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基于高阶剪切变形理论梁的热屈曲和后屈曲分析于旭光;申幸幸;郑宏【摘要】基于高阶剪切变形理论,推导了轴向荷载与均匀热荷载作用下梁的平衡方程,并将3个非线性方程化简为2个关于横向挠度和转角的非线性积分一微分方程.对于所考虑的两端简支和两端固支边界条件,求解了梁的临界屈曲荷载和梁的后屈曲幅值,讨论了长细比对临界屈曲荷载的影响以及温度和荷载对梁后屈曲幅值的影响.研究结果表明,对于长细比较小的梁,剪切变形对临界屈曲载荷的影响十分明显;而当长细比较大时,与欧拉梁理论得出的结论非常接近.在温度和轴向荷载共同作用下,随着温度升高,梁的临界屈曲荷载值下降但梁中点挠度值升高.【期刊名称】《石家庄铁道大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(032)001【总页数】6页(P7-12)【关键词】高阶剪切变形理论;轴向荷载;均匀热荷载;临界屈曲荷载;后屈曲幅值【作者】于旭光;申幸幸;郑宏【作者单位】唐山工业职业技术学院建筑化工系,河北唐山063299;唐山工业职业技术学院建筑化工系,河北唐山063299;长安大学建筑工程学院,陕西西安710061【正文语种】中文【中图分类】TU323.30 引言梁、板、壳体是工程中最常用的结构构件，它们在热荷载或轴向荷载作用下的屈曲分析问题长期受到国内外学者的密切关注。
尽管对于各向同性及层合梁结构的非线性问题研究已经十分丰富［1-3］，但是对于该领域的研究却一直没有间断。
国外学者Aydogdu［4］分析了基于Reddy位移模型下层合梁在各种边界条件下的热屈曲分析。
Kiani et al［5］分析了功能梯度材料梁的热屈曲问题。
Emam［6-7］分析了层合梁在湿热环境中的屈曲和后屈曲问题。
马连生等［8-9］给出了经典梁及剪切变形梁的热过屈曲问题的解析解，但未采用高阶剪切变形理论来对梁的屈曲和后屈曲问题进行分析。
1 模型考虑一个高度为h、宽度为b、长度为l的矩形截面梁:x轴沿梁轴线方向;z轴和y 轴分别沿梁的厚度和宽度方向;xoy面置于梁的几何中面上;原点位于梁轴线的左端［8］。
Zz1521.1 结构设计的基本内容及步骤有哪些？试举例说明。
根据结构的概念设计，确定结构材料，结构体系，布置和施工方法；结构分析与设计（其中包括计算简图，内力，变形分析及配筋计算等），结构的构造设计;绘制结构的施工图（其中包括结构布置图，构件末班和配筋图等）1.2 钢筋混凝土梁板结构有几种形式？他们是怎么样划分的？由单向板组成的梁板结构称为单向板梁板结构，由双向板组成的梁板结构称为双向板梁板结构。
当L2/L1<=2时，按双向板设计，2<L2/L1<3时，宜按双向板设计，若按单向板设计时，沿长边方向应配置不少于短边方向25%的受力钢筋。
1.3荷载在整体式单向板结构的板、次梁和主梁中式如何传递的，为什么？按弹性理论和塑性理论计算式两者的计算简图有何区别？单向板以次梁为支座，次梁以主梁为支座，主梁以柱和墙体为支座，作用于结构上的荷载首先由单向板传递给次梁，再由次梁传递给主梁，最后由主梁传递给柱和墙体。
为了减少整体式单向板梁板结构中的跨度，应设置次梁，为了减少次梁的跨度，应设置主梁，为了减小主梁的跨度，应设置柱或墙体；两者计算简图在结构计算跨度处不同。
1.4整体式梁板结构中，欲求结构跨内和支座截面最危险内力时，如何确定活荷载最不利位置?(1)欲求结构某跨跨内截面最大正弯矩时，除恒荷载作用外，应在该跨布置活荷载，然后向两侧隔跨布置活荷载（2）欲求某跨跨内截面最大负弯矩时，除恒荷载作用外，应在该跨不布置活荷载，然后向两侧隔跨布置活荷载（3）欲求结构某支座截面最大负弯矩时，除恒荷载作用外，应在该支座相邻两跨布置活荷载，然后向两侧隔跨布置活荷载（4）欲求结构边支座截面最大剪力，除恒荷载作用外，其活荷载布置与该跨跨内截面最大正弯矩是活荷载布置相同。
欲求结构中间跨支座截面最大剪力时，其活荷载布置和求该支座截面最大负弯矩时活荷载布置相同。
1-5 结构各截面的最大内力值的连线或点的轨迹，即为结构内力包络图。
完整版线性代数第五章特征值与特征向量自考经管类精
品
特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在很多实际问题中具有广泛的应用。
本文将从定义、性质、求解方法以及应用等几个方面介绍特征值和特征向量。
特征值（eigenvalue）是一个方阵在一些线性变换下的伸缩因子，而特征向量（eigenvector）则是特征值对应的非零向量。
对于一个给定的方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么λ就是矩阵A的特征值，而x就是对应的特征向量。
特征值和特征向量具有以下几个重要性质：
1.特征值是矩阵的本质性质，不依赖于矩阵的表示方式。
2.每个特征值都有对应的特征向量，但一个特征向量可能对应多个特征值。
3.特征值和特征向量可以是复数，不一定是实数。
要求解特征值和特征向量，可以通过以下步骤进行：
1. 求解矩阵的特征方程：det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵。
2.解特征方程得到特征值。
3.将特征值代回到特征方程，解得对应的特征向量。
特征值和特征向量在很多应用中具有重要的意义，如以下几个方面：
1.特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化，简化复杂计算。
