高中数学二次函数分类讨论经典例题

（完整版）二次函数综合题分类讨论带答案.doc二次函数综合题分类讨论一、直角三角形分类讨论：11、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形，这样的 C 点你能找到个2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1.（1）求P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线C2与抛物线C1关于x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q 旋转180 后得到抛物线C,4，抛物线 C,4的顶点为N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、 F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标。

（2013 汇编 P56+P147）3、如图，矩形A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的．O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)．(1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；(2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边C’O’所在直线的解析式．练习（ 09 成都 28）已知抛物线与x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点C，其顶点为 M ，若直线 MC 的函数表达式为 y=kx-3 ，与 x 轴的交点为N，且cos∠BCO ＝(3 √ (10) /10)．（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N 、 P、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；（ 3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度5 ?4A 二、4321N2 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18123P4M56等腰三角形分类讨论1、如图，已知 Rt Rt ABC , ACB 90 , BAC 30 , 在直线BC或直线AC上取一点P，使得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有个2 A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数 y x2、①，在平面直角坐标系中，点的图象记为抛物线l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2 的函数表达式．（3）设抛物线l2 △△，求点 K 的坐标．的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点．若S ABK SABC（ 4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．yyyl 2l 1l 2AAA1B1CBx1BO xOO 111图①图②图③解：（ 1 ）有多种答案，符合条件即可．例如yx 2 1， y x 2 x ， y( x 1)22 或y x 2 2x 3 ， y (x2 1)2 ， y (x 12) 2 ．（2）设抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2bxc ，yl 2Q 点 A(12)，， B(31)，在抛物线 l 2 上，KGA1 b c ，b9 ，2 29 3b c 解得111c.抛物线 l 2 的函数表达式为y x 2 9 x 11 ．2 29 x 119 27 ，9，7（3） yx 2 xC 点的坐标为．2 2 4 164 16 过 A ， B ， C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，E ，F ，则 AD 2 ， CF7 ， BE1， DE5 ， FE316 2 ， DF．44 S △ ABCS 梯形ADEBS梯形 ADFCS梯形 CFEB1(2 1) 2 1 2 75 1 1 73 15 ．2 2 164 2 164 16延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为 y mx n ，2 m ，m1 ，Q 点 A(12)，， B(31)，在直线 AB 上， n21 3m 解得5n.n.2直线 AB 的函数表达式为 y1x 5 G 点的坐标为52 ．0，．22BCO D F E图②设 K 点坐标为(0，h)，分两种情况：若 K 点位于 G 点的上方，则KG h 5 ．连结AK ，BK ．2S△ABK S△BKG S△AKG 1 3 h 5 1 1 h 5 h 5 ．2 2 2 2 2Q S△ABK15 5 15，解得 h55K 点的坐标为55 S△ABC ，h16 16．0，．16 2 16若 K 点位于 G 点的下方，则KG 5h ．同理可得， h25．2 16 yK 点的坐标为25．l 2 0，16 A（4）作图痕迹如图③所示． B由图③可知，点P 共有3个可能的位置．O图③2、如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，y点 A 、 C 的坐标分别为A(10 ， 0)、 C（ 0,4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在PCBC 边上运动，当是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标为O D 3、在菱形 ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点 O，以 O 为坐标原点，以 BD 所在直线为 x 轴， CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系，且AC=12 ，BD=16 ，E 为 AD 的中点，点 P 在线段 BD 上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点P 的坐标为三、最值问题 B类型一：两点之间线段最短 C 1、请写出2m 3 2 1 8 2m 2 4 的最小值为 A2、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，对角线BD 上60 ，得到BN，连EN任一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转EN、 AM 、CM ，求证：（ 1）AMB ENB ，(2)M点在何处时，AM+CM值最小，（3）AM+BM+CN 最小值为3 1 时，求正方形的边长（2012 汇编P52+P137） B xBxAyAExDDMC3、（ 2010 年天津 25）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=3 ，OB=4 ，D 为边 OB 的中点。

专题一二次函数之面积、周长最值问题y- 1 x2bx c1、如图，抛物线2与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=2 ，OC=3 ． (1)求抛物线的剖析式。

(2)假设点 D(2 ， 2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，可否存在一点 P，使得△ BDP 的周长最小，假设存在，央求出点P的坐标，假设不存在，请说明原由．22、如图，抛物线y= － x +bx+c 与素来线订交于 A 〔－ 1，（1〕抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2〕设点 M 在对称轴上一点，求使 MN+MD 的值最小时的 M的坐标；〔3〕假设 P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△ APC 的面积的最大值．3、如图，抛物线 y=ax 2+bx﹣ 2〔 a≠ 0〕与 x 轴交于 A 、B两点，与 y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且 D〔 2，3〕， tan∠ DBA= 1 2．（1〕求抛物线的剖析式；（2〕点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，按次连接点B 、M 、C、 A ，求四边形 BMCA 面积的最大值；4、如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是〔 4，0〕，并且 OA=OC=4OB ，动点 P 在过 A ，B ，C 三点的抛物线上．（1〕求抛物线的剖析式；（2〕可否存在点 P，使得△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？假设存在，求出所有吻合条件的点 P 的坐标；假设不存在，说明原由；（3〕过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 y 轴的垂线．垂足为 F，连接 EF，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．y-1x2bx c5、如图 12，二次函数2的图象与 x 轴的正半轴订交于点 A 、 B，与 y 轴订交于点C，且 OC2=OA · OB ．(1)求 c 的值；(2)假设△ ABC 的面积为3，求该二次函数的剖析式；(3)设 D 是 (2)中所确定的二次函数图象的极点，试问在直线 AC 上可否存在一点P 使△ PBD 的周长最小 ?假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明原由．6、如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为〔－ 2， 0〕，连接 OA ，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120°，获取线段 OB.（1〕求点 B 的坐标；（2〕求经过 A 、 O、B 三点的抛物线的剖析式；〔 3〕在〔 2〕中抛物线的对称轴上可否存在点C，使△ BOC的周长最小？假设存在，求出点 C 的坐标；假设不存在，请说明原由.〔 4〕若是点P 是〔 2〕中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB面积？假设有，求出此时P 点的坐标及△ PAB 的最大面积；假设没有，请说明原由.可否有最大专题二二次函数之等腰三角形问题1、如图，抛物线 y=ax2-5ax+4 经过 ABC △的三个极点， BC∥ x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC ．〔 1〕求抛物线的对称轴；（2〕写出 A 、B 、 C 三点的坐标并求抛物线的剖析式；（3〕研究：假设点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，可否存在 PAB 是等腰三角形．假设存在，求出所有吻合条件的点P 坐标；不存在，请说明原由．2、如图，抛物线与x 轴交于A〔 -1，0〕，B〔 3，0〕两点，与y 轴交于点C〔 0，3〕．〔 1〕求抛物线的剖析式；〔 2〕设抛物线的极点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上可否存在点P，使得△ PDC是等腰三角形？假设存在，求出吻合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明原由；M 〔 3〕点 M 是抛物线上一点，以 B ，C， D， M 为极点的四边形是直角梯形，试求出点的坐标．3、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x 2﹣〔 m+n〕x+mn〔 m＞ n〕与 x 轴订交于 A 、B两点〔点 A 位于点 B 的右侧〕，与 y 轴订交于点 C．（1〕假设 m=2， n=1，求 A 、 B 两点的坐标；（2〕假设 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧， C 点坐标是〔 0，﹣ 1〕，求∠ ACB 的大小；〔3〕假设 m=2，△ ABC 是等腰三角形，求n 的值．4、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴的一个交点为A〔 3，0〕，与 y 轴的交点为 B〔 0，3〕，其极点为 C，对称轴为 x=1 ．〔 1〕求抛物线的剖析式；（2〕点 M 为 y 轴上的一个动点，当△ ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3〕将△ AOB 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度〔 0＜ m＜ 3〕获取另一个三角形，将所得的三角形与△ABC 重叠局部的面积记为S，用 m 的代数式表示S．5、如图，抛物线经过 A 〔 1，0〕， B〔 0，3〕两点，对称轴是x= ﹣1．（1〕求抛物线对应的函数关系式；（2〕动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从 M 从 O 点出发以每秒 3 个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点 Q 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒．①当 t 为何值时，四边形 OMPQ 为矩形；②△ AON 可否为等腰三角形？假设能，求出t 的值；假设不能够，请说明原由．6、如图，抛物线y= ﹣14 x2+bx+4 与 x 轴订交于 A 、B 两点，与 y 轴订交于点C，假设 A 点的坐标为A〔﹣2， 0〕．（1〕求抛物线的剖析式及它的对称轴方程；（2〕求点 C 的坐标，连接 AC 、BC 并求线段 BC 所在直线的剖析式；（3〕试判断△ AOC 与△ COB 可否相似？并说明原由；〔4〕在抛物线的对称轴上可否存在点 Q，使△ ACQ 为等腰三角形？假设不存在，求出吻合条件的 Q 点坐标；假设不存在，请说明原由．7、 Rt△ ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内，使其斜边AB 与 x 轴重合〔其中OA ＜ OB〕，直角极点在y 轴正半轴上。

