二次函数典型例题

⼆次函数知识点及典型例题⼆次函数⼀、⼆次函数的⼏何变换⼆、⼆次函数的图象和性质(Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质(Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质(Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响三、待定系数法求⼆次函数的解析式1、⼀般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择⼀般式。

2、顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选⽤交点式：()()21x x x x a y --=。

4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2。

5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2+c 。

6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2h x a y -=。

7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。

四、抛物线的对称性1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x=2x x 21+。

2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2nm +。

3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(ab-, c)。

五、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系对于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），令y=0，即为⼀元⼆次⽅程02=++c bx ax ，⼀元⼆次⽅程的解就是⼆次函数与x 轴交点的横坐标。

要分三种情况：1、判别式△=b 2-4ac ＞0?抛物线与x 轴有两个不同的交点（ab 24acb -2+，0）（a b 24ac b --2，0）。

有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2=ac 。

2、判别式△=b 2-4ac=0?抛物线与x 轴有⼀个交点（ab 2-，0）。

3、判别式△=b 2-4ac=0?抛物线与x 轴⽆交点。

九年级数学上册第二十二章二次函数典型例题单选题1、若二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列说法不正确的是（）A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4,−3)D．当y<−3时，x<0答案：D分析：观察图象可知抛物线开口方向，根据图象经过(1,0)，(3,0)可得抛物线对称轴为直线x=2，进而求解．解：∵抛物线开口向下，经过点(1,0)，(3,0)，∴抛物线对称轴为直线x=2，∴当1<x<3时，y>0，A选项正确，不符合题意．当x=2时y有最大值，B选项正确，不符合题意．∵图象经过(0,−3)，抛物线对称轴为直线x=2，∴抛物线经过点(4,−3)，C选项正确，不符合题意．当x<0或x>4时，y<−3，选项D错误，符合题意．故选D．小提示：本题考查二次函数的图象及性质，能够根据函数图象找出对称轴、判断开口方向和增减性是解题的关键．2、已知二次函数y=ax2+2ax+a−1的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点在第一象限C．a≥1D．当x>1时，y的最小值为－1答案：C分析：二次函数y=ax2+2ax+a−1的图象只经过三个象限，要满足条件，常数项大于等于0，解不等式即得．∵二次函数y=ax2+2ax+a−1的图象只经过三个象限，∴a-1≥0，∴a≥1．故选C．小提示：本题考查了二次函数y=ax2+2ax+a−1的图象只经过三个象限，运用函数图象与x轴的两个交点横坐标的积大于等于0，即常数项大于等于0，是解决此类问题的关键．3、已知a<−1，点(a−1,y1)，(a,y2)，(a+1,y3)都在函数y=3x2−2的图象上，则（）A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y2<y1<y3D．y3<y2<y1答案：D分析：先求出抛物线的对称轴，抛物线y=3x2-2的对称轴为y轴，即直线x=0，图象开口向上，当a＜-1时，a-1＜a＜a+1＜0，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断y1，y2，y3的大小关系．解：∵当a＜-1时，a-1＜a＜a+1＜0，而抛物线y=3x2-2的对称轴为直线x=0，开口向上，∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3．故选：D．小提示：本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．4、某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足函数关系式y=−5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（）A．90元，4500元B．80元，4500元C．90元，4000元D．