2.特征值和特征向量在数据降维中有广泛应用，如主成分分析（PCA）。
3.特征值和特征向量可用于解决线性方程组、求解线性变换等问题。
4.特征值和特征向量在机器学习算法中有很多应用，如图像处理、聚类算法等。
综上所述，特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
掌握特征值和特征向量的求解方法和性质，有助于理解和应用线性代数的相关知识。
简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导一．等截面细直梁的横向振动取梁未变形是的轴线方向为X轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正）。
梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为y=y(x,t) (1) 除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。
故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。
根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：其中，E是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI为梁的弯曲刚度，M代表x截面处的弯矩。
挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。
关于剪力Q的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。
至于分布载荷集度q的正向则规定与y轴相同。
在这些规定下，有：于是，对方程（2）求偏导，可得：考虑到等截面细直梁的EI是常量，就有：，方程（5）就是在等截面梁在集度为q的分部李作用下的挠曲微分方程。
应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为其中代表梁单位长度的质量。
假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。
将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：其中。
为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。
假设方程的解为：y(x,t)=X(x)Y(t) (8) 将式（8）代入（7），得：上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x，因此要使对于任何x,t上式均成立，必须二者均等于一个常数。
将这一常数记为-p2.于是有：方程（10）的通解为：Y（t）=Asinpt+Bcospt (12) 其中，A,B为积分常数。
方程（11）的通解为：二．简支梁的固有振型和固有频率简支梁的边界条件为：X（0）=0，X’’(0)=0.X（l）=0，X’’(l)=0 所以有：C1=C2=C3=0特征方程为:sinβl=0 由此得特征值为：βi=与此相应的固有频率为iπ,l=1,2,⋅⋅⋅ lpi=(iπ)而对应的振型函数为 l=1,2,⋅⋅⋅ Xi(x)=sinβix=siniπx,l=1,2,⋅⋅⋅l王舒雅，1130109125。
一阶偏微分方程的特征线法魏雪蕊(绍兴文理学院数学系 , 浙江绍兴 312000摘要 :介绍了一阶偏微分方程特征线法的由来、几何意义及求解的基本思想 .关键词 :一阶偏微分方程 ; 特征方程 ; 特征线中图分类号 :G642. 41 文献标识码 :A 文章编号 :1008-293X(2010 07-0095-030 引言在大多数常微分方程和偏微分方程教程中 1-5 , 一阶偏微分方程通常受到简单的处理 , 原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程 . 实际上 , 一阶偏微分方程在流体力学、空气动力学和其它工程技术等领域有着广泛的应用 . 例如在种群分析中 , 个体 (不必是生物体 , 如生产的产品如灯泡、晶体管、食品或更一般的任一类似的物品的集合根据统计样本随着时间的变化会变得不合格 , 因此研究起来有着实际意义 6 . 利用特征方程转化成常微分方程组是求解一阶偏微分方程的常用方法 1-2, 7-10 , 我们称其为特征线法 . 但一般教材中只给出了特征方程与特征线的定义 , 并没有讲明这样定义与求解的根据 , 学生看到的只是生硬的定义 , 不明就里 , 实际教学效果并不好 . 本文指明特征方程与特征线的由来 , 以及特征线的几何意义 , 可以帮助学生更好掌握此法 .1 一阶偏微分方程的特征线法的定义与几何意义1. 1 一阶变系数线性偏微分方程a(x , y u x +b (x , y u y +c(x , y u =f (x , y , u =u(x , y(1 其中 a, b , c 和 f 是给定的 x 和 y 的 C 1函数 .定义 1 称 d x =a (x , y , y (0 =c,a(x , y ! 0为式 (1 的特征方程 , 特征方程的解为式 (1 的特征线 .