2020-2021学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题(解析版)

北京市朝阳区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.10y -+= 倾斜角的大小是（ ） A. 6π B. 3πC. 23πD. 56π 【答案】B【解析】【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.10y -+=化成斜截式为1y =+，因为tan k α=，所以3πα=.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.2.在ABC △中，a =，4b =，π3A =，则B = （ ） A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3【答案】A【解析】【分析】 根据正弦定理sin sin a bA B =求解. 【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B = ，4sin 1sin 2b A B a ∴=== 又434,a b A B =>=∴>6B π∴=.故选A.【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法.注意增根的排除，大边对大角是常用排除方法.3.已知直线1:1l y kx =+，2:(2)l y k x =-，若12l l ⊥，则实数k 的值是（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 0或1-【答案】B【解析】【分析】根据直线垂直斜率之积为1求解.【详解】因为12l l ⊥，所以(2)1k k -=-，解得1k =.故选B.【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，注意斜率不存在的情况.4.在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，则异面直线EF 和1C D 所成角的大小是（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. π2【答案】D【解析】【分析】 平移EF 到1A B ，平移1C D 到1AB ，则1A B 与1AB 所求的角即为所求的角.【详解】如图所示，∵,E F 分别是棱1,AA AB 的中点∴EF ∥1A B又∵1C D ∥1AB ，11AB A B ⊥∴1EF C D ⊥∴EF 和1C D 所成的角为π2. 故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角，常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.5.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,l l m α⊥，则m α⊥B. 若,l l αβ，则αβ∥C. 若,l ααβ⊥⊥，则l β∥D. 若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥ 【答案】D【解析】【分析】分析条件的特殊情况，结合定理举例推翻错误选项即可.【详解】当直线,l m 是相交且垂直，确定的平面与α平行时，m α，故A 错误；当,αβ相交，直线l 与交线平行时，,l l αβ，故B 错误；当直线l 在面β内，且αβ⊥，直线l 垂直,αβ的交线时，l α⊥，故C 错误；垂直与同一直线的两个平面平行，故D 正确.故选D.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，结合定理与举例判断.6.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分组，绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中选取的人数应为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】 先求[)120130,，[)130140,，[)140150,三组频率，再求各组频数，最后根据分层抽样总体与各层抽样比例相同求解.【详解】各组频率等于各组矩形的面积，所以，身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频率分别为0.3，0.2，0.1， 身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频数分别为30，20，10， 分层抽样的比例为183********=++ . 所以，身高在[]140,150内的学生中选取的人数为310310⨯=. 故选A.【点睛】本题考查频率分布直方图与分层抽样，属于基础题.7.如图，设A ，B 两点在河的两岸，某测量者在A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50米，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为（ ）A. 502 米B. 503米C. 252 米D. 5063米 【答案】A【解析】【分析】 先根据三角形内角和求ABC ∠，再根据正弦定理sin sin AB AC ACB ABC=∠∠求解. 【详解】在ABC ∆中50,45,105AC m ACB CAB ︒︒=∠=∠=，则30ABC ︒∠=由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC=∠∠ ， 所以250sin 25021sin 2AC ACB AB ABC⨯∠===∠ m. 故选A.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.8.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（ ）A. 对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线 B. 对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线 C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，二面角F BC A --的大小不变．．D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变大．．【答案】C【解析】【分析】不论F 是在11A D 任意位置，平面CBF 即平面11A D CB ，再求解.【详解】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，平面11A D CB 与平面ABCD 是确定平面，所以二面角不改变，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误.故选C.【点睛】本题考查空间线面关系，属于综合题.本题的关键在于平面CBF 的确定.9.2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ）A. 14B. 16C. 18D. 20 【答案】C【解析】【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解.【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.故选C.【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.10.已知二次函数22(0)y x x m m =-+≠交x 轴于,A B 两点(,A B 不重合)，交y 轴于C 点. 圆M 过,,A B C 三点.下列说法正确的是（ ）① 圆心M 在直线1x =上；② m 的取值范围是(0,1)；③ 圆M 半径的最小值为1；④ 存在定点N ，使得圆M 恒过点N .A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与x 轴有两个焦点可得m 的取值范围；假设圆方程为222(1)()x y b r -+-=，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和m 的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.【详解】二次函数22(0)y x x m m =-+≠对称轴为1x =， 因为对称轴1x =为线段AB 的中垂线，所以圆心在直线1x =上，故①正确；因为二次函数与x 轴有两点不同交点，所以440m ∆=->，即1m <，故②错误；不妨设A 在B 的左边，则(11,0)A m --，(0,)C m设圆方程为222(1)()x y b r -+-= ，则()()()()222222111001m b r m b r ⎧---+-=⎪⎨⎪-+-=⎩，解得， 12m b +=，()221114r m =-+ 因为1m <，所以()2211114r m =-+>即1r >，故③错误； 由上得圆方程为()22211(1)()1124m x y m +-+-=-+， 即()22210x x y y m y -+---=，恒过点(0,1)N ，故④正确. 故选D.【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11.某学校甲、乙两个班各15名学生参加环保知识竞赛，成绩的茎叶图如下：则这30名学生的最高成绩是_______；由图中数据可得_______班的平均成绩较高．【答案】 (1). 96 (2). 乙【解析】【分析】最高成绩位的“茎”最大的“叶”上的最大数，再分析两个班的成绩主要集中在哪些“茎”上，比较这些“茎”的大小即可得出结果.【详解】由茎叶图可知，30名学生的最高成绩是96分，因为甲班的成绩集中在（60， 80）分，乙班的成绩集中在（70，80）分，故乙班的平均成绩较高。

2020-2021学年北京市101中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知函数f（x）＝lg（4﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N ＝（）A．M B．N C．{4}D．∅2．sin2021°可化简为（）A．sin41°B．﹣sin41°C．cos41°D．﹣cos41°3．向量“，不共线”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝sin（x+），x∈（﹣，]的值域为（）A．B．C．D．5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，若a＝f（1），b＝f（2），，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b6．甲、乙两人解关于x的方程：log2x+b+c log x2＝0，甲写错了常数b，得到根为，；乙写错了常数c，得到根为，x＝64．那么原方程的根正确的是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝4或x＝8D．x＝2或x＝3 7．已知2cos2α﹣3sin2α＝1，α∈（﹣，﹣π），那么tanα的值为（）A．2B．﹣2C．D．8．如图是函数y＝sin x（0≤x≤π）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合）．设线段AB的长为f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．9．已知3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝﹣，则cosα﹣sinα的取值可以为（）A．B．C．D．10．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中心O的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（）A．8分钟B．10分钟C．12分钟D．14分钟二、填空题（共6小题）.11．已知向量＝（1，﹣2），＝（x，4），且∥，则实数x＝．12．若角β与角的终边关于直线y＝x对称，则角β的终边上的所有角的集合可以写为13．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为14．在如图所示的方格纸中，向量，，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与x+y（x，y为非零实数）共线，则的值为．15．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t （分钟）之间存在函数关系y＝27﹣mt（m为常数）．求得m＝；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．16．已知△ABC，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），给出以下命题：①若，，则P为△ABC的内心；②若λ＝μ＝1，则直线AP经过△ABC的重心；③若λ+μ＝1，且μ＞0，则点P在线段BC上；④若λ+μ＞1，则点P在△ABC外；⑤若0＜λ+μ＜1，则点P在△ABC内．其中真命题为．三、解答题（共4小题）.17．已知函数．（1）求函数f（x）的值域：（2）若函数g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象有交点，请直接写出实数a的取值范围．18．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，．（1）求实数b的值；（2）求的值．19．已知函数，．（1）①直接写出函数f（x）的奇偶性；②写出函数f（x）的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：＝；f（4）﹣5f（2）g（2）＝；f（9）﹣5f（3）g（3）＝；（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．20．设A是由n个实数构成的一个有序数组，记作A＝（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i＝1，2，…，n）称为数组A的“元”，i称为数组A的“元”a i的下标，如果数组S＝（b1，b2，…，b m）（m≤n，m∈N+）中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的“子数组”．定义两个数组A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n）的“关系数”为C（A，B）＝a1b1+a2b2+…+a n b n．（1）若，B＝（b1，b2，b3，b4），且B中的任意两个“元”互不相等，B 的含有两个“元”的不同“子数组”共有p个，分别记为S1，S2，…，S p．①p＝；②若b j∈N+，1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），记，求X的最大值与最小值；（2）若，B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1，S为B的含有三个“元”的“子数组”，求C（A，S）的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知函数f（x）＝lg（4﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N ＝（）A．M B．N C．{4}D．∅解：根据题意得，M＝{x|x＜4}，N{x|x≥4}，∴M∩N＝∅．故选：D．2．sin2021°可化简为（）A．sin41°B．﹣sin41°C．cos41°D．﹣cos41°解：sin2021°＝sin（360°×60﹣139°）＝sin（﹣1390）＝﹣sin139°＝﹣sin41°．故选：B．3．向量“，不共线”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当向量“，不共线”时，由向量三角形性质得“”成立，即充分性成立，反之当向量“，方向相反时，满足“”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，即向量“，不共线”是“”的充分不必要条件，故选：A．4．函数y＝sin（x+），x∈（﹣，]的值域为（）A．B．C．D．解：y＝sin（x+）＝cos x，因为x∈（﹣，]，所以cos x∈[﹣，1]，即函数的值域为[﹣，1]．故选：B．5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，若a＝f（1），b＝f（2），，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，因为a＝f（1），b＝f（2），＝f（），又2＞1＞＞0，则b＞a＞c．故选：C．6．甲、乙两人解关于x的方程：log2x+b+c log x2＝0，甲写错了常数b，得到根为，；乙写错了常数c，得到根为，x＝64．那么原方程的根正确的是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝4或x＝8D．x＝2或x＝3解：原方程可变形为：，因为甲写错了常数b，得到根为，，所以，又因为乙写错了常数c，得到根为，x＝64，所以，所以原方程为，解得log2x＝2或3，所以x＝4或8．故选：C．7．已知2cos2α﹣3sin2α＝1，α∈（﹣，﹣π），那么tanα的值为（）A．2B．﹣2C．D．解：因为2cos2α﹣3sin2α＝2（1﹣sin2α）﹣3sin2α＝1，可得sin2α＝，cos2α＝，因为α∈（﹣，﹣π），所以sinα＝，cosα＝﹣，可得tanα＝＝﹣．故选：D．8．如图是函数y＝sin x（0≤x≤π）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合）．设线段AB的长为f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．解：当x＝时，A，B两点重合，此时f（x）＝0，故排除C，D；当x∈（0，）时，f（x）＝π﹣2x是关于x的一次函数，其图象是一条线段，故选：A．9．已知3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝﹣，则cosα﹣sinα的取值可以为（）A．B．C．D．解：因为3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝3cosα+sinα＝﹣，所以，整理得，所以，①当时，，则②当cos时，，则故选：C．10．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中心O的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（）A．8分钟B．10分钟C．12分钟D．14分钟解：由题意知，在t时摩天轮上某人所转过的角为t＝t，所以在t时此人相对于地面的高度为h＝10sin（t﹣）+12（t≥0）；由10sin（t﹣）+12≥17，得sin（t﹣）≥，解得≤t﹣≤，即5≤t≤15；所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于17 m．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量＝（1，﹣2），＝（x，4），且∥，则实数x＝﹣2．解：由已知，且，所以1×4﹣（﹣2）x＝0，解得x＝﹣2，故答案为：﹣212．若角β与角的终边关于直线y＝x对称，则角β的终边上的所有角的集合可以写为{}．解：角α的取值集合是{α|α＝2kπ+，k∈Z}，角β与角的终边关于直线y＝x对称，可得β＝2kπ+﹣2×（﹣）＝﹣+2kπ，k∈Z，可得角β的取值集合是{β|β＝﹣+2kπ，k∈Z}，故答案为：{β|β＝﹣+2kπ，k∈Z}．13．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为0解：由题意得：m﹣1＝±1，解得：m＝0或m＝2，m＝0时，f（x）＝x2在（0，+∞）递增，符合题意，m＝2时，f（x）＝1，是常函数，不合题意，故答案为：0．14．在如图所示的方格纸中，向量，，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与x+y（x，y为非零实数）共线，则的值为．解：设图中每个小正方形的边长为1，则＝（2，1），＝（﹣2，﹣2），＝（1，﹣2），∴x+y＝（2x﹣2y，x﹣2y），∵与x+y共线，∴﹣2（2x﹣2y）＝x﹣2y，∴5x＝6y，即＝故答案为：15．