第三章 应变状态理论
在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，
即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。
位移与线元长度、方向的变化
坐标与位移
设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w )，这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即
??
?
??
+=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ
上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的，则式确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式是单值的，所以式可看成是坐标的一个变换。 如果在中，假设00,y y x x ==，则由式可得如下三个方程
??
?
??
+=+=+=),,(),,(),,((00000000z y x w z z y x v y z y x u x ?ηξ
式决定了一条曲线，曲线上各点Λ,,2
1*
*M M ，在物体变形前为平行于z 轴的直线(00,y y x x ==)上(图。由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线，在变形后的物体上一般将成为曲线。换句话说，如果用没有变形状态的坐标(z y x ,,)末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用),,(ζηξ表示各点的坐标，则对巳变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体将是曲线坐标。 由以上可见，描述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为Lagrange 法Euler
法。Lagrange 描述法是用变 形前的坐标 (z y x ,,)做自变 量，而Euler 法则是用变形 后的坐标),,(ζηξ做自变量。 在固体力学中，通常物 体的初始形状、固定情况以 及载荷是一定的，需要确定 的是物体各点的位移u 、v 、
w 和应力ij σ。对于小变形一
般采用Lagrange 坐标法；而 对于大变形有时用Euler 法。 在数值计算中，通常采用矢量 来表示，因为要计算变形前后 两次应变的变化，所以用Euler 法比较方便。在以后的讨论中，
我们采用Lagrange 坐标法。 图 变形表示法
变形体的应变
设物体中变形前相距十分近的两点N M ,，变形后移位至**N M ,。变形前N M ,的坐标分别为),,(z y x M ，),,(dz z dy y dx x N +++，变形后**N M ,的坐标分别
),,(),,,(ζζηηξξζηξd d d N M +++**。那么，矢量MN 所表示的线元在物体变形
后由矢量**N M 表示线元。那么，MN 和**N M 的平方为
2222dz dy dx dS ++== (a)
2222ζηξd d d dS ++==* (b)
根据式，点*N 在x du u dx x d +++=+ξξ (c) 此处du 是因N M ,两点所产生的增量，将其在(z y x ,,)处展开为Taylor 级数，即
Λ+??+??+??+??+??+??=2222
22222)()()(dz z u dy y u dx x u dz z u dy y u dx x u du (d)
略去(d)式中的高阶微量(2)dx ，…，并将(d)式代入(c)式，则可得 dz z
u
dy y u dx x u u dx x d ??+??+??+++=+ξξ 由式知，u x +=ξ,所以 dz z
u
dy y u dx x u d ??+??+??+=)1(ξ 同理可得
??
?
??
??
??++??+??=??+
??++??=
dz z w dy y w dx x w d z v dy y v dx x v d )1()1(ζη
式表示用物体的任意线元在变形前的投影表出它在变形后的投影。我们的目的是为了计算dS 与*dS 之差，于是由(a)式和(e)式可得
)(222222
dzdx dydz dxdy dz dy dx dS dS zx yz xy z y x γγγεεε+++++=-* (f)
式中
?
???
??
??
???
?
??
???==????+????+????+??+??====????+????+????+??+??====????+????+????+??+??==?
??
?????+??+??+??=???
?????+??+??+??=???
?????+??+??+??=
xz zx xz zx
zy yz zy yz yx xy yx xy z y x z w
x w z v x v z u x u x w z u z
w
y w z v y v z u y u y w z v y w
x w y v x v y u x u x v y u z w z v z u z w y w y v y u y v x w x v x u x u εεγγεεγγεεγγεεε222222)()()(21)()()(21)()()(21222222222
式实际上就是应变在各坐标方向的分量，它是非线性的。如果知道了变形体各点的位移u 、v 、w ，则可由该式求得各点的应变分量，式可采用张量表示为
{}??
??
?
?????????????=z zy zx yz y
yx
xz xy x ij εγγγεγγγεε2
1212121
212
1
线元的长度变化 引入符号
dS
dS
dS E MN -=
* MN E 是点M 和N 间由变形引起的距离的增加量对二者间变形前的距离的比．我
们把这个量称作点M 在点N 方向的相对伸长度。
根据式(a)和式(f)，并注意式，则可得伸长度MN E 的表达式为
dzdx dydz dxdy dz dy dx dS E E zx yz xy z y x MN MN γγγεεε+++++=+2222)21
1(
=nl mn lm n m l zx yz xy z y x γγγεεε+++++222
式中 dS dx l =，dS dy m =，dS
dz
n =是矢量的方向余弦。如果在(g)式中令
0,1===n m l ，那么有
121-+=x x E ε
此处x E 表示M 点在x 方向的相对伸长度。类似有M 点在y 、z 方向的相对伸长度为
121-+=y y E ε 121-+=z z E ε
因此，应变分量x ε、y ε、z ε描述了变形前平行于坐标轴的那些线元的伸长度，它们称为正应变。
线元方向的变化
变形物体中的线段，在变形时不仅长度要改变，而且方向也会发生变化。矢量与坐标轴(X ，Y ，Z)形成的方向余弦分别为l 、m 、n ；而矢量**N M 与坐标轴夹角的方向余弦分别为
**=
dS d l ξ *
*=dS d m η **=dS d n ζ 利用式解得*dS =dS E MN )1(+，并注意到式可得
?
?
?
?
?
????
????????++??+??+=????????+??++??+=????????+??+??++=
***n z w m y w l x w E n n z v m y v l x v E m n z u m y u l x u E l MN MN MN )1(11)1(11)1(11 式表示任意线元在变形后的方向，即变形后**N M 的方向余弦可以用变形前的方向余弦表示。如果变形前线元dx 与X 轴平行，则该线元的方向余弦为1=l ，
0==n m ，那么由式知，该线元变形后的方向余弦为
x E x u l +??+
=
*11 x E x v m +??=*1 x
E x w
n +??=*1 此处x E 是变形前与X 轴平行线元的伸长度。由上式可以看出，对于任意线元，因各个方向的位移u 、v 、w 不相同，因此方向要改变(图；同时各个方向的伸长度也不相同，方向也要改变。
因为线元dx 在变形后成为已变形物体 上坐标曲线ξ上的线元，所以式实际 上给出了点*M 上坐标曲线ξ的切线方向的 方向余弦。类似地可以由 式得出已变 形物体上坐标曲线y 和z 的切线的方向余弦。 如果用x i 、y i 、z i 表示点*M 在坐标、ξ、ηζ
切线方向的三个单位矢量，那么该三个单位矢 图 线元的方向余弦 量相对于笛卡尔坐标的方向余弦可由式 如同线元dx 那样得到类似的式。具体列于表。
类似于的方法也导出用**N M 的方向余弦表示变形前的方向余弦，读者可自行推导。
表 变形后相对于笛卡尔坐标的方向余弦
剪切度与切应变 如图所示，设变形前物体中经过M 点的两条任意纤维I 和II ，此两纤维在M 点的切线的方向余弦分别为1l 、1m 、1n 和2l 、2m 、2n ；变形后，物体中的M 点移动到*M ，纤维I 和II 变成纤维*I 和*II ， 纤维*I 和*II 的
方向余弦也变为*1l 、*1m 、*1n 和*2l 、*2m 、*
2n 。由前面可知，变形后两纤维的方向余弦可用 X
变形前的方向余弦表示，同时由解析几何知 图 剪切变形
********++=II I 21212
1),cos(n n m m l l 则可求得变形后纤维*I 和*II 之间夹角的方向余弦。将式代入上式，并注意式，则可得
[212121)21()21()21()
1)(1(1
)cos(n n m m l l E E ，z y x εεε+++++++=
II I I I I **
])()()(122121122121l n l n m n m n m l l m zx yz xy ++++++γγγ
注意，式中纤维I 和II 的伸长度I E 和I I E 由确定，但必须用变形前物体的纤维I 和II 的方向余弦1l 、1m 、1n 和2l 、2m 、2n 。
由显然可知，当知道了6个应变分量x ε、y ε、z ε、xy γ、yz γ、zx γ和变形前经过物体中任意一点处的两纤维的方向余弦后，则可由式和求得该两纤维变形后的夹角。
如果变形前物体中纤维I 和II 分别平行于X 轴和Y 轴，则121==m l ，其余的方向余弦为02211====n l n m ，且变形后物体中纤维*I 和*II 的切线方向分别与
单位矢量x i 、y i 重合，则根据式和表达式可知 )
21)(21()
1)(1(),cos(y x xy
y x xy
y x E E i i εεεε++=
++=
在变形前，纤维I 和II 的夹角为直角，令xy ?为变形后纤维引起的夹角减少量，那么由上式可得
)
21)(21(sin )2
cos(),cos(y x xy
xy xy y x i i εεε??π
++=
=-=
类似可得分别与Y 、Z 轴和Z 、X 轴平行的两纤维夹角的减少量yz ?和zx ?为
???