为简单起见 , 对于一阶常系数线性偏微分方程au x +bu y +cu =f (x , y , u =u(x , y , a 2+b 2>0,u x =0= (y ,(2 其中 a, b 和 c 是给定的常数 , f (x , y 为连续函数 , (y 连续可微 . 事实上 au x +bu y =u x i +u y j ∀ a i +b j = u ∀ a i +b j . au x +bu y 即为 u 在向量 a i +b j 方向的方向导数 . 对 xy -平面引入新坐标系 , 使新坐标轴之一指向 a i +b j 方向 , 则 au x +bu y 沿此新坐标轴关于另一个坐标轴的偏导数为零 , 这样即可简化方程 , 转化成为常微分方程 .方程 (2 的特征线为 y =a +c, 沿特征线 y =y (x , t , u =u(x , y (x , c 满足如下常微分方程第 30卷第 7期 2010年 3月绍兴文理学院学报 JOURNAL OF S HAOXING UNIVERSITY Vol. 30No. 7Mar. 2010收稿日期 :2009-12-29( , , , , . :d x =+d x=+a=f -cu,u x =0=u (0, c = (c ,求解得到 u =u(x , c , 将 c =y -a代入 , 消去参数 c, 得到原问题的解 u =u(x , y .对于更一般的变系数一阶偏微分方程a(x , y u x +b(x , y u y = u ∀ a(x , y i +b(x , y j ,令 g (x , y =a(x , y i +b (x , y j , 则 g(x , y 是平面上的向量场 . 把 g (x , y 看作 xy -平面上流体流 . 特征线的几何意义 :g (x , y ∀ u 是 u 沿向量 g (x , y 的切线方向的方向导数 , 取与 g(x , y 的切线平行的直线 , 即满足切线为 d x =a(x , y的曲线作为新坐标线 . 在曲线上的每 (x 0, y 0 点 , 向量 g (x 0, y 0 =a (x 0, y 0 i +b(x 0, y 0 j 都与曲线相切 , 沿此坐标线关于另一个坐标轴的变量的偏导数为零 , 转化为常微分方程求解 .例 1 求解下列 Cauchy 问题2u t =u x -xu , x #R , t >0u t =0=2x exp22. x #R解 d t=-2 x (0 =c , 解 x (t, c =-2t +c 为方程的特征线 , 其中 c 为常数 .沿着特征线 x =x (t, c , u =u(x (t, c , t 满足如下常微分方程 d t =+d t =-2=-2u ,u(x (0, t , 0 =u(c, 0 =2c exp2 2 ,的解为u (x (t, c , t =2c exp 8 t 2-2ct + 2 2 .将 c =x + 2 t 代入上式 , 得到解 u(x , t =2(x +2t exp ( 2 2 .1. 2 高维的一阶线性偏微分方程以三维一阶线性偏微分方程为例 :a(x , y , z u x +b(x , y , z u y +c(x , y , z u z +d (x , y , z u =f (x , y , z , u =u(x , y , z , (3 其中 a, b , c, d 和 f 是给定的 C 1函数 .定义 2 称d t =a(x (t , y (t , z (t ,d t=b(x (t , y (t , z (t ,d t=c(x (t , y (t , z (t为方程 (3 的特征方程组 , 特征方程组的解为 (3 的特征曲线 . 定义 2∃称a (x (t , y (t , z (t =b (x (t , y (t , z (t=c(x (t , y (t , z (t(假设 a(x , y , z ! 0, b (x (t , y (t , z (t ! 0, c(x (t , y (t , z (t ! 0为方程 (3 的特征方程组 , 特征方程组的解为 (3 的特征曲线 .方程 (3 特征线的几何意义 :由特征方程组的解依赖于两个任意常数 , 设为和 ! , 解可写作 y =y (x ; , ! , z =z (x ; , ! . 对固定的和 ! , 随着 x 变化 , 由点 (x , y (x ; , ! , z (x ; , ! 绘出的曲线是特征曲线 . 设 =A(x , y , z , ! =B (x , y , z , 其中 A, B 为某函数 . 特征曲线是两曲面的交线 , 做坐标变换 , 使特 (x ,绍兴文理学院学报 (自然科学第 30卷分方程 .定义 2中与常微分方程课程中特征方程定义一致 7-9, 这样将一阶偏微分方程转化为常微分方程组处理 . 一阶偏微分方程理论上局部可转化为一阶常微分方程组 .例 2 9求解初值问题x +y +z =0,当 z =1时 , f =xy ,的通解 , 这里 a, b 为常数 .解特征方程 ==z, 得到 x -y =c 1, 2y -ln z =c 2.偏微分方程的通解为 f = (-, 2-ln z .又当 z =1, f =xy , 得到 f = (x -y , 2y =xy , 变量代换 , 整理得到f =4(2y -ln z 2 (- +2(2y -ln z 2.对于一阶拟线性偏微分方程 , 特征线法同样适用 .参考文献 :1 姜礼尚 . 数学物理方程讲义 M . 北京 :高等教育出版社 , 1996.2 纳克莱∀ H ∀亚斯马 . 偏微分方程教程 M . 北京 :机械工业出版社 , 2005.3 陈祖墀 . 