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t （分钟）之间存在函数关系y＝27﹣mt（m为常数）．求得m＝；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，那么至少需要排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．解：（1）∵函数y＝27﹣mt（m为常数）经过点（4，64），∴64＝27﹣4m，解得m＝；（2）由（1）得y＝，由，解得t≥32．故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．故答案为：（1）；（2）32．16．已知△ABC，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），给出以下命题：①若，，则P为△ABC的内心；②若λ＝μ＝1，则直线AP经过△ABC的重心；③若λ+μ＝1，且μ＞0，则点P在线段BC上；④若λ+μ＞1，则点P在△ABC外；⑤若0＜λ+μ＜1，则点P在△ABC内．其中真命题为②④．解：对于①，，此时P点在∠BAC平分线上，但未必在△ABC 的内心，则①错；对于②，由λ＝μ＝1知，AP＝，由向量加法法则知APBC中点，AP经过△ABC的重心，则②对；对于③，λ+μ＝1⇒λ＝1﹣μ⇒＝，当μ＞1，P点在BC延长线上，不在BC边上，则③错；对于④，令t＝λ+μ＞1，＝t，t＞1，由向量加法法则知，P点在△ABC外，则④对；对于⑤，取λ═﹣1/4，μ＝1/2，λ+μ＝1/4，0＜λ+μ＜1，但P点在△ABC外，则⑤错；故答案为：②④．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．已知函数．（1）求函数f（x）的值域：（2）若函数g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象有交点，请直接写出实数a的取值范围．解：（1）函数．则f（x）＝，因为y＝1﹣x在（﹣2，0）单调递减，可得f（x）值域为[1，3）．（2）当0＜a＜1，当0＜x≤2时，g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象恒有交点，当1＜a时，当0＜x≤2时，g（x）＝log a x是单调递增函数，则log a2≥1，可得a≤2．则1＜a≤2．故得实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a≤2．18．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，．（1）求实数b的值；（2）求的值．解：（1）∵方程的两根为sinθ、cosθ，∴sinθ+cosθ＝，sinθcosθ＝＞0，∵，∴θ+∈（，π），即sinθ+cosθ＝sin（θ+）＞0，∴（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2×＝，解得：b＝（负值舍去），则b＝；（2）∵（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2×＝，∴sinθ﹣cosθ＝，∵sinθ+cosθ＝，∴＝＝＝．19．已知函数，．（1）①直接写出函数f（x）的奇偶性；②写出函数f（x）的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：＝0；f（4）﹣5f（2）g（2）＝0；f（9）﹣5f（3）g（3）＝0；（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．解：（1）①函数f（x）为奇函数．②f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝（﹣）（1+）因为x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，所以＜，所以﹣＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质可得f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．（2）经过代入计算可得＝0，f（4）﹣5f（2）g（2）＝0，f（9）﹣5f（3）g（3）＝0．（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式为f（x2）﹣5f（x）g（x）＝0（x≠0），证明：f（x2）﹣5f（x）g（x）＝0＝﹣5••＝﹣＝0．20．设A是由n个实数构成的一个有序数组，记作A＝（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i＝1，2，…，n）称为数组A的“元”，i称为数组A的“元”a i的下标，如果数组S＝（b1，b2，…，b m）（m≤n，m∈N+）中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的“子数组”．定义两个数组A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n）的“关系数”为C（A，B）＝a1b1+a2b2+…+a n b n．（1）若，B＝（b1，b2，b3，b4），且B中的任意两个“元”互不相等，B 的含有两个“元”的不同“子数组”共有p个，分别记为S1，S2，…，S p．①p＝6；②若b j∈N+，1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），记，求X的最大值与最小值；（2）若，B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1，S为B的含有三个“元”的“子数组”，求C（A，S）的最大值．解：（1）①根据“子数组”的定义可得，B的含有两个“元”的不同“子数组”有（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共6个，∴p＝6；②不妨设b1＜b2＜b3＜b4，＝，∵1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），则当b1＝1，b2＝2，b3＝100，b4＝101时，X取得最大值为，当b1，b2，b3，b4是连续的四个整数时，X取得最小值为；（2）由B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1可知，实数a，b，c具有对称性，故分为S中含0和不含0两种情况进行分类讨论，①当0是S中的“元”时，由于中的三个“元”都相等及B中三个“元”a，b，c的对称性，可只计算的最大值，∵a2+b2+c2＝1，则（a+b）2≤2（a2+b2）≤2（a2+b2+c2）＝2，可得，故当时a+b达到最大值，故；②当0不是S中的“元”时，，又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，则，当且仅当时，取到最大值，故C（A，S）max＝1，综上，C（A，S）max＝1．。

2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，则∁U A＝（）A．{3，4}B．{﹣1，3，4}C．{0，1，2}D．{﹣1，4}2．已知向量＝（﹣1，2），＝（x，4），且⊥，则||＝（）A．B．C．D．83．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．3D．44．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝（）A．B．C．10D．155．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点．若|PF|＝4，则|PM|＝（）A．B．5C．D．6．已知函数，给出下列四个结论：①函数f（x）是周期为π的偶函数；②函数f（x）在区间上单调递减；③函数f（x）在区间上的最小值为﹣1；④将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象与g（x）＝sin2x的图象重合．其中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且f（1）＝0，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x+x．设a＝f（5），，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a8．已知圆C：x2+y2＝4，直线l：x+y+t＝0，则“l与C相交”是“|t|＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，D为垂足．若|DF|＝|DA|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与曲线y＝x3从左至右依次交于A，B，C三点．若直线l：kx﹣y+3＝0（k∈R）上存在点P满足||＝2，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．二、填空题（共5小题）.11．设a∈R．若复数z＝i（1+ai）为纯虚数，则a＝，z2＝．12．在（x2+）6的展开式中，常数项是．（用数字作答）13．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据《周髀算经》记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五．一般地，像（3，4，5）这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组．若从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，12，15），（9，40，41），（10，24，26），（11，60，61），（12，16，20）这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为．14．若函数f（x）＝sin（x+φ）+cos x为偶函数，则常数φ的一个取值为．15．设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意x1∈D，存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M，给出下列四个结论：①函数y＝x3﹣x不具有性质M；②函数具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]具有性质M，则t＝510；④若函数具有性质M，则a＝5．其中，正确结论的序号是．三、解答题（共6小题）.16．在△ABC中，，c＝3，且b≠c，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）b的值；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：sin B＝2sin A；条件②：sin A+sin B＝2sin C．17．某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，绘制成评分频率分布直方图如图：（Ⅰ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；（Ⅱ）从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和的大小．（结论不要求证明）18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，，E是线段AD的中点，连结BE．（Ⅰ）求证：BE⊥PA；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段PB上是否存在点F，使得EF∥平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．已知椭圆（a＞b＞0）过点，且C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，求|PA|•|PB|的取值范围．20．已知函数f（x）＝lnx﹣（a+2）x+ax2（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围．21．已知无穷数列{a n}满足：a1＝0，a n+1＝a n2+c（n∈N*，c∈R）．对任意正整数n≥2，记M n＝{c|对任意i∈{1，2，3，…n}，|a i|≤2}，M＝{c|对任意i∈N*，|a i|≤2}．（Ⅰ）写出M2，M3；（Ⅱ）当c＞时，求证：数列{a n}是递增数列，且存在正整数k，使得c∉M k；（Ⅲ）求集合M．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，则∁U A＝（）A．{3，4}B．{﹣1，3，4}C．{0，1，2}D．{﹣1，4}解：∵U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{0，1，2}，∴∁U A＝{﹣1，3，4}．故选：B．2．已知向量＝（﹣1，2），＝（x，4），且⊥，则||＝（）A．B．C．D．8解：根据题意，向量＝（﹣1，2），＝（x，4），若⊥，则•＝﹣x+8＝0，则x＝8，故＝（8，4），则||＝＝4，故选：C．3．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．3D．4解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P﹣ABC，底面三角形ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝2，AB⊥BC，三棱锥的高为PO＝2．∴该三棱锥的体积为V＝．故选：A．4．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝（）A．B．C．10D．15解：log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝log3（a1a2a3a4a5）＝log3a35＝log395＝10，故选：C．5．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点．若|PF|＝4，则|PM|＝（）A．B．5C．D．解：∵P是C上一点．且|PF|＝4，∴PD＝4＝x+1⇒x P＝3代入y2＝4x得y P2＝12，∴PM＝＝＝2，故选：C．6．已知函数，给出下列四个结论：①函数f（x）是周期为π的偶函数；②函数f（x）在区间上单调递减；③函数f（x）在区间上的最小值为﹣1；④将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象与g（x）＝sin2x的图象重合．其中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④解：由f（﹣x）＝cos（﹣2x﹣）＝cos（2x+）≠f（x），所以f（x）不是偶函数，故①错误；因x，所以2x﹣∈[0，π]，而余弦函数在[0，π]上单调递减，故②正确；因x，所以2x﹣∈[﹣，]，所以f（x）的最小值为﹣，故③错误；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，y＝cos[2（x﹣）﹣]＝cos（﹣2x）＝sin2x，故④正确；故选：D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且f（1）＝0，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x+x．设a＝f（5），，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a解：因为当x∈（0，1）时，f（x）＝2x+x，又f（x+2）＝f（x），且f（x）为奇函数，所以f（5）＝f（3）＝f（1）＝0，即a＝0，＝，故b＞0，＝，故c＜0，所以b＞a＞c．故选：A．8．已知圆C：x2+y2＝4，直线l：x+y+t＝0，则“l与C相交”是“|t|＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：圆心C（0，0），半径为2，则圆心到直线l的距离为，因为l与C相交，则有d＜r，所以，即，所以“l与C相交”是“|t|＜2”的必要而不充分条件．故选：B．9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，D为垂足．若|DF|＝|DA|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．解：过点D作DC⊥AF于点C，∵|DF|＝|DA|，∴点C为AF的中点，∴|CF|＝|AF|＝，而点F（﹣c，0）到渐近线y＝﹣x的距离为|DF|＝＝b，∴cos∠AFD＝＝，即＝，∴c（a+c）＝2b2＝2（c2﹣a2），即c2﹣ac﹣2a2＝0，∴c＝2a或c＝﹣a（舍），∴离心率e＝＝2．故选：B．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与曲线y＝x3从左至右依次交于A，B，C三点．若直线l：kx﹣y+3＝0（k∈R）上存在点P满足||＝2，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．解：∵f（x）＝x3和y＝mx都是奇函数，∴B为原点，且A，C两点关于原点对称．故原点O为线段AC的中点．∴|+|＝|2|＝2||＝2，∴|PB|＝1．即P为单位圆x2+y2＝1上的点．∴直线l：y＝kx+3与单位圆有交点，∴≤1，解得k≥2或k≤﹣2．故选：D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷试题数：21，总分：150（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标1.（单选题，5分）已知复数z=1+ii是（）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2.（单选题，5分）如图、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB=PD=3，AD=2，则该四棱锥的体积为（）A.18B.12C.9D.63.（单选题，5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）A. 14B. 13C. 12D. 234.（单选题，5分）设α，β是两个不同的平面，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，5分）在△ABC中，√3asinB=3bcosA，则∠A=（）A. 5π6B. 2π3C. π3D. π66.（单选题，5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900 920 900 850 910 920乙890 960 950 850 860 890根据以上数据，下面说法正确的是（）A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定7.（单选题，5分）向量a⃗，b⃗⃗，e⃗，e2⃗⃗⃗⃗在正方形网格中的位置如图所示，若a⃗−b⃗⃗=λ e1⃗⃗⃗⃗+μ=（）e2⃗⃗⃗⃗（λ，μ∈R），则λμA.3B. 13C.-3D. −138.（单选题，5分）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：95 90 85 80 75 70 65 60 60以下成绩（分）人数 1 4 6 5 4 6 7 8 9如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为（）A.65B.70C.75D.809.（单选题，5分）在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若点E 是棱AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足A 1M⊥C 1E ，则线段AM 的长的最小值为（ ） A. √55 B.2√55 C.1 D. √5210.（单选题，5分）已知不共线的平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 两两的夹角相等，且| a ⃗ |=1，| b ⃗⃗ |=2，| c ⃗ |=3，实数λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，则|λ1 a ⃗ +λ2 b ⃗⃗ +λ3 c ⃗ |的最大值为（ ） A. √3 B.2 √3 C. √21 D.511.