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有限元法剪切锁闭现象的研究论文答辩

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有限元分析方法和材料断裂准则

有限元分析方法和材料断裂准则

一、有限元模拟方法金属切削数值模拟常用到两种方法，欧拉方法和拉格朗日方法。

欧拉方法适合在一个可以控制的体积内描述流体变形，这种方法的有限元网格描述的是空间域的，覆盖了可以控制的体积。

在金属切削过程中，切屑形状的形成过程不是固定的，采用欧拉方法要不断的调整网格来修改边界条件，因此用欧拉方法进行动态的切削过程模拟比较困难。

欧拉方法适用于切削过程的稳态分析（即“Euler方法的模拟是在切削达到稳定状态后进行的”[2]），仿真分析之前要通过实验的方法给定切屑的几何形状和剪切角[1]。

而拉格朗日方法是描述固体的方法，有限元网格由材料单元组成，这些网格依附在材料上并且准确的描述了分析物体的几何形状，它们随着加工过程的变化而变化。

这种方法在描述材料的无约束流动时是很方便的，有限元网格精确的描述了材料的变形情况。

实际金属切削加工仿真中广泛采用的拉格朗日方法，它可以模拟从初始切削一直到稳态的过程，能够预测切屑的形状和工件的残余应力等参数[2]。

但是用这种方法预定义分离准则和切屑分离线来实现切屑和工件的分离，当物质发生大变形时常常使网格纠缠，轻则严重影响了单元近似精度，重则使计算中止或者引起严重的局部变形[1]。

为了克服欧拉描述和拉格朗日描述各自的缺点，Noh和Hirt在研究有限差分法时提出了ALE(Arbitrary Lagrange-Euler)描述，后来又被Hughes，liu和Belytschko等人引入到有限元中来。

其基本思想是:计算网格不再固定，也不依附于流体质点，而是可以相对于坐标系做任意运动。

由于这种描述既包含Lagrange的观点，可应用于带自由液面的流动，也包括了Euler观点，克服了纯Lagrange方法常见的网格畸变不如意之处。

自20世纪80年代中期以来，ALE描述己被广泛用来研究带自由液面的流体晃动问题、固体材料的大变形问题、流固祸合问题等等。

金属的高速切削过程是一个大变形、高应变率的热力祸合过程，正适合采用ALE方法。

基于Marc的车门密封条接触有限元分析

基于Marc的车门密封条接触有限元分析

新模型
旧模型
图 4 新、旧密封条几何模型对比
4
结论
通过新旧两方案对比分析可知，新方案比旧方
案的压缩负荷减小了 80.3%，表明通过改变壁厚及 形状可明显改善车门关闭力。
参考文献
[1] 陈火红.Marc 有限元实例分析教程[M],2002.4.
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
旧方案 新方案
Force/N
13 14 15 16 17 18 19 20 21
Displacment/mm
图 3 密封条结构改进前后的压缩负荷比较 从图 2 可看出，密封条被压缩 7mm（对应图 3 中的 13mm）时，33.57%～37.3%的较大应变发生 在如图所示的区域，而下泡管的应变较小。区域 1 应变较大是因为压缩过程中受到凸起部位的压缩 力对该部位的弯矩造成的，上泡管的区域 2 和 3 应 变较大也是由于受到较大弯矩造成的，表明上泡管 及凸起部位主要承受压缩负荷。 图 3 中， 横坐标为相对图 2 坐标系下车门 X 方 向的位置，即初始位置与压缩量的差值，纵坐标为 密封条对车门的反作用力即压缩负荷。 由图 3 可知， 压缩负荷与压缩量的关系为非线性关系，旧方案密 封条垂直压缩 7mm 时的最大压缩负荷为 14.49N。 该压缩负荷即密封条压缩变形产生的阻力，它是引 起车门关闭力超重的主要因素之一，因此对其进行 结构改进以减小车门关闭力。
Abstract: In order to solve the problem with close force over-loaded of weather strips of a passenger car door, the nonlinear finite element software, MSC.Marc, is applied to carry out calculation and analysis. It is shown by results that wall thickness and shape of the lower foam house and the size of its raise areas are the main causes of weather strips over-loaded. The close force of improved weather strips decrease by 80.3% than original one by analysis. Key words: Weather Strip, Contact, FEA MSC.Mentat 进行前处理，再利用 MSC.Marc 求解