?
?
??++=
++=
)21)(21(sin )21)(21(sin x z zx
zx z y yz
yz εεε?εεε?
称角xy ?、yz ?和zx ?为剪切度。由以上分析可知，xy γ、yz γ和zx γ表示了切应变，当它们均为零时，则纤维之间的夹角变形后保持不变。
由以上的分析可知，在式中，应变{}ij ε所出现的量不外乎下面9个分量
?????
???
????????????????????????????=z w y
w x
w z v y v x v z u y u
x u u j
i , 称j i u ,为相对位移张量。因此，当知道了位移对坐标的偏导数，则可根据式计算出应变分量{}ij ε，从而也就知道了任何一根线段在任何方向的伸长MN E (由式)，同时还可计算出原来与坐标轴平行的两线段角度的减少量ij ?，更一般地还可计算
),cos(**II I ，因此{}ij ε充分地表示了应变。如果{}ij ε=0，则意味着没有变形，仅有
刚体移动或转动；如果已知应变分量{}ij ε，则不能求得一根线段的绝对角度变化，
因为这时并不知道中的任何值，所以也无法由式求得、l *1、l *
2
…等，反过来也不知道1l 、2l …等，所以),cos(**II I 无法求出。
3.2 应变张量与转动张量
一般来说，物体中各点的变形由式中{}ij ε的6个分量可完全确定，因为知道了
这6个分量就等于知道了伸长度和剪切度。
在变形理论分析中，通常还需引入9个参数，即
??
??
?
?
?????-??=??-??=??-??=??+??==??+??==??+
??==??=??=
??=
)(21)(21)
(21y u x v x w z u z
v y w z u x w e e y w z v e e x v
y u e e z w
e y v e x
u e z y x xz zx zu yz yx xy z y x ωωω
这样，位移的所有一阶偏导数都于由这式的9个参数表示为
????
?
????=??+=??-=??-=??=??+=??+=??-=??=??z
x yz y xz x yz y z
xy y xz z xy x e z w e y w e x w e z v e y v e x v e z u e y u e x u
ωωωωωω2
1
21
2121
21
2
1
微元体的转动
为了研究微元体的转动，首先阐述z y x ωωω,,的几何意义。为此，设垂直于Z 轴的线元为MN ，利用，并注意此时0=dz ，则式成为
??
???
??
??
++-=+++=-++=dy e dx e d dy e dx e d dy e dx e d x yz z xz y z xy z xy x )21
()21()1()21()2
1()1(ωωζωηωξ
在图中表示出平面XOY ，线段MN 是变形前线元的长度，而线段**1N M 是变形后在平面XOY 上的投影。根据图 显然有 dx
dy
=
θtan ，ξηθd d =*tan
再根据式和分子分母均除MN 原长
dS ，则有
θ
ωθθ
θωθsin )2
1
(cos )1(sin )1(cos )2
1
(tan z xy x y z xy e e e e -+++++=* 图 线元角度的变化
变形物体在变形过程中，由前节已经知道，线元不仅产生尺度变化，而且线元的方向也发生变化。但是在变形时起变化的不仅线元的相对方向，而且还有它的绝对方向，因为从初始状态的物体中割离出来的无限小微元体，到终了状态时，除了产生形变外，还有—些转动。把这术语应用到微元体上(它在产生位移过程中不仅位置要发生改变，而且还改变了大小和形状)，意指所有属于微元体的许多个线元转动的平均值。同时，约定ψ作为绕z 轴的转动角，此处z 轴是变形前和线元MN 垂直的轴，ψ是线元MN (在变形前的位置)和它在变形后**N M 在垂直z 轴平面上投影之间的夹角(图．因此
MN 因变形产生绕z 轴的转动角为
θθψ-=*z 由、和三角函数关系式 可得
=-+z
z
ψθψθtan tan 1tan tan θ
ωθθθωsin )2
1(cos )1(sin )1(cos )21
(z xy x y z xy e e e e -+++++
从上式可解得 图 线元绕z 轴角度变化
()θ
θθθθωψ2sin 2
1
sin cos 12sin 21
2cos 2
1tan 22xy y x x y xy z z e e e e e e +++-+
+-
= 取z ψ从0=θ到πθ2=间隔中的平均值(即取所有垂直于z 轴的线元的z ψtan 的平均值)，
2120
tan 21
tan H H d z
z +==
?θψ
π
ψπ
其中 ?
+++=π
θθθθ
π
ω
202212sin 2
1sin cos 12xy y
x Z
e e e d H
θθθθθ
θπ
π
d e e e e e e H xy y
x x y xy ?+++-+=
202222sin 2
1sin cos 12sin )(2cos 41
令θθθ2sin 2
1
sin cos 122xy y x e e e f +++=，则积分2H 可化为
0ln 4141
20
20
2===
?ππ
ππf f df H
而积分1H 可化为
?++-+++=π
αθθ
π
ω
20
2
21)2sin()(2xy y x y x
z
e e e e e
d H
=?++-+++π
αα
γ
γ
π
ω
22
2
sin )(22xy
y x y x z
e e e e e d (a)
式中 ()
()
????
? ?
?
+-=?????
?
?+--=22
22
arccos arcsin xy y x
xy
xy y x
y
x e e e
e e e e
e e α 由以上可得
α
πα
γ
ωπ
ψ+-++++-+++?-+++=
22
2
2
4
112)(2
tan
)2(arctan
4
1121
tan xy
y x y x xy
y x y x xy
y x y x z
z e e e e e e e e e e e e e e e (b) 因为所求得的arctan ()且多值函数，所以结果不定，但这种不定性可以揭示出来。如果考虑到使z y x e e e ,,趋近于零时，从(a)式可知积分1H 必然趋近于z ω，据此在 (b)式中必须使
πγ
α
πα
24
112)(2
tan
)2(arctan
22
2
=-++++-++++xy
y x y x xy
y x y x e e e e e e e e e e (c)
于是得到z ψtan 的表达式为 2
4
1)1)(1(tan xy
y x z
z e e e -++=
ωψ
用类似的方法可以写出x ψtan 和y ψtan 为
?