高中数学二次函数分类讨论经典例题一、二次函数的定义和基本性质二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。

二次函数的图像是抛物线，其开口方向取决于a的正负性。

下面将讨论二次函数的分类及其相关的经典例题。

二、二次函数的分类讨论1. a>0的情况：抛物线开口向上当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线。

此时，函数的最值为最小值，且最小值点的横坐标为-b/2b。

例如，考虑函数y=x²+2x+1，其图像为一条开口向上的抛物线，最小值点为(-1,0)。

2. a<0的情况：抛物线开口向下当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线。

此时，函数的最值为最大值，且最大值点的横坐标为-b/2b。

例如，考虑函数y=-x²+2x+1，其图像为一条开口向下的抛物线，最大值点为(1,0)。

3. a=0的情况：一次函数当a=0时，二次函数变为一次函数，即y=bx+c。

此时，函数的图像是一条直线，且不会有最值点。

例如，考虑函数y=2x+1，其图像为一条斜率为2的直线。

三、经典例题1. 求解二次函数的最值例如，求解函数y=x²-4x+3的最值。

首先，可以将该二次函数写成标准形式y=(x-2)²-1，从中可以得知最小值点为(2,-1)。

2. 求解二次函数与坐标轴的交点例如，求解函数y=2x²-5x+2与x轴和y轴的交点。

首先，将y=0代入函数方程得到2x²-5x+2=0，然后可以通过因式分解或者求解一元二次方程的方法求解得到x的值。

进而可以求得函数与x轴的交点。

类似地，可以将x=0代入函数方程得到y的值，从而求得函数与y轴的交点。

3. 求解二次函数的对称轴例如，求解函数y=-x²+4x-3的对称轴。

对称轴是过抛物线最高点（或最低点）的一条直线，其方程可以通过x=-b/2b得到。

对于该函数，对称轴方程为x=-2。

二次函数中的分类讨论思想一、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定例1. （2008年陕西卷）22．本小题满分14分）设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围．2. 轴定区间动 例2. （全国卷）设a 为实数，函数2()||1,,f x x x a a R =+-+∈，求f(x)的最小值。

3. 轴动区间定评注：已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得()f x 在[,]m n 上的最大值或最小值。

例3．求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

4. 轴变区间变例4. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。

（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。

例5. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

例6. 已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[3,3]m n ，求m ，n 的值。

练习：1、（2008江西卷21）． 已知函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．2、已知二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值。

二次函数基础典型经典题型(全面超好)二次函数精讲基础题型 一认识二次函数1、y=mx m2+3m+2是二次函数，则m 的值为（ ） A 、0，-3 B 、0，3 C 、0 D 、-32、关于二次函数y=ax 2+b ，命题正确的是（ ）A 、若a>0,则y 随x 增大而增大B 、x>0时y 随x 增大而增大。

C 、若x>0时，y 随x 增大而增大D 、若a>0则y 有最大值。

二简单作图1在一个坐标系内做出2x y =，12+=xy ，12-=xy ，2)1(-=x y ，2)1(+=x y 你发现了什么结论2同样的在同一个坐标系内做出2x y -=，22x y -=，12--=x y ，12+-=xy 2)1(--=x y ，2)1(+-=x y 的图像，你又发现了什么结论，并且与上一题的图像比较的话，你又有什么样新的发现3 已知抛物线y xx =-+123522，五点法作图。

2、已知y=ax 2+bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出函数的大致图象。

三，二次函数的三种表达形式，求解析式 1求二次函数解析式：（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）； （3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。

2 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +=20，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。

3、根据下列条件求关于x的二次函数的解析式=-1，且图象过（0，7）（1）当x=3时，y最小值（2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直3线x=2（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）（4）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3（5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）三图像与a,b,c的符号之间的关系1、二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线，其开口方向由_________来确定。