（填空题，5分）已知平面向量 a ⃗ =（2，k ）， b ⃗⃗ =（3，2），且 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则实数k=___ ． 12.（填空题，5分）若复数z=a 2+a-2+（a 2-1）i 为纯虚数，则实数a 的值为 ___ ．13.（填空题，5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ___ ．14.（填空题，5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 ___ ，方差 ___ .（填“变大”，“变小”，“不变”）15.（填空题，5分）已知等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，点M 是AC 边上的动点，则 MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ，最小值为 ___ ． 16.（填空题，5分）已知△ABC 的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论： ① 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和； ② 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和； ③ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍； ④ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍． 其中所有正确结论的序号是 ___ ．17.（问答题，14分）在△ABC 中， b 2+c 2−√62bc =a 2 ．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）若B=2A ， b =√6 ，求a 的值．18.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD || 平面AEF；（Ⅱ）求证：EF⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．19.（问答题，14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．心理测评评价标准调查评分[0，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 心理等级 E D C B A （Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B 的概率；（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）20.（问答题，14分）在锐角△ABC 中， A =π6，BC =√7 ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点．且DE=2．再从条件 ① 、条件 ② 、条件 ③ 中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，（Ⅰ）sinC 的值； （Ⅱ）∠BDE 的大小； （Ⅲ）四边形BCED 的面积． 条件 ① ： AB =3√3 ； 条件 ② ： cosB =√2114； 条件 ③ ：EC=3．21.（问答题，14分）将平面直角坐标系中的一列点A 1（1，a 1），A 2（2，a 2），…，A n （n ，a n ），…记为|A n |，设f （n ）= A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j ，其中j 为与y 轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n ，都有f （n+1）＞f （n ），则称{A n }为T 点列．（Ⅰ）判断 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，⋅⋅⋅，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 是否为T 点列，并说明理由；（Ⅱ）若{A n }为T 点列，且a 2＞a 1.任取其中连续三点A k ，A k+1，A k+2，证明△A k A k+1A k+2为钝角三角形；（Ⅲ）若{A n }为T 点列，对于正整数k ，l ，m （k ＜l ＜m ），比较 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 与 A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 的大小，并说明理由．2020-2021学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z=1+ii（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）【正确答案】：B【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：∵ z=1+ii = (1+i)(−i)−i2=1−i，∴z在复平面内对应的点的坐标是（1，-1）．故选：B．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.（单选题，5分）如图、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB=PD=3，AD=2，则该四棱锥的体积为（）A.18B.12C.9D.6【正确答案】：D【解析】：根据棱锥的体积公式，计算即可．【解答】：解：四棱锥P-ABCD中，底面矩形ABCD的面积为S矩形ABCD=AB•AD=3×2=6，因为PD⊥底面ABCD，所以四棱锥的高为PD=3，所以该四棱锥的体积为V四棱锥P-ABCD= 13 S矩形ABCD•PD= 13×6×3=6．故选：D．【点评】：本题考查了利用棱锥的体积公式计算四棱锥体积的应用问题，是基础题．3.（单选题，5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是（）A. 14B. 13C. 12D. 23【正确答案】：B【解析】：根据不放回抽取的规则以及古典概型的概率计算公式即可求解．【解答】：解：对2个红色球，2个绿色球依次编号为1，2，a，b，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，共有（1，2），（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（a，b），（2，1），（a，1），（b，1），（a，2），（b，2），（b，a）12种，则两个球颜色相同的情况共有（1，2），（2，1），（a，b），（b，a）4种，则两个球颜色相同的概率P= 412=13，故选：B．【点评】：本题考查了古典概型的概率计算公式，涉及到不放回抽取的应用，属于基础题．4.（单选题，5分）设α，β是两个不同的平面，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分必要条件的判定方法得答案．【解答】：解：n⊂α，若n⊥β，由平面与平面垂直的判定可得α⊥β，反之，若n⊂α，α⊥β，可得n与β有三种位置关系，即n⊂β或n || β或n与β相交，相交也不一定垂直，∴“n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．5.（单选题，5分）在△ABC中，√3asinB=3bcosA，则∠A=（）A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6【正确答案】：C【解析】：根据已知条件，运用正弦定理，可得tanA= √3，再结合A角的范围，即可求解．【解答】：解：∵ √3asinB=3bcosA，∴由正弦定理，可得√3sinAsinB=3sinBcosA，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，tanA= √3，又∵A∈（0，π），．∴A= π3故选：C．【点评】：本题考查了正弦定理，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6.（单选题，5分）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如表：乙890 960 950 850 860 890根据以上数据，下面说法正确的是（）A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定【正确答案】：D【解析】：根据已知数据对应各个选项逐个计算判断即可求解．【解答】：解：选项A：甲种水稻产量的平均数为：900+920+900+850+910+9206=900，乙种水稻产量的平均数为：890+960+950+850+860+8906=900，即甲乙种的水稻产量的平均数相等，故A错误，选项B：甲种的水稻产量分别为：850，900，900，910，910，920，中位数为900+9102= 905，乙种的水稻产量分别为：850，860，890，890，950，960，中位数为890＜905，故B错误，选项C：甲种的水稻产量的极差为920-850=70，乙种的水稻产量的极差为960-850=110＞70，故C错误，选项D：甲种的水稻产量的方差为：16[(850−900)2+(910−900)2+(920−900)2+(920−900)2] = 17003，乙种的水稻产量的方差为：16[(890−900)2+(960−900)2+(950−900)2 +（850-900）2+（860-900）2+（890-900）2]= 52003＞17003，因为甲乙种的水稻产量的平均数相等，而甲种的水稻产量的方差小于乙，故甲种的水稻产量稳定，故D正确，故选：D．【点评】：本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到平均数，中位数以及方差的运算，考查了学生的运算能力，属于中档题．7.（单选题，5分）向量a⃗，b⃗⃗，e⃗，e2⃗⃗⃗⃗在正方形网格中的位置如图所示，若a⃗−b⃗⃗=λ e1⃗⃗⃗⃗+μ e2⃗⃗⃗⃗（λ，μ∈R），则λμ=（）A.3B. 13C.-3D. −13【正确答案】：D【解析】：由图可知：a⃗=−e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗，b⃗⃗=−2e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗，再利用向量的线性运算性质即可得出．【解答】：解：由图可知：a⃗=−e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗，b⃗⃗=−2e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗，∴ a⃗−b⃗⃗ =（- e1⃗⃗⃗⃗−4e2⃗⃗⃗⃗）-（-2 e1⃗⃗⃗⃗−e2⃗⃗⃗⃗）= e1⃗⃗⃗⃗−3e2⃗⃗⃗⃗，则λ=1，μ=-3，所以λμ =- 13．故选：D．【点评】：本题考查了向量的坐标运算及其线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.（单选题，5分）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如表：A.65B.70C.75D.80【正确答案】：C【解析】：计算累计频数即可．【解答】：解：因为50×40%=20，且75～95分共有20人，所以进入复试的分数线可以定为75．故选：C．【点评】：本题考查频数表的理解，属于基础题．9.（单选题，5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E是棱AB的中点，点M 是底面ABCD内的动点，且满足A1M⊥C1E，则线段AM的长的最小值为（）A. √55B.2√55C.1D. √52【正确答案】：B【解析】：以点A 为原点建立空间直角坐标系，再由A 1M⊥C 1E 可得M 的轨迹方程，从而由平面知识得到AM 长的最小值．【解答】：解：如图所示，建立空间直角坐标系，设A 1（0，0，1），C 1（1，1，1），E （ 12 ，0，0），M （x ，y ，0），所以 A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x ，y ，-1）， C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 12，-1，-1）， 因为A 1M⊥C 1E ，所以- 12 x-y+1=0，即点M 的轨迹方程为x+2y-2=0， 所以线段AM 的最小值为 2√12+22=2√55， 故选：B ．【点评】：本题考查空间线面关系的应用，涉及空间向量的应用，点到直线距离的最小值求法，属于中档题．10.（单选题，5分）已知不共线的平面向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 两两的夹角相等，且| a ⃗ |=1，| b ⃗⃗ |=2，| c ⃗ |=3，实数λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，则|λ1 a ⃗ +λ2 b ⃗⃗ +λ3 c ⃗ |的最大值为（ ） A. √3 B.2 √3 C. √21 D.5【正确答案】：C【解析】：根据向量之间的夹角和模长求解两两之间的数量积，然后把目标式平方，结合λ1，λ2，λ3的取值范围，即可求解．【解答】：解：∵不共线的平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗两两的夹角相等，∴平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗两两的夹角都为120°，∵| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |=2，| c⃗ |=3，，b⃗⃗•c⃗=−3，∴ a⃗•b⃗⃗=−1，a⃗•c⃗=−32|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗|2 = λ12+4λ22+9λ32−2λ1λ2−6λ2λ3−3λ1λ3 = (λ1−λ2)2+(3λ3−λ2)2+2λ22−3λ1λ3，∵λ1，λ2，λ3∈[-1，1]，∴当λ1=1，λ2=1，λ3=-1 时，|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗|2取得最大值为21，∴|λ1a⃗+λ2b⃗⃗+λ3c⃗ |的最大值为√21．故选：C．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．11.（填空题，5分）已知平面向量a⃗ =（2，k），b⃗⃗ =（3，2），且a⃗⊥ b⃗⃗，则实数k=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：根据a⃗⊥b⃗⃗可得出a⃗•b⃗⃗=0，然后进行数量积的坐标运算即可求出k的值．【解答】：解：∵ a⃗⊥b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗=6+2k=0，解得k=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．12.（填空题，5分）若复数z=a2+a-2+（a2-1）i为纯虚数，则实数a的值为 ___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解．【解答】：解：∵复数z=a2+a-2+（a2-1）i为纯虚数，∴ {a2+a−2=0，解得a=-2．a2−1≠0故答案为：-2．【点评】：本题考查了纯虚数的概念，属于基础题13.（填空题，5分）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] 16【解析】：设既选考物理又选考地理的学生有x人，然后根据已知条件求出x的值，再根据古典概型的概率计算公式即可求解．【解答】：解：设既选考物理又选考地理的学生有x人，则只选物理的人数为21-x人，只选地理的人数为14-x人，所以选考物理或地理的学生人数为21-x+14-x+x=28，解得x=7，故所求事件的概率为742=16，故答案为：16．【点评】：本题考查了古典概型以及概率计算公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数 ___ ，方差 ___ .（填“变大”，“变小”，“不变”）【正确答案】：[1]不变; [2]变小【解析】：由平均数公式以及方差的计算公式分析即可．【解答】：解：设原来的一组数据有n个，分别为x1，x2，•••，x n，则有x1+x2+•••+x n=10n，方差s2=1n[（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2]，所以（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2=ns2，加入一个新数10后，平均数为1n+1（x1+x2+•••+x n+10）= 10n+10n+1=10，故平均数不变；新的方差s2’= 1n+1[（x1-10）2+（x2-10）2+•••+（x n-10）2+（10-10）2]= 1n+1•ns2= nn+1•s2＜s2，故方差变小．故答案为：不变；变小．【点评】：本题考查了平均数与方差的运算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）已知等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，点M 是AC 边上的动点，则 MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ___ ，最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]3; [2]- 116【解析】：以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，再结合平面向量的数量积公式和三角函数的单调性，即可求解．【解答】：解：以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， ∵等边△ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点， ∴A （-1，0），B （0， √3 ），C （1，0）， D (12，√32) ， 设点M 的坐标为M （x ，0），-1≤x≤1，∴ MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−x ，0) ， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12−x ，√32) ， ∴ MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1−x )(12−x)=x 2−32x +12，设f （x ）= x 2−32x +12，-1≤x≤1， ∵函数f （x ）的对称轴为 x =34 ，∴f （x ）在区间 [−1，34] 单调递减，在区间 [34，1] 单调递增，当x=-1时，f （x ）max =f （-1）=3， 当x= 34 时， f (x )min =f (34)=−116 ． 故答案为：3， −116．【点评】：本题主要考查了平面向量的数量积公式，建立平面直角坐标系是解本题的关键，属于中档题．16.（填空题，5分）已知△ABC 的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：① 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和；② 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和； ③ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍； ④ 存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍． 其中所有正确结论的序号是 ___ ． 【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：根据题意，由余弦定理和正弦定理分析四个结论，综合可得答案．