80元，4000元答案：B分析：设每月所获利润为w ，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可． 解：设每月总利润为w ，依题意得：w =y(x −50)=(−5x +550)(x −50)=−5x 2+800x −27500=−5(x −80)2+4500∵−5<0，此图象开口向下，又x ≥50，∴当x =80时，w 有最大值，最大值为4500元．故选：B ．小提示：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．5、下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当x >1时，y 的值随x 值的增大而增大答案：C分析：利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断． 解：设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，依题意得：{4a −2b +c =6c =−4a +b +c =−6 ，解得：{a =1b =−3c =−4， ∴二次函数的解析式为y =x 2−3x −4=(x −32)2−254，∵a =1>0，∴这个函数的图象开口向上，故A 选项不符合题意；∵△=b 2−4ac =(−3)2−4×1×(−4)=25>0，∴这个函数的图象与x 轴有两个不同的交点，故B 选项不符合题意；∵a =1>0，∴当x =32时，这个函数有最小值−254<−6，故C 选项符合题意；∵这个函数的图象的顶点坐标为(32，−254)， ∴当x >32时，y 的值随x 值的增大而增大，故D 选项不符合题意； 故选：C ．小提示：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．6、如图所示是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象，以下结论：①abc <0；②3a +c =0；③ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=−1，x 2=3；④4a +2b +c >0，其中正确的是（ ）A ．③④B ．①②C ．②③D ．②③④答案：C分析：根据二次函数的图象与性质即可求出答案．解：①由图象可知：a >0，c <0，由对称轴可知：−b 2a >0，∴b <0，∴abc >0，故①错误；②由对称轴可知：−b 2a =1，∴b =−2a ，∵抛物线过点(1,0)，∴a −b +c =0，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，故②正确；③由对称轴为直线x=1，抛物线过点(−1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，∴ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3，故③正确；④由图象可知，当x=2时，y<0，∴4a+2b+c<0，故④错误；故选：C．小提示：本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．7、对于抛物线y=−3(x+1)2−2，下列说法正确的是（）A．抛物线开口向上B．当x>−1时，y随x增大而减小C．函数最小值为﹣2D．顶点坐标为（1，﹣2）答案：B分析：根据二次函数图象的性质对各项进行分析判断即可．解：抛物线解析式y=−3(x+1)2−2可知，A、由于a=−3<0，故抛物线开口方向向下，选项不符合题意；B、抛物线对称轴为x=−1，结合其开口方向向下，可知当x>−1时，y随x增大而减小，选项说法正确，符合题意；C、由于抛物线开口方向向下，故函数有最大值，且最大值为-2，选项不符合题意；D、抛物线顶点坐标为（-1，-2），选项不符合题意．故选：B．小提示：本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数图象的增减性解题．8、已知实数a，b满足b−a=1，则代数式a2+2b−6a+7的最小值等于（）A．5B．4C．3D．2答案：A分析：由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．解：∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，∵(a-2)2≥0，∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故选：A．小提示：本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5是解题的关键．9、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（）A．4√5米B．10米C．4√6米D．12米答案：B分析：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣1x²，再将y＝﹣1代25入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2，∵O 点到水面AB 的距离为4米，∴A 、B 点的纵坐标为﹣4，∵水面AB 宽为20米，∴A （﹣10，﹣4），B （10，﹣4），将A 代入y ＝ax 2，﹣4＝100a ，∴a ＝﹣125， ∴y ＝﹣125x 2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD ，∴C 点的纵坐标为﹣1，∴﹣1＝﹣125x 2， ∴x ＝±5，∴CD ＝10，故选：B ．