二次函数经典难题（含精解）一．选择题（共1小题）1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（）A．1B．2C．3D．6二．填空题（共12小题）2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C1所对应的函数解析式是_________．3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为_________．4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是_________．5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为_________．6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为_________．7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是_________．8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a=_________；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是_________．9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a=_________．10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是_________．11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是_________．12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a•c的值是_________．13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为_________．三．解答题（共17小题）14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．15．将抛物线C1：y=（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标_________；（2）阴影部分的面积S=_________；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．17．已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．（1）请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式_________，伴随直线的解析式_________；（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，则这条抛物线的解析式是_________；（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；（4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．18．设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．19．已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P的坐标．20．如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．21．已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上的一个动点，求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标．22．已知抛物线的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．23．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x 轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．24．已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON﹣BM的值为常数？（Ⅲ）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点．将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x﹣上，请说明理由．25．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A 在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．26．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．27．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．28．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD 的形状．29．如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线．（1）已知抛物线a：y=x2﹣2x+1．判断下列抛物线b：y=x2﹣2x+2，c：y=﹣x2+4x﹣3与已知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由；（2）在直线y=2上有一动点P（t，2），将抛物线a：y=x2﹣2x+1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；（3）M为抛物线a；y=x2﹣2x+1的顶点，Q为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS，使其直角顶点S在y轴上？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；（4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题．30．如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣时，y取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=）参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（）A．1B．2C．3D．6考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据题目意思，求出A和B的坐标，再求三角形的面积则可．解答：解：当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3），y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，把它绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线是y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，x=0时，y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），△PAB的面积=×2×（3﹣2）=1．故选A．点评：本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和考查抛物线将一般式转化顶点式的能力，难度较大．二．填空题（共12小题）2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C1所对应的函数解析式是y=﹣2（x﹣1）2+2．考点：二次函数图象与几何变换．专题：应用题．分析：根据题意易得抛物线C的顶点，进而可得到抛物线B的坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线B的解析式，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C1所对应的函数表达式．解答：解：根据题意易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1），∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，∴抛物线B的坐标为（1，﹣2），可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2，易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2），∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2，故答案为y=﹣2（x﹣1）2+2．点评：本题主要考查了讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中．3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可．解答：解：∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，∴抛物线y=﹣x2+x+2关于原点对称的抛物线的解析式为：﹣y=﹣（﹣x）2+（﹣x）+2，即y=x2+x﹣2．故答案为：y=x2+x﹣2．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．解答：解：根据题意，﹣y=（﹣x）2+1，得到y=﹣x2﹣1．故旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．点评：考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为5﹣5．考点：二次函数综合题．分析：首先建立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点M，进而得出抛物线解析式，进而表示出G点坐标，再利用FG+MG=10，进而求出即可．解答：解：如图建立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点M，设抛物线解析式为：y=ax2，∵正方形ABCD边长为10，∴B点坐标为：（5，﹣10），将B点代入y=ax2，则﹣10=25a，解得：a=﹣，设G点坐标为：（a，﹣a2），则GF=2a，∴MG=10﹣GF，即a2=10﹣2a，整理的：a2+5a﹣25=0，解得：a1=，a2=（不合题意舍去），∴正方形EFGH的边长FG=2a=5﹣5．故答案为：5﹣5．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键．6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为．考点：列表法与树状图法；抛物线与x轴的交点．分析：由系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，可得系数a、b、c为：0，1，﹣1；然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：∵系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，∴系数a、b、c为：0，1，﹣1；画树状图得：∵共有18种等可能的结果，该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的有：（1，0，﹣1），（﹣1，0，1），∴该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为：=．故答案为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与二次函数的性质．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是﹣＜a＜0或0＜a ＜．考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再求出△ACO和△CBO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OC的长，再根据二次函数的对称性求出对称轴，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，利用∠ABC的正切值求出点P到x轴的距离PQ，设抛物线的交点式解析式y=a（x+1）（x﹣4），整理求出顶点坐标，再根据抛物线的顶点在△ABC的内部分两种情况列式求出a的取值范围即可．解答：解：∵点A（﹣1，0），B（4，0），∴OA=1，OB=4，易得△ACO∽△CBO，∴=，即=，解得OC=2，∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），∴对称轴为直线x==，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，则BQ=4﹣=2.5，tan∠ABC==，即=，解得PQ=，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），则y=a（x2﹣3x﹣4）=a（x﹣）2﹣a，当点C在y轴正半轴时，0＜﹣a＜，解得﹣＜a＜0，当点C在y轴负半轴时，﹣＜﹣a＜0，解得0＜a＜，所以，a的取值范围是﹣＜a＜0或0＜a＜．故答案为：﹣＜a＜0或0＜a＜．点评：本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，把二次函数的解析式用交点式形式表示更加简便，注意要分点C在y正半轴和负半轴两种情况讨论．8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a=9；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是a＜9．考点：抛物线与x轴的交点．分析：顶点在x轴上即抛物线与x轴只有一个交点，则判别式等于0，若抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，据此即可求解．解答：解：△=36﹣4a，则定点在x轴上，则36﹣4a=0，解得：a=9；抛物线与x轴有两个交点，则36﹣4a＞0，解得：a＜9．故答案是：9；a＜9．点评：本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法，如果△＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；如果△=0，与x轴有一个交点；如果△＜0，与x轴无交点．9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a=2．考点：待定系数法求二次函数解析式．专题：压轴题．分析：根据抛物线顶点的纵坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义．解答：解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣，）所以=2解得：a1=2，a2=﹣1又因为要有意义则a≥0所以a=2．点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如：中a≥0．10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是4．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线顶点的横坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义．解答：解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣，），所以﹣=2，解得：a1=4，a2=﹣4，又因为要有意义，则a≥0，所以a=4．故答案为4．点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如：中a≥0．11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是2．考点：二次函数的性质；二次函数的定义．专题：计算题．分析：先列出关于m的等式，再根据抛物线的顶点在x轴上方，求得m，所以只需令顶点纵坐标大于0即可．解答：解：∵是抛物线，∴m2﹣2=2，解得m=±2，∵抛物线的顶点在x轴上方．∴0﹣8（m+2）＜0，∴m＞﹣2，∴m=2．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数的定义和性质，将函数与一元二次方程结合起来，有一定的综合性．12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a•c的值是﹣2．考点：二次函数的性质；正方形的性质．分析：抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），由四边形ABCO是正方形，则C点坐标为标为（﹣，），代入抛物线即可解答．解答：解：∵抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，∴∠COB=90°，CO=BC，∴△COB是等腰直角三角形，∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，∴C点坐标为（﹣，），将点C代入抛物线方程中得ac=﹣2．故答案为：﹣2点评：本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为10．考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：整体思想．分析：把点（2，5）代入抛物线求出2a+b的值，然后整体代入进行计算即可得解．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），∴4a+2b﹣1=5，∴2a+b=3，∴6a+3b+1=3（2a+b）+1=3×3+1=10．故答案为：10．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式是解题的关键，主要利用了整体思想．三．解答题（共17小题）14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．分析：利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．解答：解：抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即﹣y=2x2﹣4x+5，因此所求抛物线C2的解析式是y=﹣2x2+4x﹣5．点评：利用轴对称变换的特点可以解答．15．将抛物线C1：y=（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．分析：先求出抛物线C1的顶点坐标，再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标，然后根据旋转的性质写出抛物线C2的顶点式形式解析式，再把抛物线C1的顶点坐标代入进行即可得解．解答：解：∵y=（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），∴绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2的顶点坐标为（2t+1，6），∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣2t﹣1）2+6，∵抛物线C1的顶点在抛物线C2上，∴﹣（﹣1﹣2t﹣1）2+6=﹣2，解得t1=3，t2=﹣5，∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣7）2+6或y=﹣（x+9）2+6．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，难度较大，求出旋转后的抛物线C2的顶点坐标是解题的关键，也是本题的难点．16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标（1，2）；（2）阴影部分的面积S=2；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接应用二次函数的知识解决问题．解答：解：（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；（2分）（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2；（6分）（3）由题意可得：抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称．所以抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y3的解析式为：y=a（x+1）2﹣2．由对称性得a=1，所以y3=（x+1）2﹣2．（10分）点评：考查二次函数的相关知识，考查学生基础知识的同时还考查了识图能力．17．已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．（1）请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式y=﹣2x2+1，伴随直线的解析式y=﹣2x+1；（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，则这条抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；（4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；新定义．分析：（1）先根据抛物线的解析式求出其顶点P和抛物线与y轴的交点M的坐标．然后根据M的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将P点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．根据M，P两点的坐标即可求出直线PM 的解析式；（2）由题意可知：伴随抛物线的顶点坐标是抛物线与y轴交点坐标，伴随抛物线与伴随直线的交点（与y轴交点除外）是抛物线的顶点，据此可求出抛物线的解析式；（3）方法同（1）；（4）本题要考虑的a、b、c满足的条件有：抛物线和伴随抛物线都与x轴有两个交点，因此△＞0，①由于抛物线L中，x2＞x1＞0，因此抛物线的对称轴x＞0，两根的积大于0．②根据两抛物线的解析式分别求出AB、CD的长，根据AB=CD可得出另一个需满足的条件…③综合这三种情况即可得出所求的a、b、c需满足的条件．解答：解：（1）y=﹣2x2+1，y=﹣2x+1；（2）将y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3组成方程组得，，解得，或．则原抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．设原函数解析式为y=n（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y=n（x﹣1）2﹣4得，﹣3=n （0﹣1）2﹣4，解得，n=1，则原函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．（3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c），∵设它的解析式为y=m（x﹣0）2+c（m≠0），∵此抛物线过P（﹣，），∴=m•（﹣）2+c，解得m=﹣a，∴伴随抛物线解析式为y=﹣ax2+c；设伴随直线解析式为y=kx+c（k≠0），P（﹣，）在此直线上，∴，∴k=，∴伴随直线解析式为y=x+c；（4）∵抛物线L与x轴有两交点，∴△1=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac；∵x2＞x1＞0，∴x2+x1=﹣＞0，x1•x2=＞0，∴ab＜0，ac＞0．对于伴随抛物线有y=﹣ax2+c，有△2=0﹣（﹣4ac）=4ac＞0，由﹣ax2+c=0，得x=±．∴C（﹣，0），D（，0），CD=2，又AB=x2﹣x1====，∵AB=CD，则有：2=，即b2=8ac，综合b2=8ac，b2﹣4ac＞0，ab＜0，ac＞0可得a、b、c需满足的条件为：b2=8ac且ab＜0（或b2=8ac且bc＜0）．点本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系．评：18．设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．专题：计算题．分析：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m，根据抛物线与x轴的交点的距离公式得到=2，解得m=3b﹣3a2，则平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+4b﹣3a2；（2）先确定y=x2+2ax+b的顶点坐标为（﹣a，b﹣a2），由于通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点，则可设新抛物线解析式为y=t（x2+2ax+4b﹣3a2），然后把（﹣a，b﹣a2）代入可求出t=．解答：解：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m，根据题意得=2，解得m=3b﹣3a2，所以平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+3b﹣3a2=x2+2ax+4b﹣3a2；（2）y=x2+2ax+b=（x+a）2+b﹣a2，其顶点坐标为（﹣a，b﹣a2），∵新抛物线的表达式过抛物线y=x2+2ax+4b﹣3a2与x轴两交点，∴可设新抛物线解析式为y=t（x2+2ax+4b﹣3a2），把（﹣a，b﹣a2）代入得b﹣a2=t（a2﹣2a2+4b﹣3a2），解得t=，所以新抛物线的表达式过抛物线y=x2+ax+b﹣a2．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P 的坐标．考点：二次函数综合题；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）先连接AB，根据A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，得出AO=AB，再根据∠AOB=60°，得出△ABO是等边三角形，再过A作AE⊥x轴于E，在Rt△OAE 中，求出OD、AE的值，即可求出顶点A的坐标，最后设抛物线C的解析式，求出a的值，从而得出抛物线C的解析式；（2）先过A作AE⊥OB于E，根据题意得出OE=OB=2，再根据直线OA的解析式为y=x，得出AE=OE=2，求出点A的坐标，再将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c （a＜0）中，求出a的值，得出抛物线C的解析式，再根据抛物线C、C′关于原点对称，从而得出抛物线C′的解析式；（3）先作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由（2）知，抛物线C′的顶点为A′（﹣2，﹣2），得出A′B的中点M的坐标，再作MH⊥x轴于H，得出△MHN∽△BHM，则MH2=HN•HB，求出N点的坐标，再根据直线l过点M（1，﹣1）、N（，0），得出直线l的解析式，求出x的值，再根据抛物线C上存在两点使得PB=PA'，从而得出P1，P2坐标，再根据抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，得出P3，P4的坐标，即可求出答案．解答：解：（1）连接AB．∵A点是抛物线C的顶点，且抛物线C交x轴于O、B，∴AO=AB，又∵∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，过A作AD⊥x轴于D，在Rt△OAD中，∴OD=2，AD=，∴顶点A的坐标为（2，）设抛物线C的解析式为（a≠0），将O（0，0）的坐标代入，求得：a=，∴抛物线C的解析式为．（2）过A作AE⊥OB于E，∵抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点和B（4，0），顶点为A，∴OE=OB=2，又∵直线OA的解析式为y=x，∴AE=OE=2，∴点A的坐标为（2，2），将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，∴a=，∴抛物线C的解析式为，又∵抛物线C、C′关于原点对称，∴抛物线C′的解析式为；（3）作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由前可知，抛物线C′的顶点为A′（﹣2，﹣2），故A′B的中点M的坐标为（1，﹣1）．作MH⊥x轴于H，∴△MHN∽△BHM，则MH2=HN•HB，即12=（1﹣n）（4﹣1），∴，即N点的坐标为（，0）．∵直线l过点M（1，﹣1）、N（，0），∴直线l的解析式为y=﹣3x+2，，解得．∴在抛物线C上存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为P1（，），P2（，）；解得，．∴在抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为P3（﹣5+，17﹣3），P4（﹣5﹣，17+3）．∴点P的坐标是：P1（，），P2（，），P3（﹣5+，17﹣3），P4（﹣5﹣，17+3）．。

