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弹塑性力学-第3章 应变状态

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第三章 变形几何理论

第三章 变形几何理论

弹塑性力学
第三章 变形几何理论 （续1）
第三章概述与学习指导： ★ 第三章概述与学习指导：
本章介绍了弹塑性力学基本理论中的几何变形 的应变理论。 的应变理论。 在应变理论的研究过程中， 在应变理论的研究过程中，仅在连续性假设和 小变形的前提条件下研究变形， 小变形的前提条件下研究变形，而没有涉及到材料 具体的变形性质。 具体的变形性质。 因此， 因此，几何变形的应变理论是对固体力学各分 支学科普遍适用的理论。 支学科普遍适用的理论。 本章应变理论的学习可分成以下三部分进行学 习：
◆ 考察单元体在xy平面上投影 ABCD 的变形。 考察单元体在xy平面上投影 的变形。 xy ◆ 当微分体
变形并出现位 移后， 移后，其在xoy 平面上的投影
ABCD 就移至
新的位置： 新的位置：
A′B′C ′D′
如图所示。 如图所示。
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续5）
位移
｛
刚性位移：反映物体整体位置的变动； 刚性位移：反映物体整体位置的变动； 变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化； 变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化；
研究物体在外力作用下的变形规律， 研究物体在外力作用下的变形规律，只 需研究物体内各点的相对位置变动情况， 需研究物体内各点的相对位置变动情况，即 研究变形位移。 研究变形位移。
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续1）
通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数， 通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数， 坐标即为： 参照 oxyz 坐标即为：
u = u (x , y , z) ； v = v (x , y , z) ； w = w (x , y , z)

《弹塑性力学》第三章 应变分析

《弹塑性力学》第三章 应变分析

而 ij 表示变形体的形变，ij 表示了刚体转动。
2021/8/9
11
§3-2 应变张量和转动张量
以在平面x1 —x2的两个垂直线段PQ、PR 的相对位移来说明并直观看一下ij，ij二阶张
量表示了形变和刚体转动。
x2
R
dx2=1
P
Q
dx1=1
x1
2021/8/9
12
§3-2 应变张量和转动张量
x2 R
此处c为一个很小的常数，求应变张量ij 和转 动张量 ij 。
2. 将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系 应变分量的转换关系。
2021/8/9
31
作业：
3. 假定体积不可压缩，位移 u1(x1,x2) 与
u2(x1,x2) 很小， u3=0。在一定区域内已知
u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12) ,其中a、b、c为 常数，且12=0，求 u2(x1,x2)。
1 2
eijkijek
为转动张量的对偶矢量。
2021/8/9
16
§3-2 应变张量和转动张量
比较工程应变定义和应变张量，可得：
11 12 13 11 212 213
21
22
23
2
21
22
2
23
31 32 33 231 232 33
2021/8/9
17
§3-3 应变张量和转动张量的坐 标变换式
于为一由个，纯沿其刚大x体3小轴转方动3向: 可的见转，动矢12=量-231e，3，正方好向相当e3
3
1 2
(12
21 )
1 2
(e12312
e213 21 )

弹塑性力学 第3章弹性与塑性应力应变关系

弹塑性力学 第3章弹性与塑性应力应变关系

3－5 塑性应力应变关系
在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应
变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。 如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状 态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终 的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，
以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论 是塑性力学中的基本理论。

A B
模型：
s
e E E s s e
O


线性强化弹
塑性模型：
A
B E1
s
E
O
s

e E E1 ( s ) s e

B
线性强化刚塑性
A
模型：
s
O

E s
或 其中
i s
i
3 2
0 3J 2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
形变比能
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 Ws 12G
用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 用3个主应力差与3个主应变差表示
屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它
是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。 在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点（屈服应力点）连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面， 这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。

岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态

岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态

§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起，才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变： ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀，小于零体积压缩。
• 注意：土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等，表明它们所对应的应变莫尔圆 相似，也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下，应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因

第三章 应变状态理论

第三章 应变状态理论

ε x ε y ε z ε xy ε yz ε zx
则相对位移张量（非对称） 则相对位移张量（非对称）可分解为应变张量与转 动张量。 动张量。
2010-11-10 19
3.3 转轴时应变分量的变换
设在坐标轴oxyz下，物体内某一点的 个应 下 物体内某一点的6个应 设在坐标轴 变分量为 εx ,ε y ,εz ,γ xy,γ yz,γ zx 。现使坐标轴旋 转一个角度，新老坐标的关系为： 转一个角度，新老坐标的关系为： x y z
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
v z w x u y