小提示：本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键．10、已知抛物线y =ax 2 +bx +c 的对称轴为x =1，与x 轴正半轴的交点为A （3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c ﹣3b <0</span>；③5a +b +2c =0；④若B （43，y 1）、C （13，y 2）、D （−13，y 3）是抛物线上的三点，则y 1<y 2<y 3．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B分析：根据二次函数的图象与性质一一判断即可．解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则a>0，c<0，对称轴为直线x=−b2a=1，则b=−2a<0，∴abc>0，故①正确；当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵b=−2a，∴3a+c=0，即3a=−c∴2c−3b=2×(−3a)−3×(−2a)=0，故②错误；∵对称轴为直线x=−b2a=1，∴抛物线与x轴负半轴的交点为（−1，0），∴a−b+c=0，∵9a+3b+c=0，两式相加，则10a+2b+2c=0，∴5a+b+c=0，故③错误；∵|−13−1|=43，|13−1|=23，|43−1|=13，∴43>23>13，∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有y3>y2>y1，故④正确；∴正确的结论有2个，故选：B小提示：本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．填空题11、已知函数y=mx2+2mx+1在−3⩽x⩽2上有最大值4，则常数m的值为 __.答案：38或−3分析：分两种情况：m>0和m<0分别求y的最大值即可．解：y=mx2+2mx+1=m(x+1)2+1−m.当m>0时，当x=2时，y有最大值，∴4m+4m+1=4，∴m=3；8当m<0时，当x=−1时，y有最大值，∴m−2m+1=4，∴m=−3，或−3.综上所述：m的值为38故答案是：3或−3.8小提示：本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防漏解.12、二次函数y=（x-1）2+2的最小值是__________．答案：2分析：根据二次函数y=（x-1）2+2的性质得抛物线的开口向上，即当横坐标等于在对称轴的值时函数取得最小值．解：二次函数y=（x-1）2+2的展开式为：y=x2−2x+3，∵a=1>0，∴抛物线的开口向上，∴当x=−−2=1时，有最小值y=2，2所以答案是：2．小提示：本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．13、如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为______．答案：40米分析：以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，进而可得CD的长．解：如图，以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：∴A(−40,0)，B(40,0)，E(0,200)设抛物线的解析式为y=a(x+40)(x−40)，将E(0,200)代入，得：200=a(0+40)(0−40)，，解得：a=−18∴抛物线的解析式为y=−1x2+200，8x2+200=150，将y=150代入得：−18解得：x=±20，∴C(−20,150)，D(20,150)，∴CD=40，所以答案是：40米．小提示：本题考查了二次函数在实际问题中的应用．解题的关键在于建立二次函数模型．体现了数形结合的思想．14、抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．答案：﹣3＜x＜1分析：根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．所以答案是：﹣3＜x＜1．小提示：本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．15、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为______．答案：（2，0）分析：根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和CD 的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标．解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4，∴该抛物线的对称轴是直线x=5，点D的坐标为（0，4），2∴OD＝4，∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，∴CD∥AB，即CD∥x轴，∴CD=5×2＝5，2∴AD＝5，∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，∴AO=√AD2−OD2=√52−42=3，∵AB＝5，∴OB＝5﹣3＝2，∴点B的坐标为（2，0），所以答案是：（2，0）．小提示：本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．解答题16、如图，点P(a,3)在抛物线C：y=4−(6−x)2上，且在C的对称轴右侧．(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y=−x2+6x−9．