理论研究方面虽然已有大量工作，但还存在3个基本问题：板理论的虚功原理该如何表述？板理论的本构关系该如何表示？变分自洽的高阶理论与变分不自洽的低阶理论之间是一种怎样的关系？要很好回答这3个问题，有必要对板问题从头开始进行审慎研究，并重新评估已有各种板理论.近年来，随着航空航天、能源、武器工业和微纳电子机械等领域的蓬勃发展，力学与材料、电子、生物等诸多学科之间的交叉不断加深，板问题受到了更多重视.考虑微纳结构的尺度效应，高阶理论与应变梯度理论或非局部化理论已相互融合，微纳尺度下梁板结构的力学问题也得到了越来越多的关注[25-28，30-31].同时，微纳结构中的剪切效应比宏观结构更为突出，对板理论的精度要求越来越高.实际上，板理论主要由合理的运动学假设、控制方程及相应的边界条件3部分组成，基于此可得到计及边界层效应的精确结果[16，32-33].然而，没有一种现有板理论对这3个组成部分都处理得很好.为此，近年来对板的理论又有一些新成果，例如文献[27-28,34].然而，由于没能从根本上解决研究思路问题，虽然高阶理论在微纳结构中已拓宽了它的应用范围，但板理论本身并没有取得显著进展.本文提出了一种板理论研究的新思路，称之为以力学方式研究板理论，是一种物理意义明确和数学推导严谨的研究方式.物理意义明确是指每个物理量必须先定义再使用，数学推导严谨是指先给出一般意义上的数学表达式，再根据需满足的条件进行数学推演.为此，第1节首先定义板的转角和挠度概念，提出板上下表面剪应力自由条件，再运用统一高阶剪切变形模型，提出中面位移模式；第2节定义板的广义应力及功共轭的广义应变概念，导出板的本构关系；第3节提出板理论的虚功原理并证明其客观性；第4节导出板理论的平衡方程及边界条件，包括变分自洽的高阶理论和变分渐近的低阶理论；第5节求解矩形板的扭转问题，验证本文板理论的正确性；最后在第6节给出本文的结论.考虑一个厚度为t的等厚度板，建立如图1所示的右手正交坐标系oxyz，其中x 和y为板中面内的两个坐标方向，z为板的厚度方向.一方面，该问题是一个三维问题，其目标是利用弹性理论求解以坐标(x，y，z)为自变量的位移场(ux,uy,uz)；另一方面，该问题又是一个板问题，其目标则是利用板理论求解板中面上点(x，y)的挠度w及转角.考虑到三维弹性理论已发展成熟，我们以三维弹性力学中的物理量为基础，定义板理论中的各物理量，这体现了本文以力学方式研究板理论的第一个特征：每个物理量都具有明确的物理意义.根据厚度方向的位移uz(x，y，z)，通过沿厚度方向上积分平均，定义板的挠度为板理论中一般都采用厚度方向的应变εz=0的假设，于是，我们有式(2)表明，本文对板挠度的定义与现有板理论所采用的定义一致.与式 (1)类似，根据面内位移 ux(x，y，z)和uy(x，y，z)，通过沿厚度方向的z加权积分平均，分别定义绕y轴和x轴的转角为其中，表示单位宽度截面的轴惯矩.板的转角还有其他形式的定义[9-10，14，34-35]，将在3.2 节再介绍.研究板时常常采用上下表面剪应力自由条件，再加上转角的定义式(3)，根据这两个条件，我们提出中面位移随厚度变化的关系式.为体现以力学方式研究板理论的第二个特征——数学推导严谨，将板中面内两个方向的位移分别表示为如下一般形式其中，u0(x，y)和v0(x，y)分别表示x和y方向沿厚度的平均位移，即式(4)中的 f1(x，y)与 fR(x，y)和h1(x，y)与hR(x，y)分别为x方向和y方向的两个待定函数，由上下表面剪应力自由和转角定义这两个条件确定.根据数学表示的唯一性，g(z)必须是一个关于厚度坐标z的纯高次(≥3)奇函数，因而它具有以下两个性质考虑到式(4)和式(5)，由式(3)的转角定义可得出其中由于本文理论以广泛认可的表面剪应力自由和已知转角定义两个条件为出发点，因而纯高次奇函数g(z)可保证λ不为零.这样，运用式(7)消去式(4)中的fR(x，y)和hR(x，y)，我们得到结合式(2)，板的剪应变为其中下标“，x”和“，y”分别表示对x和y的偏微分，上标撇号表示关于z的微分.