偏微分方程 M . 合肥 :中国科学技术大学出版社 , 2002.4 Harold Levine. 偏微分方程 M . 葛显良 , 译 . 北京 :高等教育出版社 , 2007.5 (美约翰 . 偏微分方程 M . 朱汝金 , 译 . 北京 :科学出版社 , 1986.6 Bleekcer David. 基础偏微分方程 M . 北京 :高等教育出版社 , 2006.7 王高雄 . 常微分方程 M . 北京 :高等教育出版社 , 1983.8 管志成 . 常微分方程与偏微分方程 M . 杭州 :杭州大学出版社 , 2001.9 丁同仁 . 常微分方程教程 M . 北京 :高等教育出版社 , 1991.10 姜礼尚 . 应用偏微分方程讲义 M . 北京 :高等教育出版社 , 2008.Method of Characteristics of theFirst-order Partial Differential EquationsWei Xuerui(Department of Mathematics, Shaoxing University, Shaoxing, Zhejiang, 312000Abstract:By the characteristic equation, the first-order partial differential equations translate into the syste m of ordi nary differential equations. This is called the method of characteristics. The present paper introduces the origin, the geo metric significance and the fundamental idea of solving the method of characteristics.Key words:first-order partial differential equations; characteristic equation; method of characteristics第 7期魏雪蕊 :一阶偏微分方程的特征线法。
混凝土结构与砌体结构设计中册(第四版)题思考题11.1 现浇单向板肋梁楼盖中的主梁按连续梁进行内力分析的前提条件是什么？答：1）次梁是板的支座，主梁是次梁的支座，柱或墙是主梁的支座。
2）支座为铰支座--但应注意：支承在混凝土柱上的主梁，若梁柱线刚度比<3，将按框架梁计算。
板、次梁均按铰接处理。
由此引起的误差在计算荷载和内力时调整。
（3）不考虑薄膜效应对板内力的影响。
（4）在传力时，可分别忽略板、次梁的连续性，按简支构件计算反力。
（5）大于五跨的连续梁、板，当各跨荷载相同，且跨度相差大10%时，可按五跨的等跨连续梁、板计算。
11.3 为什么连续梁内力按弹性计算方法与按塑性计算方法时，梁计算跨度的取值是不同的？答：两者计算跨度的取值是不同的,以中间跨为例,按考虑塑性内力重分布计算连续梁内力时其计算跨度是取塑性铰截面之间的距离,即取净跨度连续梁内力时，则取支座中心线间的距离作为计算跨度，即取;而按弹性理论方法计算。
11.4 试比较钢筋混凝土塑性铰与结构力学中的理想铰和理想塑性铰的区别。
答：1）理想铰是不能承受弯矩，而塑性铰则能承受弯矩（基本为不变的弯矩）；2）理想铰集中于一点，而塑性铰有一定长度；3）理想铰在两个方向都能无限转动，而塑性铰只能在弯矩作用方向作一定限度的转动，是有限转动的单向铰。
11.5 按考虑塑性内力重分布设计连续梁是否在任何情况下总是比按弹性方法设计节省钢筋？答：不是的11.6 试比较内力重分布和应力重分布答：适筋梁的正截面应力状态经历了三个阶段：弹性阶段--砼应力为弹性，钢筋应力为弹性；带裂缝工作阶段--砼压应力为弹塑性，钢筋应力为弹性；破坏阶段--砼压应力为弹塑性，钢筋应力为塑性。
上述钢筋砼由弹性应力转为弹塑性应力分布，称为应力重分布现象。
由结构力学知，静定结构的内力仅由平衡条件得，故同截面本身刚度无关，故应力重分布不会引起内力重分布，而对超静定结构，则应力重分布现象可能会导：① 截面开裂使刚度发生变化，引起内力重分布；② 截面发生转动使结构计算简图发生变化，引起内力重分布。
混凝土思考题fcu2.1混凝土的立方体抗压强度fcu,k,轴心抗压强度标准值fck和抗拉强度标准值ftk是如何确定的？为什么fck低于fcu,k有何关系？Fck与fcu,k有何关系？（1）①混凝土的立方体抗压强度标准值fcu,k是根据以边长为150mm的立方体为标准试件，在(20±3)℃的温度和相对湿度为90％以上的潮湿空气中养护28d，按照标准试验方法测得的具有95％保证率的立方体抗压强度确定的。
②混凝土的轴心抗压强度标准值fck是根据以150mm某150mm某300mm的棱柱体为标准试件，在与立方体标准试件相同的养护条件下，按照棱柱体试件试验测得的具有95％保证率的抗压强度确定的。
（2）由于棱柱体标准试件比立方体标准试件的高度大，试验机压板与试件之间的摩擦力对棱柱体试件高度中部的横向变形的约束影响比对立方体试件的小，所以棱柱体试件的抗压强度比立方体的强度值小，故fck 低于fcu,k。
（3）轴心抗压强度标准值fck与立方体抗压强度标准值fcu,k之间的关系为：fck0.8812fcu,k。
2.2混凝土的强度等级是根据什么确定的？我国“混凝雨结构设计规范”规定的混凝土强度等级有哪些？什么样的混凝土强度等级属于高强混凝土范畴？（1）混凝土的强度等级是根据立方体抗压强度标准值确定的。