?
??
??
???-++=
-++=
2241)1)(1(tan 41)1)(1(tan xz z x y
y yz
z y x
x e e e e e e ωψωψ 三个参数x ψtan ，y ψtan ，z ψtan 表征出包围M 点的无限小体积的转动，它们分别和x ω，y ω，z ω成正比，而且在后者等于零时也等于零。因此，如果它们在任一坐标系Z Y X ,,等于零，那么它们在任何其他坐标系中都等于零。因此可得出结论，在物体上任一点，如果有
0===z y x ωωω
则表示通过该点的线元对于通过这点的任意轴平均来说没有转动。所以，等式是物体上M 点周围任意无限小微元体没有转动的条件。
应变张量与转动张量
在直角坐标系下，式称为Green 应变张量。虽然是在直角坐标系中导出的，但它们所描述的几何关系与坐标系的选择无关，因此适用于任意正交坐标系。从数学角度出发，Green 应变张量属对称二阶张量。
对于式，如果忽略高阶微量，则式中将成为
?
??
?
???
?
???
???
???==??+??====??+??====??+??==??=??=
??=
xz zx xz zx
zy yz zy yz yx xy yx xy z y x x w
z u y w
z v x
v
y u z w y
v x
u εεγγεεγγεεγγεεε222222 将其写为张量形式为
????
????
???????
??
?????+????+????+??????+????+????+????=z w
z
v y w z u x w z v y w y v y u x v z u x w y
u
x v x u ij )(21)(21)(21)
(21)(21)(21ε 在直角坐标系中，称式为Cauchy 应变张量，它也是二阶张量。
由张量分析知，任何一个二阶张量都可唯一地分解成一个对称张量和一个反对称张量。因此式可写成
ij ij i j j i i j j i j i u u u u u ωε+=-++=)(21
)(21,,,,,
其中ij ε的元素为式，而ij ω的各元素为
????
?
???
???????
???
??-????-????-????-????-????-??=0
)(21)(21)(210)
(21)(21)(210z
v y w z u x w y w z v y u
x v x w z u x
v y u ij ω 根据式，上式也可写为
???
?
?
???
?
?---=00
x
y x z
y z
ij ωωωωωωω
由知，ij ω反映了包围某点无限小微元体的转动，因此称ij ω为转动张量。 物体变形的描述与简化
以上的讨论阐述了已知位移u 、v 、w 决定物体任意一点无限小区域的位移、转动和纯应变三个因素，这些因素确定了假想从物体中切割出来的无限小微元体受载后的终了位置和终了形状。
但是必需指出，整体位移和微元体的转动并不是微元体变形的特征，变形是由应变ij ε所决定的。但是，如果说整个物体的变形，则其具有特征的是物体上各点的位移和各纤维的转动角。如梁的变形通常是指梁的挠度(即位移)，而轴的变形是指轴的一端相对于另一端的扭转角(即转动角)。因此从这个观点出发，位移和转动是整个物体变形的特征，而伸长度和剪切度是物体在无限小微元体变形的特征。这两个特征具有实际意义，前者决定承力构件或物体的刚度，后者决定承
力构件或物体的强度。
由上面的叙述可知，“小变形”这一术语就产生二种解析，“小形变”可以了解释为小伸长度和小剪切度(同1相比)；或者可以解释为小位移(同物体的尺度相比)和小转动角(同1相比)．必须指出，小变形的经典理论实际上是建立在小位移和小转动角的假设基础上的。但是这一情况很少用应有的明确程度加以说明。因此，习惯于将变形的概念联想到应变分量，以为是指小伸长度和小切应变。应孩强调的是关于小位移和小转动角的假投，比之小应变分量的假设，很大程度地限制了论述的普遍性、并且前一假设的结果也服从后一假设，但反过来则并不肯定。其次必须指出，在必须表明小位移时，常常没有预先说明它应和什么比较是微小的，其实这样的预先说明是十分必要的，因为位移是具有量纲的量。
今后使用“小变形”这一术语时，始终是指小伸长度和小剪切度(同1相比)。 此外，如果所研究的问题同时又有小位移和小转动，总是预先加以说明。 直到现在，还没有对伸长度和剪切度的大小加以任何限制。但是在弹塑性力学的论述中这样的普遍性照例是没有必要的，因为只有很少的材料(例如橡皮)才在颇大的相对应变的情况下还保留它的弹性的性质，大多数应用在工程上的材科(例如所有的金属和合金)仅在同1相比很小的伸长度和剪切度下才是弹性的。例如钢的弹性变形区域大概在相对伸长度的数值是10-3
到5310-?这一量级，钢的弹
性切应变的最大数值也在类似的量级上。有色金属(及其合金)，数字稍有不一样，但它们的弹性变形区域也限制在很小的伸长度和切应变内。
从上面可见，弹塑性力学应用于金属结构时，略去同1比较起来很小的伸长度和剪切度以简化公式是很自然的而且是合理的。由此，小应变理论提供了最大的实际兴趣。
当忽略同1相比很小的伸长度和剪切度来简化前面己求得的公式，则对于 实行简化，得到：
x x E ε=， y y E ε=， y z E ε= 而根据式得到
xy xy ε?≈， yz yz ε?≈， zx zx ε?≈
因此在小应变的情况下，应变分量z y x εεε,,可以与相应的伸长度等同看待，而应变
分量zx zx yz yz xy xy γεγεγε2
1
,21,21===可以与相应的剪切度等同，但因它们仍需用式
计算，所以小应变仍属非线性。
应当指出，如果转动很大，而剪切度却很小，那么在决定变形后线元的方向时，同转动相比可以略去剪切度(这里是指可一般略去剪切度；在有剪切度但不同
时有转动的式子中，就不能略去剪切度)。材料力学梁的理论中的平面假设、和板理论中的Kirchhoff 假设，就是这种简化处理可变形物体线元方向的例子，两者都是是假定同转动相比可以略去剪切度而作出结论的。
如果应变和转动角都很小，此时同1相比微小的不仅仅是应变分量，而且在中还可略去与转动角相关的平方项高，从而可以获得
x x x ωψψ≈≈tan ， y y y ωψψ≈≈tan z z z ωψψ≈≈tan 当伸长度、剪切度和转动角同1相比都很小时，利用式可将改写为
?
??
?
??
?
?
???
?
?????
=+-+++-+==+-+++-+==+-+++-+=?
?
?
???-++++=???
???-++++=?
?
?
???-++++=zx z xy x yz y xz x y xz z zx zx
yz y xz z xy x yz z x yz y yz yz xy x yz y xz z xy y z xy x xy xy x yz y xz z z z z xy x yz y y y y xz z xy x x x e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e γωωωωεγωωωωεγωωωωεωωεωωεωωε21
)21)(21()21()21(21
)21)(21()21()21(21)21)(21()21()21()21()21(21)21()21(21)21()21(2122222222 在应变分量公式中包括了以下项：(a)参数ij e 的线性项；(b)参数ij e 彼此相乘的项；(c k ω彼此相乘的项和(d)参数ij e 与k ω的乘积项。
当ij e 和k ω同1相比很小时，则有两种可能性，则有两种可能性：(1) k ω与ij e 同阶或更高阶的微量；(2) ij e 与2k ω同阶或更高阶的微量。
对于第一种情况，式中只需保留线性项，因此应变分量用式计算，即为Cauchy 张量。对于第二种情况，在式中只需保留(a)和(c)形式的项，简化后可得应变分量为
??