这样，板上下表面剪应力自由条件就成为由式(10)和式(11)可立即得到其中于是，具有高阶剪切变形模型的中面位移模式最终表示为其中可以看出，式(14)中的第2项(即z·φx或z·φy)是一阶剪切变形部分，即Mindlin 板理论的位移模式[4-5]；第3项则是由于考虑了高阶剪切(截面翘曲)效应产生的附加项，由式(15)可知，它并不仅仅只与纯高次奇函数g(z)有关[20]，(φx+w，x)和(φy+w，y)决定了板中面上点的翘曲程度，有时被称为“剪切角”[5-6].式(14)可以描述所有奇函数类型的高阶剪切变形模型[36]，例如三阶剪切变形模型[9-16]、正弦剪切变形模型[17]、双曲剪切变形模型[18]以及指数剪切变形模型[19].结合式(6)、式(13)和式(3)，(z)具有如下3个性质第3个性质表明(z)与z沿厚度方向在积分意义下具有正交性，因此，式(14)称为中面位移的正交分解形式，是式(3)平均转角定义的数学解释.这样，通过式(2)和式(14)，得到板问题的5个非零应变分量为本文沿用板问题研究中常采用的应变符号约定，即εi(i=1～6,i≠3).2.1 板理论中的广义应力在板问题研究中惯常采用σz=0的假设.于是，根据三维弹性理论，我们有其中,σi(i=1～6，i≠3)为板问题的应力分量.C11，C12，C22，C44，C55，C66分别为板的材料参数，这样表示为便于将本文理论直接应用于复合材料板问题.根据式(14)中面位移正交形式的表示特征，定义板理论的广义应力为其中，Ni表示中面内力，Mi表示弯矩(i=1，2)或扭矩(i=6)，Qx和Qy表示侧面上法向分别为x或y方向的横向剪力.Pi与Rx和Ry表示中面附加位移产生的“附加弯(扭)矩”与“附加剪力”；与其他广义应力定义(例如文献[14,16,28,35])不同，式(21)具有明确物理意义和恰当量纲，反映了力学方式研究板问题的第一个特征；尤为重要的是，按式(21)定义的附加量都是具有截面尺度特征的小量，从而成为高阶理论向低阶理论退化(见4.2节)的数学依据.根据式(17)～式(20)，运用板理论的5个基本变量u0,v0,w,φx和φy，式(21)可表示为如下矩阵形式其中N，M，P，Q和R为5个广义应力向量记号，其意义分别为ε,κ1,κ2和γ为4个广义应变向量记号，其含义为式(22)中CE和CG为两个材料参数矩阵，分别为式(22)中η,K和ξ是3个无量纲参数，分别为需要指出的是，式(22)的推导利用了式(16c)，即(z)与z间的正交关系.2.2 板理论中的广义应变及本构关系广义应变在板理论中是一个很重要、但并未很好定义的概念，这里予以展开研究.需要指出的是，以前工作都对它的重要性重视不够、并因之造成了目前板理论研究中存在的混乱局面[9，10，13-16，27，28].从(24)式的量纲发现，ε,κ1,κ2和γ四个向量扮演着类似广义应变的角色.虽然尚不能从式(22)确定它们本身就是应变，但真实的广义应变只能是它们的倍数，即c1ε,c2κ1,c3κ2或c4γ，这里ci(i=1，2，3，4)为4个需确定的常数.我们知道，物理规律的客观性要求广义应变与广义应力必须是功共轭的，即必须构成具有客观性的应变能密度[37]，为此，我们考察板问题的应变能密度.在板理论中，应变能密度的表达式应为另一方面，若视板问题为一个σ3=σz=0的特殊三维弹性问题，三维弹性理论给出该问题的应变能密度为根据式(14)，式(29)进一步变化为考虑到式(21)，有运用式(23)和式(24)的向量记号，式(31)进一步变为考虑到应变能密度的唯一性及四种应变的独立性，通过比较式 (28)与式 (32)，不难得出 ci=1 (i=1，2，3，4).至此证明了式(24)就是板理论的广义应变定义，因而，式(22)就成为板理论的本构关系，据此，得到板理论的功共轭对如表1所示.根据表1，式(22)右端即可给出板理论的刚度系数.饶有兴趣的是，式(22d)给出了我们熟知的剪切系数K，表明它可直接通过(z)由式(27b)计算得到，可代替以前计算K的繁琐做法(如文献[20,22]等).3.1 板问题虚功原理的板理论描述板问题的虚功原理用板理论可表述为其中δW表示外力在虚位移上做的虚功，只计及板表面分布力时可表示为式(33)中δU表示应力在虚应变上产生的虚应变能.