求点P′移动的最短路程．答案：(1)对称轴为直线x=6，y的最大值为4，a=7(2)5分析：（1）由y=a(x−ℎ)2+k的性质得开口方向，对称轴和最值，把P(a,3)代入y=4−(6−x)2中即可得出a的值；（2）由y=−x2+6x−9=−(x−3)2，得出抛物线y=−x2+6x−9是由抛物线C：y=−(x−6)2+4向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点P′移动的最短路程．（1）y=4−(6−x)2=−(x−6)2+4，∴对称轴为直线x=6，∵−1<0，∴抛物线开口向下，有最大值，即y的最大值为4，把P(a,3)代入y=4−(6−x)2中得：4−(6−a)2=3，解得：a=5或a=7，∵点P(a,3)在C的对称轴右侧，∴a=7；（2）∵y=−x2+6x−9=−(x−3)2，∴y=−(x−3)2是由y=−(x−6)2+4向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，平移距离为√32+42=5，∴P′移动的最短路程为5．小提示：本题考查二次函数y=a(x−ℎ)2+k的图像与性质，掌握二次函数y=a(x−ℎ)2+k的性质以及平移的方法是解题的关键．17、今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有A,B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？答案：（1）20%；（2）①798万元，②当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元分析：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x，则四月份的游客为4(1+x)人，五月份的游客为4(1+x)2人，再列方程，解方程可得答案；（2）①分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；②设丙种门票价格降低m 元，景区六月份的门票总收入为W万元，再列出W与m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案．解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，得4(1+x)2=5.76∴(1+x)2=1.44,解这个方程，得x1=0.2,x2=−2.2（舍去）答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．（2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得：购买丙种门票的人数增加：0.6+0.4=1（万人），购买甲种门票的人数为：2−0.6=1.4（万人），购买乙种门票的人数为：3−0.4=2.6（万人），所以：门票收入问；100×1.4+80×2.6+(160−10)×(2+1)=798（万元）答：景区六月份的门票总收入为798万元．②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意，得W=100(2−0.06m)+80(3−0.04m)+(160−m)(2+0.06m+0.04m)化简，得W=−0.1(m−24)2+817.6，∵−0.1<0，∴当m=24时，W取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元．小提示：本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求解利润的最大值是解题的关键．18、已知，如图，二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0, 6)，且经过点(1, 10)（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．（3）求△ABC的面积，写出y>0时x的取值范围．答案：（1）y=−x2+5x+6；（2）顶点坐标是(52, 494)，对称轴是x=52；（3）ΔABC的面积为21，y>0时，x的取值范围是-1<x<6．分析：（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；（2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；（3）首先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式和图像得出答案．（1）∵二次函数y=−x2+bx+c的图像经过点C(0, 6)、(1, 10)，∴{c =6−1+b +c =10， 解这个方程组，得{b =5c =6， ∴该二次函数的解析式是y =−x 2+5x +6；（2）y =−x 2+5x +6=−(x −52)2+494，∴顶点坐标是(52, 494)； 对称轴是x =52； （3）∵二次函数y =−x 2+5x +6的图像与x 轴交于A ，B 两点，∴−x 2+5x +6=0，解这个方程得：x 1=−1，x 2=6，即二次函数y =−x 2+5x +6与x 轴的两个交点的坐标为A (−1, 0)，B (6, 0)．∴ΔABC 的面积S △ABC =12AB ×OC =12×|6−(−1)|×6=21． 由图像可得，当-1<x <6时，y >0，故y >0时，x 的取值范围是-1<x <6．小提示：本题主要考查了待定系数法求函数表达式，求三角形面积，图像法求自变量求职范围，用配方法求抛物线顶点坐标和对称轴，求出函数表达式是解决问题的关键．。