ω ω 称为转动分量。 称为转动矢量， 这里的ω 称为转动矢量，而ω x， y ， z 称为转动分量。 由此，可将相对位移张量分解为两个张量： 由此，可将相对位移张量分解为两个张量：
∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z
x
+ε
y
+εz)
则体应变为
V * −V θ = = εx +εy +εz V
2010-11-10 27
又可表示为： 又可表示为：
∂u ∂v ∂w θ = + + ∂ x ∂ y ∂z
对于某一初始连续的物体，按某一应变状态变形 后必须保持其整体性和连续性，即物体既不开裂，又 不重叠，此时所给定的应变状态是协调的，否则是不 协调的。
2010-11-10 30
εij应变张量各分量满足的应变协调条件： 应变张量各分量满足的应变协调条件：
2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy + 2 = 2 ∂y ∂x ∂x∂y

第3章-应变分析

第3章-应变分析

xx ( ij ) yx zx
xy xz x yy yz 1 2 yx 1 zy zz 2 zx
1 2
xy y 1 2 zy
简记为： 1 (u u ) ij j ,i i, j 1 2 2 xz 1 2 yz 称为应变张量 z
—P点沿 x,y 两垂直方向棱边角度的变化： xy yx xy 考察 apa ，由于 yx 很小，故有
于是有：
xy yx
v u x y
dy v v ( x, y )
dy
b
d
v v( x dx, y)
y
p
（3-5）
z
o x
z
dz
f
c
dx a p b d
e g
p
dy
o x
y
< i > Oxy平面：微元体pabd（六面体在xy平面上的投影部分）。
dy v v
y
dy v v ( x, y )
v
b
p
x
xy
b b
d a
v v( x dx, y)
p yx a
dy
M (ii) 切应变：物体内一点P(x,y,z)的两垂直方向 和 N 方向之 间的角度变化量，称之为 M 和 N 方向的切应变。
则 xy ：变形后 x、y 两垂直方向间夹角的变化量。
MN 1 2
变形后 M、N 两垂直方向间角度的变化量
规定：两轴正向间的夹角减小为正，夹角增大为负。
Chapter 3 应变分析
3-1、位移与变形

第3章弹性与塑性应力应变关系(修改)解读


四、名义应力与真实应力
在一般的拉伸实验中，设 A0 为初始截面积，P为外载，
则有：
名义应力： P / A0
若试件标距长度为 l0，伸长为 l，则有：
2020/3/12周书敬
9
第三章 弹性与塑性应力应变关系
名义应变： l / l0
这里的 并不是试件截面上的真实应力，这是因为在
3-1中的 DO、HO ，可以看出当逐渐卸除拉力，应力和应变
关系将沿着与OB平行的斜线 DH 和 HO回到O 点和O点。
如果由点 O"开始再加载，则加载过程仍沿 O"H线' 进行， 直到H点后材料才开始屈服，因此材料的比例极限得到了提 高。
5、局部变形阶段： b点以后
在b点之前，试件处于均匀的应变 状态，到达b点之后，试件出现颈缩现
2020/3/12周书敬
8
第三章 弹性与塑性应力应变关系
一般认为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间的残余应 力引起的。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。
理想包辛格效应：若一个方向屈服极限提高的数值和相 反方向屈服极限降低的数值相等，则称为理想包辛格效应。
包辛格效应的数学描述比较复杂，因而在塑性力学中， 对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。
E
（3－1）
式中：E—弹性模量（moculus of elastics） ；
2020/3/12周书敬
3
第三章 弹性与塑性应力应变关系
A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit）
2、弹性变形阶段 ： AB段
这时， 与 之间的关系不再
是线性，但变形仍然是弹性的； B点 对 应 的 应 力 称 为 弹 性 极 限 (elastic limit)。

弹塑性力学-03应力应变关系


x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
G
2(1 E
) xy
yz
yz
G
2(1 E
)
yz
zx
zx
G
2(1 E
)
zx
School of Engineering and Technology,China University of Geosciences
School of Engineering and Technology,China University of Geosciences
❖ 屈服曲线的性质：
1. 屈服曲线是一条封闭曲线，并且坐标原点被包围在内。
2. 由原点O向外作的射线与屈服曲线必相交，且只相交一次（材料的初 始屈服强度是唯一的）。
School of Engineering and Technology,China University of Geosciences
§3–1 拉伸应力 -- 应变曲线
二、真应力--应变曲线
T
P A
A'
TA
B A
A
o'
o
1
A
材料不可压缩： Al A0l0
T
P A0
l l0
T (1 )
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x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
G
2(1 E