专题14 二次函数的分类讨论问题1、已知抛物线y ＝﹣16x 2﹣23x +2与x 轴交于点A ，B 两点，交y 轴于C 点，抛物线的对称轴与x 轴交于H 点，分别以OC 、OA 为边作矩形AECO ． （1）求直线AC 的解析式；（2）如图2，P 为直线AC 上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M ，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM ﹣OM |的最大值．（3）如图3，将△AOC 沿直线AC 翻折得△ACD ，再将△ACD 沿着直线AC 平移得△A 'C ′D '．使得点A ′、C '在直线AC 上，是否存在这样的点D ′，使得△A ′ED ′为直角三角形？若存在，请求出点D ′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y ＝13x +2；(2) 点M 坐标为（﹣2，53）时，四边形AOCP 的面积最大，此时|PM ﹣OM |有最大值√616； (3)存在，D ′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（−35，195）．【解析】（1）令x ＝0，则y ＝2，令y ＝0，则x ＝2或﹣6，△A （﹣6，0）、B （2，0）、C （0，2），函数对称轴为：x ＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，83），C 点坐标为（0，2），则过点C 的直线表达式为：y ＝kx +2，将点A 坐标代入上式，解得：k =13，则：直线AC 的表达式为：y =13x +2； （2）如图，过点P 作x 轴的垂线交AC 于点H ．四边形AOCP 面积＝△AOC 的面积+△ACP 的面积，四边形AOCP 面积最大时，只需要△ACP 的面积最大即可，设点P 坐标为（m ，−16m 2−23m +2），则点G 坐标为（m ，13m +2），S △ACP =12PG •OA =12•（−16m 2−23m +2−13m ﹣2）•6=−12m 2﹣3m ，当m ＝﹣3时，上式取得最大值，则点P 坐标为（﹣3，52）．连接OP 交对称轴于点M ，此时，|PM ﹣OM |有最大值，直线OP 的表达式为：y =−56x ，当x ＝﹣2时，y =53，即：点M 坐标为（﹣2，53），|PM ﹣OM |的最大值为：|√(−3+2)2+(52−53)2−√22+(53)2|=√616． （3）存在．△AE ＝CD ，△AEC ＝△ADC ＝90°，△EMA ＝△DMC ，△△EAM △△DCM （AAS ），△EM ＝DM ，AM ＝MC ，设：EM ＝a ，则：MC ＝6﹣a ．在Rt△DCM 中，由勾股定理得：MC 2＝DC 2+MD 2，即：（6﹣a ）2＝22+a 2，解得：a =83，则：MC =103，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，交EC 于点H ．在Rt△DMC 中，12DH •MC =12MD •DC ，即：DH ×103=83×2，则：DH =85，HC =√DC 2−DH 2=65，即：点D 的坐标为（−65，185）；设：△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位，则：点A ′坐标（﹣6√10√10），点D ′坐标为（−65+√10185+√10），而点E 坐标为（﹣6，2），则A′D′2=(−6+65)2+(185)2=36，A′E 2=(√10)2+(√102)2=m 2√104，ED′2=(245+√10)2+(85+√10)2=m 2√101285．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论：△当A′D′2+A′E 2=ED′2时，36+m 2−√104=m 2+√101285，解得：m =2√105，此时D ′（−65+√10185+√10）为（0，4）；△当A′D′2+ED′2=A′E 2时，36+m 2+10+1285=m 210+4，解得：m =−8√105，此时D ′（−6510185+10）为（－6，2）；△当A′E 2+ED′2=A′D′2时，m 2√10+4+m 2√101285=36，解得：m =−8√105或m =√105，此时D ′（−65√10185√10）为（－6，2）或（−35，195）．综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（−35，195）．2、已知抛物线1l :212y ax =-的项点为P ，交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin ABP ∠=．(1)求抛物线1l 的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ,交y 轴于点D ,若ABC ∆的面积被y 轴分为1: 4两个部分，求直线AC 的解析式；(3)在(2)的情况下，将抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180°得到抛物线2l ,点M 为抛物线2l 上一点，当点M 的横坐标为何值时，BDM ∆为直角三角形？【答案】（1）21128y x =-；（2）直线AC 的解析式为114y x =+；（3）点M 横坐标为16-+16--16-+16--BDM ∆为Rt ∆．【解析】（1）当0x =时，2122y ax =-=- △顶点()0,2P -，2OP = △90BOP ∠=︒，△sin OP ABP BP ∠==△BP ==△4OB ===△()4,0B ，代入抛物线1l 得：1620a -=，解得18a =，△抛物线1l 的函数解析式为21128y x =- （2）△知抛物线1l 交x 轴于A 、B 两点 △A 、B 关于y 轴对称，即()4,0-A △8AB =设直线AC 解析式：y kx b =+点A 代入得：40k b -+= △4b k =△直线AC ：4y kx k =+，()0,4D k △14|4|8||2AOD BOD S S k k ∆∆==⨯⨯= △21248x kx k -=+，整理得：2832160x kx k ---= △128x x k += △14x =-△284C x x k ==+，()284488C y k k k k k =++=+△2(84,88)C k k k ++ △21||32||2ABC C S AB y k k ∆=⋅=+ △若0k >，则:=1:4AOD OBCD S S ∆四边形 △15AOD ABC S S ∆∆= △()218325k k k =⨯+ 解得：10k =（舍去），214k = △直线AC 的解析式为114y x =+ △若k 0<，则8AOD BOD S S k ∆∆==-，()232ABC S k k ∆=-+△()218|32|5k k k -=⨯-+解得：10k =（舍去），214k =（舍去）综上所述，直线AC 的解析式为114y x =+. （3）由（2）得：()0,1D ，()4,0B△抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180︒得到抛物线2l △抛物线2l 解析式为：22128y x =-- 设点M 坐标为21(,2)8m m --△若90BDM ∠=︒，如图1，则0m < 过M 作MN y ⊥轴于点N△90MND BOD BDM ∠=∠=∠=︒，MN m =-，22111(2)388DN m m =---=+ △90MDN BDO MDN DMN ∠+∠=∠+∠=︒ △BDO DMN ∠=∠ △BDO DMN ∆∆△BO ODDN MN=，即BO MN DN OD ⋅=⋅ △21438m m -=+解得：116m =-+，216m =--△若90DBM ∠=︒，如图2，过点M 作MQ x ⊥轴于点Q△90BQM DBM BDM ∠=∠=∠=︒，4BQ m =-，2211(2)288MQ m m =---=+ △90BMQ MBQ MBQ DBO ∠+∠=∠+∠=︒△BMQ DBO ∠=∠ △BMQ DBO ∆∆△BQ MQDO BO=，即BQ BO MQ OD ⋅=⋅△()214428m m -=+解得：116m =-+216m =--△若90BMD ∠=︒，则点M 在以BD 为直径的圆除点B 、D 外的圆周上 显然以AB 为真径的圆与抛物线2l 无交点，故此情况不存在满足的m综上所述，点M 横坐标为16-+16--16-+16--BDM ∆为Rt ∆. 3、已知：如图，一次函数y=12x+1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=12x 2+bx+c 的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上有一动点P ，从O 点出发以每秒1个单位的速度沿x 轴向右运动，是否存在点P 使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 运动的时间t 的值，若不存在，请说明理由． （4）若动点P 在x 轴上，动点Q 在射线AC 上，同时从A 点出发，点P 沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q 以每秒a 个单位的速度沿射线AC 运动，是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．【答案】△y =12x 2−32x +1;(2)92;(3)t =1或3;(4)a =23√5或65√5【解析】（1）将B （0，1），D （1，0）的坐标代入y=12x 2+bx+c ， 得：{c ＝1b +c +12＝0，解得：{b ＝−32c ＝1故解析式y=12x 2−32x +1；（2）设C （x 0，y 0）， 则有 {y 0＝12x 0+1y 0＝12x 02−32x 0+1 ， 解得{x 0＝4y 0＝3， △C （4，3），由图可知：S=S △ACE -S △ABD ，又由对称轴为x=32可知E （2，0），△S=12AE•y 0-12AD×OB=12×4×3-12×3×1=92； （3）设符合条件的点P 存在，令P （t ，0）： 当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF△x 轴于F ；△Rt△BOP△Rt△PCF ， △BOPF＝OP CF ，即 14−t ＝t3， 整理得t 2-4t+3=0， 解得a=1或a=3； 故可得t=1或3．（4）存在符合条件的a 值，使△APQ 与△ABD 相似， △当△APQ△△ABD 时，AP AB＝AQAD ， 解得：a=6√55；△当△APQ△△ADB 时，AP AD＝AQ AB ， 解得：a=2√53，△存在符合条件的a 值，使△APQ 与△ABD 相似，a=6√55或2√53．4、已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使P A +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【思路引导】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则CM =，AC ==AM =AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【解析】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+．当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则CM =，AC ==AM =分三种情况考虑：①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【方法总结】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．5、如图，动直线 y ＝kx+2（k ＞0）与 y 轴交于点 F ，与抛物线 y ＝14x 2+1 相交于A ，B 两点，过点 A ，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C ，D ，连接 CF ，DF ，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．【答案】△CFD 是直角三角形．见解析。