（2）我国新《规范》规定的混凝土强度等级有C15、C20、C25、C30、C35、C40、C45、C50、C55、C60、C65、C70、C75和C80，共14个等级。
（3）C50~C80为高强度混凝土。
2.7什么是混凝土的徐变？徐变对混凝土构件有何影响？通常认为影响徐变的主要因素有哪些？如何减小徐变？（1）结构或材料承受的荷载或应力不变，而应变或变形随时间增长的现象称为徐变。
（2）徐变对混凝土结构和构件的工作性能有很大影响，它会使构件的变形增加，在钢筋混凝土截面中引起应力重分布的现象，在预应力混凝土结构中会造成预应力损失。
等值梁法的基本原理一、等值梁法简介等值梁法（Equivalent Beam Method）是一种结构力学计算方法，适用于解决简支梁或连续梁等结构的受力和变形问题。
它基于梁的等效性原理，将复杂的结构系统简化为等效梁，从而简化计算过程。
等值梁法在工程实践中具有广泛的应用，可以有效地进行结构分析和设计。
二、等值梁法的基本原理等值梁法的基本原理是将实际的结构系统简化为等效梁，通过分析等效梁的受力和变形，得到结构系统的整体响应。
具体而言，等值梁法包括以下几个基本步骤：1. 梁的假设等值梁法假设实际结构系统能够等效为由一系列单元梁组成的简支连续梁。
这意味着结构系统中的每个部分都可以用一根等效梁来代替，等效梁与实际结构具有相同的支座位置、截面形状和材料性质。
2. 等效梁的建立通过根据实际结构系统的几何形状和边界条件，在适当的位置上划分出若干段等效梁。
等效梁的数量和长度可以根据需要进行选择，以使得分析结果能够满足精度要求。
3. 传力关系的建立根据等效梁的支座位置和边界条件，建立等效梁之间的传力关系。
传力关系可以通过平衡条件和位移兼容性条件来确定，其中包括弯矩传递关系和切力传递关系等。
4. 力的平衡方程在等效梁上应用受力平衡方程，确定各个等效梁的受力状态。
根据结构的受力特点，可以使用悬臂梁理论、梁的弯矩方程和剪力方程等来建立平衡方程。
5. 变形的平衡方程根据等效梁的位移边界条件和兼容性条件，建立变形的平衡方程。
变形的平衡方程可以通过梁的挠度方程和转角方程等来表示。
6. 边界条件的处理根据实际结构系统的边界条件，对等效梁的支座约束进行处理。
边界条件的处理可以采用梁的固支条件、滑动支承条件或弹簧支座模型等。
7. 求解等效梁的受力和变形利用以上建立的平衡方程和边界条件，求解等效梁的受力和变形。
可以通过数值方法或解析方法进行求解，得到等效梁的弯矩、剪力、挠度和转角等。
8. 结构响应的求解通过求解等效梁的受力和变形，得到结构系统的整体响应。
第23卷 第3期应用力学学报Vo l.23 No.3 2006年9月CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS Sep.2006文章编号:1000-4939(2006)03-0447-04经典理论与一阶理论之间简支梁特征值的解析关系*马连生欧志英(兰州理工大学 兰州 730050)摘要:利用Euler-Bernoulli梁理论(EBT)和Timoshenko梁理论(一阶理论,TBT)之间,梁的特征值问题在数学上的相似性,研究了不同梁理论之间特征值的关系。
将特征值问题的求解转化为一个代数方程的求解,并导出了不同梁理论之间梁的特征值之间的精确解析关系。
因此,只要已知梁的经典结果(临界载荷和固有频率),便很容易从这些关系中获得一阶梁理论下的相应结果。
这些解析结果清楚地显示了横向剪切变形对经典结果影响的本质特点。
另外,从这些关系中获得的含有剪切变形影响的结果,可以用于检验一阶理论下梁特征值数值结果的有效性、收敛性以及精确性等问题。
关键词:Euler-Bernoulli梁理论;Timo shenko梁理论;解析关系;特征值中图分类号:TB330.1 文献标识码: A1 引 言由于在高阶剪切变形梁(板)理论和经典理论之间,梁(板)弯曲、屈曲和振动的控制方程都存在数学上的相似性,这种相似性可以用经典结果来表示相应的高阶理论下的解。
有关高阶剪切变形理论和经典理论之间梁或板弯曲解的精确关系方面的研究工作已经有很多报道。
Wang和Lee[1]、Wang和Red-dy[2]、Wang等人[3]以及本文作者[4]分别研究了各种理论之间板屈曲和固有振动解的精确解析关系。
关于不同梁理论下梁特征值的解析关系,尚无相应的研究结果报道。
另外,从文[5]对功能梯度结构的研究结果可知,高于一阶的理论对于研究诸如临界载荷或者固有频率这样的整体响应,在计算精度上提高不大。
本文将梁的临界载荷和固有频率这样的特征值问题统一处理,利用经典梁理论(EBT)和一阶剪切变形梁理论(TBT)之间,梁的特征值问题在数学上的相似性,研究不同梁理论之间梁特征值的解析关系。
最后将特征值问题的求解转化为求解一个代数方程,导出了不同梁理论之间梁特征值显式表达的精确解析关系。
因此,只要已知梁的经典结果(临界载荷和固有频率),不需要经过较复杂的数学运算,便很容易从这些关系中获得一阶梁理论下的相应结果。
2 基本方程考虑一个厚度为h、长度为l、横截面积为A的等截面梁。
x轴在中面内,并沿轴线方向;z和y分别沿梁的高度和宽度方向。
一阶梁理论下的位移场[6] U x(x,z,t)=z(x,t), U z(x,z,t)=w(x,t)(1)式中w表示梁中面上点的挠度,为梁横截面在变形后的转动。
根据该位移场,几何方程如下εx=z,x, γxz=+w,x(2) 设在梁端部作用有轴向压力p。