?
?
?
????
-≈++≈-≈++≈-≈++≈x z zx zx
y x z z z y yz yz z x y y y x xy xy z y x x e e e e e e ωωεωωεωωεωωεωωεωωε),
(2
1),
(21),
(21
2
222
22
式和式应用很广，式用于小应变分量和小转动分量，而且两者属同一量级时，则就是通常指的小变形情况。式用于小应变和小转动，但转动仍比应变大很多，因此适合柔性构件问题，如细长杆、板壳等，这种情况通常称为大变形小应变。
而式属大变形大应变问题。总之，Cauchy 应变张量属于线性问题，其余均为非线性问题。
主应变和应变不变量
应变张量的坐标变换
同一个变形可在不同的坐标系中研讨。在所有各种情况下，可以用前面所确定的六个应变分量把变形的特征充分地表示出来，但这六个应变分量的值却随坐标轴方向的选择而变更。
设原有的坐标系为X 、Y 、Z ，另—坐标系为'X 、'Y 、'Z ，它的各轴的方向对第一个坐标系各轴的方向余弦如表所示。
表 新旧坐标系之间的方向余弦
因为二个坐标系均为直角坐标，因此表所列方向余弦之间有下面的关系：
???
??
=++=++=++=++=++=++01
0101
3232322
322213131312322
21212121232
221n n m m l l n n n n n m m l l m m m n n m m l l l l l 上式也可写为
??
?
??
=++=++=++=++=++=++01
01
01
332211232323332211222222332211212121n m n m n m n m l n l n l n l n m l m l m l m l n m l 如果线段在第二个坐标系'X 、'Y 、'Z 各轴上的投影是'dx ，'dy ，'dz ，那么在
第—个坐标系X 、Y 、Z 各轴上的投影是：
??
?
??
++=++=++='3'2'1'3'2'1'3'2'1dz n dy n dx n dz dz m dy m dx m dy dz l dy l dx l dx
注意节中的式(f)左边是表示点M 和N 之间距离的平方因变形而引起的变化，由于这两点的选择与坐标无关，该式左边也应与坐标选择无关，因此在坐标变换过程是应是不变量。于是将式右边的dz dy dx ,,用矢量在新坐标上的投影
'dx ，'dy ，'dz 的代入，将有
)
(2)()()()2
11('''
''''''2''2''2''2dx dz dz dy dy dx dz dy dx dS E E zx yz xy z y x MN MN εεεεεε+++++=+ 其中
????
?
?
??
???
++++++++=++++++++=++++++++=+++++=+++++=+++++=)()()()()()()()()()()()()(2)(2)
(2131313133113313131'323232322332323232'
212121211221212121'
3333332
32323'2222222
22222'111111212121'l n n l m n n m m l m l n n m m l l l n n l m n n m m l m l n n m m l l l n n l m n n m m l m l n n m m l l n l n m m l n m l n l n m m l n m l n l n m m l n m l zx yz xy z y x zx zx yz xy z y x yz zx yz xy z y x xy zx yz xy z y x z zx yz xy z y x y zx yz xy z y x x εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
由以上可见，式与式在形式上相类似，因此式中所含的各系数
'
''''',,,,,zx
yz xy z y x εεεεεε在坐标系'X 、'Y 、'Z 中的意义与系数zx yz xy z y x εεεεεε,,,,,在坐标系X 、Y 、Z 的意义一样。显然，式 就是坐标轴变换时应变分量的变换规律。 主应变和应变不变量
现在讨论在那一个方向伸长度MN E 会具有极值。设取'X 轴平行这个方向，那么根据式有
'
)2
11(''x x x E E ε=+
或 121''-+=x
x E ε 由上式可见，求'x E 的极值归结为求'x ε的极值，也即要确定111,,n m l 的值，使得在该方向上使式中的第一式有极值。由式于知，111,,n m l 之间存在如下关系 01212121=-++n m l 那么，假设一函数为
)1(212121'
-++-=n m l f x
εε
式中ε为Lagrange 乘子。现将上式分别对111,,n m l 求偏导数，并使其等于零，则得如下线性方程组
??
?
??
=-++=+-+=++-0)(0)(0)(111111111n m l n m l n m l z yz zx yz y xy zx xy x εεεεεεεεεεεε
由于条件式的存在，111,,n m l 不可能同时为零，因此是关于111,,n m l 的线性齐次方程组。根据齐次方程组有非零解的条件，式中的系数行列式必为零，即
0=---ε
εεεεεεεεεε
εz yz zx yz
y xy zx
xy
x
它至少有一个实根，将它记为1ε。注意到中'x ε的表达式还可写为
111111111111')()()(n n m l m n m l l n m l z yz zx yz y xy zx xy x x εεεεεεεεεε++++++++= 将上式括号中的式子用中的值代入，并注意到式，将发现1'
εε=x
， 即'x ε的极值就是1ε。
当分别设'',Z Y 平行于伸长度MN E 具有极值的方向时，采用类似的方法可分别得到关于222,,n m l 和关于333,,n m l 的类似于式的线性齐次方程组，且其系数行列式与式完全一样。将式展开该式得
0'3'
2
2'13=-+-I I I εεε 其中 ?????++-+=++-++=++=)
(2)(222'3
2
22'2'1xy z zx y yz x zx yz xy z y x zx yz xy x z z y y x z
y x I I I εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
这三个参数'3'2'1,,I I I 分别称为第一、第二、第三应变不变量。
方程式有三个实根。设这三个实根分别为1ε、2ε、3ε。则由根与系数关系，有
??
???
=++=++=3
21'3133221'
2
3
21'1εεεεεεεεεεεεI I I 称1ε、2ε、3ε为主应变，所在方向称之为主方向。
另外，注意到应变分量'xy ε和'
yz ε可以写为
211121112111')()()(n n m l m n m l l n m l z yz zx yz y xy zx xy x xy εεεεεεεεεε++++++++=311131113111')()()(n n m l m n m l l n m l z yz zx yz y xy zx xy x zx εεεεεεεεεε++++++++=
将上面两式中括号内的式子用代入，则有
)
()
(3131311'2121211'n n m m l l n n m m l l zx xy ++=++=εε
εε
由可知，0'
'==zx xy εε。因此，如果在'X 轴方向的伸长度是极值，那末应变分量0'
'==zx xy εε，
也就是变形发生时，在'X 方向和'Y 方向之间的直角以及'X 方向和'Z 方向之间的直角没有变化。由此可见，不论在物体上任何点的变形怎样，总可以找出通过物体的三条纤维，它们在变形前是互相垂直的，而在变形后仍然还是互相垂直。
将1ε代入式，则可求得111,,n m l ，从而可确定1ε的方向，即主方向。如果将式中的111,,n m l 分别用222,,n m l 和333,,n m l 代替，以及别将ε用2ε和3ε代替，则可求得
222,,n m l 和333,,n m l ，从而确定主应力2ε和3ε的主方向。
完全类似地还可求得最大切应变为
???
??