第三章 弹塑性本构关系


d ij d 0 dσ n 0
p ij
加载准则
意义：只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。
3德鲁克塑性公设的评述
德鲁克公设的适用条件：
（1）应力循环中外载所作 的真实功与ij0起点无关；

p ij
ij d ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
1 屈服曲面的外凸性
0 ( ij ij )dijp | A0 A || d p | cos 0
ij
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向 与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90° 稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
0 ij
由得屈服条件流动法则硬化规律判断何时达到屈服屈服后塑性应变增量的方向也即各分量的比值决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小本节内容屈服后塑性应变增量的方向也即各分量的比值1加载曲面后继屈服面由单向拉伸试验知道对理想塑性材料一旦屈服以后其应力保持常值屈服应力卸载后再重新加载时其屈服应力的大小也不改变没有强化现象
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性 位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有 一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势 函数，记为：
g I1, J 2 , J3 , H 0
g ij , H 0
或
式中， H 为硬化参数。 塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达 式来表示，即： g p
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
p p d ij D d ij
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即

000弹塑性力学-应变理论


另一种则是物体的任意两点之间 的相对距离发生了改变,从而使其 形状和尺寸发生了变化,即物体产 生了变形,产生这种情形的位移, 就称之为变形位移.
显然,要研究物体在外力作用下
的变形规律,只需要研究物体内
各点的相对位置变动情况也即 砂土
地下水位
总应力 中和应力 有效应力
不 粘 透 土 水
砂土 低 粘 透 土 水
（3-4）
我们从剪应变本身的含义及其推导
过程可知: xy yx , yz zy , zx xz
并且在下节可证明:
xy

1
2
xy

1 2

v x

u y

yz

1
2
yz

1
2

w y

v z

zx

1
2
zx
xy
（e）
由图3 3可见 :
v dx
v


tan

x dx u
dx

x 1 u
x
x
（f）
在式( f )的分母中, u 与1相比是一个 x
微量,故可略去,因而得 :
= v
砂土
地下水位
总应力 中和应力 有效应力
不 粘 透 土 水
砂土 低 粘 透 土 水
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
还可找到沿其他方向的线应变、角
应变和转角.
归纳起来,在空间情况下,受力物 体内的一点沿三个坐标轴x、y、z
方向上的线应变x、 y、z ,以及过
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第三章 应变状态理论在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。

如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。

如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。

应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。

即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。

这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。

本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。

位移与线元长度、方向的变化坐标与位移设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w )，这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。

于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。

即⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的，则式确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。

因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式是单值的，所以式可看成是坐标的一个变换。

如果在中，假设00,y y x x ==，则由式可得如下三个方程⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,((00000000z y x w z z y x v y z y x u x ςηξ式决定了一条曲线，曲线上各点Λ,,21**M M ，在物体变形前为平行于z 轴的直线(00,y y x x ==)上(图。

由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线，在变形后的物体上一般将成为曲线。

换句话说，如果用没有变形状态的坐标(z y x ,,)末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用),,(ζηξ表示各点的坐标，则对巳变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体将是曲线坐标。

由以上可见，描述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为Lagrange 法Euler法。

Lagrange 描述法是用变 形前的坐标 (z y x ,,)做自变 量，而Euler 法则是用变形 后的坐标),,(ζηξ做自变量。

在固体力学中，通常物 体的初始形状、固定情况以 及载荷是一定的，需要确定 的是物体各点的位移u 、v 、w 和应力ij σ。

对于小变形一般采用Lagrange 坐标法；而 对于大变形有时用Euler 法。

在数值计算中，通常采用矢量 来表示，因为要计算变形前后 两次应变的变化，所以用Euler 法比较方便。

在以后的讨论中，我们采用Lagrange 坐标法。

图 变形表示法变形体的应变设物体中变形前相距十分近的两点N M ,，变形后移位至**N M ,。

变形前N M ,的坐标分别为),,(z y x M ，),,(dz z dy y dx x N +++，变形后**N M ,的坐标分别),,(),,,(ζζηηξξζηξd d d N M +++**。

那么，矢量MN 所表示的线元在物体变形后由矢量**N M 表示线元。

那么，MN 和**N M 的平方为2222dz dy dx dS ++== (a)2222ζηξd d d dS ++==* (b)根据式，点*N 在x du u dx x d +++=+ξξ (c) 此处du 是因N M ,两点所产生的增量，将其在(z y x ,,)处展开为Taylor 级数，即Λ+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=222222222)()()(dz z u dy y u dx x u dz z u dy y u dx x u du (d)略去(d)式中的高阶微量(2)dx ，…，并将(d)式代入(c)式，则可得 dz zudy y u dx x u u dx x d ∂∂+∂∂+∂∂+++=+ξξ 由式知，u x +=ξ,所以 dz zudy y u dx x u d ∂∂+∂∂+∂∂+=)1(ξ 同理可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂++∂∂+∂∂=∂∂+∂∂++∂∂=dz z w dy y w dx x w d z v dy y v dx x v d )1()1(ζη式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。