根据H amilton 原理,可得运动方程M x,x-Q x-I1,tt=0,Q x,x-pw,xx-I0w,tt=0(3)*基金项目:国家自然科学基金资助项目(10472039);甘肃省自然科学基金资助项目(ZS041-A25-007)来稿日期:2005-07-05 修回日期:2005-12-12第一作者简介:马连生,男,1963年生,兰州理工大学理学院教授;研究方向:功能梯度材料结构的力学行为.E-mail:lsma@式中各量定义如下:M x =∫Aσx z d A ;Q x =k x ∫Aτxz d A ;(I 0,I 1)=∫Aρ(1,z 2)d A ;k s 为剪切修正系数。
将内力分量表示为位移的函数形式M x =D x ,x , Q x =k s A xz ( +w ,x )(4)式中:D x =∫AEz 2d A ; A xz =∫AG d A ; E 、G 、ρ分别为弹性模量、剪切模量、质量密度。
3 特征方程设谐振动为:( ,w )=[ (x ), w (x )]e i ωt,将其代入式(3),并仍以( ,w )代[ (x ), w (x )],得到M x ,x -Q x +I 1ω2=0(5a )Q x ,x -pw ,xx +I 0ω2w =0(5b )式中ω是梁的固有频率。
注意,在以上方程中,各量均与时间无关。
将式(5a )对x 求导一次并与式(5b )相加,得M x ,xx -pw ,xx +I 0ω2w +I 1ω2,x =0(6) 将式(4)代入式(5a )和式(6),得到位移形式的方程-pw ,xx +I 0ω2w +D x ,xx x +I 1ω2,x =0(7a )-k s A xz w ,x +D x ,xx -(k s A xz -I 1ω2) =0(7b )将式(7b )对x 求导一次,可将式(7)写成以下矩阵形式KY =0(8)这里Y ={w ,x }T,K 是一个二阶算子矩阵,其各元素含义如下K 11(d 2d x 2)=-p d 2d x 2+I 0ω2,K 12(d 2d x 2)=D x d 2d x 2+I 1ω2,K 21(d 2d x 2)=-k s A xz d 2d x 2,K 22(d 2d x 2)=D x d 2d x 2-(k s A xz -I 1ω2)(9)在式(8)中,消去,x 可以得到D x (k s A xz-p )(d 2d x 2+λ1)(d 2d x2+λ2)w =0(10)式中λ1(i =1,2)是以下二次方程的两个根det [K (-λ)]=K 11(-λ)K 22(-λ)-K 12(-λ)K 21(-λ)=0(11)式(10)就是问题最终的特征方程。
联系相应的边界条件,从中可以得到一阶理论下梁的振动或屈曲问题的特征值和特征向量。
4特征值的解析关系设λ1是正根,将式(10)改写为(d 2d x2+λ1)y =0(12)式中y ≡D x (k s A xz -p )(d 2d x2+λ2)w 。
对于简支端,有以下边界条件w =0, w ,xx =0(13)从条件(13)可知,对于简支端y 满足y =0(14)Euler -Be rnouli 梁相应的特征值问题可以写成[7-8](d 2d x2+λE )w E =0,w E|Γ=0(15)式中λE =ρA /D x ωE (振动问题)或者λE =p /D x (屈曲问题)。
在本文中,上(下)标T 和E 分别表示TBT 和EBT 下的物理量。
比较问题(12)、(14)与问题(15),可以得到λ1=λE (16)将式(16)代入式(11),得到det [K (-λE )]=B ω4+C ω2+D =0(17)式中B =I 0I 1(18a )C =(-D x I 0+pI 1-k s A xz I 1)λE -k s A xz I 0(18b )D =D x (-p +k s A xz )λ2E -pk s A xz λE (18c )在方程(17)中,令ω=0,即D =0,可以得到一阶理论与经典理论之间梁的临界屈曲载荷的解析关系p T cr =p Ecr /(1+p E cr k s A xz )(19)特别地,当端部压力作用改为均匀温度场作用时,临界屈曲热载荷T cr 可以表达为下式T cr =p Tcr /(αE A )(20) 经典理论和三阶理论间梁固有频率关系为ω2=(-C ±C 2-4BD )/2B(21)各向同性矩形截面梁自由振动的结果是ω2T =6D xρAh4{[12 v +h 2ωE ρA D x(1+ v )]-[12 v +h 2ωE ρA D x (1+ v )]2-4 v ρA D xh 4ω2E }(22)式中 v =k s2(1+v )。
448应用力学学报第23卷4.1 只考虑横向振动时的频率关系忽略转动惯性,即横向振动时,经过类似地运算,可以得到经典理论和一阶理论间梁的固有频率关系为ω2T=ω2E(1+D xk s A xz ρAD xωE)-ωEρAD xpI0(23)4.2 关于这些解析关系的讨论在以上的分析中,已经得到了用相应经典结果表示的,一阶理论下梁的临界屈曲载荷和固有频率。
从式(19)知道,经典理论和一阶理论之间矩形截面梁的临界载荷通过下式相联系p E cr=p T cr(1+p E crk s Gbh)(24) 同理,由式(23)知道,经典理论和一阶理论之间矩形截面梁的横向自由振动固有频率由下式相联系ω2E=ω2T(1+1+v6k s h2ωEρAD x)(25) 方程(24)、(25)不仅给出了不同梁理论之间的临界载荷或固有频率的差别,也清楚地显示了横向剪切变形对经典结果影响的本质特点。