根据表1，运用板理论中的功共轭对，δU可表示为其中，Ω表示板的中面，da为相应的面积微元.3.2 虚应变能板理论描述的客观性在经典板理论、一阶剪切变形理论及基于高阶剪切变形模型的厚板理论中，挠度w的定义与式(1)是一致的，但转角却存在多种不同的定义.实际上，各种板理论对应的虚功原理应当遵循其客观性，也就是说，采用不同转角定义所表示的虚应变能必须是完全等价的，也不会影响挠度结果(5.1与5.2节中将会看到).为此，先对其他两种常见的转角定义予以讨论.除式(3)以积分平均意义定义转角外，另一种在板理论中广泛采用的转角为中面处的转角[9-10，13-14]，即运用式 (36)的转角定义和板表面应力自由条件，式(4)可重新表示为利用与式(14)类似的正交二项分解形式，式(37)可整理为其中比较发现，若αT=1，式(38)就变为式(14).于是，式(38)和式(14)可统一表示为这样，两种转角对应的情形分别为另外，Ambartsumian曾采用如下转角定义[34-35]不难得到用式(40)表示时的对应关系为考虑到式 (21)广义应力定义与转角无关的特点，对于式(36)或式(42)的转角定义，式(22)的本构关系可表示为其中由式(44)可以看出，3种转角定义下板理论的功共轭对都可用表2表示，虚应变能都可表示为因此，板问题的虚功原理在板理论中的客观性得证.比较式(14)与式(40)，还可得到由式(44d)和表2可看出，在本文的广义剪力和广义剪应变定义下，剪切系数K并不因转角的定义而变，这应是对剪切系数的客观认识.表3列出了常见4种高阶剪切变形模型[9-19，23-28]的相关函数，据此可得到这4种模型相关系数的表达式(见附录A)，数值比较见表4.可以看出，给定g(z)，三阶剪切变形模型的剪切系数K=5/6，正弦剪切变形模型的剪切系数K=π2/12，它们就是Mindlin[4]在一阶剪切板理论中引入的两种剪切系数，并分别用来计算了板沿厚度的剪切波及固有频率[11，21].此外，对于这4种模型，式(21)的广义应力定义都将得到很小的附加弯矩和附加剪力(系数η小于2%、系数ξ小于3%)，而其他方式定义的高阶矩和高阶剪力(例如Reddy[14]和Aydogdu[38])却不具有这一特征.由式(45)、并结合式(39)、式(41)和式(43)三式发现，当转角用φ定义时，板理论的广义应变与所采用的高阶剪切变形模型无关，但当转角用ψ和χ定义时，广义应变则需根据所采用的高阶剪切变形模型通过α予以订正，这是本文研究板(梁)理论中广义应变概念时得到的一个重要结果.比较式(24)与式(45)发现，采用φ的转角定义，广义应变的形式最为简单，于是，本文后续工作将以φ为转角展开，必要时将通过式(47)、式(41)或式(43)转换成其他转角形式.3.3 虚应变能表示的等价性3.2 节表明，不同转角定义下板理论的虚应变能表示是客观的.实际上，不论是用板理论表示还是用三维弹性理论表示，板问题的虚应变能也是等价的.对于图1所示的板问题，若视其为一个σ3=σz=0的特殊三维弹性问题，其虚应变能用三维弹性理论可表示为根据式(40)，式(48)可进一步表示为运用式(24)中的广义应变记号，式(50)进一步给出这样，板问题的虚应变能用板理论表示和用三维弹性理论表示是等价的.4.1 高阶厚板理论--变分自洽的平衡方程及边界条件将式(34)和式(35)代入式(33)，可得注意到式(24)的广义应变定义，经分部积分，得到其中Γ表示板中面的侧面边界，nx和ny分别表示边界Γ的外法向余弦，ds为边界Γ的弧长微元.分别整理面积积分中与5个基本变量u0，v0，w，φx和φy变分相关的项，并根据变分的任意性，得到以下5个平衡方程式 (54)是用广义应力表示的板理论的平衡方程，是广义应力间的基本关系；前两式是中面内力平衡方程，与经典板理论相同；后三式表示板的弯曲特性，为本文首次获得，与Bickford--Reddy理论[14]和Shi--Voyiadjis理论[15-16]在形式上不同.相应地，还可得到对应的边界条件.为此，将式(53)中的边界变分项按以下4部分整理为其中各记号的含义分别为其中根据边界变分的任意性，依次得到如下7对边界条件或者计及式(21)和式(47)，式(58)或式(59)将给出与Bickford-Reddy理论[14]和Shi--Voyiadjis理论[15-16]不同的边界条件表示形式.