基于Marc的汽车密封条有限元分析及二次开发设计

基于Marc的汽车密封条有限元分析及二次开发设计

基于Marc的汽车密封条有限元分析及二次开发设计毕业设计题目基于Marc的汽车密封条有限元分析及其二次开发学院机械工程学院专业机械工程及自动化班级机自0902学生李清杰学号20090421147指导教师宋卫卫二〇一三年五月二十四日摘要采用非线性有限元分析软件MSC.Marc对车窗和车门密封条受力过程进行分析，并掌握了它们的整个分析过程，对整个分析过程进行进一步的研究和简化，来提高工作效率。

而对于各种不同的密封条的分析有些过程是一样的，因此可以对其进行二次开发，省略其中的繁琐的过程，而MSC.Marc支持Python程序的调用，使用PyMentat模块来建立或修改模型时，Python脚本就会发送一系列命令给MSC.Marc Mentat，这些命令和选择适当的菜单选项时提交的命令是相同的，也就是说Python脚本程序命令MSC.Marc软件执行相应的操作，来进行不同程度的建模、分析以及后处理。

所以采用Python语言进行一系列的编程，简化了车窗和车门密封条的有限元分析过程，而且通过PyMentat模块在Python脚本中使用MSC.Marc Mentat PARAMETERS可以很简单的进行变量的输入，在调用Python程序前可输入要改变的变量，例如受力的大小等。

关键词：MSC.Marc；密封条；python程序；有限元分析ABSTRACTBy using the nonlinear finite element analysis software MSC.Marc for window and door seal force process analysis, and grasp the whole analysis process are simplified, and further research on the whole process of analysis, to improve work efficiency.Analysis of sealing strip for a variety of some process is the same, so it can be two times the development of its, omit the tedious process, while the MSC.Marc Python program to support the call, to create or modify the model using the PyMentat module, the Python script will send a series of commands to the MSC.Marc Mentat, these commands and select the appropriate options menu to submit orders is the same, that is to say the Python script commands of MSC.Marc software implementation of the corresponding operation, to varying degrees of modeling, analysis and processing. So a series of programming using Python language, simplify the finite element window and door seal analysis process, but also through the PyMentat module in the Python script using the MSC.Marc Mentat PARAMETERS can be very simple for variable input, input to change the variables in the calling Python program, for example, force size etc..Key words：MSC.Marc; seal; Python program; finite element analysis目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1 前言 (1)1.1 汽车密封条研究背景及意义 (1)1.2 密封条的介绍 (1)1.3 Marc软件的简介 (1)1.4 Python程序简介 (2)2 车窗密封条的有限元分析 (3)2.1 车窗密封条分析参数的确定 (3)2.2 车窗密封条网格模型的建立 (3)2.3 接触条件定义 (5)2.4 车窗密封条分析的后处理结果 (5)3 车门密封条的有限元分析 (7)3.1 车门密封条介绍及分析参数的确定 (7)3.2 车门密封条网格模型的建立 (7)3.3 边界条件定义 (8)3.4 车门密封条分析的后处理结果 (8)4 针对密封条分析的Marc软件的二次开发 (11)4.1 Marc软件与Python联系 (11)4.2 Python开发流程 (11)4.2 Python语言基本应用 (12)4.3 车窗密封条分析的程序代码 (12)5 结论 (17)5.1 总结 (17)5.2 展望 (17)参考文献 (19)致谢 (20)1 前言1.1 汽车密封条研究背景及意义中国汽车的数量越来越多，而中国的汽车制造水平还有很大的提高。