-±=-±=-±=)()()(213132321εεγεεγεεγ
以及八面体的切应变为
[]
[]
2
1
2222222
1
2132322218)(6)()()(3
2)
()()(3
2zx yz xy x z z y y x εεεεεεεεεεεεεεεγ+++-+-+-=-+-+-= 应变偏量及其不变量分别为
???
????
?????????------=)2(31000
)2(31
000)2(31213132321εεεεεεεεεij e ??
???
=++==3
21'3133221'
2
'10
e e e J e e e e e e J J
3．4 应变率张量和应变增量张量
应变率张量
在小变形条件下，应变张量可简写为
)(2
1
,,i j j i ij u u +=ε
而当介质处在运动状态时，以),,,(t z y x v 表示质点的速度，i v 表示速度的三个分量，以时间t 作为起点，则经过无限小时间段dt 以后，位移为dt v u i i =，由于dt 很小，
i u 及其对坐标的导数也很小，因此可以应用小变形公式，即
dt v v u u i j j i i j j i ij )(2
1
)(21,,,,+=+=ε
如果令ij ij dt εε=?
，则有 )(2
1
,,i j j i ij v v +=
?
ε ij ?
ε称为应变率张量，上式定义不论ij ?
ε大小都成立，但要求是对每一瞬时状态进行计算，不是按初始位置计算。因为，在一般情况下当按初始位置计算时
ij ij dt d
εε≠?
只有在小变形条件下才有 ij ij ij t
dt d εεε??
==?
由和式可知
)(2
1)(21,,,,??
?
+=??????+==i j j i i j j i ij ij u u u u dt d dt d εε
于是应变对时间的变化率为
??????
???????
??+
??=??=
??+??=??=
??+
??=??=
????
?
????
?
?
??
?
?
x w z u z
w z v y w y v y u x v t
u
zx z yz y xy x γεγεγε
将上式写为张量形式为
??
???
??
?????????=?
????
???
?
?
z yz xz yz y
xy
xz xy x ij εγγ
γεγγγεε2
12
12121212
1
应变增量张量
应当指出，对于固体材料，当温度不变时或变形是缓慢的，则其力学行为与应变率关系不大，只有在受到动载荷时，因变形速率很快，材料的力学性质才会与应变速率有关，这类材料通常称为应变率敏感材料。因此，根据第一章中的基本假设，时间因素对物体的弹塑性力学行为不发生影响(即不考虑粘性效应)，而且这里的dt 并不代表真实的时间，仅仅代表加载变形的过程。于是，对于这里所讨论的问题主要关心的不是应变速率．而是应变增量ij d ε。于是采用应变增量ij d ε代替应变率?
ij ε更能表示不受时间参数选择的特点。
以i du 代表位移增量，则式成为
)(21
,,i j j i ij du du d +=ε
在小变形条件下
)
()(21)(21
,,,,ij i j j i i j j i ij d u u d du du d εε=???
???+=+=
这说明在小变形时、按瞬时状态计算ij d ε与按初始状态计算ij d ε(近似地)没有什么区别。类似地、应变增量张量的应变增量偏量为
ij ij ij d d de εδε-= 注意，在求应变增量时，每一次都应从瞬时位置计起，而不是从初始位置算起。例如在简单拉伸时，轴向应变增量为
l
dl
d =ε
此处l 是拉伸时的瞬时长度(为了不与ε相混淆，令d l
dl
=
E )。一般情况下应变增量的累计值ij d ε?的物理意义并不明显，但是当应变张量的主方向不变时，它们的积分才有明确的物理意义。对于简单拉伸问题有
)1ln(i i d ε+=E ?=E 这就是对数应变，又称为真应变。
华南理工大学土木工程专业本科教学计划 工程力学创新班（本硕、本博连读） Engineering Mechanics 专业代码：080102(本科)、0801（硕士）、080102（博士） 学制：4年（本科）、3+1+2年（硕士）、3+1+4年（博士） 培养目标： 本专业培养的是热爱祖国，德智体全面发展，以力学专业知识和分析方法从事高水平科技研究的优秀人才。 目标1：（扎实的基础知识）培养学生具有扎实的力学基础知识，为高层次的力学基础研究和工程应用研究选拔一批优秀人才。 目标2：（解决问题能力）培养学生解决与力学有关的工程技术问题的理论分析能力和实验技能。 目标3：（团队合作与领导能力）培养学生在团队中的沟通和合作能力，特别是在重大科研与工程项目中的协调能力。 目标4：（工程系统认知能力）鼓励学生从实际工程中提取与力学相关的科学技术问题，并且应用所学知识解决问题，服务工程实践。 目标5：（专业的社会影响评价能力）培养学生综合应用理论分析、实验研究、数值仿真的能力，合理解决工程实际问题。 目标6：（全球意识能力）培养学生能够适应全球化的发展需求，具备国际竞争的能力。 目标7：（终身学习能力）培养学生具备终身学习能力，持久地应用力学理论知识、计算方法和实验技术等解决工程科学问题。 专业特色： 采用本硕博一体化的人才培养模式，缩短学制，保证必要的力学基础知识和专业技能的培养；加强数学、力学基础知识，培养实验和计算能力，结合土木、机械和航空航天等工程背景，进行宽口径大类培养；实行导师制，引导学生参与学科前沿研究，加强国际化交流，重视工程实践，培养高水平复合型人才。 培养要求： 课程目标体系构成，每门课的设置都有相对应的培养目的，即学生所获得相应的知识、能力和素质。 知识架构： A1 文学、历史、哲学、艺术的基本知识；
第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值 应作何修正。 解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得： 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所 示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??===?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε==； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= o o o o V ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = o V ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-?? ??+-?? ??--?? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P v 、正应力σn 及剪应力τn 。 解：首先求出该斜截面上全应力n P v 在x 、y 、z 三个方向的三个分量：n ＇=n x =n y =n z 题图1-3
研究生入党积极分子思想汇报2019 x年下学期开学，本人已经进入了研究生二年级，开学一个月以来本人在思想、学习、生活等方面都有了一些新的变化。 思想上，本人继续坚持马列主义、*思想，以此作为人生的指导 思想，深刻领会*理论和新时期“xxxx重要思想”，对21世纪建设和 谐社会的思想有了全面完整的理解。日常生活中本人用这些先进思想 严格要求自己，思想上与党中央高度保持一致，听党话，跟党走，关 心国家大事，注重周围事，对国家取得的每一个成就都感到发自内心的、无比的高兴，衷心希望祖国欣欣向荣、日益强大。平时本人注意 自己的一言一行、一举一动，以一个*员应有的素质来要求自己，不但 要做一个21世纪合格的研究生，而且要积极向党组织靠拢，向党组织 看齐。与同学相处严于律己、宽以待人、关心他人、乐于助人、积极 参加各项健康有益的活动、和睦相处，同学取得了成功会感到由衷的 高兴，同学遇到了困难会热情的伸出援助之手;与老师交往中本人尊敬 师长、礼貌有加、不卑不亢，积极主动和老师联系，虚心请教疑难问题;与陌生人接触本人礼貌待人、热心帮忙、有礼有度，争取给别人留 下好印象。生活上本人勤俭节约，不铺张浪费，穿着整洁朴素，不给 父母增加经济负担，自己通过做家教或去相关培训机构授课等兼职形 势解决生活问题。 学习上，本人继续严格要求自己，刻苦钻研，有所付出有所收获。本人已经步入研二，在过去一年学习的基础上，本人已经积累了初步 的基础知识和必要的研究方法，形成了初步的研究水平，在广泛搜集 相关资料已及切实体会的基础上，本人利用暑假和开学初这段时间尝 试着写了一篇论文：《新形势下高等教育自学考试的困境和出路》， 在这篇论文里面本人详细分析了高等教育自学考试的历史贡献、现阶 段出现危机的原因、优势所在、解决危机获得发展的有效办法，论文 已经过导师指导，准备在近期发表出去。本学期学校开设了四门选修课，本人坚持不迟到、不早退、不旷课，专心听课，积极参与课堂讨论，认真完成各科作业;另外，本人还选修了导师开的一门课：学校公
弹塑性力学总结 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下： 一、弹性力学 1、弹性力学的基本假定 求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。 （1）假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 （2）假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。 （3）假设物体是均匀的。就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。 （4）假设物体是各向同性的。也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 （5）假设物体的变形是微小的。即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变