式(54)以广义应力表示的平衡方程和式(58)或式(59)以广义应力和广义位移成对表示的边界条件称为高阶厚板理论，显然，该理论是变分自洽的.由于广义应力定义式(21)不因转角定义的不同而异，因而，式(54)表示了高阶板理论平衡方程的客观性.考虑到式(58)或式(59)的后五个边界条件，根据变分学基本理论[39]，高阶板理论是一个10阶偏微分方程问题.如果引入本构关系式(22)，式(54)之后三式将导出如下关于挠度和转角的3个微分方程式 (60)与 Bickford--Reddy理论[14]和 Shi--Voyiadjis理论[15-16]的控制方程在表示形式上不同，但其实质是相同的.不考虑中面内位移，由式(58)或式(59)得到板问题常见的3种边界条件为：可以看到，对于这3种常见的零约束情形，式(58)或式(59)将给出与Bickford--Reddy理论[14]和Shi--Voyiadjis理论[15-16]等价的边界条件描述，但对较复杂的边界条件约束，情形并不明朗.4.2 低阶厚板理论--变分渐近的平衡方程及边界条件从表4可看出，对于常见的四种高阶剪切变形模型，参数ξ和η都远小于1①在正交性意义下，虽然尚未从数学上证明ξ和η是一个小量，但对于目前常见的三阶剪切模型、正弦剪切模型、双曲剪切模型和指数剪切模型，计算结果均表现出这一特征.，于是，略去附加广义弯矩P和附加广义剪力R对虚功的贡献，是一种合理的数学近似.这样，式(52)的虚功原理就变为相应地，式(54)的平衡方程就变为式 (65)是用广义应力表示的低阶厚板理论的平衡方程，由高阶板理论略去附加广义弯矩和附加广义剪力而推导得到；前两式是板中面内力平衡方程；后三式表示板的弯曲特性，就是板的经典平衡方程，与Mindlin理论[4]和Murthy理论[11]的控制方程形式相同，但本文从数学上揭示了它与高阶厚板理论间的关系.相应地，式(58)或式(59)的边界条件变为此时，式(56)中的记号Qn变为式(65)以广义应力表示的平衡方程和式(66)以广义应力和广义位移表示的边界条件通称为低阶厚板理论.正如文献[13-14,16]所指出的，该理论是变分不自洽的；但由于只忽略了虚功中附加矩和附加剪力产生的很小部分的虚功，该理论是一种变分渐近的厚板理论.本文揭示了支撑它的数学基础(见5.2节).由于广义应力的定义式(21)不因转角的定义不同而异，因而，式(65)表示了低阶厚板理论平衡方程的客观性.考虑到式(66)的后3个边界条件，根据变分学基本理论[39]，低阶板理论是一个6阶偏微分方程问题.如果引入本构关系式(22)，将导出如下关于挠度和转角的3个微分方程对于三阶剪切变形模型，式(68)与Murthy理论[11]的控制方程在形式上相同.不考虑中面内位移，由式(66)得到板问题低阶理论常见的3种边界条件为：可以看到，由于采用了转角定义φ，Murthy理论[11]在3种边界条件下与式(69)～式(71)一致，因而是正确的；遗憾的是，由于转角ψ对应的α=αT≠1，Levinson理论[9-10]在固支边界条件因与式(70)不一致而导致错误，2/3的剪切系数就是这种错误的一种表现，同样的错误将发生在采用转角χ(因α=αT/2≠1)的Ambartsumian理论[34-35]中.如图2所示，等厚度t的矩形板长为2l、宽为a，在y=±a/2的前后侧面边界上满足应力自由条件，在x=±l的左右侧面边界上作用纯扭矩、法向应力自由，目的是求解x=±l左右侧面边界上的剪应力分布.这就是Saint Venant扭转问题.该问题可通过三维弹性理论[37]得到解析解答.Reissner[7]运用一阶剪切变形模型的中面位移模式和带剪切系数的低阶厚板理论求解了该问题；Levinson[9]运用三阶剪切变形模型的中面位移模式和变分渐近的低阶厚板理论求解了该问题；Shi[16]运用三阶剪切变形模型的中面位移模式和变分自洽的高阶厚板理论求解了该问题.这里采用本文理论对Saint Venant扭转问题进行求解，并与已有结果进行比较. 5.1 高阶厚板理论解不考虑板的中面变形部分，式(59)①由于该问题在侧面边界处给定了挠度及其变化，这里选用式(59)描述边界条件.变为若令θ表示沿 x轴单位长度的扭转角，对于Saint Venant扭转问题，按照。