从中可以看出,经典理论总是高估了特征值的数值。
图1 无量纲临界载荷随h/l的变化曲线图2 无量纲固有频率随h/l的变化曲线图1、图2分别给出了各向同性矩形截面梁的无量纲临界屈曲载荷λ=(p T cr,p E cr)l2/D x以及无量纲固有频率ω0(ωT,ωT,ωE)l2ρA/D x的数值结果。
在图2中,TBT(t)表示横向振动时的相应频率结果。
从中可以看出,随着h/l的增大,横向剪切变形对临界屈曲载荷和固有频率的影响逐渐增强;转动惯性对固有频率的影响是明显的。
5结 论1) 本文利用经典梁理论与一阶剪切变形梁理论之间,梁的特征值问题在数学上的相似性,将微分方程的特征值问题的求解转化为求解一个代数方程,并导出了不同理论之间梁特征值的精确解析关系。
因此,只要已知梁的经典结果(临界载荷和固有频率),不需要经过较复杂的数学运算,便很容易从这些关系中获得一阶理论下的相应结果。
2) 利用所得解析关系,比较了不同梁理论下的临界屈曲载荷或固有频率的差别。
结果清楚地显示了横向剪切变形对经典结果影响的本质特点,可以看出,经典理论总是高估了特征值的数值。
3) 这些精确的解析关系可以用于检验一阶梁理论下相应数值结果的有效性、收敛性以及精确性等问题。
4) 本文得到的这些关系,不仅可以用于各向同性梁,也可以用于对称层合梁以及横观各向同性梁的相应问题。
参 考 文 献[1] Wang C M,Lee K H.Buckling load relationship betw een Red-dy and Kirchh off circular plates[J].Journal of Franklin In sti-tute,1998,335:989-995.[2] W ang C M,Reddy J N.Buck ling load relationship betweenReddy and Kirch hoff plates of polygonal shape with simplysup ported edges[J].M echanics Res earch Communications,1997,24:103-108.[3] Wang C M,Kitipornchai S,Reddy J N.Relationship betweenvibration frequencies of Reddy and Kirchh off polygonal platesw ith simply sup ported edges[J].AS M E J ournal of Vibrationand Acou stics,2000,122:77-81.[4] M a L S,Wang T J.Relation ships betw een axisymmetric ben-ding and buckling solu tion s of FGM circu lar plates based onthird-order plate th eory and classical plate theory[J].Interna-tional Jou rnal of S olids and Structu res,2004,41:85-101.[5] 马连生.功能梯度板的弯曲、屈曲和振动:线性和非线性分析[D].西安交通大学,2004.[6] Reddy J N,Wang C M,Lee K H.Relationship s betw een ben-ding solutions of clas s ical and shear deformation beam theories[J].International J ou rnal of Solids and Structu res,1996,34: 3373-3384.[7] Conw ay H D.Analogis betw een the buckling and vibration of po-lygonal plates and membranes[J].Can Aeron J,1960,6:263. [8] D Pnueli.Low er b ounds to the gravest and all higher frequen-cies of hom ogeneou s vibrating plates of arbitrary sh ape[J].ASM E J ou rnal of Ap plied M echanics,1975,42:815-820.449第3期 马连生,等:经典理论与一阶理论之间简支梁特征值的解析关系am line.By means o f the model experiments ,the description of w ater streamline curvature o n spillw ay bucket is presented by introducing the co nception of thin closing w all layer and assumptio n of moderation transition streamline to sm oo th the streamline in the region affected by centrifugal force ,w hich reflects the rule of w ater flo w pressure alo