基本概念： （1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理： 作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 （3） 弹性力学的基本假定： 连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 （4） 平面应力与平面应变； 设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时， 0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。 设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律， 0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。 （5） 一点的应力状态； 过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （6） 圣维南原理；（提边界条件） 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。 （7） 轴对称； 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 一、 平衡微分方程：
R r u A A' x y z Ch3-1 位移与应变几何方程 分量形式： 符号规定：与坐标轴同向为正 刚体位移：各点间相对位置在物体发生位移后依然不变。 刚体位移不会使物体产生变形 n 位移： 定义A 点位移： u =r -R 位移—物体内每一点的空间位置的变化位移场：物体内各点位移矢量的集合 l l l ?′= εα ?=γ0 90A B A B l l ' ' ' x y z A B A B l l ''' C C ' α 90 x y z o 应变：符号规定：正应变—线元伸长为正 剪应变—直角变小为正 物体变形 { 体积改变形状畸变 长度变化，方向改变 O A B C O A B C ' ' ' 'x y z OA OA -A O x ′′= ε OB OB -B O y ′′= ε OC OC -C O z ′′= εA O B yx xy ′ ′′∠?π =γ=γ2B O C zy yz ′ ′′∠?π =γ=γ2C O A zx xz ′ ′′∠?π =γ=γ2 与一点的应力状态相似，可以证明：应变张量决定了一点的应变状态
x u dx u dx x u u x ??= ??? ??????+=εy v dy v dy y v v y ??= ???????????+=εx v dx v dx x v v yx ??= ???+= α)(y u dy u dy y u u xy ??= ???+= α)(xy u v y x γ??= +??dx x u u ??+dx x v v ??+dy y u u ??+dy y v v ??+考虑小变形假定 v αxy αyx x y O A B A'B' O' u x u x ε?= ?y v y ε?= ?xy yx u v y x γγ??== +??z w z ??= εyz zy v w z y γγ??== +??xz zx u w z x γγ??== +??几何方程（小变形）： 其他应变分量同理可以得出 z w z ??= εx w z u zx xz ??+??= γ=γy w z v zy yz ??+??= γ=γε εεεε εεεε ε???? =?? ????? ? 1 2ij ij εγ=几何方程张量表示 )(2 1 ,,i j j i ij u u += εCauchy 应变 张量 ??? ???????????? ???+=dx x w dx x v dx x u A'M'，， 1??? ???????????????+??=dy y w dy y v dy y u B'M'，，1? ??????????? ??+????=dz z w dz z v dz z u C'M'1，，Ch3-2 体积应变 M 点位移,,) u v w （A B C A B C ' ' ' x y z M M ' d z d x d y 变形后各边长沿坐标轴的投影
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
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弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学） 假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
3. STRAIN 3.1. Deformation and Strain tensor In present chapter we examine the deformation geometry of the deformable solid without regard for the actual forces required to produce it. The most obvious and direct method of describing the motion of a continuum solid is to consider the motion of each and every particle making up the solid. If the relative position of every particle is not changed, there is only rigid moving and rotation, then we may consider it as a rigid displacement. If the relative position of every particle is changed, in the same time the initial shape of the body is distorted, then we called there is a deformation. In the following, we will discuss the deformation of elastic-plastic body. Suppose the distance between two points P o(x o, y o) and P(x,y) is P o P in plane Oxy before deformation. After deformation the two ends of segment P o P moved to P o′(x o′y o′) and P′(x′, y′). Let P o P =s, P o′P′= s ′then the components of vectors s′and s along the x , y axes are: s x′=s x+ s x s y′=s y′+s y The displacement component at point P o is u o =x o′?x o v o =y o′?y o (3.1) Similarly, at point P the displacement component is(Fig.3.1): u =x′– x v =y′– y (3.2) Suppose the displacement u and v are the single-value continuously functions of x and y, then we can expand the displacement at point P in an infinite Taylor series about point P o, that is: u = u o + s x + s y + 0 (s x2, s y2 ) v =v o + s x + s y+ 0(s x2, s y2) (3.3) Because point P is in the neighbourhood of the point P o, therefore the quantity s is sufficiently small, so that we obtain the formula s x =s x′–s x = (x′-x ) – (x o′-x o ) = s x+s y s y =s y′–s y = (y′-y) – (y o′-y o )= s x+ Using the indicial notation and summation convention, these equations
金属塑性成形原理复习指南 第一章绪论 1、基本概念 塑性:在外力作用下材料发生永久性变形，并保持其完整性的能力。 塑性变形:作用在物体上的外力取消后，物体的变形不能完全恢复而产生的永久变形成为塑性变形。 塑性成型:材料在一定的外力作用下，利用其塑性而使其成形并获得一定的力学性能的加工方法。 2、塑性成形的特点 1）其组织、性能都能得到改善和提高。 2）材料利用率高。 3）用塑性成形方法得到的工件可以达到较高的精度。 4）塑性成形方法具有很高的生产率。 3、塑性成形的典型工艺 一次成形（轧制、拉拔、挤压） 体积成形 塑性成型 分离成形（落料、冲孔） 板料成形 变形成形（拉深、翻边、张形） 第二章金属塑性成形的物理基础 1、冷塑性成形 晶内：滑移和孪晶（滑移为主）滑移性能（面心>体心>密排六方） 晶间：转动和滑动 滑移的方向：原子密度最大的方向。 塑性变形的特点： ① 各晶粒变形的不同时性； ② 各晶粒变形的相互协调性； ③ 晶粒与晶粒之间和晶粒内部与晶界附近区域之间变形的不均匀性。 合金使塑性下降。 2、热塑性成形 软化方式可分为以下几种：动态回复，动态再结晶，静态回复，静态再结晶等。 金属热塑性变形机理主要有：晶内滑移，晶内孪生，晶界滑移和扩散蠕变等。 3、金属的塑性 金属塑性表示方法：延伸率、断面收缩率、最大压缩率、扭转角（或扭转数） 塑性指标实验：拉伸试验、镦粗试验、扭转试验、杯突试验。 非金属的影响：P冷脆性 S、O 热脆性 N 蓝脆性 H 氢脆 应力状态的影响：三相应力状态塑性好。 超塑性工艺方法：细晶超塑性、相变超塑性 第三章金属塑性成形的力学基础 第一节应力分析 1、塑性力学基本假设：连续性假设、匀质性假设、各向同性假设、初应力为零、体积力为零、体积不变假设。
弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学）
我所认识的应力和应变之间的关系 在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。 所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。 各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。2.体积应力与体积应变成比例。 3.应力强度与应变强度成比例。 4.应力偏量与应变偏量成比例。工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ???=-+=???????=-+=???????=-+=???? ，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为() 21E G μ=+。 屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。对于加载过程如图1 OA: 比例阶段；线性弹性阶段 AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段 EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段 s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸 载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规 律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变e ε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。若在卸载后重新加载，则曲线基本上仍沿直线O ’D 变化，直至超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化现象。为了与初始屈服相区别，我们把机箱发生新的塑性变形时的材料的再次屈服称为后
第三章 应变状态理论 在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化， 即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。 位移与线元长度、方向的变化 坐标与位移 设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w )，这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即 ?? ? ?? +=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ 上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的，则式确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式是单值的，所以式可看成是坐标的一个变换。 如果在中，假设00,y y x x ==，则由式可得如下三个方程
弹塑性力学 弹塑性力学 绪论：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和塑形物体变形规律的一门学科。它推理严谨，计算结果准确，是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。在弹塑性力学中，我们可以看到很多学习材料力学、结构力学等学科所熟知的参数和变量，一些解题的思路也很类似，但是我们不能等同的将弹塑性力学看成材料力学或者是结构力学来学习。材料力学和结构力学的研究对象及问题，往往也是弹塑性力学所研究的对象及问题。但是，在材料力学和结构力学中主要采用简化的初等理论可以描述的数学模型；在弹塑性力学中，则将采用较精确的数学模型。有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转、孔边应力集中、深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的方法求解，而在弹塑性力学中是可以解决的；有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的理论，而弹塑性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。在弹塑性力学分析中，常采用如下简化假设：连续性假设、均匀各向同性、小变形假设、无初应力假设等假设。 弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来研究。在运动学方面，主要是建立物体的平衡条件，不仅物体整体要保持平衡，而且物体内的任何局部都要处于平衡状态。反映这一规律的数学方程有两类，即运动微分方程和载荷的边界条件。以上两类方程都与材料的力学性质无关，属于普适方
弹塑性力学基本内容 本课程是以物体的应力、应变理论以及在工程中的应用主要对象的一门基础性、实践性很强的应用学科。 教学目标为在强化物体的应力、应变理论基础的同时，关注物体的弹性力学模型的建立、分析和应用，并兼顾塑性理论的建立。在深度和广度上力求体现学科专业发展的前沿，有利于研究生掌握弹性理论专门知识，了解塑性理论的思想和方法，并着重在基础理论和实践应用两方面进行科研能力的培养。其基本要求为：使学生掌握弹性理论的建立、分析、应用，初步掌握塑性力学理论，使其具有从事弹性力学分析的知识和初步能力。 （1）弹塑性力学的研究对象和内容、弹塑性力学的分析方法和体系、弹塑性力学的基本假定 应力矢量、应力张量、Cauchy公式、平衡微分方程、力边界条件、应力分量的坐标变换、主应力、应力张量不变量、最大切应力、Mohr应力圆、偏应力张量及其不变量、八面体上的应力和等效应力、主应力空间与π平面 （2）位移分量和应变分量、两者的关系、物体内无限邻近两点位置的变化、转动分量、转轴时应变分量的变换、应变张量、主应变应变张量不变量、应变协调方程、应力和应变的关系、应力率和应变增量 （3）弹性力学的基本方程及其边值问题、位移解法（以位移表示的平衡微分方程）、应力解法（以应力表示的应变协调方程）、解的唯一性定理、局部性原理、逆解法和半逆解法、几个简单问题的求解 （4）平面应变问题、平面应力问题、应力解法（把平面问题归结为双调和方程的边值问题）、用多项式解平面问题、悬臂梁一端受集中力作用、简支梁受均匀分布荷载作用（5）平面问题的极坐标方程、轴对称应力问题和对应的位移、圆筒受均匀压力作用、曲梁的纯弯曲、具有小圆孔的平板的均匀拉伸 （6）薄板弯曲的基本概念及基本假设、弹性曲面的基本公式、薄板横截面上的内力、边界条件、圆形薄板弯曲问题 （7）塑性力学的基本概念、材料在简单拉压时的实验结果、应力-应变关系的简化模型、轴向拉伸时的塑性失稳、塑性本构关系的主要内容和研究方法 （8）应变张量和应力张量、屈服条件、几个常用的屈服条件、屈服条件的实验验证、加载条件 （9）塑性应变增量、加卸载判别准则、Drucker公设和Ilyushin公设、加载面外凸性和正交流动法则、塑性势理论、简单弹塑性问题
第二篇岩土工程勘察 第7章岩土工程勘察基本知识 岩土工程勘察的基本任务 岩土工程是土木工程中涉及岩石、土的利用、处理或改良的科学技术。它是以土力学、岩体力学、工程地质学、基础工程学、弹塑性力学和结构力学等为基础理论，并将其直接应用于解决和处理各项土木工程中土或岩石的调查研究、利用、整治或改造的一门技术科学，是土木工程的一个分支。 根据我国近二十年来推行岩土工程体制的实践总结，岩土工程包括岩土工程勘察、岩土工程设计、岩土工程治理、岩土工程检验和监测、岩土工程监理等，涉及工程建设的全过程。 岩土工程勘察是指根据建设工程的要求，查明、分析、评价建设场地的地质、环境特征和岩土工程条件，编制勘察文件的活动。
岩土工程勘察的基本程序岩土工程勘察的基本程序（即主要工作环节）可分为 ①编制勘察纲要、 ②工程地质测绘和调查、 ③勘探和取样、 ④岩土测试、 ⑤岩土工程分析评价和成果报告的编制等。
岩土工程勘察的分级 一个岩土工程勘察项目可根据其工程的重要性、场地的复杂程度和地基的复杂程度等三方面因素进行岩土工程勘察等级的划分。 岩土工程勘察等级反映该勘察项目的重要性和复杂性，因而是勘察工程管理、确定勘察工作量和技术要求的重要依据。 根据国家标准《岩土工程勘察规范》（GB50021—2001），岩土工程勘察等级的划分步骤是先将工程重要性等级、场地等级和地基等级各分为三级，然后根据三者的不同组合确定岩土工程勘察等级。 岩土工程勘察等级分为三级，具体分级方法和步骤如下。 1）工程重要性等级划分 根据工程的规模和特征以及由于岩土工程问题造成工程破坏或影响正常使用的后果，可分为三个工程重要性等级： ①一级工程：重要工程，后果很严重； ②二级工程：一般工程，后果严重； ③三级工程：次要工程，后果不严重。 对于工程重要性，由于涉及各个行业，涉及房屋建筑、地下洞室、线路、电厂及其他工业建筑、废弃物处理工程等，很难做出具体划分标准，上述划分标准仅是比较原则的规定。以住宅和一般公用建筑为例，30层以上的可定为一级，7～30层的可定为二级，6层及6层以下的可定为三级。应注意这一工程重要性划分标准与国家标准《建筑地基基础设