一、二次函数的定义定义： y=ax ² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式练习：1、y=-x ²，y=2x ²-2/x ，y=100-5 x ²，y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1) χ - 2χ+1 是二次函数？ 二、二次函数的图像及性质1、二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的同象是一条 ，其顶点坐标为 对称轴式 2、增减性练习： 1、y=2x 2对称轴 顶点坐标2、y=x 2-1对称轴 顶点坐标3、y=-3(x+2)2对称轴 顶点坐标4、y=4(x-3)2+1对称轴 顶点坐标5、y=-2x 2+6x-1对称轴 顶点坐标 三、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ y=ax2+bx+c(a ≠0)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式. y=a(x-h)2+k(a ≠0)3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a ≠0) 练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。

例1已知二次函数y=ax2+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。

求a 、b 、c 。

四、a ，b ，c 符号的确定 练习7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。

二次函数求最值参数分类讨论的方法题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+-∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,数a 的值 分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠0 2)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122a x a-=(Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202x =-∈-a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f -≠(Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =-∈-0310,43a x =>=-距右端点2较远，(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得32a -±=当0a =<时034[,2]2x =-∉-当302a --=<时034[,2]2x =∈-综收所述34a =或32a --=评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。

二次函数综合题解题方法解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。

解题方法：1、待定系数法求二次函数的解析式；2、会用配方法、公式法求抛物线的顶点坐标、对称轴方程重要数学思想：转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。

一、距离问题例1：（2014•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．例2：（2014年山东泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x 轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；例3：（2014年山东日照）（2014•日照）如图1，在菱形OABC中，已知OA=2，∠AOC=60°，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点．（Ⅰ）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．（Ⅱ）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上．（1）当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；二、面积问题：1、面积最大问题例1：（2009临沂）如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．例2：（2014•莱芜）如图，过A （1，0）、B （3，0）作x 轴的垂线，分别交直线y=4﹣x 于C 、D 两点．抛物线y=ax 2+bx+c 经过O 、C 、D 三点． （1）求抛物线的表达式；（3）若△AOC 沿CD 方向平移（点C 在线段CD 上，且不与点D 重合），在平移的过程中△AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．2、面积为定值的问题例1：（2014潍坊）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠O ）与y 轴交于点C(O ，4)，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛O xyAB C4 12-（第26题图）物线交于点D，与直线BC交于点E(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；例2：（2014•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；三角形相似问题：1、直角三角形相似问题例1：（2014•威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；xyADBOC（第25题图）（2）E 为抛物线上一动点，是否存在点E 使以A 、B 、E 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；例2：25．(2014东营) 如图，直线y=2x+2与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，过点B 的抛物线2y x bx c =-++与直线BC 交于点D （3，4-）．（1）求直线BD 和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M ，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N ，使得以M 、O 、N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；例3：（2011•临沂）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ．（1）求抛物线的解析式；:（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PMx 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2、等腰三角形相似问题例1：(2007临沂)如图①，已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。

二次函数超级分类综合题及详细解答(一)求线段最大值及根据面积求点坐标1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．2.如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值（二）求三角形周长及面积的最值问题3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．（三）为等腰或直角三角形是求点坐标5.如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．（四）四边形与二次函数问题6、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案1.分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ 为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键．2.分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．解答：解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．3.分析：（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．解答：解：（1）由题意可知：解得：∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=；故△PBC周长的最小值为3+．（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．4.分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x 的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．5.分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．解答：解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA=AB时，，解得：，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合题意舍去），③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在4个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．6分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x ﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x ﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，11①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作ND⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．12。

精品文档例1（1）关于的方程有两个实根，且一个大0??14)x?2mx?2(m?3x2于1，一个小于1，求的取值范围；m（2）x?2(m?3)x?2m?14?0mx),4[02的取值范围；关于有两实根都在的方程内，求??2外，求m的取值范围⑶关于x的方程有两实根在31,0(m?3)x?m?14?2x?2（4）关于的方程有两实根，且一个大于4，一个小0?14?x(m?3)?2m?mx2x2于4，求的取值范围.m3例求实数，上的最大值为13已知函数在区间3a?)?1x2?ax)(fx?(a]2?[,22的值。

精品文档．精品文档解（1）令，∵对应抛物线开口向上，∴方程有14?2m?3)x?f(x)?x?2(m2两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于（思考：需要吗？），0)?f(10??21即.??m4（2）令，原命题等价于14m?)x?2)?x?2(m?3f(x2f(0)?0?2m?14?0??f(4)?0??0??14)?2m16?8(m?327??????m??5.2(m?3)???7?m??350???4??2??m??5,m?1??4(m?3)?4(2m?14)?02?（3）令，原命题等价于14??2m2(m?3)xf(x)?x?2f(1)?01?2(m?3)?2m?14?0??21即得.??m??4f(3)?09?6(m?3)?2m?14?0??（4）令，依题得142m??3)x??g(x)?mx2(m2m?0m?0??19或得.0?m??,??g(4)?0g(4)?013??例2（1）已知函数，若有解，求实数的取值22?ax??af(x)0)?f(xa范围；（2）已知，当时，若恒成立，求实数的取2x?x4f(x)??a?f(x?[?1,1])xa值范围。

2有解有解，即有解解：（1）222??1?a(x)0ax?a?2?0)?(fx??a 2?1x2有解所以.?|2|a??).,2?(??a max21x?时，（2）当时，又当恒成立?]ax)?,1?x?[1x?[?1,]1f(.?x)]a[f(min，所以).?5?(??,a5??1)??[f(x)]f(min【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。

1、二次函数的定义定义：y=ax2 ＋bx ＋c （a 、b 、c是常数， a ≠0）定义重点：①a≠0②最高次数为 2 ③代数式必定是整式练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5x2，y=3x2-2x3+5,此中是二次函数的有____个。

m2m2.当m_______时,函数y=(m+1)χ-2χ+1是二次函数？2、二次函数的图像及性质y抛物线极点坐标xy=ax2+bx+c(a>0)4acb2a,4ay0 xy=ax2+bx+c(a<0)b4acb22a,4ab直线x 直线xb对称轴地点张口方向增减性最值2a由a,b和c的符号确立a>0,张口向上在对称轴的左边,y跟着x的增大而减小.在对称轴的右边,y跟着x的增大而增大.当x b 时,y最小值为4acb22 a4a2a由a,b和c的符号确立a<0,张口向下在对称轴的左边,y跟着x的增大而增大.在对称轴的右边,y跟着x的增大而减小.当x b时,y最大值为4acb22a4a例2：已知二次函数y1232x21）求抛物线张口方向，对称轴和极点M 的坐标。

2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。

3）x 为什么值时，y 随的增大而减少，x 为什么值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ 4）x 为什么值时，y<0？x 为什么值时，y>0？3、求抛物线分析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，往常设分析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)2,极点式：已知抛物线极点坐标（h,k ），往常设抛物线分析式为_______________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a≠0)3,交点式:已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),往常设分析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)练习：依据以下条件，求二次函数的分析式。