5-1 对主流有限元软件控制剪切自锁和沙漏模式的比较和研究

5-1 对主流有限元软件控制剪切自锁和沙漏模式的比较和研究
真实的结构在纯弯矩作用下，上下两边界会变形为弯曲的曲线，图２的水平点线和上下 边发生了弯曲，垂直的点线继续保持为直线，使得水平和垂直点线的夹角始终保持为直角。
图 2 真实情况下弯矩引起的实体变形示意图
为了正确的表达结构真实形状的变化，有限元分析中的单元必须保证上下边以及中间的 水平点线能发生弯曲变形，但是全积分下的一阶单元由于单元的形函数是一阶，不能描述和
Ni i Noo
i
o
其中， Ni 为标准等参单元形函数，i 表示节点值，o 表示非节点自由度。典型的非节点形
函数是四节点二次单元，它含有 NO 1 2 项，函数的曲线形式类似于水泡。对于全积分单
元 ANSYS,ABAQUS,LS-DYNA 都开发了对应的新单元或者选项,使用泡函数克服剪切自锁.当然泡 函数在非节点处位置的形函数在不同的软件可能有所差别。上述的两种方法是克服剪切自锁 影响的第四类措施。
对主流有限元软件控制剪切自锁和沙漏 模式的比较和研究
包刚强，e Wang，郝清亮，张国兵
（安世中德咨询（北京）有限公司，北京 100025；德国 CADFEM GmbH，德国慕尼黑； 武汉船用电力推进装置研究所，武汉 430064）
摘 要：本文详细讨论了有限元方法中，剪切自锁和沙漏模式产生的主要原因和目前流行的控制方法。研究 了 ANSYS，LSDYNA，NASTRAN 及 ABAQUS 主流有限元软件克服剪切自锁和沙漏采取的措施，并给出了 在不同网格尺寸下实体悬臂梁模型的端部位移和第一阶特征频率在各自软件的计算结果对比。研究表明，具 有中间节点的二阶单元可以很好的克服剪切自锁和沙漏;具有全积分的一阶单元，剪切自锁比较严重，ANSYS， LSDYNA 及 ABAQUS 比 NASTRAN 可以得到更好的控制效果。具有减缩积分的一阶单元，沙漏现象比较严 重，不同软件采用了不同的控制方法，NASTRAN 的泡函数，ANSYS 和 ABAQUS 的人工刚度系数，LS-DYNA 的多种沙漏控制方法能够很好的控制沙漏现象。 关键词：剪切自锁；沙漏模式；全积分；减缩积分；一阶单元；二阶单元

密封结构中超弹性接触问题的有限元分析方法

密封结构中超弹性接触问题的有限元分析方法

５结论
１）随密封圈安装时初始压缩率的增大，密封界 面上接触压应力增大，对密封效果十分有利，但初始 压缩率太大会使密封圈压缩残余变形量增大，密封 圈使用寿命缩短，使得发动机口：存寿命减少。
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圈２然气压力０Ⅶｋ时密封接触压应力云图
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物体脱离开时，接触单元的刚度为零，对物体的变形 没有任何约束。
是Ｏ形圈变形时不可逾越的边界。故可以把这些空 间位置一定的接触边界看作０形圈变形时的约束边
物体接触边界的分析如图１所示，假设相互接 界，０形圈受到的压缩看作由某个约束边界上的指定
触的Ａ、曰两个物体．Ｓ和ｓ。分别是给定的载荷和 位移引起。Ｏ形密封圈本身边界上各节点的边界条
引言
工程中大多数密封结构具有复杂的装配关系及 几何形状，形成装配的不同部件由于设计的需要往 往具有不同的材料，材料的多样性和装配关系的复 杂性使得密封结构的建模求解复杂。另一方面，密 封结构中常包含有复杂材料特性的橡胶密封元件。 橡胶材料属于超弹性近似不可压缩体，其本构关系 是复杂的非线性函数，通常用应变能函数表示，而且 应力张量不能由变形唯一地确定；结构受力复杂，受 载后呈现出大位移、大应变，力学模型也表现出复杂 的材料非线性和几何非线性，有限元求解过程中存 在复杂的边界条件并包含有接触计算。因此，本文 针对超弹性橡胶材料受载后的轴对称大变形特点， 结合某型固体发动机具体的结构密封型式和发动机 工况条件下的受力，采用三维有限元计算方法，对橡 胶密封圈的接触应力和变形进行分析，为固体发动 机的密封设计、优化和探索橡胶密封圈的失效准则 提供一些理论依据。
ＭＵ蹦－ｔａｏ，Ⅻ惦Ｙ瓣ｇＩｌｏ