二次函数典型例题——相似、全等1、如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD =AD =3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ A ）A B C ．3 D ．42、定义：对于抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠），若2b ac =，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：2222y x x =-+是黄金抛物线． ⑴请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；⑵若抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x 轴的公共点个数的情况（说明理由）；⑶将黄金抛物线2222y x x =-+沿对称轴向下平移3个单位.①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与y 轴交于点A ，对称轴与x 轴交于点B ，动点Q 在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y mx x m =+++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0 , 4），D 为OC 的中点. （1）求m 的值；（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与ADE ∆相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使△GBC 中BC 出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线m m mx y +++=532与y 轴交于点C （0 , 4），∴ 5 4.m +=∴ 1.m =-（2）抛物线的解析式为 234y x x =-++.可求抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0）. 可求点E 的坐标3(,0)2.由图知，点F 在x 轴下方的直线AD 上时，ABF ∆是钝角三角形，不可能与ADE ∆相似，所以点F 一定在x 轴上方.此时ABF ∆与ADE ∆有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况： ①当AB AEAF AD=时，由于E 为AB 的中点，此时D 为AF 的中点， 可求 F 点坐标为（1，4）. ② 当AB AD AF AE =时，55AF AF =解得过F 点作FH ⊥x 轴，垂足为H .可求F 的坐标为352（，）.(3) 在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G .由题意，可知△OBC 为等腰直角三角形，直线BC 为 4.y x =-+ 可求与直线BCy =-x +9或y =-x -1. ∴ 点G 在直线y =-x +9或y =-x -1上. ∵ 抛物线的对称轴是直线23=x , ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+-==.9,23x y x 解得..215,23⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 或⎪⎩⎪⎨⎧--==.1,23x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,23y x ∴ 点G 的坐标为31535(,)-2222或（，）.4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （- 4，且在x 轴上截得的线段AB 的长为6. （1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上确定一点M ，使MA +MC 的值最小，求出点M 的坐标； （3）在x 轴下方的抛物线上，是否存在点N ，使得以N 、A 、B 三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由.备用图5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线32++=bx ax y 经过（－2，－5）和（5，－12）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，D 是线段BC 上一点（不与点B 、C 重合），若以B 、O 、D 为顶点的三角形与△BAC 相似，求点D 的坐标；（3）点P 在y 轴上，点M 在此抛物线上，若要使以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M 的坐标．6、已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍.（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，以A 、P 、Q为顶点的三角形与△AOC 相似；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大.若存在，求 出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A （4，0），∴ 0 = 4k -3，解得k=34． ∴ 直线的解析式为 y=34x-3．……………………………………1分 由直线y=34x-3与y 轴交于点C ，可知C(0，-3) ． ∴ 2344304m -⨯+-=，解得 m=154． ∴ 抛物线解析式为23153.44y x x =-+- ………………………2分（2）对于抛物线3x 415x 43y 2-+-=， 令y=0，则03x 415x 432=-+-，解得x 1=1，x 2=4．∴ B(1，0). ………………………………………………3分∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t ，AQ=5-2t . ① 若∠Q 1P 1A=90°,则P 1Q 1∥OC （如图1）， ∴ △AP 1Q 1∽△AOC . ∴11AP AQ AO AC =, ∴3t 52t45--=．解得t= 53； ………4分 ② 若∠P 2Q 2A=90°, ∵∠P 2AQ 2 =∠OAC ，∴ △AP 2Q 2∽△AOC. ∴22AP AQ AC AO =, ∴ 3t 52t54--=．