1 二次函数典型例题例1．二次函数c bx ax y ++=2，其中0≠a ，以)4,1(-M 为顶点，图象经过点)5,4(与x 轴的交点为A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴的交点为C ，（1）求函数c bx ax y ++=2的表达式；（2）求A 、B 、C 点的坐标；（3）求ABM S ∆、ABC S ∆的值；（4）当0>y 时，写出x 的取值范围； 当0<y 时，写出x 的取值范围；（5）点P 是二次函数c bx ax y ++=2在x 轴下方，且在BC 之间的图象上点，求BCP S ∆的最大值，并求此时点P 的坐标；（6）点P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，过点PQ 作PQ ∥x 轴交二次函数c bx ax y ++=2图象于点Q ，若以PQ 为直径的圆，恰好与x 轴相切，求点P 的坐标；（7）若点Q 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且∠AQB =90°，求点Q 的坐标；2（8）若点),(00y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，判断△APB 的形状，并写出相应地0x 、0y 的范围；（9）判断直线m y =与函数c bx ax y ++=2的图象交点的个数？（10）若点),(y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且⊙P 的半径为1，若⊙P 与坐标轴相切，求点P 的坐标；（11）作直线BC ，设BC 的解析式为n mx y +=1；求直线BC 的解析式n mx y +=；观察图象直接写出1y y >时自变量x 的取值范围；直接写出1y y <时自变量x 的取值范围；（12）①对于△ABC 来说，求出各角的三角函数值；②对于△ABM 来说，求出各角的三角函数值；（13）对于△ABC 来说，外接圆为⊙P ，判断直线m x =，n y =与⊙P 的位置关系？（14）对于△ABM 来说，求出△ABM 的外心点Q 的坐标；判断直线b x =，c y =与⊙Q 的位置关系？（15）判断△BCM 的形状，并求△BCM 的外心E 坐标；（16）设△ABC 的外接圆为⊙P ，求劣弧AC 的长度以及劣弧AC 与AC 所组成的弓形的面积；3 （17）设△ABC 的外接圆为⊙P ，⊙P 与y 轴的另一个交于点为D ，求点D 的坐标，并求∠ABM —∠ABD 的度数；（18）点C 关于函数c bx a y ++=2图象的对称点为C '，求点C '的坐标，并判断△C CM '的形状，并设其外心为N ，分别判断⊙N 与直线e x =，f y =的位置关系？（19）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA +的最小值，且求此时点P 的坐标；（20）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA -的最大值，且求此时点P 的坐标；例2．二次函数c bx ax y ++=2，其中0≠a ，以)4,1(--M 为顶点，图象与x 轴的交点为A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴的交点为C ，4=AB ，（1）求函数c bx ax y ++=2的表达式；（2）求A 、B 、C 点的坐标；4 （3）求ABM S ∆、ABC S ∆的值；（4）当0>y 时，写出x 的取值范围； 当0<y 时，写出x 的取值范围；（5）点P 是二次函数c bx ax y ++=2在x 轴下方，且在BC 之间的图象上点，求BCP S ∆的最大值，并求此时点P 的坐标；（6）点P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，过点PQ 作PQ ∥x 轴交二次函数c bx ax y ++=2图象于点Q ，若以PQ 为直径的圆，恰好与x 轴相切，求点P 的坐标；（7）若点Q 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且∠AQB =90°，求点Q 的坐标；（8）若点),(00y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，判断△APB 的形状，并写出相应地0x 、0y 的范围；（9）判断直线m y =与函数c bx ax y ++=2的图象交点的个数？（10）若点),(y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且⊙P 的半径为1，若⊙P 与坐标轴相切，求点P 的坐标；5 （11）作直线BC ，设BC 的解析式为n mx y +=1；求直线BC 的解析式n mx y +=；观察图象直接写出1y y >时自变量x 的取值范围；直接写出1y y <时自变量x 的取值范围；（12）①对于△ABC 来说，求出各角的三角函数值；②对于△ABM 来说，求出各角的三角函数值；（13）对于△ABC 来说，外接圆为⊙P ，判断直线m x =，n y =与⊙P 的位置关系？（14）对于△ABM 来说，求出△ABM 的外心点Q 的坐标；判断直线b x =，c y =与⊙Q 的位置关系？（15）判断△BCM 的形状，并求△BCM 的外心E 坐标；（16）设△ABC 的外接圆为⊙P ，求劣弧AC 的长度以及劣弧AC 与AC 所组成的弓形的面积；（17）设△ABC 的外接圆为⊙P ，⊙P 与y 轴的另一个交于点为D ，求点D 的坐标，并求∠BAM —∠BAD 的度数；（18）点C 关于函数c bx a y ++=2图象的对称点为C '，求点C '的坐标，并判断△C CM '的形状，并设其外心为N ，分别判断⊙N 与直线e x =，f y =的位置关系？（19）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA +的最小值，且求此时点P 的坐标；6 （20）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA -的最大值，且求此时点P 的坐标；例3．二次函数c bx ax y ++=2，其中0≠a ，以)4,1(M 为顶点，图象经过点)5,4(-与x 轴的交点为A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴的交点为C ，（1）求函数c bx ax y ++=2的表达式；（2）求A 、B 、C 点的坐标；（3）求ABM S ∆、ABC S ∆的值；（4）当0>y 时，写出x 的取值范围； 当0<y 时，写出x 的取值范围；（5）点P 是二次函数c bx ax y ++=2在x 轴上方，且在BC 之间的图象上点，求BCP S ∆的最大值，并求此时点P 的坐标；（6）点P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，过点PQ 作PQ ∥x 轴交二次函数c bx ax y ++=2图象于点Q ，若以PQ 为直径的圆，恰好与x 轴相切，求点P 的坐标；7（7）若点Q 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且∠AQB =90°，求点Q 的坐标；（8）若点),(00y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，判断△APB 的形状，并写出相应地0x 、0y 的范围；（9）判断直线m y =与函数c bx ax y ++=2的图象交点的个数？（10）若点),(y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且⊙P 的半径为1，若⊙P 与坐标轴相切，求点P 的坐标；（11）作直线BC ，设BC 的解析式为n mx y +=1；求直线BC 的解析式n mx y +=；观察图象直接写出1y y >时自变量x 的取值范围；直接写出1y y <时自变量x 的取值范围；（12）①对于△ABC 来说，求出各角的三角函数值；②对于△ABM 来说，求出各角的三角函数值；（13）对于△ABC 来说，外接圆为⊙P ，判断直线m x =，n y =与⊙P 的位置关系？（14）对于△ABM 来说，求出△ABM 的外心点Q 的坐标；判断直线b x =，c y =与⊙Q 的位置关系？8（15）判断△BCM 的形状，并求△BCM 的外心E 坐标；（16）设△ABC 的外接圆为⊙P ，求劣弧AC 的长度以及劣弧AC 与AC 所组成的弓形的面积；（17）设△ABC 的外接圆为⊙P ，⊙P 与y 轴的另一个交于点为D ，求点D 的坐标，并求∠ABM —∠ABD 的度数；（18）点C 关于函数c bx a y ++=2图象的对称点为C '，求点C '的坐标，并判断△C CM '的形状，并设其外心为N ，分别判断⊙N 与直线e x =，f y =的位置关系？（19）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA +的最小值，且求此时点P 的坐标；（20）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA -的最大值，且求此时点P 的坐标；例4．二次函数c bx ax y ++=2，其中0≠a ，以)4,1(M 为顶点，图象与x 轴的交点为A 、B （点A 在点9 B 的左边），与y 轴的交点为C ，4=AB ，（1）求函数c bx ax y ++=2的表达式；（2）求A 、B 、C 点的坐标；（3）求ABM S ∆、ABC S ∆的值；（4）当0>y 时，写出x 的取值范围； 当0<y 时，写出x 的取值范围；（5）点P 是二次函数c bx ax y ++=2在x 轴上方，且在BC 之间的图象上点，求BCP S ∆的最大值，并求此时点P 的坐标；（6）点P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，过点PQ 作PQ ∥x 轴交二次函数c bx ax y ++=2图象于点Q ，若以PQ 为直径的圆，恰好与x 轴相切，求点P 的坐标；（7）若点Q 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且∠AQB =90°，求点Q 的坐标；（8）若点),(00y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，判断△APB 的形状，并写出相应地0x 、0y 的范围；10 （9）判断直线m y =与函数c bx ax y ++=2的图象交点的个数？（10）若点),(y x P 是二次函数c bx ax y ++=2图象上的点，且⊙P 的半径为1，若⊙P 与坐标轴相切，求点P 的坐标；（11）作直线BC ，设BC 的解析式为n mx y +=1；求直线BC 的解析式n mx y +=；观察图象直接写出1y y >时自变量x 的取值范围；直接写出1y y <时自变量x 的取值范围；（12）①对于△ABC 来说，求出各角的三角函数值；②对于△ABM 来说，求出各角的三角函数值；（13）对于△ABC 来说，外接圆为⊙P ，判断直线m x =，n y =与⊙P 的位置关系？（14）对于△ABM 来说，求出△ABM 的外心点Q 的坐标；判断直线b x =，c y =与⊙Q 的位置关系？（15）判断△BCM 的形状，并求△BCM 的外心E 坐标；（16）设△ABC 的外接圆为⊙P ，求劣弧AC 的长度以及劣弧AC 与AC 所组成的弓形的面积；（17）设△ABC 的外接圆为⊙P ，⊙P 与y 轴的另一个交于点为D ，求点D 的坐标，并求∠ABM —∠ABD 的度数；11 （18）点C 关于函数c bx a y ++=2图象的对称点为C '，求点C '的坐标，并判断△C CM '的形状，并设其外心为N ，分别判断⊙N 与直线e x =，f y =的位置关系？（19）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA +的最小值，且求此时点P 的坐标；（20）点P 在二次函数c bx ax y ++=2的对称轴上，求PC PA -的最大值，且求此时点P 的坐标；。