塑性成形过程中的有限元法

塑性成形过程中的有限元法

塑性成形过程中的有限元法金属塑性成形技术是现代化制造业中金属加工的重要方法之一。

它是金属材料在模具和锻压设备作用下发生变形，获得所需要求的形状、尺寸和性能的制件的加工过程。

金属成形件在汽车、飞机仪表、机械设备等产品的零部件中占有相当大的比例。

由于其具有生产效率高，生产费用低的特点，适合于大批量生产，是现代高速发展的制造业的重要成形工艺。

据统计，在发达国家中，金属塑性成形件的产值在国民经济中的比重居行业之首，在我国也占有相当大的比例。

随着现代制造业的高速发展，对塑性成形工艺分析和模具设计方面提出了更高的要求。

若工艺分析不完善、模具设计不合理或材料选择不当，则会造成产品达不到质量要求，造成大量的次品和废品，增加了模具的设计制造时间和费用。

为了防止缺陷的产生，以提高产品质量，降低产品成本，国内外许多大公司企业及大专院校和研究机构对塑性成形件的性能、成形过程中的应力应变分布及变化规律进行了大量的理论分析、实验研究与数值计算，力图发现各种制件、产品成形工艺所遵循的共同规律以及力学失效所反映的共同特征。

由于塑性成形工艺影响因素甚多，有些因素如摩擦与润滑、变形过程中材料的本构关系等机理尚未被人们完全认识和掌握，因而到目前为止还未能对各种材料各种形状的制件成形过程作出准确的定量判定。

正因为大变形机理非常复杂，使得塑性成形研究领域一直成为一个充满挑战和机遇的领域。

一般来说，产品研究与开发的目标之一就是确定生产高质量产品的优化准则，而不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则需要对产品制造过程的全面了解。

如果不掌握诸如摩擦条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工设备，更无法预测和防止缺陷的生成。

在传统工艺分析和模具设计中，主要还是依靠工程类比和设计经验，经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。

仅仅依靠类比和传统的经验工艺分析和模具设计方法已无法满足高速发展的现代金属加工工业的要求。

西安理工大学硕士学位论文判断每一...

摘要弹塑性问题的无网格方法及其应用研究学科：结构工程导师：李九红签名：_____________作者：任瑞瑞签名：_____________答辩日期：2006年3月摘要目前正在发展中的无网格方法采用基于点的近似，可以彻底或部分的消除网格，是目前科学和工程计算方法研究的热点,也是科学和工程发展的趋势。

国内外诸多学者对无网格伽辽金法进行了大量的研究，并将其应用到相关领域，取得了许多成果，但大部分都是关于求解弹性力学问题的。

事实上，工程实践中理想的弹性问题几乎不存在。

一般情况下，进行弹塑性分析将会更合理，更充分地利用结构的强度潜力。

因此，使用无网格伽辽金法来求解弹塑性力学问题具有重要的实际意义。

本文系统地介绍了无网格方法的发展历史和应用现状，并且分析了该方法的优点和现存问题；在各种无网格方法中，本文着重介绍了基于移动最小二乘法的无网格伽辽金法的基本原理和推导过程。