【解答】：解：根据题意，设△ABC 的三边长依次为n-1，n ，n+1，设最大角为A ，最小角得B ，对于 ① ，当n=4时，△ABC 的三边长依次为3，4，5，此时△ABC 为直角三角形，三个内角中的最大角等于另外两个角的和， ① 正确；对于 ② ，当n=3时，△ABC 的三边长依次为2，3，4，cosA= 4+9−162×2×3 ＜0，为钝角三角形，三个内角中的最大角大于另外两个角的和， ② 正确； 对于 ③ ，当n=5时，△ABC 的三边长依次为4，5，6，cosA= 16+25−362×4×5 = 18 ，cosB= 25+36−162×5×6 = 34 ，有cosA=2cos 2B-1=cos2B ，则有A=2B ， ③ 正确；对于 ④ ，假设存在符合题意的三角形，则A=3B ，则有 n+1sinA = nsinC = n−1sinB ， 又由A=3B ，则sinA=sin3B=3sinB-4sin 3B ，sinC=sin （A+B ）=sin4B ，n+1sin3B = n sin4B = n−1sinB ，变形可得：n-1= n 8cos 3B−4cosB = n+14cos 2B−1， 由n-1= n+14cos 2B−1 ，可得2cos 2B= nn−1 ， 而n-1= n8cos 3B−4cosB ，联立可得：n 2-n-8=0，无整数解，即不存在使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍的三角形， ④ 错误； 故答案为： ① ② ③ ．【点评】：本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理的应用，属于中档题． 17.（问答题，14分）在△ABC 中， b 2+c 2−√62bc =a 2 ．（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）若B=2A ， b =√6 ，求a 的值．【正确答案】：【解析】：（I）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．（II）由已知条件cosA=√64，运用三角函数的同角公式，可得sinA= √104，再结合正弦定理和二倍角公式，即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，b2+c2=a2+√62bc，又∵由余弦定理，可得cosA=b 2+c2−a22bc，∴ cosA=√62bc2bc=√64．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0＜A＜π2，∴ sinA=√1−cos2A=√104．∵B=2A，∴ sinB=sin2A=2sinAcosA=2×√104×√64=√154又∵ b=√6，asinA =bsinB，∴ a=bsinAsinB =√6×√104√154=2．【点评】：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．18.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD || 平面AEF；（Ⅱ）求证：EF⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）判断点C1是否在平面AEF内，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知利用正方体的性质可证BD || EF，根据线面平行的判定即可得解．（Ⅱ）利用线面垂直的性质可证AA1⊥BD，利用正方形的性质可证AC⊥BD，又由（Ⅰ）知BD || EF，可证EF⊥AA1，利用线面垂直的判定即可证明EF⊥平面ACC1A1．（Ⅲ）取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，由正方体性质可证DF || CG，DF=CG，通过证明四边形DCGF为平行四边形．可证FG || DC，FG=DC，通过证明四边形ABGF为平行四边形，可证AF || BG，利用正方体的性质可证BE || GC1，BE=GC1，通过证明四边形BGC1E为平行四边形，可证BG || EC1，通过证明EC1 || AF，可得点C1在平面AEF内．【解答】：解：（Ⅰ）因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点，所以BE || DF，BE=DF，所以四边形BEFD为平行四边形，所以BD || EF，又因为BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BD || 平面AEF．（Ⅱ）因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又由（Ⅰ）知BD || EF，所以EF⊥AA1，EF⊥AC，又因为AC∩AA1=A，所以EF⊥平面ACC1A1．（Ⅲ）点C1在平面AEF内，理由如下：取CC1中点G，连接GB，FG，EC1，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，F分别是棱CC1，DD1的中点，所以DF || CG，DF=CG，所以四边形DCGF为平行四边形．所以FG || DC，FG=DC，又因为AB || DC，AB=DC，所以AB || FG，AB=FG，所以四边形ABGF为平行四边形．所以AF || BG，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，G分别是棱BB1，CC1的中点，所以BE || GC1，BE=GC1，所以四边形BGC1E为平行四边形．所以BG || EC1，所以EC1 || AF，故点C1在平面AEF内．【点评】：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．19.（问答题，14分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．心理测评评价标准调查评分[0，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 心理等级 E D C B A （Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）【正确答案】：【解析】：（1）根据每组的小矩形的面积之和为1可解决此问题；（2）可先计算P（M⃗⃗⃗），然后计算P（M）=1-P（M⃗⃗⃗）；（3）先计算市民心理健康调查评分的平均值，再计算市民心理健康指数的平均值，可解决此问题．【解答】：解：（Ⅰ）由已知条件可得n=2000.02×10=1000，又因为每组的小矩形的面积之和为1．所以（0.035+0.025+0.02+0.004+8t）×10=1，解得t=0.002；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t=0.002，所以调查评分在[40，50）中的人数是调查评分在[50，60）中人数的12，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40，50）中有1人，在[50，60）中有2人，设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”．因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以P(M)=34×23×23=13，所以P(M)=1−P(M)=1−13=23，故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为23；（Ⅲ）由频率分布直方图可得，45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7．估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，所以市民心理健康指数平均值为80.7100=0.807＞0.75．所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．【点评】：本题考查频率分布直方图中某个矩形对应纵坐标算法、平均数算法、独立事件概率算法，考查数学运算能力，属于中档题．20.（问答题，14分）在锐角△ABC中，A=π6，BC=√7，D，E分别是边AB，AC上的点．且DE=2．再从条件① 、条件② 、条件③ 中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，（Ⅰ）sinC的值；（Ⅱ）∠BDE的大小；（Ⅲ）四边形BCED的面积．条件① ：AB=3√3；条件② ：cosB=√2114；条件③ ：EC=3．【正确答案】：【解析】：选条件① ③ 时，（Ⅰ）直接利用正弦定理的应用求出结果；（Ⅱ）直接利用三角函数的值和余弦定理的应用求出结果；（Ⅲ）利用三角形的面积公式的应用求出结果．选条件② ③ 时，（Ⅰ）直接利用三角函数的关系式的应用求出结果；（Ⅱ）直接利用三角函数的值和正弦定理的应用求出结果；（Ⅲ）利用作差法的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】：解：选条件① ③ 时，（Ⅰ）因为A=π6，BC=√7，AB=3√3，又因为在△ABC中，ABsinC =BCsinA，所以sinC=AB⋅sinABC =3√3×12√7=3√2114．（II）因为△ABC是锐角三角形，由（Ⅰ）知sinC=3√2114，所以cosC=√1−sin2C=√714．在△ABC中，因为AB2=BC2+AC2-2BC⋅AC⋅cosC，所以27=7+AC2−2√7AC×√714，即AC2-AC-20=0，解得AC=5．又因为EC=3，所以AE=2．又因为DE=2，所以∠ADE=A=π6．故∠BDE=5π6．（Ⅲ）因为AB=3√3，A=π6，由（Ⅱ）知AC=5，所以S△ABC=12AB⋅AC•sinA=15√34．又因为∠AED=∠BDE−A=2π3，所以S△ADE=12AE⋅DE⋅sin∠AED=√3．所以四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE=11√34．选条件② ③ 时，（Ⅰ）因为A=π6，cosB=√2114，所以0＜B＜π2，sinB=√1−cos2B=5√714．所以sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA 5√714×√32×√2114×12=3√2114．（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理：ACsinB =BCsinA，得AC=BC⋅sinBsinA=√7×5√71412=5，又因为EC=3，所以AE=2，又因为DE=2，所以∠ADE=A=π6故∠BDE=5π6．（Ⅲ）因为△ABC是锐角三角形，由（Ⅰ）知sinC=3√2114，所以cosC=√1−sin2C=√714．由余弦定理得：AB2=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅cosC=7+25−2×√7×5×√714=27，解得：AB=3√3．所以S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=15√34．又因为∠AED=∠BDE−A=2π3，所以S△ADE=12AE⋅DE⋅sin∠AED=√3．所以四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE=11√34．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.（问答题，14分）将平面直角坐标系中的一列点A 1（1，a 1），A 2（2，a 2），…，A n （n ，a n ），…记为|A n |，设f （n ）= A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j ，其中j 为与y 轴方向相同的单位向量．若对任意的正整数n ，都有f （n+1）＞f （n ），则称{A n }为T 点列．（Ⅰ）判断 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，⋅⋅⋅，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 是否为T 点列，并说明理由；（Ⅱ）若{A n }为T 点列，且a 2＞a 1.任取其中连续三点A k ，A k+1，A k+2，证明△A k A k+1A k+2为钝角三角形；（Ⅲ）若{A n }为T 点列，对于正整数k ，l ，m （k ＜l ＜m ），比较 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 与 A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •j 的大小，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用T 点列的定义进行判断即可；（Ⅱ）利用{A n }为T 点列，得到对|A n |中连续三点A k ，A k+1，A k+2，都有a k+2-a k+1＞a k+1-a k ＞0，a k+2＞a k+1＞a k ，分析得出 |A k A k+2|2＞|A k+1A k+2|2＞|A k A k+1|2 ，∠A k A k+1A k+2为△A k A k+1A k+2的最大内角，然后由余弦定理判断即可；（Ⅲ）利用{A n }为T 点列，a n+2-a n+1＞a n+1-a n ，n=1，2，⋅⋅⋅，则列举不等式后，利用不等式的基本性质左右分别相加，可得a m+k -a l ＞a m -a l-k ，再由 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m+k −a l ，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m −a l−k ，即可判断得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）{A n }为T 点列．理由如下： 由题意可知， A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，1n+1−1n )，j =(0，1) ，所以 f (n )=A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =1n+1−1n ，f (n +1)−f (n )=1n+2−1n+1−(1n+1−1n )=2n (n+1)(n+2)＞0 ， 即f （n+1）＞f （n ），n=1，2，…，所以 A 1(1，1)，A 2(2，12)，A 3(3，13)，A n (n ，1n )，⋅⋅⋅ 为T 点列； （Ⅱ）由题意可知， A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，a n+1−a n )，j =(0，1) ， 所以 f (n )=A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a n+1−a n ， 因为{A n }为T 点列，所以f （n+1）-f （n ）=a n+2-a n+1-（a n+1-a n ）＞0，n=1，2，⋅⋅⋅， 又因为a 2＞a 1，所以a 2-a 1＞0，所以对|A n |中连续三点A k ，A k+1，A k+2，都有a k+2-a k+1＞a k+1-a k ＞0，a k+2＞a k+1＞a k ， 又 |A k A k+1|2=1+(a k+1−a k )2，|A k A k+2|2=4+(a k+2−a k )2，|A k+1A k+2|2=1+(a k+2−a k+1)2 ，所以 |A k A k+2|2＞|A k+1A k+2|2＞|A k A k+1|2 ， 所以∠A k A k+1A k+2为△A k A k+1A k+2的最大内角， 由余弦定理可得， cos∠A k A k+1A k+2=|A k+1A k+2|2+|A k A k+1|2−|A k A k+2|22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1|= 2a k+12−2a k+1a k −2a k+1a k+2+2a k+2a k −22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1| =2(a k+1−a k )(a k+1−a k+2)−22|A k+1A k+2|⋅|A k A k+1|＜0 ， 故∠A k A k+1A k+2为钝角，所以△A k A k+1A k+2为钝角三角形； （Ⅲ）由正整数k ，l ，m 满足k ＜l ＜m ，则m≥3，因为{A n }为T 点列，由（Ⅱ）知a n+2-a n+1＞a n+1-a n ，n=1，2，⋅⋅⋅， 所以a m+k -a m+k-1＞a m+k-1-a m+k-2， a m+k-1-a m+k-2＞a m+k-2-a m+k-3， ••••••a m+1-a m ＞a m -a m-1，两边分别相加可得a m+k -a m ＞a m+k-1-a m-1， 所以a m+k-1-a m-1＞a m+k-2-a m-2＞a l -a l-k ， 则a m+k -a m ＞a l -a l-k ， 所以a m+k -a l ＞a m -a l-k ，又 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m +k −l ，a m+k −a l )，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m −l +k ，a m −a l−k ) ， 所以 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m+k −a l ，A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j =a m −a l−k ， 所以 A l A m+k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j ＞A l−k A m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅j ．【点评】：本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．。