《弹塑性力学》复习提纲 1. 弹性力学和材料力学在求解的问题以及求解方法方面的主要区别是什么？ 研究对象的不同：材料力学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。非杆状结构则在弹性力学里研究 研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引用那些假定，得到的结果比较精确。并可用来校核材料力学得出的近似解。 2. 弹性力学有哪些基本假设？ （1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微小的 3. 弹性力学有哪几组基本方程？试写出这些方程。 (1)平面问题的平衡微分方程: 平面问题的几何方程： 平面应力问题的物理方程： (在平面应力问题中的物理方程中将E换为，换为就得到平面应变问题的物理方程) (2)空间问题的平衡微分方程;
空间问题的几何方程; 空间问题的物理方程： 4. 按照应力求解和按照位移求解，其求解过程有哪些差别？ (1)位移法是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力 分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应力分量。要使得位移分量在区域里满足微分方程，并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。 (2)应力法是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移 分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。满足区域里的平衡微分方程，区域里的相容方程，在边界上的应力边界条件，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。 5. 掌握以下概念：应力边界条件和位移边界条件；圣文南原理；平面应力与平 面应变；逆解法与半逆解法。 位移边界条件：若在部分边界上给定了约束位移分量和,则对于此边界上的每一点，位移函数u和v和应满足条件=，=（在 上） 应力边界条件：若在部分边界上给定了面力分量(s)和(s),则可以由边界 上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系式。 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 平面应力问题：设所研究的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z
我所认识的弹塑性力学 弹塑性力学作为固体力学的一门分支学科已有很长的发展历史，其理论与方法的体系基本完善，并在建筑工程、机械工程、水利工程、航空航天工程等诸多技术领域得到了成功的应用。 一绪论 1、弹塑性力学的概念和研究对象 弹塑性力学是研究物体在载荷（包括外力、温度变化或外界约束变动等）作用下产生的应力、变形和承载能力，包括弹性力学和塑性力学，分别用来研究弹性变形和塑性变形的力学问题。弹性变形指卸载后可以恢复和消失的变形，塑性变形时指卸载后不能恢复而残留下的变形。弹塑性力学的研究对象可以是各种固体，特别是各种结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构等，也研究量的弯曲、住的扭转等问题。其基本任务在于针对实际问题构建力学模型和微分方程并设法求解它们，以获得结构在载荷作用下产生的变形，应力分布及结构强度等。 2、弹塑性简化模型及基本假定 在弹性理论中，实际固体的简化模型为理想弹性体，它的特征是：一定温度下，应力应变之间存在一一对应关系，而与加载过程以及时间无关。在塑性理论中，常用的简化模型为：理想塑性模型和强化模型。理想塑性模型又分为理想弹塑性模型和理想刚塑性模型；强化模型包括线性强化弹塑性模型、线性强化刚塑性模型和幂次强化模型。弹塑性力学有五个最基本的力学假定，分别为：连续性假定、均匀性
假定、各向同性假定、小变形假定和无初应力假定。 3、研究方法及其与初等力学理论的联系和区别 一般来说，弹塑性力学的求解方法有：经典方法、数值方法、试验方法和实验与数值分析相结合的方法。经典方法是采用数学分析方法求解，一般采用近似解法，例如，基于能量原理的Ritz法和伽辽金法；数值法常用的有差分法、有限元法及边界条件法；实验法是采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力应变分布规律，如光弹性法和云纹法。 弹塑性力学与初等理论力学既有联系又有区别，如下表所示：表1、弹塑性力学与初等力学理论的联系和区别
（一） 弹塑性力学绪论：1、定义：是固体力学的一个重要分支学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度变化等因素的影响而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一门科学，是研究固体在受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门科学。 2、研究对象：也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术问题需求的物体。3、分析问题的基本思路：受力分析及静力平衡条件 (力的分析)；变形分析及几何相容条件 (几何分析)；力与变形间的本构关系 (物理分析)。4、研究问题的基本方法：以受力物体内某一点（单元体）为研究对象→单元体的受力—应力理论；单元体的变形——变形几何理论；单元体受力与变形间的关系——本构理论；（特点：1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密性和普遍适用性为特点；弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的；可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。）5、基本假设：物理假设: （连续性假设：假定物质充满了物体所占有的全部空间，不留下任何空隙；均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。力学模型的简化假设：（A ）完全弹性假设 ；（B ）弹塑性假设）。几何假设——小变形条件（假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二次以上的高阶微量；从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。 ）6、解题方法（1）静力平衡条件分析；（2）几何变形协调条件分析；（3）物理条件分析。从而获得三类基本方程，联立求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静不定问题得到解决 7、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度 =lim n n n A O F dF A dA σσ?→==?=lim n n nt A O F dF A dA σσ?→==?。正应力σ，剪应力τ，必须指明两点：是哪一点的应力；是该点哪个微截面的应力。7、应力的表示及符号规则：xx xy xx x στσσ?、、：第一个字母表明该应力作用截面的外法线方向同哪一个坐标轴相平行，第二个字母表明该应力的指向同哪个坐标轴 相平行。 8、三维空间应力圆：
《塑性力学及成形原理》知识点汇总 第一章绪论 1．塑性的基本概念 2．了解塑性成形的特点 第二章金属塑性变形的物理基础 1．塑性和柔软性的区别和联系 2．塑性指标的表示方法和测量方法 3．磷、硫、氮、氢、氧等杂质元素对金属塑性的影响 4．变形温度对塑性的影响；超低温脆区、蓝脆区、热脆区、高温脆区的温度范围 补充扩展： 1.随着变形程度的增加,金属的强度硬度增加,而塑性韧性降低的现象称为:加工硬化 2.塑性指标是以材料开始破坏时的塑性变形量来表示,通过拉伸试验可以的两个塑性 指标为:伸长率和断面收缩率 3.影响金属塑性的因素主要有:化学成分和组织、变形温度、应变速率、应力状态(变 形力学条件) 4.晶粒度对于塑性的影响为:晶粒越细小,金属的塑性越好 5.应力状态对于塑性的影响可描述为(静水压力越大)：主应力状态下压应力个数越多， 数值越大时,金属的塑性越好 6.通过试验方法绘制的塑性——温度曲线,成为塑性图 第三章金属塑性变形的力学基础 第一节应力分析 1．塑性力学的基本假设
2．应力的概念和点的应力状态表示方法 3．张量的基本性质 4．应力张量的分解；应力球张量和应力偏张量的物理意义；应力偏张量与应变的关系 5．主应力的概念和计算；主应力简图的画法 公式（．．．3．-．14．．）应力张量不变量的计算．．．．．．．．．．． 1222 2222 3()2() x y z x y y z z x xy yz zx x y z xy yz zx x yz y zx z xy J J J σσσσσσσσστττσσστττστστστ=++=-+++++=+-++ 公式（．．．3．-．15．．）应力状态特征方程．．．．．．．．． 32 1230J J J σσσ---= (当已知一个面上的应力为主应力时，另外两个主应力可以采用简便计算公式（．．．3．-．35．．）．的形式计算) 6．主切应力和最大切应力的概念计算 公式．．（．3．-．25．．）．最大切应力．．．．．)(21 min max max σστ-= 7．等效应力的概念、特点和计算 主轴坐标系中．．．．．．公式．．（．3．-．31．．） ．8σ=== 任意坐标系中．．．．．．公式．．（．3．-．31a ．．．） ．σ=8．单元体应力的标注；应力莫尔圆的基本概念、画法和微分面的标注 9．应力平衡微分方程 第二节 应变分析 1．塑性变形时的应变张量和应变偏张量的关系及其原因 2．应变张量的分解，应变球张量和应变偏张量的物理意义 2．对数应变的定义、计算和特点，对数应变与相对线应变的关系