针对工程中常见的弹塑性问题，本文基于对弹塑性力学理论的理解，推导了无网格伽辽金法求解弹塑性问题的理论公式；在此基础上，本文编制了求解弹塑性力学平面问题的无网格Galerkin法计算程序，通过若干典型算例的计算结果与ANSYS 分析结果的对比，验证了所提出的理论方法和所编程序的可行性、正确性，并且计算结果精度较高。

对弹塑性力学问题的无网格伽辽金法，本文分别讨论了权函数、基函数、节点布置规则、节点影响域的大小和增量形式的迭代次数等因素对计算精度的影响，并提出了相应的建议以获得最佳的求解精度；在弹塑性问题的诸多解法中，本文采用修正的Newton-Raphson迭代法，有效地减少了计算工作量，收敛快，并且保证了解的高精度；对于体积近似不可压缩的物体，本文采用弹塑性力学的无网格伽辽金法进行计算，算例结果表明了该方法所具有的可消除体积闭锁的优点。

针对不同的材料，本文编制了弹塑性力学平面问题无网格方法的通用程序，将I西安理工大学硕士学位论文弹塑性问题的无网格方法应用到了结构工程中常用的岩石、土和混凝土类材料中，并分别根据常用的几种屈服准则进行计算，通过算例分析及结果对比，验证了应用弹塑性力学问题的无网格方法来解决非均质材料是完全可行的。

有限元法分析土壤切削问题的研究进展

2005年1月农业机械学报第36卷第1期有限元法分析土壤切削问题的研究进展徐中华　王建华 【摘要】　有限元法有助于较全面地理解土壤切削现象,它可以预测土壤的应力分布、变形状况、破坏的位置、耕作部件的法向和切向的应力分布。

阐述了用有限元法分析土壤切削问题的研究进展情况。

指出了当前研究所存在的问题并对以后应用有限元法研究土壤切削问题作了展望。

关键词:耕作部件　有限元法　模拟中图分类号:S 152.9;O 242.21文献标识码:AAdvances in Finite Element Analysis of Soil CuttingXu Zhonghua Wang Jianhua(S hanghai J iao T ong Univ ersity )AbstractThe finite element m ethod is used to investigate soil cutting process .It is o f help to researchers to thoroughly understand the reality of this phenomenon.By m eans o f this metho d the so il stress distribution,soil defo rmation,positio n of so il failure,normal and tangential pressure distr ibution o n tillag e to ol face can be predicted .The up -to -date research prog ress of the finite elem ent analysis of so il cutting is r eview ed.So me pr oblems existing in current r esearch w ork is po inted o ut and future research by using finite element method is also g iv en.Key words Tillag e tool,Finite element metho d,M odeling收稿日期:20030623徐中华　上海交通大学土木工程系　博士生,200030　上海市王建华　上海交通大学土木工程系　教授　博士生导师 引言研究农林耕作部件的土壤切削问题的目的是减少牵引力以节省能耗,并且在减少耕作部件磨损的同时又能保持对土壤的良好耕作效果。