我们的目的是为了计算dS 与*dS 之差，于是由(a)式和(e)式可得)(222222dzdx dydz dxdy dz dy dx dS dS zx yz xy z y x γγγεεε+++++=-* (f)式中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂====∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂====∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=xz zx xz zxzy yz zy yz yx xy yx xy z y x z wx w z v x v z u x u x w z u zwy w z v y v z u y u y w z v y wx w y v x v y u x u x v y u z w z v z u z w y w y v y u y v x w x v x u x u εεγγεεγγεεγγεεε222222)()()(21)()()(21)()()(21222222222式实际上就是应变在各坐标方向的分量，它是非线性的。

如果知道了变形体各点的位移u 、v 、w ，则可由该式求得各点的应变分量，式可采用张量表示为{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=z zy zx yz yyxxz xy x ij εγγγεγγγεε212121212121线元的长度变化 引入符号dSdSdS E MN -=* MN E 是点M 和N 间由变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的比．我们把这个量称作点M 在点N 方向的相对伸长度。

根据式(a)和式(f)，并注意式，则可得伸长度MN E 的表达式为dzdx dydz dxdy dz dy dx dS E E zx yz xy z y x MN MN γγγεεε+++++=+2222)211(=nl mn lm n m l zx yz xy z y x γγγεεε+++++222式中 dS dx l =，dS dy m =，dSdzn =是矢量的方向余弦。

如果在(g)式中令0,1===n m l ，那么有121-+=x x E ε此处x E 表示M 点在x 方向的相对伸长度。

类似有M 点在y 、z 方向的相对伸长度为121-+=y y E ε 121-+=z z E ε因此，应变分量x ε、y ε、z ε描述了变形前平行于坐标轴的那些线元的伸长度，它们称为正应变。

线元方向的变化变形物体中的线段，在变形时不仅长度要改变，而且方向也会发生变化。

矢量与坐标轴(X ，Y ，Z)形成的方向余弦分别为l 、m 、n ；而矢量**N M 与坐标轴夹角的方向余弦分别为**=dS d l ξ **=dS d m η **=dS d n ζ 利用式解得*dS =dS E MN )1(+，并注意到式可得⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++∂∂+∂∂+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂++∂∂+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂++=***n z w m y w l x w E n n z v m y v l x v E m n z u m y u l x u E l MN MN MN )1(11)1(11)1(11 式表示任意线元在变形后的方向，即变形后**N M 的方向余弦可以用变形前的方向余弦表示。

如果变形前线元dx 与X 轴平行，则该线元的方向余弦为1=l ，0==n m ，那么由式知，该线元变形后的方向余弦为x E x u l +∂∂+=*11 x E x v m +∂∂=*1 xE x wn +∂∂=*1 此处x E 是变形前与X 轴平行线元的伸长度。

由上式可以看出，对于任意线元，因各个方向的位移u 、v 、w 不相同，因此方向要改变(图；同时各个方向的伸长度也不相同，方向也要改变。

因为线元dx 在变形后成为已变形物体 上坐标曲线ξ上的线元，所以式实际 上给出了点*M 上坐标曲线ξ的切线方向的 方向余弦。

类似地可以由 式得出已变 形物体上坐标曲线y 和z 的切线的方向余弦。

如果用x i 、y i 、z i 表示点*M 在坐标、ξ、ηζ切线方向的三个单位矢量，那么该三个单位矢 图 线元的方向余弦 量相对于笛卡尔坐标的方向余弦可由式 如同线元dx 那样得到类似的式。

具体列于表。

类似于的方法也导出用**N M 的方向余弦表示变形前的方向余弦，读者可自行推导。

表 变形后相对于笛卡尔坐标的方向余弦剪切度与切应变 如图所示，设变形前物体中经过M 点的两条任意纤维I 和II ，此两纤维在M 点的切线的方向余弦分别为1l 、1m 、1n 和2l 、2m 、2n ；变形后，物体中的M 点移动到*M ，纤维I 和II 变成纤维*I 和*II ， 纤维*I 和*II 的方向余弦也变为*1l 、*1m 、*1n 和*2l 、*2m 、*2n 。

由前面可知，变形后两纤维的方向余弦可用 X变形前的方向余弦表示，同时由解析几何知 图 剪切变形********++=II I 212121),cos(n n m m l l 则可求得变形后纤维*I 和*II 之间夹角的方向余弦。

将式代入上式，并注意式，则可得[212121)21()21()21()1)(1(1)cos(n n m m l l E E ，z y x εεε+++++++=II I I I I **])()()(122121122121l n l n m n m n m l l m zx yz xy ++++++γγγ注意，式中纤维I 和II 的伸长度I E 和I I E 由确定，但必须用变形前物体的纤维I 和II 的方向余弦1l 、1m 、1n 和2l 、2m 、2n 。

由显然可知，当知道了6个应变分量x ε、y ε、z ε、xy γ、yz γ、zx γ和变形前经过物体中任意一点处的两纤维的方向余弦后，则可由式和求得该两纤维变形后的夹角。