基于变分原理的经典梁与高阶梁的稳定性摘要: 基于梁的最小势能原理，利用变分法建立了Euler Bernoulli梁、Timoshenko梁和Reddy高阶梁,考虑轴力效应的控制微分方程和边界条件。

其次，利用微分方程变量消元法和特征值分析方法求解控制方程，得到梁的位移通解；根据具体边界条件建立的边界矩阵的奇异性求解构件的临界荷载。

最后，对比三种梁理论下得到的临界荷载，讨论剪切变形对稳定性的影响。

数值分析表明，随着构件长细比的减小，剪切作用的影响愈加明显；Timoshenko梁理论与Reddy 高阶梁理论的结果较为接近。

关键词:变分原理；Reddy高阶剪切梁；经典平面梁；剪切效应；结构稳定性Stability characteristics of classic and higher order shear deformable beams using variational principleLi Sheng-chao(工作单位信息)Abstract: Based on the principle of minimum potential energy of the beam and the variation method, governing differential equations in conjunction with the boundary conditions of Euler Bernoulli beam, Timoshenko beam, and the Reddy higher order beam considering the axial force are established. Then, the governing differential equations are solved by standard decoupling technique and the eigen-decomposion method. Finally, the comparison of the critical load using three beam theories to discuss the influences of shear deformation on the stability. The numerical results show that with the decrease of slenderness ratio, shear effects affects evidently; Solutions based on Timoshenko beam theory are closer to those based on the Reddy higher order beam theory than the Euler-Bernoulli one behaves.Keywords: Variational principle; Reddy’s higher order beam theory; classic plane beam; shear effects; structural stability1引言梁和柱是土木工程中广泛应用的工程结构。

