北京市朝阳区2018届高三上学期期中考试数学理试题 含答案
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北京市朝阳区2018-2018学年度高三年级第一学期统一考试
数学试卷（理工类） 2018．11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集UR，集合2|20Axxx，|10Bxx，则()UABð
A．|01xx B．|0xx
C．|2xx D．|12xx
2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)，上单调递减的是
A．2yx B．1yx C．lg||yx D．2xy
3．若2.1log0.6a，0.62.1b，0.5log0.6c，则a，b，c的大小关系是
A．abc B．bca C．cba D．bac
4．已知函数2()fxaxx，若对任意12,[2,)xx，且12xx，不等式1212()()0fxfxxx恒成立，则实数a的取值范围是
A．1(,)2 B．1[,)2 C．1(,)4 D．1[,)4
5．设Rm且0m，“不等式4+4mm”成立的一个充分不必要条件是
A．0m B．1m C．2m D．2m
6．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2OAABAC0，
||2||OAAB，则CABC等于
A．154 B．152 C．154 D．152
7．已知函数21,0,()log,0,xxfxxx则函数1()(())2gxffx的零点个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
8. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是
A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多
B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个
D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9．已知平面向量(1,2),(2,)yab.若a//b，则y .
10．函数22()cossinfxxx的单调递减区间为 .
11．各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS.若23a，245SS，则1a ，4S ．
12．已知角A为三角形的一个内角，且3cos5A，则tanA ，tan()4A .
13．已知函数221,0,()(1)2,0xmxxfxmx在(,)上是具有单调性，则实数m的取值范围 .
14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．
DCBA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知数列{}()Nnan是公差不为0的等差数列，11a，且248111,,aaa成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）设数列11{}nnaa的前n项和为nT，求证:1nT.
16．（本小题满分13分）
已知函数()sin3cosfxaxx（aR）的图象经过点(,0)3.
（Ⅰ）求()fx的最小正周期；
（Ⅱ）若3[,]22x，求()fx的取值范围.
17．（本小题满分13分）
如图，已知,,,ABCD四点共面，=1CD,2BC,4AB,
120ABC,27cos7BDC.
（Ⅰ）求sinDBC的值；
（Ⅱ）求AD的长.
18． （本小题满分13分）
已知函数2()cos4xfxaxx()Ra，ππ[,]22x．
（Ⅰ）若函数()fx是偶函数，试求a的值；
（Ⅱ）当0a时，求证：函数()fx在π(0,)2上单调递减.
19．（本小题满分14分）
已知函数2()e()xfxxa，aR．
（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；
（Ⅱ）若函数()fx在(3,0)上单调递减，试求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数()fx的最小值为2e，试求a的值．
20．（本小题满分14分）
设ba,是正奇数，数列}{nc（nN）定义如下：bcac21,，对任意3n，nc是21nncc的最大奇约数．数列}{nc中的所有项构成集合A．
（Ⅰ）若15,9ba，写出集合A；
（Ⅱ）对1k，令221=max{,}kkkdcc(max{,}pq表示,pq中的较大值），求证：kkdd1；
（Ⅲ）证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数．
北京市朝阳区2018-2018学年度第一学期高三年级统一考试
数学答案（理工类） 2018．11
一、选择题：（满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D C A B A
二、填空题：（满分30分）
题号 9 10 11 12 13
14
答案 4 π[π,π]()2Zkkk 12 152 43 7 (1,2] 16
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：（满分80分）
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设{}na的公差为d．
因为248111,,aaa成等比数列，所以2428111()aaa．
即2111111()37adadad
．
化简得2111(3)()(7)adadad，即21dad．
又11a，且0d，解得1d ．
所以有1(1)naandn． …………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1nnaannnn．
所以11111111122311nTnnn ．
因此，1nT． …………………13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为函数()sin3cosfxaxx的图象经过点(,0)3，
所以 33()0.322fa
解得 1a ． …………………3分
所以()sin3cos2sin()3fxxxx．
所以()fx最小正周期为． …………………6分
（Ⅱ）因为322x，所以7.636x
所以当32x，即56x时，()fx取得最大值，最大值是2；
当736x，即32x时，()fx取得最小值，最小值是1.
所以()fx的取值范围是[1,2]． …………………13分
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在△BDC中，因为27cos7BDC，所以21sin7BDC．
由正弦定理=sinsinDCBCDBCBDC得，
sin21sin=14DCBDCDBCBC． …………5分
（Ⅱ）在△BDC中，由2222cosBCDCDBDCDBBDC得，
2274127DBDB．
所以247307DBDB． 解得7DB或377DB（舍）．
又因为cos=cos120ABDDBC（）
=cos120cossin120sinDBCDBC
157321=2142147=．
在△ABD中，因为222=2cosADABBDABBDABD
7=167247()2714，
所以33AD． …………13分
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为函数()fx是偶函数，
所以22()()()cos()cos44xxfxaxxaxx
2()cos4xfxaxx恒成立．
所以0a． …………………4分
（Ⅱ）由题意可知()sin2xfxxa．
设()sin2xgxxa，则1()cos2gxx．注意到π(0,)2x，0a．
由()0gx，即1cos02x，解得π03x．
由()0gx，即1cos02x，解得ππ32x．
所以()gx在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．
所以当π(0,)3x，()(0)00gxga，所以()fx在π(0,)3x单调递减，
当ππ(,)32x，ππ()()1024gxga，所以()fx在ππ(,)32x单调递减，
所以当0a时，函数()fx在π(0,)2上单调递减. ……………………13分
19．（本小题满分14分）
解：由题意可知2()e(2)xfxxxa．
（Ⅰ）因为1a，则(0)1f，(0)1f，
所以函数()fx在点(0,(0))f处的切线方程为(1)(0)yx．
即10xy． …………………3分
（Ⅱ）因为函数()fx在(3,0)上单调递减，
所以当(3,0)x时，2()e(2)0xfxxxa恒成立．
即当(3,0)x时，220xxa恒成立．