2020-2021 学年北京市朝阳区初一（上）期末数学(选用)2021.1(考试时间90 分钟满分100 分)学校班级姓名考号一、选择题(本题共24 分每小题3 分) 下面1-8 题均有四个选项其中符合题意的选项只有一个.1. 下列几何体中是圆锥的为2. 5 的相反数为1 1(A)5 (B) (C) -5 5(D)-53. “奋斗者”号全海深载人潜水器在马里亚纳海沟开展1 万米深的深潜海试时钛合金载人舱承受的巨大水压接近1 100 个大气压、将1 100 用科学记数法表示应为(A) 0.11⨯104(B)1.1⨯104(C)1.1⨯103(D)11⨯1024. 如图点C 是线段AB 的中点点D 是线段AC 的中点若AB=8则CD 的长为(A)2 (B)4 (C)6 (D)85. 若x=1 是关于x 的方程2x+a=5 的解则a 的值为(A)7 (B)3 (C)-3 (D)-7考生须知1.本试卷共6 页，共三道大题.26 道小题，在试卷和答题卡上准确填写学校名称.班级、姓名和考号.2.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.3.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.4.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.6.将三角尺与直尺按如图所示摆放下列关于∠α 与∠β 之间的关系一定正确的是(A) ∠α=∠β(B) ∠= 1∠2(C) ∠α+∠β=90° (D) ∠α+∠β=180°7.某个长方体的展开图如图所示各个面上分别标有 1~6 的不同数字若将其围成长方体则这个长方体有 公共顶点的三个面上的数字之和最大是(A)15(B)14(C)9(D)78.设 a h c 为非零有理数a >b >c 则下列大小关系一定成立的是(A)a -b >b -c (B) 1 < 1 < 1 a b c(C) a 2 > b 2 > c 2(D)a -c >b -c二、填空题(本题共 24 分每小题 3 分)9.计算： (-2)2=.10.如图所示的网络是正方形网格∠BAC∠DAE .(填“>”“=”或“<”)11.一种零件的图纸如图所示若 AB =10mm BC =50mm CD =20mm 则 AD 的长为 mm.12.若单项式 2a mb 与 -3a 2b 是同类项则 m =.13.有理数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示 若有理数 b 满足 b < a 则 b 的值可以是(写出一个满足题意的具体数值)14.如图在一条笔直的马路(直线 l )两侧各有一个居民区(点 M N )如果要在这条马路旁建一个购物中心 使购物中心到这两个小区的距离之和最小那么购物中心应建在线段 MN 与直线 l 的交点 P 处这样做 的依据是.15.用"※”定义一种新运算：对于任意有理数 x 和 y x ※y =xy +a (x +y )+1(a 为常数).例如：2※3=2×3+(2+3)a +1=5a +7.若 2※(-1)的值为 3则 a 的值为.16.小韩和同学们在一家快餐店吃饭下表为快餐店的菜单：种类 配餐 价格(元) 优惠活动A 餐 1 份盖饭 20 消费满 150 元减 24 元 消费满 300 元减 48 元···B 餐 1 份盖饭+1 杯饮料 28C 餐1 份盖饭+1 杯饮料+1 份小菜32小韩记录大家的点餐种类并根据菜单一次点好已知他们所点的餐共有 11 份盖饭x 杯饮料和 5 份小 菜(1)他们共点了份 B 餐；(用含 x 的式子表示)(2)若他们至少需要 6 杯饮料要使所花费的钱数最少则应该点 份 B 餐三、解答题(本题共 52 分第 17-24 题每小题 5 分第 25、26 题每小题 6 分)17.计算： -3 1 + 4.4 - 2.4 + 3 1. 2 21 18.计算：12 ⨯( 1 - 1 - 1 )12 6 419.计算： (12m + 4) + 2 (m -1) .420 解方程：3x +5=30-2x .21.解方程： 3y -1 = 1+ 5 y - 7 .4622.已知 a -2b =4求 3a +(b -a )-(5b -1)的值.23.近年来我国数字经济规模不断扩张贡献不断增强逐渐成为驱动我国经济增长的关键.已知我国2005年与2019 年数字经济增加值规模之和为38.4 万亿元2019 年数字经济增加值规模比2005 年数字经济增加值规模的14 倍少0.6 万亿元.求我国2005 年数字经济增加值规模24.阅读材料：数学活动课上小智同学提出一个猜想；把一个三位正整数的百位上的与个位上的数交换位置十位上的数不变原数与所得数的差等于99 乘原数的百位上的数与个位上的数的差.例如：782-287=99×(7-2).回答问题：(1)小智的猜想是否正确?若正确对任意情况进行说明；若不正确说明理由.(2)已知一个五位正整数的万位上的数为m个位上的数为n把万位上的数与个位上的数交换位置其余数位上的数不变原数与所得数的差等于.(用含m n 的式子表示)25.已知∠AOB=120°射线OC 在∠AOB 的内部射线OM 是∠AOC 靠近OA 的三等分线,射线ON 是∠BOC 靠近OB 的三等分线.(1)若OC 平分∠AOB①依题意补全图1；②∠MON 的度数为.(2)当射线OC 绕点O 在∠AOB 的内部旋转时∠MON 的度数是否改变?若不变求∠MON 的度数；若改变说明理由.26.在数轴上点A 表示的数为1点B 表示的数为3.对于数轴上的图形M给出如下定义；P 为图形M 上任意一点Q 为线段AB 上任意一点如果线段PQ 的长度有最小值那么称这个最小值为图形M 关于线段AB 的极小距离记作d1 (M线段AB)；如果线段PQ 的长度有最大值那么称这个最大值为图形M 关于线段AB 的极大距离记作d2 (M线段AB)例如：点K 表示的数为4则d1 (点K线段AB)=1d2 (点K线段AB)=3.已知点O 为数轴原点点C D 为数轴上的动点.d(点O线段AB)= d2 (点O线段AB)= ；1(2)若点C D 表示的数分别为m m+2d1 (线段CD线段AB)=2.求m 的值；(1)d(点O线段AB)=(3)点C 从原点出发以每秒2 个单位长度沿x 轴正方向匀速运动；点D 从表示数-2 的点出发第1 秒以每秒2 个单位长度沿x 轴正方向匀速运动第2 秒以每秒4 个单位长度沿x 轴负方向匀速运动第3 秒以每秒6 个单位长度沿x 轴正方向匀速运动第4 秒以每秒8 个单位长度沿x 轴负方向匀速运动……按此规律运动C D 两点同时出发设运动的时间为t 秒若d2 (线段CD线段AB)小于或等于6直接写出t 的取值范围.(t 可以等于0)。

2021北京高一数学上学期期末汇编：函数选择题一．选择题（共23小题）1．（2020秋•昌平区期末）下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是 A ．B ．C ．D ．2．（2020秋•通州区期末）函数且在上单调递减，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．3．（2020秋•西城区校级期末）函数的图象是 A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•通州区期末）如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“函数”．若函数是“函数”，则实数的取值范围是 A ．，，B ．，，C ．，D ．，5．（2020秋•朝阳区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是 A ．B ．C ．D ．6．（2020秋•西城区期末）函数的定义域是 A ．B ．C ．，，D ．，，7．（2020秋•石景山区期末）下列函数中，在区间上为减函数的是 A ．B ．C ．D ．(0,)+∞()()2xf x -=3()f x x =()f x lgx=1()f x x=,0()(03,0x a x f x a a x x ⎧=>⎨->⎩…1)a ≠R a ()(1,)+∞(0,1)1[,1)31(0,]3|(1)|y lg x =-()()f x R x R ∈()()f x f x -≠-()y f x =X -sin cos y x x a =++X -a ()(-∞1)(1-⋃)+∞(-∞2)(2-⋃)+∞[1-1][2-2](0,1)()sin y x=y =3y x =-y lgx=11y lgx x =+-()(0,)+∞(1,)+∞(01)(1⋃)+∞[01)(1⋃)+∞(1,1)-()11y x=-2x y =(1)y ln x =+2xy -=8．（2020秋•朝阳区期末）已知函数可表示为 1234则下列结论正确的是 A ．（4）B ．的值域是，2，3，C ．的值域是，D ．在区间，上单调递增9．（2020秋•东城区期末）已知为奇函数，且当时，，则的值为 A ．B ．C ．D ．10．（2020秋•海淀区期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是 A ．B ．C ．D ．11．（2020秋•丰台区期末）下列函数是奇函数的是 A ．B ．C ．D ．12．（2020秋•西城区校级期末）以下函数既是偶函数又在上单调递减的是 A ．B ．C ．D ．13．（2020秋•石景山区期末）已知函数是奇函数，且当时，，则 A ．B ．0C ．1D ．214．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是 ()y f x =()x02x <<24x < (46)x < (68)x ……y()(f f )3=()f x {14}()f x [14]()f x [48]()f x 0x >()2f x x =-1()2f -()52-32-3252(0,)+∞()2y x=-12y x=1y x -=3y x =()()2xf x =2()log f x x=2()f x x =3()f x x =(0,)+∞()4()f x x =()f x =1()(2xf x =12()log ||f x x =()f x 0x >21()f x x x=+(1)(f -=)2-y x y x ()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④15．（2020秋•石景山区期末）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是 A ．B ．C ．D ．16．（2020秋•海淀区校级期末）如图是函数的图象，是图象上任意一点，过点作轴的平行线，交其图象于另一点，可重合）．设线段的长为，则函数的图象是 A ．B．H H t ()sin (0)y x x π=……(,)A x y A x (B A B AB ()f x ()f x ()C ．D ．17．（2020秋•昌平区期末）已知函数．若存在实数，，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 A ．，B ．C ．，D ．18．（2020秋•西城区校级期末）已知函数的定义域是，满足（2）且对于定义域内任意，都有成立，那么（2）（4）的值为 A ．1B ．2C ．3D ．419．（2020秋•通州区期末）已知函数，则 A ．是奇函数，且在上单调递增B ．是奇函数，且在上单调递减C ．是偶函数，且在上单调递增D ．是偶函数，且在上单调递减20．（2020秋•大兴区期末）下列函数中，值域为区间，的是 A ．B ．C ．D ．21．（2020秋•大兴区期末）已知函数是上的减函数，则的范围是 A ．B ．，C ．D ．，22．（2020秋•海淀区校级期末）已知偶函数在上单调递减，若（1），（2），，则，，的大小关系为 A ．B ．C ．D ．23．（2020秋•东城区期末）若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是 A ．（a ）B ．C ．（a ）D ．2()f x x k =-m n ()fxk ()(1-0](1,)-+∞(2-0](2,)-+∞()f x (0,)+∞f 1=x y ()()()f xy f x f y =+f f +()()(1)(1)f x ln x ln x =++-()(f x )(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)[2)+∞()2()2f x x =()21x f x =+()||2f x x =+1()f x x x=+5,1()1,1ax x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩…R a ()(,0)-∞[4-)+∞(,4)-∞-[4-0)()f x (,0)-∞a f =b f =1()2c f =-a b c ()a b c >>a c b >>b a c >>c a b>>()f x R 0a >()2()f a f <1()()f a f a<f (2)f a <2()(1)f a f a <-2021北京高一数学上学期期末汇编：函数选择题参考答案一．选择题（共23小题）1．【分析】由基本初等函数的性质逐一判断即可．【解答】解：对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为奇函数，且在上是增函数，符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为奇函数，在上是减函数，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．2．【分析】根据分段函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：若函数在上为减函数，则满足，即，得，故选：．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，结合分段函数的单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．3．【分析】求出函数的定义域，利用定义域进行排除即可．【解答】解：由得，即函数的定义域为，排除，，，故选：．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用定义域是否满足，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．4．【分析】根据题意，设，则有，结合“函数”的定义可得方程无解，结合余弦函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，设，则，则，若函数是“函数”，即无解，A ()2x f x -=B 3()f x x =RC ()f x lgx =D 1()f x x=(0,)+∞B R 00130a a a <<⎧⎨-⎩ (01)13a a <<⎧⎪⎨⎪⎩ (103)a <…D 10x ->1x >(1,)+∞A B D C ()sin cos f x x x a =++()()2cos 2f x f x x a +-=+X -()()2cos 20f x f x x a +-=+=()sin cos f x x x a =++()sin()cos()sin cos f x x x a x x a -=-+-+=-++()()2cos 2f x f x x a +-=+()y f x =X -()()2cos 20f x f x x a +-=+=又由，，必有或，即的取值范围为，，，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是理解“函数”的含义，属于基础题．5．【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足即可．【解答】解：．是奇函数，当时，函数为增函数，满足条件．函数的定义域为，，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．．当时，函数为减函数，不满足条件．．函数的定义域为，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．6．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为，，，故选：．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．7．【分析】可看出前三个选项的函数在上都是增函数，从而只能选．【解答】解：，和在上都为增函数，在上是减函数．故选：．【点评】本题考查了反比例函数、指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．8．【分析】根据表格，结合函数定义域和值域的性质分别进行判断即可．【解答】解：由题意知（4），得（4）（3），故错误，函数的值域为，2，3，，故正确，错误，在定义域上不单调，故错误，故选：．【点评】本题主要考查函数定义域和值域的判断，结合函数定义域和值域的关系是解决本题的关键，是基础题．cos [1x ∈-1]1a <-1a >a (-∞1)(1-⋃)+∞A X -A sin y x =01x <<B [0)+∞C 01x <<D (0,)+∞A 010x x >⎧⎨-≠⎩01x x >⎧⎨≠⎩(01)(1⋃)+∞C (1,1)-D 11y x=-2x y =(1)y ln x =+(1,1)-2x y -=(1,1)-D f 3=(f f )f =2=A {14}B C ()f x D B9．【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．【解答】解：根据题意，当时，，则，又由为奇函数，则，故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．10．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质是否满足进行判断即可．【解答】解：．函数为偶函数，不满足条件．．函数的定义域为，，为非奇非偶函数，不满足条件．．函数为奇函数，且当时，为减函数，满足条件．．函数为奇函数，当时为增函数，不满足条件．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数的性质是解决本题的关键，是基础题．11．【分析】根据题意，依次分析选项函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，是指数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是二次函数，是偶函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是奇函数，符合题意，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性，属于基础题．12．【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性判断即可．【解答】解：对于，函数在递增，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数既是偶函数又在上单调递减，符合题意；故选：．【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．1(2f 0x >()2f x x =-113(2222f =-=-()f x 113()()222f f -=-=C A B [0)+∞C 0x >1y x=D 0x >C A ()2x f x =B 2()log f x x =C 2()f x x =D 3()f x x =D A (0,)+∞B C D (0,)+∞D13．【分析】由奇函数定义得，（1），根据的解析式，求出（1），从而得到．【解答】解：是定义在上的奇函数，，（1），又当时，，（1），，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．14．【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【解答】解：由图可知，点纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：．【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．15．【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：．【点评】本题考查函数图象，还可以正面分析得出结论：圆柱液面上升速度是常量，则（这里的是漏斗中剩下液体的体积）与成正比（一次项），根据圆锥体积公式兀，可以得出中，为正数，另外，与成反比，可以得出^中，为正数．所以选择第二个答案．16．【分析】根据线段的长和之间的关系，通过取特殊点及某一段上的的值，得出相应的函数值，从而判断出正确选项即可．【解答】解：当时，，两点重合，此时，故排除，；当时，是关于的一次函数，其图象是一条线段，故选：．【点评】考查导函数的图象与图象变化，以及识图能力，体现了数形结合的思想，属基础题．(1)f f -=-0x >f (1)f -()f x R ()()f x f x ∴-=-(1)f f -=-0x >21()f x x x=+f ∴2112=+=(1)2f ∴-=-A A C 1212t 12B V V t 13V =2r h 2H at bt =+a t r H at =2bt +b AB x x 2x π=A B ()0f x =C D (0,2x π∈()2f x x π=-x A17．【分析】求出函数在定义域上单调递增，由此建立方程的两个不相等的非负实数根，再由，求出的范围．【解答】解：由函数，可知函数在区间上单调递增，要使得函数在区间上的值域为，只需，即，的两个不相等的非负实数根，所以，解得，即实数的取值范围为，，故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，涉及到一元二次方程的实数根的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．【分析】由（4）（2）（2）（2），可得（4），从而得到所求．【解答】解：（4）（2）（2）（2），（4）．（2）（4），故选：．【点评】本题考查抽象函数的应用，求出（4），是解题的关键，是基础题．19．【分析】由已知结合函数奇偶性定义及复合函数的单调性进行检验即可判断．【解答】解：，则，故为偶函数，当时，单调递减，故选：．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．()f x f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩220x x k --=124400k x x k =+>⎧⎨=-⎩V …k 2()f x x k =-()f x ()f x f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩m k n k ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩220x x k --=124400k x x k =+>⎧⎨=-⎩V …10k -<…k (1-0]A f (22)f f =⨯=f +2f =f 2=f (22)f f =⨯=f +2f =f ∴2=f ∴f +123=+=C f 2=2()(1)(1)(1)f x ln x ln x ln x =++-=-()()f x f x -=()f x 01x <<2()(1)f x ln x =-D20．【分析】由题意，求出各个函数的值域，可得结论．【解答】解：由与，故它的值域为，，故错误；由于，故它的值域为，故错误；由于，故它的值域为，，故正确；由于，当时，，当 时，，故它的值域为，，，故错误，故选：．【点评】本题主要考查求函数的值域，属于基础题．21．【分析】根据题意，由函数的单调性的定义可得，解之即可得答案．【解答】解：因为函数是上的减函数，所以，解得，即的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查分段函数的单调性，属于基础题．22．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，因为（1），（2），，又，则．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质比较函数值的大小，属于基础题．23．【分析】可取，从而可判断出选项，都错误；可得出，根据是上的减函数可得出（a ），从而判断错误，这样只能选．【解答】解：时，，，，都错误；2()20f x x =…[0)+∞A ()21011x f x =+>+=(1,)+∞B ()||22f x x =+…[2)+∞C 1()f x x x=+0x >()2f x …0x <()2f x -…[2)(+∞-∞⋃2]D C 051a a <⎧⎨+⎩…5,1()1,1ax x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩…R 051a a <⎧⎨+⎩…40a -<…a [4-0)D ()f x (,0)-∞()f x (0,)+∞a f =b f =11()(22c f f =-=12102>>>b a c >>C 1a =A B 2a a <()f x R f (2)f a >C D 1a =21,a a a a==∴21()(),()()f a f a f a f a==A ∴B，，是上的减函数，（a ），即错误；，，且是上的减函数，，即正确．故选：．【点评】本题考查了举反例说明不等式不成立的方法，减函数的定义，配方法的运用，考查了计算能力，属于基础题．0a > 2a a <()f x R f ∴(2)f a >C 22213(1)1()024a a a a a --=-+=-+>21a a ∴>-()f x R 2()(1)f a f a ∴<-D D。