梁腹板屈曲后强度产生的原因
梁腹板是一种复杂的力学结构，其主要作用是承受桥梁上的车辆载重和其他重力荷载，因此其强度要求较高。

可是由于各种原因，梁腹板可能会产生屈曲，严重影响到梁的抗压承载能力。

首先，梁腹板发生屈曲则意味着梁的整体强度下降。

梁底部的机械损伤可能会破坏梁整体结构，因此使梁屈曲后产生较强抗压承载能力。

此外，由于车辆载重的影响，可能会导致梁腹板发生屈曲。

由于梁上安装的车轮也会占用一定的空间，当车轮行驶时，梁腹板可能会发生拉伸变形。

以及轮胎的安装，梁上可能形成悬臂状态，从而引起梁的抗压承载能力下降。

此外，梁腹板的空腔的容量也可能影响到梁的强度。

从裂纹、裂缝容易发育，通风孔和排水孔不足，从而使梁腹板的强度产生极大的影响。

综上所述，梁腹板的强度大多与其本身结构、车轮安装能力以及梁腹板中空体容量大小等有关。

为了提高梁腹板的强度，建议在施工时对梁结构和梁腹板空腔进行有效设计，有效防止梁发生屈曲，确保梁腹板的良好状态和最大承载能力。

Workbench 屈曲分析1、基础概念结构在载荷作用下由于材料弹性性能发生变形，若变形后结构上的载荷保持平衡，这种状态称为弹性平衡。

如果结构在平衡状态时，受到扰动而偏离平衡位置，当扰动消除后仍能恢复原来平衡状态，这种平衡状态称为稳定平衡状态，反之，如果受到扰动而偏离平衡位置，即使扰动消除，结构仍不能恢复原来的平衡状态，而结构在新的状态下平衡，则原来的平衡状态就成为不稳定平衡状态。

当结构所受载荷达到某一值时，若增加一微小的增量，则结构平衡状态将发生很大的改变，这种现象叫做结构失稳或结构屈曲。

根据失稳的性质，结构稳定问题可分为以下三类：第一类失稳是理想化情况，即达到某个载荷时，除结构原来的平衡状态存在外，出现第二个平衡状态，故又叫做平衡分叉失稳，数学上就是求解特征值问题，又叫做特征值屈曲分析。

第二类失稳是结构失稳，变形将大大发展，而不会出现新的变形形式，即平衡状态不发生质变，也叫极顶失稳，结构失稳时，相应载荷叫做极限载荷，理想结构或完善结构不存在，总是存在这样那样的缺陷，大多数问题属于第二类失稳问题。

第三类失稳是当在和达到某值时，结构平衡状态发生一明显跳跃，突然过渡到非临近的另一具有较大位移的平衡状态，称为跳跃失稳，跳跃失稳没有平衡分叉点，也没有极值点，如坦拱、扁壳、二力杆的失稳都属于此类。

结构弹性稳定分析属于第一类失稳对应workbench 的线性特征值分析（Eigenvalue Buckling ），考虑缺陷，非线性影响的第二类结构属于workbench 的非线性特征值分析（Eigenvalue Buckling ），第三类的失稳对应workbench 的Static Structural ，无论前屈曲平衡状态或后屈曲平衡状态均可一次计算求出，即全过程分析。

1.1屈曲分析基础理论在平衡状态，考虑到轴向力或中面内力对弯曲变形的影响，根据势能驻值原理得到结构平衡方程为[][](){}{}P U K K G E =+式中为结构弹性刚度矩阵，为结构几何刚度矩阵，也称为初应力刚度矩阵，为节点位移向量；为节点载荷向量，上式也为几何非线性分析平衡方程。