解得t=136； ………………5分 备用图综上所述，当t 的值为53或136时，以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△AOC 相似． （3）答：存在．过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为E ，交AC 于点F （如图2）.∴ S △ADF =12DF ·AE ，S △CDF =12DF ·OE ． ∴ S △ACD = S △ADF + S △CDF =12DF×(AE+OE) =12×4 (DE+EF)=2×(23153x x 3x 3444-+--+)=23x 6x 2-+．…………6分∴ S △ACD =23(x 2)62--+（0<x<4）．又0<2<4且二次项系数023<-，∴ 当x=2时，S △ACD 的面积最大．而当x=2时，y=32．∴ 满足条件的D 点坐标为D (2, 32)． …………………7分7.如图1，已知二次函数232y x bx b =++的图象与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 的左侧)，顶点为C ， 点D （1，m ）在此二次函数图象的对称轴上，过点D 作y 轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E 点．（1）求此二次函数的解析式和点C 的坐标；（2）当点D 的坐标为（1，1）时，连接BD 、BE ．求证：BE 平分ABD ∠；（3）点G 在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A 、C 、G 为顶点的三角形与以G 、D 、E 为顶点的三角形相似，求点E 的横坐标．解：（1）∵点D （1，m ）在232y x bx b =++图象的对称轴上，∴112b -=． ∴2b =-．∴二次函数的解析式为223y x x =--．………………………………………1分图1 备用图1 备用图2∴C （1，-4）． …………………………………………………………………2分（2）∵D （1，1），且DE 垂直于y 轴， ∴点E 的纵坐标为1，DE 平行于x 轴． ∴DEB EBO ∠=∠．令1y =，则2231x x --=，解得121xx ==∵点E 位于对称轴右侧，∴E (1． ∴D E令0y =，则223=0x x --，求得点A 的坐标为（3,0），点B 的坐标为（-1,0）． ∴BD =∴BD = D E ．……………………………………………………………………3分∴ DEB DBE ∠=∠． ∴ DBE EBO ∠=∠．∴BE 平分ABD ∠．……………………………………………………………4分 （3）∵以A 、C 、G 为顶点的三角形与以G 、D 、E 为顶点的三角形相似，且△GDE 为直角三角形， ∴△ACG 为直角三角形．∵G 在抛物线对称轴上且位于第一象限， ∴90CAG ∠= ．∵A （3,0）C （1，-4），A F C G ⊥,∴求得G 点坐标为（1，1）． ∴AG AC = ∴AC =2 AG .∴GD =2 DE 或 DE =2 GD .设()2, 23E t t t --（t >1） ，1︒.当点D 在点G 的上方时，则DE=t -1，GD = (223t t --)1-=224t t --. i. 如图2，当 GD =2 DE 时， 则有， 224t t --= 2(t -1).图1图3图2解得，=2t 舍负)………………………5分 ii. 如图3，当DE =2GD 时， 则有，t -1=2(224t t --). 解得，127=1=2t t -，.(舍负)…………………6分 2︒. 当点D 在点G 的下方时，则DE=t -1，GD =1- (223t t --)= -2+2+4t t . i. 如图4，当 GD =2 DE 时， 则有， 2+2+4t t -=2（t -1）.解得，=t 舍负) ………………………7分 ii. 如图5，当DE =2 GD 时， 则有，t -1=2（2+2+4t t -）. 解得，123=3=2t t -，.(舍负) …………………8分 综上，E点的横坐标为或72或3.8.在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）,B （1，0），顶点为C .(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；(2) 过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标. （1）由题意，得9-33030a b a b +=⎧⎨++=⎩解得，⎩⎨⎧-=-=21b a抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3 ………………………2分顶点C 的坐标为（-1，4） ………………………3分 （2）①若点P 在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ ∽△CAH ，得∠QCP =∠CAH . 延长CP 交x 轴于M ，∴AM =CM ，∴AM 2=CM 2. 设M （m ，0），则( m +3)2=42+(m +1)2，∴m =2，即M （2，0）. 设直线CM 的解析式为y=k 1x+b 1，图4图5则⎩⎨⎧=+=+-0241111b k b k ， 解之得341-=k ，381=b . ∴直线CM 的解析式3834+-=x y .…………………………………4分 3238342+--=+-x x x ， 解得311=x ，12-=x (舍去). 9201=y . ∴)92031(，P . ………………………………………………5分 ②若点P 在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ ∽△ACH ，得∠PCQ =∠ACH . 过A 作CA 的垂线交PC 于点F ，作FN ⊥x 轴于点N .由△CF A ∽△CAH 得2==AHCH AF CA ， 由△FNA ∽△AHC 得21===CA AF HC NA AH FN . ∴12==FN AN ，, 点F 坐标为（-5,1）.设直线CF 的解析式为y=k 2x+b 2，则⎩⎨⎧=+-=+-1542222b k b k ，解之得419,4322==b k . ∴直线CF 的解析式41943+=x y .……………………………………6分 32419432+--=+x x x ， 解得471-=x ，12-=x (舍去). ∴)165547(，-P . …………………………………7分 ∴满足条件的点P 坐标为)201(，或)557(，-（图①） （图②）。