例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；（2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围（4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围.例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,23[-上的最大值为1，求实数a 的值。

解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(<f （思考：需要0>∆吗？），即.421-<m （2）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，原命题等价于.55271,5370142)3(81601420)142(4)3(442)3(200)4(0)0(2-≤<-⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-<<->++++≥+⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-+<+-<≥≥m m m m m m m m m m f f （3）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，原命题等价于⎩⎨⎧<<0)3(0)1(f f 即⎩⎨⎧<++++<++++0142)3(690142)3(21m m m m 得.421-<m （4）令142)3(2)(2++++=m x m mx x g ，依题得⎩⎨⎧<>0)4(0g m 或,0)4(0⎩⎨⎧><g m 得.01319<<-m 例2（1）已知函数2)(2-+=a axx f ，若0)(<x f 有解，求实数a 的取值范围；（2）已知x x x f 4)(2+-=，当]1,1[-∈x 时，若a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围。

例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；（2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围（4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围.解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(<f （思考：需要0>∆吗？），即.421-<m （2）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，原命题等价于.55271,5370142)3(81601420)142(4)3(442)3(200)4(0)0(2-≤<-⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-<<->++++≥+⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-+<+-<≥≥m m m m m m m m m m f f （3）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，原命题等价于⎩⎨⎧<<0)3(0)1(f f 即⎩⎨⎧<++++<++++0142)3(690142)3(21m m m m 得.421-<m （4）令142)3(2)(2++++=m x m mx x g ，依题得⎩⎨⎧<>0)4(0g m 或,0)4(0⎩⎨⎧><g m 得.01319<<-m 例2（1）已知函数2)(2-+=a axx f ，若0)(<x f 有解，求实数a 的取值范围；（2）已知x x x f 4)(2+-=，当]1,1[-∈x 时，若a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围。

二次函数经典例题及答案1.已知抛物线的顶点为P（－4，－252），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为（1，0）。

