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(精)二次函数最值知识点总结_典型例题及习题

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1 二次函数在闭区间上的最值

一、 知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设fxaxbxca()()20，求fx()在xmn[]，上的最大值与最小值。

分析：将fx()配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2

当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上fx()的最值：

（1）当bamn2，时，fx()的最小值是fbaacbafx2442，()的最大值是fmfn()()、中的较大者。

（2）当bamn2，时

若bam2，由fx()在mn，上是增函数则fx()的最小值是fm()，最大值是fn()

若nba2，由fx()在mn，上是减函数则fx()的最大值是fm()，最小值是fn()

当a0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数yxx242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知232xx，求函数fxxx()21的最值。

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. 如果函数fxx()()112定义在区间tt，1上，求fx()的最值。

例3. 已知2()43fxxx，当[1]()xtttR，时，求()fx的最值．

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当a0时))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf

当a0时)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxffxfmbamnfnbamn()()()()()()()min，，如图如图212212910

2

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4. 已知x21，且a20，求函数fxxax()23的最值。

例5. (1) 求2f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(axxy在]1,1[x上的最大值。

4. 轴变区间变

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

例6. 已知24()(0),yaxaa，求22(3)uxy的最小值。

（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7. 已知函数2()21fxaxax在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

例8.已知函数2()2xfxx在区间[,]mn上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

例9. 已知二次函数2f(x)ax(2a1)x1在区间3,22上的最大值为3，求实数a的值。二次函数在闭区间上的最值专题演练

1. 若函数2()(2)2(2)40fxaxaxxR对一切恒成立，则a的取值范围（ ）

A.(,2] B.[2,2] C.(2,2] D.(,2) 2.. 已知函数2()442fxxax在(-,0]内单调递减，则a取（ ）

A.3a B.3a C.a<-3 D.a3

3. 已知函数2()fxxkx在[2,4]上是单调函数，求k的取值范围。

4. 已知函数2()34fxx的最大值为M，最小值为m，则M+m=________.

5. 已知函数22()44fxxaxa-2a+2在[0,2]上的最小值为3，求a的值。

6.求函数2()2fxxx+3的单调区间。

7. 已知函数2()3,fxxaxa若[2,2]x，有()2fx恒成立，求a的取值范围。

8. 已知函数2()23fxxmx，当(,1]x时是减函数，求m的取值范围。

9. 已知函数2()2(2)2fxxaxa的定义域为R，求a的取值范围。

10. 已知函数2()22fxxx：

（1）若xR，求f(x)的最小值。

（2）若[1,3]x，求f(x)的最小值。

（3）若[,2],xaaaR，求f(x)的最小值。

11. 已知函数2()23fxxkx，求[1,2]x上的最大值。

12. 已知函数221()334fxxxb，求[,],(0)xbbb上的最值。

13．已知)(xf22aaxx，在区间]1,0[上的最大值为)(ag，求)(ag的最小值。

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高中数学之二次函数最值知识点总结

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高中数学中二次函数y=ax²+bx+c是一个基本模型，它是各个类型函数运用的基础之一，常见的是求解函数的值域或最值，解决二次函数这类问题的思路是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指的是定义域区间两端点和区间中点，一轴指的是二次函数的对称轴，结合配方法根据二次函数单调性以及分类讨论的思想。

一、知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：

（1）轴定，区间定；

（2）轴定，区间变；

（3）轴变，区间定；

（4）轴变，区间变。

二次函数中的最值问题【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)

二次函数中的最值问题【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)

1 二次函数中的最值问题

【浙教版】

【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 ........................................................................... 1

【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 ........................................................................................... 3

【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 ............................................................................... 5

【知识点1 二次函数的最值】

1.对于二次函数2(0)yaxbxca在mxn≤≤上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，maxy表示y的最大值，miny表示y的最小值）：

（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在2bxa时，取到最小值，无最大值．

（2）若2bna，如图①，当xm，maxyy；当xn，minyy．

（3）若2bma，如图①，当，xmminyy；当xn，maxyy．

（4）若2bmna≤≤，22bbnmaa，如图①，当2bxa，minyy；当xn，maxyy．

2.对于二次函数2(0)yaxbxca，在mxn（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与2ba的大小．

【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】

【例1】二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为 15+m （用含m的式子表示）．

【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当﹣3≤x≤3时，y的最大值．

微专题13 含参数二次函数的最值问题(原卷版)

微专题13 含参数二次函数的最值问题(原卷版)

1 微专题13 含参数二次函数的最值问题

【方法技巧与总结】

1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；

2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；

3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；

4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。

【题型归纳目录】

题型一：定轴定区间型

题型二：动轴定区间型

题型三：定轴动区间型

题型四：动轴动区间型

题型五：根据二次函数的最值求参数

【典型例题】

题型一：定轴定区间型

例1．（2022·全国·高一专题练习）函数232fxxx在区间 55，上的最大值、最小值分别是（ ）

A．1124， B．212， C．1424， D．最小值是14，无最大值

例2．（2022·全国·高一课前预习）函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（ ）

A．10，5 B．10，1

C．5，1 D．以上都不对

例3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数24fxaxx的图像经过点0,4，则函数fx在4,2上的最小值为___________.

例4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数242yxx，当14x上时y的最小值是________

例5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]fxxxx．则函数的最大值和最小值之积为______ 2 题型二：动轴定区间型

初三数学二次函数知识点总结及经典习题

初三数学二次函数知识点总结及经典习题

《二次函数》学问点总结

一. 二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数.这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2yaxbxc的构造特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵ abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二. 二次函数的图像和性质

表达式 (a≠0) a值 图像 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 增减性 最值

①y=ax2 a＞0 向上 y轴 （0，0） ①当x＞0时，y随x的增大而增大

②当x＜0时，y随x的增大而减小 当x=0时，y有最小值，即最小值y=0

a＜0 向下 y轴 （0，0） ①当x＞0时，y随x的增大而减小

②当x＜0时，y随x的增大而增大 当x=0时，y有最大值，即最大值y=0

②y=ax2+k a＞0 向上 y轴 （0，k） ①当x＞0时，y随x的增大而增大

②当x＜0时，y随x的增大而减小 当x=0时，y有最小值，即最小值y=k

a＜0 向下 y轴 （0，k） ①当x＞0时，y随x的增大而减小

②当x＜0时，y随x的增大而增大 当x=0时，y有最大值，即最大值y=k

③a＞0 向上 直线（h，①当x＞h时，y随x的增大而增大

②当x＜0时，当x=h时，y有最小值，即y=a(x-h)2 x=h 0） y随x的增大而减小 最小值y=0

a＜0 向下 直线x=h （h，0） ①当x＞h时，y随x的增大而减小

②当x＜0时，y随x的增大而增大 当x=h时，y有最大值，即最大值y=0

④y=a(x-h)2+k a＞0 向上 直线x=h （h，k） ①当x＞h时，y随x的增大而增大

②当x＜h时，y随x的增大而减小 当x=h时，y有最小值，即最小值y=k