24.2.2切线的判定与性质定理

答：圆心O到直线L
的距离是＿⊙＿O ＿的＿半＿径.
直线L是⊙O的 ＿切＿线＿ .
O
lL
A
探究新知
切线的判定定理：
经过_半__径__的__外__端___并且__垂__直___于这条半径的的
直线是圆的切线.
定理的几何语言：如图
∵OA是⊙O的___半__径___，
OA＿⊥＿L ，
O
lL
A
∴直线是切线．
探究新知
分析：要证AC 是⊙O 的切线，只要证 明由点O 向AC 所作的垂线段OE 是 _⊙__O___的__半__径___就可以了.而OD是⊙O的 半径，则要证OE=OD.
探究新知
证明： 过点O 作OE⊥AC， 垂足为E,连接OD,OA. ∵AB与⊙O 相切于点D,∴ ___O__D_⊥__A_.B 又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC 的中点， ∴ ____A_O__是__∠__B_A__C__的__平___分__线______.（ 三线合一） ∴_O__E_=__O__D_.（ 角平分线性质 ） 即OE 是⊙O 的半径, ∴AC 经过⊙O 的半径OE 的外端E，OE⊥AC， ∴AC 是⊙O的切线( 切线的判定定理 )．
1.已知一个圆和圆上的一个点， 如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）
l
作法：
1、连接OA; 2、过点A 作直线l 与OA 垂直, 直线l 就是所求作的切线，如图.
探 究 新 知 ２.如图，AB是⊙O 的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB． 求证：AT 是⊙O 的切线．
证明：
∵AT＝AB, ∠ABT＝45°,∴∠ATB=45°, ∴∠TAB=90°,即OA⊥TA. ∵AT经过⊙O 的半径于点A, ∴AT是⊙O 的切线.

24.2.2(2)---切线的判定定理（连半径，证垂直）一．【知识要点】1.切线的判定定理（连半径，证垂直）二．【经典例题】1.如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD，取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．2.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.3.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O、AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE。

（1）求AC、AD的长。

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由。

4.（绵阳2016年第20题，本题满分11分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙ O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F。

判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

5.（2019年绵阳期末第24题）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD交⊙O 于点C，过点C作CE⊥AD，别交AD，AB的延长线于点E，F，连接BC，弦CG平分∠ACB，交AB于点H.(1)求证：EF是⊙O的切线(2)求证： CF=HF(3)若CE:CF=3: 5， CH=求CE的长。

三．【题库】【A】1.如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E。

（1）求证：AB=AC。

（2）求证：DE为⊙O的切线。

2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.求证：BC是⊙O的切线.3.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F.求证：DH是圆O的切线.4.如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、 C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD ⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC.5.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊙AB于D. ⊙ACD沿AC翻折后点D落在点E，AE交⊙O于点F；连接OC、FC.（1）求证：EC是⊙O的切线.（2）若CF⊙OA时，求证：四边形AOCF是菱形.6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作☉O交AB于D点,连接CD.(1)求证:∠A=∠BCD;(2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与☉O相切?并说明理由.7．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC＝2，CD＝2，求弦AD的长．8.（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC⏜于点D，过点D作DE//BC交AC的延长线于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BD.若OF=1，BF=2，求BD的长度．【B】1.如图,已知P是☉O外一点,PO交圆O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连接PB.(1)求BC的长;(2)求证:PB是☉O的切线.2．如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．3．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．【C】1.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )A.点(0,3)B.点(2,3)C.点(5,1)D.点(6,1)2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD＝∠DEB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若CE＝EP，CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．3．（本题满分12分）如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且P A＝PB，点M是⊙O 外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC 交OM于点D．（1）求证：OD＝AC；（2）求证：MC是⊙O的切线；（3）若OB＝，BC＝12，连接PC，求PC的长．【D】1.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC于点E,交BC于点D,DF⊥AC于点F.给出以⏜=DE⏜ ;④∠A=2∠FDC;⑤DF是☉O的切线.其中正确结论下五个结论:①BD=DC;②CF=EF;③AE的序号是______________.2.如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过轴x上一点C，与y轴分别相交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，连接DC并延长交y轴于点F。

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质
1.通过阅读课本能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一
点作圆的切线，培养学生的动手操作能力.
2.通过自主探究深刻理解切线的判定定理和性质定理，并能初
步运用它们解决有关问题，培养学生观察、分析、归纳问题的
能力，激发学生学习数学的兴趣.
(2)解: ∵ ⟂, = , ∴ =



= .
设⊙O的半径为r,则OE=r-2.在Rt△OEC中, ² = ² + ²,
即 ² = − ² + ²,解得r=5, ∴AE=AB-BE=2×5-2=8,
∵CA平分∠DCF,AD⊥CD,CF⊥AB,∴AD=AE=8.
AB=5,EB=3.
(1)求证： AC 是⊙ D 的切线；
(1)证明：如答图，过点D 作DF⊥AC 于点F.
∵∠B=90°,∴AB⊥BC. 又∵AD 平分
∠BAC,DF⊥AC,∴BD=DF,∴F在⊙D上，
∴AC 是 ⊙D 的切线 .
变式：如题图，在 Rt△ABC
中，∠B=90°,AD 平分
∠ BAC 交 BC 于点 D,E 为 AB 上 的 一 点 ，
过点A 作AE//BC 交 CD 的延长线于点E.
(1)求∠ ABC 的大小；(2)求证： AE 是 ⊙ O 的切线
(1)解：由题易得∠CAB=∠BDC=60°,∠ACB=∠ADB=60°,
∴∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=180°-60°-60°=60°.
(2)证明：如答图，连接AO 并延长，交BC 于点F.
③请总结一下判定切线的方法.
（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）

2.如图， ∠APB=50° ，PA ，PB，DE 都为⊙ O的切线，则 ∠DOE=
A D P
O E
B
12
探究新知
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁 下的圆的面积尽可能大呢？
A B
A
B C
C
13
作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图） 求作：和△ABC的各边都相切的圆
7
切线长定理的基本图形的研究
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP 交于⊙O于点D、E，交AB于C。
E
A
O
CD
（1）写出图中所有的垂直关系
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP
作法：1,作∠ABC, ∠ACB 的平分线BM和CN,交点为I. 2、过点I作ID⊥BC,垂足为D. 3,以I为圆心,ID为半径作⊙I, ⊙I就是所求的圆.
A
I
N
M
B D
C
三角形的内切圆
14
1、 如图1，△ABC是⊙O的
三角形。⊙ O是△A内B接C的
圆，点O叫△ABC的
，它是三角形 外接
_____ __ __的交点。
解:设AF=Xcm, BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm ,DC=BD=Ycm, AE=EC=Zcm
A
依题意得方程组
x+y=13
y+z=14
X=4
x+z=9