（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q，使得△ADQ 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．y=12x2+4x -92；存在点Q1（-1，-4），Q2（25-9，-5），Q3（-132，-54）．析试题分析：（1）根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a（x+4）2-252，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；（2）先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到OA、OC、AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出∠OAC的正弦值与余弦值，再分①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ1，再利用∠OAC的正弦求出Q1E1的长度，根据∠OAC的余弦求出AE1的长度，然后求出OE1，从而得到点Q1的坐标；②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，利用∠OAC的正弦求出Q2E2的长度，根据∠OAC的余弦求出AE2的长度，然后求出OE2，从而得到点Q2的坐标；③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE3的长度，然后求出OE3，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q3E3的长度，从而得到点Q3的坐标．试题解析：（1）∵抛物线顶点坐标为（-4，-252），∴设抛物线解析式为y=a（x+4）2-25 2∵抛物线过点B（1，0），∴a（1+4）2-252=0，解得a=，所以，抛物线解析式为y=（x+4）2-252，即y=x2+4x-；（2）存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．理由如下：∵抛物线顶点坐标为（-4，-252），∴点D的坐标为（-4，0），令x=0，则y=-，令y=0，则x2+4x-=0，整理得，x2+8x-9=0，解得x1=1，x2=-9，∴点A（-9，0），C（0，-），∴OA=9，OC=，AD=-4-（-9）=-4+9=5，在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC=∴sin∠OAC=cos∠OAC=，①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，根据等腰三角形三线合一的性质，AQ1=2?ADcos∠OAC=2×5×，Q1E1=AQ1?sin∠OAC=×=4，AE1=AQ1?cos∠OAC=×=8，所以，OE1=OA-AE1=9-8=1，所以，点Q1的坐标为（-1，-4）；②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，Q2E2=AQ2?sin∠OAC=5×=，AE2=AQ2?cos∠OAC=5×=2，所以，OE2=OA-AE2=9-2，所以，点Q2的坐标为（2-9，-）；③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，则AE3=AD=×5=，所以，OE3=9-=，∵Q3E3⊥x轴，OC⊥OA，∴△AQ3E3∽△ACO，∴，即，解得Q3E3=，所以，点Q3的坐标为（-，-），综上所述，在线段AC上存在点Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-），使得△ADQ为等腰三角形．2.如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求B、C两点坐标；（2）求此抛物线的函数解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．1）B（3，0）C（0，3）（2）此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（3）存在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3）（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．试题分析：（1）已知了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标．（2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线的解析式可得出A点的坐标，由此可求出AB的长，由于S△PAB=S△CAB，而AB边为定值．由此可求出P点的纵坐标，然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P 点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3经过B、C∴当x=0时y=3当y=0时x=3∴B（3，0）C（0，3）（2）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C∴．∴b=2，c=3．∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（3）当y=0时，﹣x2+2x+3=0；x1=﹣1，x2=3．∴A（﹣1，0）设P（x，y）∵S△PAB=S△CAB∴×4×|y|=×4×3∴y=3或y=﹣3①当y=3时，3=﹣x2+2x+3∴x1=0，x2=2P（0，3）或（2，3）②当y=﹣3时，﹣3=﹣x2+2x+3∴x1=1+，x2=1﹣∴P（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．因此存在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3）（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．3．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2．（2）当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．（3）P（3，0）或P（，）或P（，）．析试题分析：（1）已知了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．（2）①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．（3）分三种情况进行讨论：当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立；当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ2=OD?DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．试题解析：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），∴，解得：，∴所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2．（2）①∵当x=0时，y=2，∴点C的坐标为（0，2）．设直线BC的函数表达式是y=kx+b．则有，解得：．∴直线BC的函数表达式是y=﹣x+2．∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，∴PQ=y Q﹣y P=（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+x=﹣（x﹣3）2+1∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．②解：当∠OAQ=90°时，点P与点A重合，∴P（3，0）当∠QOA=90°时，点P与点C重合，∴x=0（不合题意）当∠OQA=90°时，设PQ与x轴交于点D．∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，∴∠OQD=∠QAD．又∵∠ODQ=∠QDA=90°，∴△ODQ∽△QDA．∴，即DQ2=OD?DA．∴（﹣x+2）2=x（3﹣x），10x2﹣39x+36=0，∴x1=，x2=，∴y1=×（）2﹣+2=；y2=×（）2﹣+2=；∴P（，）或P（，）．∴所求的点P的坐标是P（3，0）或P（，）或P（，）．4.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B，D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（，），△PBE的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围.（1），D（1，4）；（2）（）．解析试题分析：（1）本题需先根据抛物线经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线即可求出它的解析式．（2）本题首先设出BD解析式，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值．试题解析：（1）∵抛物线（）经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点∴把（﹣1，0）B（3，0）代入抛物线得：，，∴抛物线解析式为：，∵=，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）设直线BD解析式为：（），把B、D两点坐标代入，得：，解得5.如图，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点A，点P（，）（a是任意实数）在抛物线上，直线经过A，B两点．（1）求直线AB的解析式；（2）平行于y轴的直线交直线AB于点D，交抛物线于点E．①直线（0≤t≤4）与直线AB相交F，与抛物线相交于点G．若FG∶DE＝3∶4，求t的值；②将抛物线向上平移m（m＞0）个单位，当EO平分∠AED时，求m的值．1)；（2）①1或3；②．解析试题分析：（1）根据点P的坐标，可得出抛物线解析式，然后求出A、B、C 的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）①根据点E（2，5），D（2，1），G（，），F（，），表示出DE、FG，再由FG：DE=3：4，可得出t的值；②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），作AH⊥DE，垂足为H，在Rt△AEH中利用勾股定理求出AE，根据EO平分∠AED及平行线的性质可推出∠AEO=∠AOE，AO=AE，继而可得出m的值．试题解析：（1）∵P（，）（a是实数）在抛物线上，∴抛物线的解析式为=﹣，当时，即，解得，，当x=0时，y=2．∴A（0，2），B（4，0），C（，0），将点A、B的坐标代入，得：∴，解得：，故直线AB的解析式为；（2）①∵点E（2，5），D（2，1），G（，），F（，），∴DE=4，FG==，∵FG：DE=3：4，∴，解得，．②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），作AH⊥DE，垂足为H，∴=，即AE=，∵EO平分∠AED，∴∠AEO=∠DEO，∵AO∥ED，∴∠DEO=∠AOE，∴∠AEO=∠AOE，∴AO=AE，即，解得m=．6.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（–1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当P，Q运动t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状并求说明理由．（3）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由（1）y=x2﹣x﹣4．C（0，﹣4）；（2）四边形APDQ为菱形；（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．解析试题分析：（1）将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．（2）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．试题解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴，解得，∴y=x2﹣x﹣4．∴C（0，﹣4）．（2）四边形APDQ为菱形．理由如下：如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，∴AP=AQ=QD=DP，∴四边形AQDP为菱形（3）存在．如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0）∴AB=4，OA=3，OC=4，∴AC==5，∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，∴AQ=4．∵QD∥OC，∴，∴，∴QD=，AD=．①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=﹣x，∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（）2=x2，解得 x=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E（﹣，0）．②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，∵ED=AD=，∴AE=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E（﹣，0）．③当AE=AQ=4时，1．当E在A点左边时，∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，∴E（﹣1，0）．2．当E在A点右边时，∵OA+AE=3+4=7，∴E（7，0）．综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．7.如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，-3），其顶点为D，对称轴为直线．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）将△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形△EFG，将△EFG与△BCD重叠部分的面积记为S，用含m的代数式表示S．（1）；（2）M的坐标为，，；（3）．解析试题分析：（1）抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），对称轴为直线，得到抛物线与x轴的另一个交点为B（3，0），把A、B、C的坐标代入抛物线，即可得到抛物线的解析式；（2）①当AC=AM时C、M关于x轴对称，得到M；②当AC=CM时，AC=，以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M或M；（3）分别求出直线BC、BD的解析式，分两段计算重叠的面积：①，②．试题解析：（1）由题意可知，抛物线与x轴的另一个交点为B（3，0），则，，解得，故抛物线的解析式为：；（2）①当AC=AM时C、M关于x轴对称，得到M；②当AC=CM时，AC=，以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M或M；所以，点M的坐标为，，；（3）记平移后的三角形为△EFG．设直线BC的解析式为y=kx+b，则：，解得：，则直线BC的解析式为，△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△EFG，易得直线FG的解析式为．设直线BD的解析式为y=k′x+b′，则：，解得，则直线BD的解析式为，连结CG，直线CG交BD于H，则H（，-3）．在△OBC沿x轴向右平移的过程中，①当时，如图1所示．设EG交BC于点P，GF交BD于点Q，则CG=BF=m，BE=PE=3﹣m，联立，解得，即点Q（3﹣m，-2m），==②当时，如图2所示．设EG交BC于点P，交BD于点N，则OE=m，BE=PE=3﹣m，又因为直线BD的解析式为，所以当x=m时，得y=2m﹣6，所以点N（m，2m-6）．===，综上所述，．8.如图①，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（－6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点M ，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足最大时，求出Q点的坐标．（4）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．（1）y=-x2-2x+6；（2）P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）；（3）当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；（4）最大值为；E坐标为（-3，）．解析试题分析：（1）将点A（2，0）和点B（-6，0）分别代入y=ax2+bx+6，得到关于a、b 的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线的解析式；（2）根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴为x=-2，再求出M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，6），根据M、C的坐标求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①CP=PM；②CM=MP；③CM=CP；（3）由抛物线的对称性可知QB=QA，故当Q、C、A三点共线时，|QB-QC|最大，连结AC并延长，交对称轴于点Q，利用待定系数法求出直线AC的解析式，再将x=-2代入，求出y的值，进而得到Q点的坐标；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．试题解析：（1）由题知：，解得：，故所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+6；（2）∵抛物线解析式为：y=-x2-2x+6，∴对称轴为x=，设P点坐标为（-2，t），∵当x=0时，y=6，∴C（0，6），M（-2，0），∴CM2=（-2-0）2+（0-6）2=40．①当CP=PM时，（-2）2+（t-6）2=t2，解得t=，∴P点坐标为：P1（-2，）；②当CM=PM时，40=t2，解得t=±2，∴P点坐标为：P2（-2，2）或P3（-2，-2）；③当CM=CP时，由勾股定理得：40=（-2）2+（t-6）2，解得t=12，∴P点坐标为：P4（-2，12）．综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）；（3）∵点A（2，0）和点B（-6，0）关于抛物线的对称轴x=-2对称，∴QB=QA，∴|QB-QC|=|QA-QC|，要使|QB-QC|最大，则连结AC并延长，与直线x=-2相交于点Q，即点Q为直线AC与直线x=-2的交点，设直线AC的解析式为y=kx+m，∵A（2，0），C（0，6），∴，解得，∴y=-3x+6，当x=-2时，y=-3×（-2）+6=12，故当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（n，-n2-2n+6）（-6＜n＜0），则EF=-n2-2n+6，BF=n+6，OF=-n，S四边形BOCE=BF?EF+（OC+EF）？OF=（n+6）?（-n2-2n+6）+（6-n2-2n+6）?（-n）=-n2-9n+18=-（n+3）2+，所以当n=-3时，S四边形BOCE最大，且最大值为此时，点E坐标为（-3，）．9.如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C 点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（1）；（2）P点的坐标为，的最大值为；（3）Q（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．解析试题分析：（1）设抛物线的解析式为，根据已知得到C（0，﹣3），A（﹣1，0），代入得到方程组，求出方程组的解即可；（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，求出点G的坐标（2，﹣3），设直线AG为，代入得到，求出方程组的解得出直线AG为，设P（x，），则F（x，﹣x﹣1），PF，根据三角形的面积公式求出△APG的面积，化成顶点式即可；（3）存在．根据MN∥x轴，且M、N在抛物线上，得到M、N关于直线x=1对称，设点M 为（m，）且m＞1，得到MN=2（m﹣1），当∠QMN=90°，且MN=MQ时，由△MNQ为等腰直角三角形，得到，求出m的值，得出点M和点Q的坐标；当∠QNM=90°，且MN=NQ时，同理可求点Q的坐标，当∠NQM=90°，且MQ=NQ 时，过Q作QE⊥MN于点E，则QE=MN，根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点Q的坐标．试题解析：（1）设抛物线的解析式为，由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，由，令x=2，则y=－3，∴点G为（2，－3），设直线AG为，∴，解得：，即直线AG为，设P（x，），则F（x，－x－1），PF．∵，∴当时，△APG的面积最大，此时P点的坐标为，（3）存在．∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上，∴M、N关于直线x=1对称，设点M为（，）且，∴，当∠QMN=90°，且MN=MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴，∴，即或，解得，（舍）或，（舍），∴点M为（，）或（，），∴点Q为（，0）或（，0），当∠QNM=90°，且MN=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，同理可求点Q为（－，0）或（，0），当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，过Q作QE⊥MN于点E，则QE=MN，，∵方程有解，∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q为（1，0），综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．10．在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠ABC = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上.（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径；（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长；（4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由.（1）由题意知C（3，0）、A（0，3）．如图1，过D作x轴垂线，由矩形性质得D（2，3）．由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．将（0，3）代入得a=﹣1，所以．（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点．由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC，即yOM=x，∴M（1，1）．连MC得MC=，即半径为．（3）如图2，由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，∵∠B=45°，∠AOB=90°，∴AO=BO=3，故B点坐标为：（﹣3，0），再利用D（2，3），代入y=ax+b，得：，解得：，故BD直线解析式为：，当x=0，y=，根据对称轴为直线x=1，则y=2，故F（0，）、E（1，2），EF===．（4）可得△ADC中，AD=2，AC=，DC=．假设存在，显然∠QCP＜90°，则∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD．如图3，当∠QCP=45°时，OR=OC=3，则R点坐标为（0，﹣3），将C，R代入y=ax+b得出：，解得：，这时直线CP的解析式为y=x﹣3，同理可得另一解析式为：y=﹣x+3．当直线CP的解析式为y=x﹣3时，则，解得：，可求得P（﹣2，﹣5），故PC==．设CQ=x，则，解得：x=或x=15．∴Q （，0）或（﹣12，0）．当y=﹣x+3即P与A重合时，CQ=y，则=，即=，或=，解得CQ=2或9，故Q （1，0）或（﹣6，0）．如图4，当∠QCP=∠ACD时，设CP交y轴于H，连接ED，则ED⊥AC，∴DE=，EC=，易证：△CDE∽△CHQ，所以=，∴HO=．可求HC的解析式为．联解，得P，PC=．设CQ=x，知，∴x=或x=，∴Q或．同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为．∴P’，∴PC=∴，∴CQ=或，所以Q或．综上所述，P1（﹣2，﹣5）、Q1（，0）或（﹣12，0）；P2（0，3）、Q2（1，0）或（﹣6，0）；P3、Q3或；P4、Q4或．试题分析：（1）过D作x轴垂线，由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0）．再根据交点式即可求出过A、D、C三点的抛物线的解析式；（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点．由等腰直角三角形性质可得M点的坐标，连MC得MC=，即为半径；（3）由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，再根据待定系数法求出BD直。