基于有限元分析的核桃剥壳技术研究.docx

基于有限元分析的核桃剥壳技术研究1、课题的目的和意义1代写的毕业论文课题的目的和意义核桃又名胡桃、羌桃、合桃等，享有“长寿果”之美誉，是理想的滋补食品。

所含的脂肪蛋白质量多质优，还含有糖分、多种维生素、钙、磷、镁、钾、锰、路等矿物质，以及躁质、纤维素、戊聚糖等。

据分析：500克核桃肉的营养价值，相当于鸡蛋2500克，牛奶4750克或猪肉1500克，可见，核桃的营养值价是相当可观的。

随着核桃产量的逐年增加，如何对核桃进行深加工，以提高它的附加值等问题就突现出来。

核桃脱壳取仁是核桃深加工的第一步，必须首先解决。

核桃剥壳技术的水平，直接影响到核桃的脱壳质量，进而影响到核桃的进一步加工。

由于核桃形状不规则、尺寸差异较大、壳仁之间间隙小，壳完全破裂所要求的变形量大。

目前国内使用的机械破壳装备由于施力方式不合理，果仁的破碎率较大，脱壳率、整仁率及设备性价等方面满足不了要求。

核桃与其他坚果在结构上存在着很大的区别．而且目前国内外对核桃机械特性与破壳机理的研究相对较少（xx等，20xx）。

用一般的机械挤压方法破壳必将造成大量的碎仁，对于固定挤压间隙的破壳装置来说，挤压间隙是固定的，不同尺寸的核桃都在同一开度内破壳，会出现小尺寸核桃难以破壳而大尺寸核桃仁的破碎率高的现象。

因此为了很好的破壳而又保证仁不破碎，就需要：① 挤压间隙与核桃尺寸相适应，有必要在破壳前对核桃进行分级；②合理施力使核桃产生裂纹且变形量小，这是提高核桃破壳机破壳质量的关键因素之一，因此有必要对核桃的施力方式及结果进行有限元受力分析；③裂纹的扩展是核桃完全破壳的基本条件，按核桃正确姿态喂人进行破壳是裂纹扩展的条件，有必要进行破壳前的导向（史建新等，20xx）。

2、国内外发展现状2。

1核桃剥壳技术核桃的一次剥壳率和高露仁率是衡量剥壳取仁机性能的两个重要指标。

而影响这两个性能的关键是剥壳方式（吴斌芳等xx96）。

对于核桃剥壳技术，剥壳机可以代表技术的发展。

第六章 用有限单元法解

基本物理量： 体力 面力 应变 应力
f ( f x f y ) T。 位移函数 d (u ( x , y ) , v ( x , y )) T 。
f ( fx
f y )T
T
结点位移列阵
ζ (σ x σ y τ xy ) T 结点力列阵
ε ( ε x ε y γ xy )
δ (ui vi u j v j ) T
深梁
2016年8月11日星期四
深梁（离散化结构）
弹性力学 Mechanics of Elasticity
分析步骤如下：
y
vi
i
ui
（1）取三角形单元的结点位移为基本未知 v j j uj 量，它们是：
δ δi
e
δj
δm ui
T
vi
uj
vj
um
vm
T
vm
m
x
um
δ e 称为单元的结点位移列阵
1 A 2 F 8 7 5 4 9 6 B
3
2016年8月11日星期四
弹性力学 Mechanics of Elasticity
弹力研究的对象，是连续体。 将连续体变换为离散化结构：即将连续体划分为有限多个、 有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来， 构成所谓‘离散化结构’。 例如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点 用铰连接起来。桁架的单元是杆件，而深梁的单元是三角形块 体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。
1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非 线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和 发展。
2016年8月11日星期四
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10
曲率为：

d ( x) 1 1 ( ) 1 ( ) 2 dx l l
(3.6)
将节点的位移列阵记为：
qe 1 1 2
2
T
(3.7) (3.8) x ) qe
1 1 B b 0 0 l l
ui(1) ui O(h 2 ) 4 (2) 2 ui ui O((h / 2) )
ui(1) ui O(h s ) (2) ui ui O((h / 2) s )
(2.2)
（2.3）
(2.4)
可由此估计出准确解：
1 ui (4ui(2) ui ) 3
由有限个单元的试函数来逼近整体域的场函数所引起的误差，即离散 误差。
6
2.2提高精度的ｈ方法和ｐ方法
（１）ｈ方法（h-version）:不改变各单元 上的形状函数，只通过渐渐加密有限元的 网格使结果趋于准确解 （２）ｐ方法（p-version）:同ｈ方法相反 ，它是不改变单元网格，而采用较高阶的 多项式来进行插值。
7
3.有限元的单元特征及剪切闭锁的产生
Timoshenko梁单元的剪切闭锁现象 Mindlin板单元的剪切闭锁现象 块体单元的闭锁现象
=F, x
F F , y x y
解：
(4.15)
y 0 y