ng normal and tangent directio n of bucket.Keywords :spillway ,pressure distribution ,boundary layer.Method for Evaluating Ultimate Subsea PipelineStress in Anti -Seismic DesignS un Zhengce 1,2Duan Menglan 1,3Zhang Wen 2Y ue Zhiyong 4J ia X u 5Su J ing 5(Yangtze University ,Jingz hou ,Hub ei ,434023,China )1 (Fu dan University ,Shanghai 200433,Chin a )2(COPPE ,Federal University of Rio de Janeiro ,RJ68501Brazil )3(Pekin g University ,Beijin g 100871,China )4 (CNOOC Research Center ,Beijing 100027,C hina )5A bstract :Based on the plastic slippag e theory for soil -pipeline interaction ,a m ethod fo r evaluating the ulti -m ate seismic stress is developed ,w here the interactions of seismic stress w ith the geometric parameters and the buried depth of pipelines are co nsidered.A n engineering case dem onstrates that increasing w allthickness of the pipeline and decreasing the buried depth enable to reduce the ultimate seismic stress ,en -larg ing the outer diameter of pipeline does not aparently lo wer the stress due to the enhanced soil con -straint.Keywords :of f shore pipelines ,seismic design ,shear strength ,ultimate stress ,plastic constraint ,p lasticslippage.Analytical Relationships of Eigenvalue for a Simply SupportedBeam Between EBT and TBTMa LianshengOu Zhiy ing(S chool of Sciences ,Lanzhou University of Science and Techn ology ,Lanzhou 730050,C hina )A bstract :Based on the mathem atical similarity of the eig envalue problem of the Euler -Bernoulli beam theo -ry (EBT )and Timoshenko beam theory (TBT ),relationships betw een the eig envalues of the tw o theo ries fo r beam s are investigated.Solving of the eigenvalue problem is converted into an algebra equation to be solv ed and the analy tical relationships that are expressed ex plicitly betw een various theo ries are presented.These relationships enable the conversio n of the classical (Euler -Bernoulli )beam solutions to their shear defo rmable co unterparts using the Timo shenko beam theory.The shear defo rmable results obtained from these relationships m ay be used to check the validity ,convergence and accuracy o f numerical results of the Timo shenko beam theory and Reddy 's third -orde r beam theo ry.Keywords :euler -be rnoulli beam theory ,tim oshenko beam theory ,analy tical relationship ,eigenv alue.ⅨNo.3 CH INESE JOU RNAL OF APPLIED M ECH ANICS 。