2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。

北京市海淀区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．（0，1）C．（0，2）D．{0，1，2}2．命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”的否定为（）A．∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0B．∃x∈R，使得x2﹣x+3＞0C．∀x∈R，都有x2﹣x+3≤0D．∃x∉R，使得x2﹣x+3≤03．已知a＜b＜0，则（）A．a2＜b2B．＜C．2a＞2b D．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）4．已知函数f（x）＝﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．4×100米接力赛是田径运动中的集体项目，一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）A．p1p2p3B．1﹣p1p2p3C．（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）D．1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）6．下列函数中，在R上为增函数的是（）A．y＝2﹣x B．y＝x2C．y＝D．y＝lg x7．已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为C＝Q2+3000，设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（）A．30B．60C．900D．18008．逻辑斯蒂函数f（x）＝二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类，下列关于函数f（x）的说法错误的是（）A．函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称B．函数f（x）的值域为（0，1）C．不等式f（x）＞的解集是（0，+∞）D．存在实数a，使得关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实数根9．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）A．甲得分的极差大于乙得分的极差B．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数D．甲得分的标准差小于乙得分的标准差10．已知函数f（x）＝2x2+bx+c（b，c为实数），f（﹣10）＝f（12）．若方程f（x）＝0有两个正实数根x1，x2，则+的最小值是（）A．4B．2C．1D．二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分.11．函数f（x）＝log0.5（x﹣1）的定义域是．12．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ln x，则f（﹣）的值是．13．定义域为R，值域为（﹣∞，1）的一个减函数是．14．已知函数f（x）＝|log5x|，若f（x）＜f（2﹣x），则x的取值范围是．15．已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），给出下列四个结论：①存在实数a，使得f（x）有最小值；②对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数；③存在实数a，使得f（x）的值域为R；④若a＞3，则存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝f（﹣x0）．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16．（9分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x﹣4a≤0}．（Ⅰ）当a＝1时，求A∩B；（Ⅱ）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．17．（10分）已知函数f（x）＝a x+b•a﹣x（a＞0且a≠1），再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，说明理由；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）若f（|m|﹣3）不大于b•f（2），直接写出实数m的取值范围．条件①：a＞1，b＝1；条件②：0＜a＜1，b＝﹣1．18．（10分）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4：1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．一等品二等品甲生产线76b乙生产线a2（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取10件产品，记P1表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，P2表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较P1和P2的大小．（只需写出结论）19．（11分）已知定义域为D的函数f（x），若存在实数a，使得∀x1∈D，都存在x2∈D满足＝a，则称函数f（x）具有性质P（a）．（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P（0），说明理由；①f（x）＝2x；②f（x）＝log2x，x∈（0，1）．（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为D，且具有性质P（l），则“f（x）存在零点”是“2∈D”的条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）（Ⅲ）若存在唯一的实数a，使得函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]具有性质P（a），求实数t的值．选做题：20．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖．屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了疟疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用．当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效．后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用．已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值．人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变，现用t表示时间（单位：h），在t＝0时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：μg/ml），根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数．已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值．请根据以上描述完成下列问题：（Ⅰ）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是；①C（t）＝②C（t）＝③C（t）＝④C（t）＝（Ⅱ）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1μg/mL，则称青蒿素药片是合格的．基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片；（填“合格”、“不合格”）（Ⅲ）记血药浓度的峰值为C max，当C≥C max时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间是．【参考答案】一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．A【解析】集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：A．2．A【解析】根据题意，命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”是全称命题，其否定为：∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0．故选：A．3．D【解析】∵a＜b＜0，∴，ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）．故选：D．4．C【解析】函数f（x）＝﹣log2x，是减函数，又f（2）＝﹣log22＝＞0，f（3）＝1﹣log23＜0，可得f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知：函数f（x）＝﹣log2x，包含零点的区间是：（2，3）．故选：C．5．C【解析】∵该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，∴三次交接棒不失误的概率分别为1﹣p1，1﹣p2，1﹣p3，∴假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）．故选：C．6．C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2﹣x是指数函数，在R上为减函数，不符合题意，对于B，y＝x2，是二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，不符合题意，对于C，y＝，在R上为增函数，符合题意，对于D，y＝lg x，是对数函数，定义域为（0，+∞），不符合题意，故选：C．7．B【解析】由题意可得该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）＝，则f（Q）＝＝60，当且仅当，即Q＝100时取等号，此时f（Q）的最小值为60，故选：B．8．D【解析】对于A：f（x）＝＝，f（﹣x）＝，f（x）+f（﹣x）＝1，所以函数f（x）的图象关于点（0，）对称，又f（0）＝，所以函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称，故A正确；对于B：f（x）＝，易知e﹣x＞0，所以1+e﹣x＞1，则（0，1），即函数f（x）的值域为（0，1），故B正确；对于C：由f（x）＝容易判断，函数f（x）在R上单调递增，且f（0）＝，所以不等式f（x）＞的解集是（0，+∞），故C正确；对于D：因为函数f（x）在R上单调递增，所以方程f（x）﹣a＝0不可能有两个不相等的实数根，故D错误．故选：D．9．B【解析】对于A，乙组数据最大值为29，最小值为5，极差为24，甲组数据最大值小于29，最小值大于5，故A错误；对于B，甲得分的75%分位数是＝22.5，乙得分的75%分位数是17，故B正确；对于C，甲组具体数据不易看出，不能判断甲得分的平均数与乙得分的平均数的大小关系，故C错误；对于D，乙组数据更集中，标准差更小，故D错误．故选：B．10．B【解析】根据题意，函数f（x）＝2x2+bx+c为二次函数，若f（﹣10）＝f（12），则f（x）的对称轴为x＝1，若方程f（x）＝0有两个正实数根x1，x2，则有x1+x2＝2，则+＝（+）（x1+x2）＝（2++）≥（2+2）＝2，当且仅当x1＝x2＝1时等号成立，即+的最小值是2，故选：B．二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分.11．（1，+∞）【解析】要使函数有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．12．1【解析】∵当x＞0时，f（x）＝ln x，且f（x）是奇函数，∴f（﹣）＝﹣f（）＝﹣ln＝1，故答案为：1．13．y＝1﹣2x（答案不唯一）【解析】根据题意，要求函数可以为指数函数变换形式，如y＝1﹣2x；故答案为：y＝1﹣2x（答案不唯一）．14．（1，2）【解析】∵函数f（x）＝|log5x|的定义域为（0，+∞），∴，∴0＜x＜2，①当x＝1时，f（x）＝f（2﹣x），不符合题意，②当0＜x＜1时，2﹣x＞1，则f（x）＜f（2﹣x）等价于|log5x|＜|log5（2﹣x）|，∴﹣log5x＜log5（2﹣x），∴log5（2﹣x）+log5x＞0，即log5[x（2﹣x）]＞0，∴x（2﹣x）＞1，∴x2﹣2x+1＜0，此方程无解，③当1＜x＜2时，0＜2﹣x＜1，则f（x）＜f（2﹣x）等价于|log5x|＜|log5（2﹣x）|，∴log5x＜﹣log5（2﹣x），∴log5（2﹣x）+log5x＜0，即log5[x（2﹣x）]＜0，∴x（2﹣x）＜1，∴x2﹣2x+1＞0，即x≠1，则1＜x＜2符合题意，综上所述，x的取值范围是（1，2）．15．①②④【解析】对于①，当a＝3时，函数f（x）＝，函数有最小值﹣1，故①正确；对于②，若f（x）是R上的减函数，则，解得a∈∅，∴对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数，故②正确；对于③，若f（x）的值域为R，需，得a∈∅，故③错误；对于④，若a＞3，函数f（x）＝的图象如图所示：直线y＝（a﹣2）x与曲线y＝a x﹣1一定有交点，即存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝f（﹣x0），故④正确．∴正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④．三、解答题：共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣4a≤0}．当a＝1时，B＝{x|x≤4}，∴A∩B＝{x|x＜﹣1或3＜x≤4}；（Ⅱ）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣4a≤0}，A∪B＝R，∴4a＞3，解得a＞，∴实数a的取值范围是（，+∞）．17．解：选择条件①：（Ⅰ）a＞1，b＝1，函数f（x）是偶函数，理由如下：f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则﹣x∈R，∵f（﹣x）＝a﹣x+a x＝f（x），∴函数f（x）是偶函数．（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则x1+x2＞0，∵a＞1，∴，，∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣（）＝（）（1﹣）＝（）•＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（Ⅲ）实数m的取值范围是[﹣5，﹣1]∪[1，5]．选择条件②：0＜a＜1，b＝﹣1，（Ⅰ）函数f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则﹣x∈R，∴f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∵0＜a＜1，∴＞0，，∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣（）＝（）（1+）＝（）•＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．（Ⅲ）实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．18．解：（Ⅰ）由题意知，解得a＝4，b＝18．（Ⅱ）记样本中甲生产线的4件二等品为A1，A2，A3，A4，乙生产线的2件二等品为B1，B2，从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A2，A3），（A2，A4），（A3，A4）（A1，B1），（A2，B1），（A3，B1），（A4，B1），（A1，B2），（A2，B2），（A3，B2），（A4，B2），（B1，B2），记C为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果只有一个，是（B1，B2），∴至少有1件为甲生产线产品的概率为P＝1﹣P（）＝1﹣＝．（Ⅲ）p1＜p2．19．解：（Ⅰ）①函数f（x）＝2x不具有性质P（0）．理由如下：对于a＝0，x1＝1，∵，x2∈R，∴不存在x2∈R满足＝0，∴函数f（x）＝2x不具有性质P（0）．②函数f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）．理由如下：对于∀x1∈（0，1），取x2＝，则x2∈（0，1），∵＝＝0，∴函数f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）．（Ⅱ）“f（x）存在零点”是“2∈D”的充分而不必要条件．理由如下：（i）若f（x）存在零点，令f（x）＝3x﹣1，x∈[0，1]，则f（）＝0，∵∀x1∈[0，1]，取x2＝1﹣，则x2∈[]，且＝＝1，∴f（x）具有性质P（1），但2∉[0，1]．（ii）若2∈D，∵f（x）具有性质P（1），取x1＝2，则存在x2∈D，使得＝＝1，∴f（x2）＝0，∴f（x）存在零点x2，综上，“f（x）存在零点”是“2∈D”的充分而不必要条件．故答案为：充分而不必要．（Ⅲ）记函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的值域为F，函数g（x）＝2a﹣x，x∈[0，2]的值域为A＝[2a﹣2，2a]，∵存在唯一的实数a，使得函数f（x2）＝2a﹣x1成立，∴F＝A．（i）当t＝0时，f9x）＝x+4，x∈[0，2]，其值域F＝[4，6]，由F＝A，得a＝3．（ii）当﹣≤t，且t≠0时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]是增函数，∴其值域F＝[4，4t+6]，由F＝A，得t＝0，舍去．（iii）当﹣时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（﹣）＝4﹣，最小值为4，∴f（x）的值域为F＝[4，4﹣]．由F＝A，得t＝﹣，舍去．当t＜﹣时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（﹣）＝4﹣，最小值为f（2）＝4t+6，∴f（x）的值域为F＝[4t+6，4﹣]，由F＝A，得t＝（舍去t＝）．选做题：20．解：（Ⅰ）根据题意，得函数C（t）同时满足以下条件：A．函数C（t）在[0，1.5）上单调递增，在（1.5，+∞）上单调递减；B．当t＝1.5时，函数C（t）取得最大值；函数C（t）的最小值非负；C．函数C（t）是一个连续变化的函数，不会发生骤变．选择①：，因为C（3）＝0.75﹣0.3×3＝﹣0.15不满足条件B，所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择②：C（t）＝当0≤t＜15时，，当t＝1时，函数C（t）取得最大值，不满足条件B，所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择③：因为，，所以不满足条件C，所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择④：因为，且当t≥1.5时，C（t）＞0，所以C（t）同时满足三个条件，即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函数④：，因为，即血药浓度的峰值大于0.1μg/ml，所以此青蒿素药片合格，即答案为：合格；（Ⅲ）当0≤t＜1.5时，令0.2ln（t+1）≥0．ln2.5，所以ln（t+1）2≥ln2.5，即，即2t2+4t﹣3≥0，解得或，即当t≥1.5时，令，则，解得t≤3，即1.5≤t≤3；综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间为．。