xy
x 0 x
(3.12)
其中单元的刚度阵由剪切和弯曲变形刚度阵组成

Ke Ks Kb
(3.13)
12
13
3.2Mindlin板单元
G 2 A r 2 dx
14
15
3.3 块体单元
以如图3.2悬臂梁的静力分析为例来说明块体的剪切闭锁现象
图3.2 在自由端受到点载荷P的悬臂梁
(4.8)
35
设F(x,y)是双调和函数，满足双调和方程：
其中： 则下列为上式微分方程的解：
F
22 F 0
2 2 2 2 2 x y
D 2 F F F , x , y C x y
(4.9)
(4.10)
设 l 是一个特征长度。引入无量纲坐标 ， ：
8
3.1 Timoshenko梁单元
当梁不是细长梁时，梁变形后的横截面垂直于中性层的假设不再成立（ Kirchhoff假设）这时需要考虑梁的剪切变形，考虑剪切变形的几何描 述如图3.1所示。
变形前的截面 变形后的截 面 变形前的截面 中性层 垂直于中性 层的截面
γ
中性层
β dω/dx (a)变形前 (b)变形前
图2.1 有限元分析结果的收敛情况（纵坐标是总势能）
5
还可以就两次网格划分所计算的结果进行外推以估计结果的准确值如 第一次网格划分的结果是 ,然后进一步将各单元尺寸减半进行网格划 分,得到结果为 .假设该单元的收敛速度是 ,则其准确解可以按如下方 法估计:
具体对平面3节点三角形单元有s=2，上式可化为：
曲率为：
Bb ( x ) q e
1 1 B b 0 0 l l
B b 为曲率几何矩阵
(3.11)
11
将上式代入得到单元势能泛函：
e 1 eT b e 1 eT s e q K q q K q P eT q e 2 2


1 eT e e q K q P eT q e 2
(4.11)

,
x l
y l
(4.12)
36
代入得到:
l 如果 h 0
D h2 2 Cl 5(1 )l 2
2 2 F 2 2 F
(4.13)
(4.14)
0 ,则厚板理论的解析解退化为薄板理论的解析
l 1 2 l2 l l GA GA 2 3 K s ( B s )T B s dx 0 l l 1 2 l l2 6 2
0 0 0 1 0 0 0 1
1 l 2 l 2 l2 6 0 l2 3

d dx
N1 ( x ) (1
x x ), N 2 ( x ) l l
（3.4） （3.5）
由（3.1）可得到剪应变为：

d( x) 1 1 x x ( x ) ( )1 ( )2 (1 ) 1 ( ) 2 dx l l l l
3
有限元分析的误差
结构体由于本身存在有自然的连接关系即自然节点,所以它们的离散化 叫自然离散 人为的在连续体内部与边界上划分节点,以单元连续的形式来逼近原来 复杂的几何形状,这种过程叫逼近性离散(approximated discretization) 控制误差的h方法（h-version ,h-method）和p方法(p-version ,pmethod)。
(4.1)

(4.2)
1 l 2
23
剪切应变能的表达式:
具体的有一点积分得到的
Ur
1 eT s e q K q 2
(4.3)

l 1 2 l2 l GA 2 4 Ks l l 1 2 l l2 4 2
1 l 2
1 l 2
l 2 2 l 4 0 l2 4
方法II (, ) 从假设 入手 方法Ⅲ ( , )从假设 入手
2.块体问题 将在缩减积分详细介绍
22
4.1 缩减积分法、选择性缩减积分法、非协 调元