二次函数考点分类一、典型例题类型一、二次函数的定义1.一个二次函数y=（k-1）x k2−3k+4+2x-1．（1）求k值．（2）求当x=0.5时y的值？2.已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+2-2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．（2）若这个函数是一次函数，求m的值．（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？类型二、二次函数图像的位置关系3.在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是（）A. B. C. D.4.已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是（）A. B. C. D.5. 已知函数y=ax 2+bx+c ，当y ＞0时，−21＜x ＜31．则函数y=cx 2-bx+a 的图象可能是下图中的（ ） A. B. C. D.类型三、二次函数图像与系数的关系6. 二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②b 2-4ac ＜0；③4a+c ＞2b ；④（a+c ）2＞b 2；⑤x （ax+b ）≤a-b ，其中正确结论的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①③⑤D ．③④⑤（6） （7） 7. 如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-1，0），与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③4ac-b 2＜-4a ；④31＜a ＜32；⑤b ＞c ．其中正确结论有 （填写所有正确结论的序号）． 8. 设二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0，c ＞1），当x=c 时，y=0；当0＜x ＜c 时，y ＞0．请比较ac 和1的大小，并说明理由．类型四、二次函数点的坐标9. 点A （m ，y 1），B （m+4，y 2），C （1，y 3）在二次函数y=ax 2-2ax+4的图象上，且y 1≤y 2≤y 3，则m 的取值范围是 .10. 设实数a 、b 、c 满足222111c b a ++=|a 1+b 1+c1|，则函数y=ax 2+bx+c 的图象一定经过一个定点，那么这 个定点的坐标是 .11. 如图，二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点A （2，4）与B （6，0）．点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值及C 的坐标．类型五、二次函数平移、折叠12. 将抛物线y=x 2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A ．y=x 2-2B ．y=x 2+2x-1C ．y=x 2-2x-1D ．y=x 2+213. 在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（1，2），将抛物线y=21x 2-3x+2沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ） A.21 B ．1 C ．5 D.25 14. 直线y=m 是平行于x 轴的直线，将抛物线y=-21x 2-4x 在直线y=m 上侧的部分沿直线y=m 翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图象，若新的函数图象刚好与直线y=-x 有3个交点，则满足条件的m 的值为 .二、课堂小测1. 若y=（a 2+a ）x 2a −2a −1是二次函数，那么（ ）A ．a=-1或a=3B ．a ≠-1且a ≠0C ．a=-1D ．a=32. 二次函数y=x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位3. 函数y=ax 2与y=ax+a （a ＜0）在同一平面直角坐标系内图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数y=-（x-m ）（x-n ）（其中m ＜n ）的图象与一次函数y=mx+n 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 如图，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=-1，且过点（21，0），有下列结论： ①abc ＞0； ②a-2b+4c ＞0；③25a-10b+4c=0；④3b+2c ＞0；其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④（5） （6）6. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 图象的对称轴为x=1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc ＞0，②b-2a ＜0，③a-b+c ＞0，④a+b ＞n （an+b ），（n ≠1），⑤2c ＜3b ．正确的是（ ）A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．④⑤7. 已知点A （a-m ，y 1），B （a-n ，y 2），C （a+b ，y 3）都在二次函数y=x 2-2ax+1的图象上，若0＜m ＜b ＜n ，则y 1、y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 18. 如图在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n 与x 轴交于点A ，与二次函数交于点B 、点C ，点A 、B 、C 三点的横坐标分别是a 、b 、c ，则下面四个等式中不一定成立的是（ ）A ．a 2+bc=c 2-abB ．a b b c b b c --=-222C ．b 2（c-a ）=c 2（b-a ）D ．cb a 111+= （8） （9）（10）9. 已知四个二次函数的图象如图所示，那么a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是 .10. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=31x 2与y=-31x 2的图象，则阴影部分的面积是 .11. 抛物线y=x 2+x+2的图象上有三个点（-3，a ）、（-2，b ）、（3，c ），则a 、b 、c 的大小关系是（用“＜”连接）．12. 已知二次函数y=x 2-4x+m （m 为常数）的图象上的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），若x 1＜2＜x 2，且x 1+x 2＞4，则y 1与y 2的大小关系为y 1 y 2．（填“＞”或“＜”或“=”）13. 若二次函数y=-（x+1）2+h 的图象与线段y=x+2（-3≤x ≤1）没有交点，则h 的取值范围是 .14. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2-2ax-3（a ≠0）与y 轴交于点A ．（1）直接写出点A 的坐标；（2）点A 、B 关于对称轴对称，求点B 的坐标；（3）已知点P （4，0），Q(−a 1，0)．若抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．15. 已知抛物线y=（m+1）x 2+（21m-2）x-3． （1）当m=0时，不与坐标轴平行的直线l 1与抛物线有且只有一个交点P （2，a ），求直线l 1的解析式；（2）在（1）的条件下，将直线l 1向上平移，与抛物线交于M ，N 两点（M 在N 的右侧），过P 作PQ ∥y 轴交MN 于点Q ．求证：S △PQM =S △PQN ．。