2020-2021学年北京市朝阳区初三数学第一学期期末试卷一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（3分）下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）用配方法解方程23620x x -+=，将方程变为21()3x m -=的形式，则m 的值为( )A ．9B ．9-C ．1D ．1-3．（3分）正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( ) A ．16y x =B ．6y x =C ．26y x =D ．6y x=4．（3分）若O 的内接正n 边形的边长与O 的半径相等，则n 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．75．（3分）下列方程中，无实数根的方程是( ) A ．230x x +=B ．2210x x +-=C ．2210x x ++=D ．230x x -+=6．（3分）如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是( )A ．指针指向黄色的概率为23B ．指针不指向红色的概率为34C ．指针指向红色或绿色的概率为12D ．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率 7．（3分）如图，在半径为1的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点P 是AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），OC AP ⊥，OD BP ⊥，垂足分别为C ，D ，则CD 的长为( )A ．12B ．22C ．32D ．18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与直线y kx =交于M ，N 两点，则二次函数2()y ax b k x c =+-+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 cm ．10．（3分）如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若APB α∠=，则BPC ∠的度数为 （用含α的式子表示）．11．（3分）一元二次方程2310x x -+=的根为 ．12．（3分）下列事件：①通常加热到100C ︒，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app 购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180︒．其中是随机事件的是 （只填写序号即可）． 13．（3分）在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图所示，则1a ，2a ，3a 的大小关系为 ．14．（3分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为 ．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC ∆的顶点A 在y 轴的正半轴上，(5,0)B -，(5,0)C ，点(11,0)D ，将ACD ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到ABE ∆，则BC 的长度为 ，线段AE 的长为 ，图中阴影部分面积为 ．16．（3分）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是 ．三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分） 17．（5分）关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m +-++-=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，写出一个符合条件的m 的值并求出此时方程的根．18．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了ABC ∆和点(D A ，B ，C ，D 是网格线交点）． （1）画出一个DEF ∆，使它与ABC ∆全等，且点D 与点A 是对应点，点E 与点B 是对应点，点F 与点C 是对应点（要求：DEF ∆是由ABC ∆经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）． （2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C 和点F 的坐标．19．（5分）已知：如图，ABC ∆中，90C ∠=︒． 求作：CPB A ∠=∠，使得顶点P 在AB 的垂直平分线上． 作法：①作AB 的垂直平分线l ，交AB 于点O ；②以O 为圆心，OA 为半径画圆，O 与直线l 的一个交点为P （点P 与点C 在AB 的两侧）； ③连接BP ，CP ，CPB ∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：连接OC ， l 为AB 的垂直平分线， OA ∴= ． 90ACB ∠=︒， OA OB OC ∴==．∴点A ，B ，C 都在O 上．又点P 在O 上，(CPB A ∴∠=∠ )（填推理依据）． 20．（5分）12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表： 成绩x 人数 班级 7075x < 7580x < 8085x < 8590x < 9095x < 95100x一班 2 0 3 7 8 0 二班 0 1 5 7 7 0 三班 01 4 7 7 1 四班m3752（1）频数分布表中，m = ；（2）从7075x <中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？ 21．（6分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是BC 的中点，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，连接AD ． （1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接CD ，若30CDA ∠=︒，2AC =，求CE 的长．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-与直线1y x =--交于点(1,0)A -，(,3)B m -，点P 是线段AB 上的动点．（1）①m = ； ②求抛物线的解析式．（2）过点P 作直线l 垂直于x 轴，交抛物线23y ax bx =+-于点Q ，求线段PQ 的长最大时，点P 的坐标．四、解答题（本题共21分，每小题7分）23．（7分）在等腰直角ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，过点B 作BC 的垂线l ．点P 为直线AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），将射线PC 绕点P 顺时针旋转90︒交直线l 于点D ． （1）如图1，点P 在线段AB 上，依题意补全图形． ①求证：BDP PCB ∠=∠；②用等式表示线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系，并证明．（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系．24．（7分）已知抛物线22234y ax ax a =++-． （1）该抛物线的对称轴为 ；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的解析式；（3）设点1(,)M m y ，2(2,)N y 在该抛物线上，若12y y >，求m 的取值范围．25．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，A ，B 为O 外两点，1AB =．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在O上，其他部分不在O外，点A，B的对应点分别为点A'，B'，线段AA'长度的最大值称为线段AB到O的“极大距离”，记为(,)d AB O．（1）若点(4,0)A-．①当点B为(3,0)-，如图所示，平移线段AB，在点1(2,0)P-，2(1,0)P-，3(1,0)P，4(2,0)P中，连接点A 与点的线段的长度就是(,)d AB O；②当点B为(4,1)-，求线段AB到O的“极大距离”所对应的点A'的坐标．（2）若点(4,4)A-，(,)d AB O的取值范围是．参考答案与试题解析一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何一．选择题（共18小题）1．（2020秋•倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（2020秋•朝阳区期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为( )A ．B ．2C D3．（2020秋•丰台区期末）若关于x ，y 的方程组4210()210x y a R x ay ++=⎧∈⎨++=⎩无解，则(a = )A ．2BC ．1D ．24．（2020秋•昌平区期末）已知抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，那么点P 到y 轴的距离是( ) A ．2B ．3C ．4D ．55．（2020秋•东城区期末）与圆22(1)5x y +-=相切于点(2,2)的直线的斜率为( ) A ．2-B ．12-C ．12D ．26．（2020秋•石景山区期末）若抛物线24y x =上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到y 轴的距离是( ) A ．6B ．7C ．8D ．97．（2020秋•海淀区期末）抛物线2y x =的准线方程是( ) A ．12x =-B ．14x =-C ．12y =-D ．14y =-8．（2020秋•通州区期末）抛物线24y x =的准线方程是( ) A ．2x =-B ．1x =-C ．1x =D ．2x =9．（2020秋•通州区期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30AB m =．若水面下降5m ，则水面宽是( )（结果精确到0.1)m 1.41≈ 2.24 2.65)A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m10．（2020秋•西城区期末）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．311．（2020秋•西城区期末）已知双曲线22221x y a b -=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为( )A ．y =B ．2y x =±C ．y =D ．12y x =±12．（2020秋•朝阳区期末）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，P 是C 上一点．若||4PF =，则||(PM = )A B ．5C ．D ．13．（2020秋•石景山区期末）直线:1l y kx =+与圆22:(1)4C x y +-=的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定14．（2020秋•东城区期末）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且||3||AF FB =，则点A 到y 轴的距离为( )A ．5B ．4C ．3D ．215．（2020秋•海淀区期末）已知直线:20l x ay ++=，点(1,1)A --和点(2,2)B ，若//l AB ，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-16．（2020秋•昌平区期末）已知直线1y kx =+与圆2240x x y -+=相交于M ，N 两点，且||23MN ，那么实数k 的取值范围是( ) A ．143k --B ．403kC ．0k 或43k -D ．403k -17．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线(0)y mx m =>与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线:30()l kx y k R -+=∈上存在点P 满足||2PA PC +=，则实数k 的取值范围是( )A ．(2,2)-B ．[-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(,[22,)-∞-+∞18．（2020秋•海淀区期末）如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2.C 这两个球都与平面α相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林()G Dandelin ⋅利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30︒，1C ，2C 的半径分别为1，4，点M 为2C 上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是( )A ．6B ．8C ．D ．二．填空题（共10小题）19．（2020秋•东城区期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>，ABC ∆为等边三角形．若点A 在y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC ∆的中位线，则双曲线M 的离心率为 ．20．（2020秋•海淀区校级期末）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是双曲线C 上的点，A ．①若点P 在双曲线右支上，则||||AP PF +的最小值为 ； ②若点P 在双曲线左支上，则||||AP PF +的最小值为 ．21．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,0)，若以线段OA 为直径的圆与直线2y x =在第一象限交于点B ，则直线AB 的方程是 ．22．（2020秋•顺义区期末）设抛物线2y mx =的焦点为(1,0)F ，则m = ；若点A 在抛物线上，且||3AF =，则点A 的坐标为 ．23．（2020秋•房山区期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为45︒，则OAB ∆的面积为 ．24．（2020秋•石景山区期末）已知双曲线的两个焦点为(3,0)-，(3,0)，一个顶点是，则C 的标准方程为 ；C 的焦点到其渐近线的距离是 ．25．（2020秋•海淀区期末）已知双曲线2212y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(3,4)M -，则双曲线的渐近线方程为 ；12||||MF MF -= ．26．（2020秋•昌平区期末）已知双曲线2221(0)9x y a a -=>的离心率是54，则双曲线的右焦点坐标为 ．27．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆22:1168x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线(44)x m m =-<<与椭圆C 相交于点A ，B ．给出下列三个命题：①存在唯一一个m ，使得△12AF F 为等腰直角三角形； ②存在唯一一个m ，使得1ABF ∆为等腰直角三角形； ③存在m ，使1ABF ∆的周长最大． 其中，所有真命题的序号为 ．28．（2020秋•丰台区期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =，那么该双曲线的离心率为 ．三．解答题（共9小题）29．（2020秋•海淀区校级期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若0OA AB ⋅=，且||3||2AB OA =，求OAB ∆的面积． 30．（2020秋•通州区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为点A ，B ，且||4AB =，椭圆C 离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．31．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(0,1)M 和1)2N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且坐标原点O 到直线l ．求证：以AB 为直径的圆经过点O ．32．（2020秋•丰台区期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>过(0,2)A ，(3,1)B --两点．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅰ）直线AB 与x 轴交于点(,0)M m ，过点M 作不垂直于坐标轴且与AB 不重合的直线l ，l 与椭圆W 交于C ，D 两点，直线AC ，BD 分别交直线x m =于P ，Q 两点，求证：||||PM MQ 为定值．33．（2020秋•石景山区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，且经过点(0,1)D ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由．34．（2020秋•东城区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A -，(2,0)B ，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点(G E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ．求证：||||||||TA GA TB GB =．35．（2020秋•海淀区期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>，且经过点C ．（Ⅰ）求椭圆W 的方程及其长轴长；（Ⅰ）A ，B 分别为椭圆W 的左、右顶点，点D 在椭圆W 上，且位于x 轴下方，直线CD 交x 轴于点Q ．