0 0 l EI 0 1 K b ( B b )T EI B bdx 0 l 0 0 0 1
19

图3.6 8节点的六面体单元
20
4 剪切闭锁的对策
1.板（梁）问题
x 厚板理论挠度和转角是独立位移 y
x y 0 而剪应变 0 y x

21
方法I (, ) 从假设 入手
16
梁为150mm长， 2.5mm宽， 5mm高；一端固定；自由端承受5N的 末端荷载。材料的杨氏模量E为70GPa，泊松比为0.0。采用梁的理论 ，在给定载荷P作用下，梁末端的挠度为 (3.22) 其中I = bd3/12， 是长度，b是宽度，d是梁的高度。P = 5N时末端挠 度是3.09mm。
图3.1 具有剪切变形影响的梁变形
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设剪切变形为 ，则
（3.1） 设单元的总挠度函数 和截面转角函数 的单元插值模式为（线性插值 ）： ( x) N1 ( x)1 N2 ( x)2 （3.2） ( x) N1 ( x)1 N2 ( x)2 （3.3）
( 其中 ( x)，x) 分别为单元节点1和2的挠则
4
2.1 求解精度的估计
在这里我们考察平面单元的求解精度与收敛速度，单元的位移场 可 以展开为以下级数： u u (2.1) u ui ( )i x ( )i y
x
y
对于满足完备性（completeness）和协调性（compatibility）要求的 协调元，当 时，有限元分析的结果是单调收敛的如图(2.1)
在厚板平衡微分方程中，如果将内力改用位移表示，就得到厚板位移 法的基本微分方程。考虑载荷为零时的齐次问题，则有：

2 x 1 2 x 1 2 y D( 2 ) C( x ) 0 2 x 2 y 2 xy x 1 2 1 2 y 2 y x ) C( y) 0 D( 2 2 2 xy 2 x y y 2 2 C( 2 2 )0 x y x y
(4.4)
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图4.1
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将(4.6)代入（4.5）的到
K1s qe 0
(4.7)
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图４.2 使用缩减积分的二维单元中的积分点
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单元 CPS4R CPS8R C3D8R
表4.1 使用缩减积分单元的梁挠度的归一化结果
网格尺寸 (高度 x 长度)
1x6 20.3* 1.000 70.1* 2x12 1.308 1.000 1.323 4x12 1.051 1.000 1.063 8x24 1.012 1.000 1.015
论文题目：
有限元法剪切锁闭现象的研究
专 业：工程力学 答辩人：徐 鹏 导 师：李欣宇
武汉科技大学理学院 2007年6月16日
答辩提纲
课题背景及任务 有限元分析的误差 有限单元特征及剪切闭锁产生 剪切闭锁的对策 结论及下一步工作 致谢
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课题背景及任务
当梁不是细长梁时，梁变形后的横截面垂直于中面的假设不再成 （Kirchhoff假设）立，需考虑剪切变形的影响，于是Timoshenko提 出了剪切变形的梁理论，如果对扰度函数与转角函数进行独立插值， 且考虑剪切变形的影响，构造出的单元为Timoshenko梁单元 （Timoshenko beam element）。此单元在退化为细长梁单元时，会 导致剪切闭锁现象。经典薄板理论以Kirchhof假设为基础，忽略了横 向剪切的影响，故计算结果与实验值相比，总是低估了挠度，高估了 自然频率。由于横向剪切变形对厚板及复合材料的板单元影响较大， 故忽略剪切变形的薄板理论已不再适用，于是Mindlin等人提出了板的 剪切变形理论,以此构造出的为Mindlin板单元（Mindlin plate element）。与Timoshenko梁单元类似，当板很薄时，会发生剪切闭 锁与零能模式。对于块体，由于形函数的阶数过低，而单元受到复杂 应力作用，如产生弯曲扭转等，导致形函数不能真实表达。本文讨论 剪切闭锁产生的原因，与对策。