若ACQ ∆的面积比BDQ ∆的面积大D 的坐标．36．（2020秋•房山区期末）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，且过(0,1)点．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅰ）设不过原点O 且斜率为13的直线l 与椭圆G 交于不同的两点C ，D ，线段CD 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 交于E ，F ，证明：||||||||MC MD ME MF ⋅=⋅．37．（2020秋•昌平区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断||||AB DF 是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何参考答案一．选择题（共18小题）1．【分析】由顶点坐标可知双曲线的焦点在y 轴上，再根据双曲线的几何性质，列得关于a 、b 、c 的方程组，解之即可．【解答】解：由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且222222a b a a b c ⎧+=⎪=⎨⎪+=⎩，解得2a =，2b =，c =所以双曲线的标准方程为22144y x -=．故选：B ．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，熟练掌握a 、b 、c 的含义与关系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．2．【分析】过点D 作DC AF ⊥于点C ，易知C 为AF 的中点，从而有||2a cCF +=，由点到直线的距离公式可知||DF b =，再由||||cos ||||DF CF AFD OF DF ∠==，代入相关数据，进行运算即可． 【解答】解：过点D 作DC AF ⊥于点C ，||||DF DA =，∴点C 为AF 的中点，1||||22a cCF AF +∴==， 而点(,0)F c -到渐近线b y x a =-的距离为||||bc DF b ==， ||||cos ||||DF CF AFD OF DF ∴∠==，即2a cbc b +=，222()22()c a c b c a ∴+==-，即2220c ac a --=，2c a ∴=或c a =-（舍)，∴离心率2ce a==． 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的几何性质，主要包含渐近线、离心率，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．3．【分析】由方程组无解得到直线4210x y ++=与直线210x ay ++=平行，再由直线与直线平行的性质能求出a ． 【解答】解：关于x ，y 的方程组4210()210x y a R x ay ++=⎧∈⎨++=⎩无解， ∴直线4210x y ++=与直线210x ay ++=平行， ∴21421a =≠， 解得1a =． 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．【分析】由抛物线的方程即可求出p 的值，再由抛物线的定义即可求解． 【解答】解：由抛物线的方程可得：2p =，又由抛物线的定义可知点P 到F 的距离等于点P 到抛物线的准线的距离， 则点P 到y 轴的距离为||5142pPF -=-=， 故选：C ．【点评】本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题．5．【分析】根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为C ，切点(2,2)为P ，求出PC 的斜率，由切线的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆22(1)5x y +-=，其圆心为(0,1)，设圆心为C ，切点(2,2)为P ， 则211202PC K -==-， 则切线的斜率2k =-， 故选：A ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的性质，属于基础题． 6．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线24y x =的准线方程为：1x =-，抛物线24y x =上的点A 到焦点的距离为10，可得9A x =，则A 到y 轴的距离是：9． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．7．【分析】抛物线2y x =的焦点在x 轴上，且开口向右，21p =，由此可得抛物线2y x =的准线方程． 【解答】解：抛物线2y x =的焦点在x 轴上，且开口向右，21p =，∴124p =， ∴抛物线2y x =的准线方程为14x =-． 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键． 8．【分析】直接利用抛物线方程，求解准线方程即可． 【解答】解：抛物线24y x =的准线方程是1x =-， 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．9．【分析】建立平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为22(0)y x t t -=>，写出点A 的坐标，并将其代入方程，求得t 的值，再令30y =-，解出x 的值即可． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为22(0)y x t t -=>， 拱顶离水面5m ，水面宽30AB m =，∴点A 为(15,5)-，将其代入22y x t -=得，22(5)(15)t --=， 解得400t =， 22400y x ∴-=，设水面下降5m 后，水面宽为CD ，此时点C 和D 的纵坐标均为30-，把30y =-代入22400y x -=，有2900400x -=，解得x =±44.8CD m ∴=≈．故选：B ．【点评】本题考查等轴双曲线的概念，双曲线方程的应用，考查学生将所学知识运用于实际的能力，属于基础题．10．【分析】求出(1,0)到直线的距离，结合圆的半径，判断求解即可． 【解答】解：点(1,0)到直线34120x y -+=3=，因为半径为2的圆经过点(1,0)，所以圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为：321-=． 故选：B ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的应用，是基础题． 11．【分析】利用双曲线方程列出方程，推出a ，b 的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：双曲线22221x y a b -=的焦距等于实轴长的2倍，b =，其渐近线的方程为：y =． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题． 12．【分析】根据条件求出P 的纵坐标，进而求解结论．【解答】解：P 是C 上一点．且||4PF =，413P PD x x ∴==+⇒=代入24y x =得212Py =，PM ∴===故选：C ．【点评】本题考查抛物线的性质以及计算能力，属于基础题．13．【分析】由直线l 过定点圆C 的圆心，可知直线与圆相交． 【解答】解：直线:1l y kx =+过点(0,1)P ， 而(0,1)P 是圆22:(1)4C x y +-=的圆心，∴直线:1l y kx =+与圆22:(1)4C x y +-=的位置关系是相交．故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．14．【分析】根据题意得到p 的值，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ，再利用三角形相似得到BC 和AC 的关系，从而得到BF ，AF ，CF 的关系，求出4AD =，即可得到答案．【解答】解：焦点F 到准线的距离为2p =，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ， 则BCE ACD ∆∆∽， 所以13BC BE BF AC AD AF ===， 记BC x =，则3AC x =， 因为||3||AF FB =， 所以1142BF AB x ==，332AF BF x ==， 因为32CF BC BF x =+=，F 为AC 的中点， 所以24AD FG ==， 即点A 到y 轴的距离为432p-=． 故选：C ．【点评】本题考查了抛物线性质的应用，涉及了抛物线定义的理解和应用，在涉及抛物线上的点到焦点距离的问题时，一般会转化为到准线的距离开解决．15．【分析】由题意利用斜率公式，两直线平行的性质，求得a 的值． 【解答】解：直线:20l x ay ++=，点(1,1)A --和点(2,2)B ，∴直线AB 的斜率为21121+=+， 若//l AB ，则11a-=，求得1a =-， 故选：B ．【点评】本题主要考查斜率公式，两直线平行的性质，属于基础题．16．【分析】当弦长||MN =利用弦长公式求得弦心距1d =，故当||23MN ，则1d ，由此求得k 的范围．【解答】解：当弦长||MN =1d = 若||23MN ，则1d ，即圆心(2,0)到直线20kx y -+=的距离1d =，求得4[3k ∈-，0]，故选：D ．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．17．【分析】根据奇函数对称性得出A ，C 关于原点对称，于是||1PB =，从而直线l 与单位圆有交点，根据点到直线的距离公式列出不等式求出k 的范围． 【解答】解：3()f x x =和y mx =都是奇函数，B ∴为原点，且A ，C 两点关于原点对称．∴原点O 为线段AC 的中点， ∴2PA PC PB +=，直线:30()l kx y k R -+=∈上存在点P 满足||2PA PC +=， |||2|2||2PA PC PB PB ∴+===，||1PB ∴=．即P 为单位圆221x y +=上的点．∴直线:3l y kx =+与单位圆有交点， ∴1，解得22k 或22k -．故选：D ．【点评】本题考查了函数图象与方程的关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．18．【分析】在椭圆上任取一点P ，连接VP 交1C 于Q ，交2C 于点R ，连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，利用△1O PF ≅△1O PQ 全等，得到1PF PQ =，当点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和最小时，即当P 为直线VM 与椭圆的交点时，求解即可得到答案．【解答】解：如图所示，在椭圆上任取一点P ，连接VP 交1C 于Q ，交2C 于点R ， 连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，在△1O PF 与△1O PQ 中，111O Q O F r ==，其中1r 为球1O 半径， 1190O QP O FP ∠=∠=︒，1O P 为公共边，所以△11O PF ≅△1O PQ ，所以1PF PQ =， 设P 沿圆锥表面到达M 的路径长为d ， 则1PF d PQ d PQ PR QR +=++=，当且仅当P 为直线VM 与椭圆的交点时取等号，21416tan 30tan 30O R O Q QR VR VQ -=-=-===︒︒，故从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是6． 故选：A ．【点评】本题以Dandelin 双球作为几何背景考查了椭圆知识的综合应用，涉及了两条线段距离之和最小的求解，解题的关键是确定当P 为直线VM 与椭圆的交点时取得最值． 二．填空题（共10小题）19．【分析】易知，等边ABC ∆的边长为4a ，不妨取点B 为(2)a ，将其代入双曲线的方程可得a b =，再由e =【解答】解：双曲线M 的实轴为ABC ∆的中位线，∴等边ABC ∆的边长为4a ，假设点B 在第一象限，则点B 的坐标为(2)a ，将其代入双曲线M 的方程有，2222431a a a b-=，∴1ab =，离心率e ==．【点评】本题考查双曲线的几何性质，包含a 、b 、c 的含义与关系，离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．20．【分析】由题意知，(3,0)F ，①当A ，P ，F 按此顺序三点共线时，||||AP PF +取得最小值；②设双曲线的左焦点为F '，由双曲线的定义可知，||||2PF PF '=+，当A ，P ，F '按此顺序三点共线时，||||AP PF +取得最小值．【解答】解：由题意知，(3,0)F ，①||||||9AP PF AF +=，当且仅当A ，P ，F 按此顺序三点共线时，等号成立，所以||||AP PF +的最小值为9；②设双曲线的左焦点为(3,0)F '-，由双曲线的定义知，||||22PF PF a'-==，所以||||||||2||2211AP PF AP PF AF ''+=+++==，当且仅当A ，P ，F '按此顺序三点共线时，等号成立，所以||||AP PF +的最小值为11． 故答案为：9；11．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 21．【分析】求出OA 的中点即为圆心，求出||OA 即为圆的半径，得到圆的方程与直线2y x =联立，求出点B 的坐标，即可得到直线AB 的方程．【解答】解：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,0)， 所以OA 的中点坐标为(2,0)，且||4OA =，所以以线段OA 为直径的圆的圆心为(2,0)，半径2r =， 所以圆的方程为22(2)4x y -+=，联立方程22(2)42x y y x ⎧-+=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点B 在第一象限，所以48(,)55B ，又(4,0)A ，所以直线AB 的方程为8050(4)445y x --=--，即240x y +-=． 故答案为：240x y +-=．【点评】本题考查了直线方程的求解，涉及了圆的标准方程的求解、直线与圆交点的求解，属于中档题． 22．【分析】利用抛物线的焦点坐标，求解m 即可；利用抛物线的定义，转化求解A 的坐标． 【解答】解：抛物线2y mx =的焦点为(1,0)F ， 可得14m=，解得4m =； 点A 在抛物线24y x =上，且||3AF =，设点A 的横坐标为x ，则13x +=，2x =， 把2x =代入抛物线方程，可得A的纵坐标为：±所以(2,A ±． 故答案为：4；(2,±．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是基础题．23．【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由题意设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离可得弦长||AB 的值，求出原点到直线的距离，代入面积公式可得面积的值．【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =- 由题意设直线l 的斜率1y x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得：2610x x -+=，可得126x x +=，所以弦长12||628AB x x p =++=+=， 原点O 到直线l的距离d =，所以11||822AOB S AB d ∆=⋅==故答案为：【点评】本题考查求抛物线的性质及点到直线的距离公式和三角形的面积公式，属于中档题．24．【分析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则2a =，3c =，由此能求出C 的方程，再求焦点到其渐近线的距离即可．【解答】解：双曲线C 的两个焦点为(3,0)-，(3,0)，一个顶点是0)，∴设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，且a ，3c =，2963b ∴=-=，C ∴的方程为：22163x y -=．故其渐近线为y =，即0x ±=，C ∴的焦点到其渐近线的距离为：d ==故答案为：22163x y -=【点评】本题考查双曲线的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．25．【分析】利用双曲线方程直接求解渐近线方程；求出焦点坐标，然后利用双曲线的定义求解即可得到12||||MF MF -．【解答】解：双曲线2212y x -=的渐近线方程为：y =，双曲线的焦点坐标(，0)，M 在双曲线上，所以12||||22MF MF a -=-=-，故答案为：y =；2-．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程的求法，定义的应用，是基础题． 26．【分析】利用离心率求出a ，然后求解双曲线的焦点坐标．【解答】解：双曲线2221(0)9x y a a -=>的离心率是54，54=，解得4a =，则5c =， 所以双曲线的右焦点坐标为(5,0)． 故答案为：(5,0)．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．27．【分析】当0m =时，12F AF ∠最大，求出△12AF F 为等腰直角三角形即可判断①；求出1ABF ∆为等腰直角三角形时，m 的值，即可判断②；利用椭圆定义可得1ABF 的周长最大值，结合m 的取值范围即可判断③．【解答】解：由方程知4a =，b =c ，当0m =时，12F AF ∠最大，此时122145AF F AF F ∠=∠=︒，所以12F AF ∠的最大值为90︒， 又12AF AF =，所以△12AF F 为等腰直角三角形，即存在唯一一个0m =，使得△12AF F 为等腰直角三角形，故①正确；当0m =时，1245AF F ∠=︒，由椭圆的对称性可得121245BF F AF F ∠=∠=︒，11AF BF =， 所以190AF B ∠=︒，此时1ABF ∆为等腰直角三角形，当0m ≠时，若1ABF ∆为等腰直角三角形，则4m -<<-，此时点A 的坐标为(,m m --，代椭圆方程，解得(4,m =--，故当0m =或1ABF ∆为等腰直角三角形，故②错误； 由椭圆的定义得，1ABF ∆的周长11||||||AB AF BF =++ 2222||(2||)(2|)4||||||AB a AF a BEF a AB AF BF =+-+-=+--，因为22||||||AF BF AB +，所以22||||||0AB AF BF --，当AB 过点2F 时取等号，所以1122||||||4||||||4AB AF BF a AB AF BF a ++=+--，即直线x m =过椭圆的右焦点2F 时，1ABF ∆的周长最大，此时直线AB 的方程为x m c ===44m -<<， 所以存在m ，使1ABF ∆的周长最大，故③正确． 故答案为：①③．【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力，是中档题．28．【分析】由题意可得12b a =，即224a b =，结合222a b c +=，可得2254c a =，开方可得c e a=的值．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为by x a =±，故可得12b a =，即224a b =，又222a bc +=，故2224a a c +=，2254c a =，解得c e a ==【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题． 三．解答题（共9小题） 29．【分析】（Ⅰ，且经过点，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案． （Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线AB 与椭圆的方程，得224()4x kx m ++=，由△0>，得2241k m +>，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，由0OA AB ⋅=，推出OA AB ⊥，进而设直线OA 的方程为1y x k=-，联立直线AB 的方程得1y ，1x ，代入椭圆的方程可得22224(1)4k m k +=+，再计算222222144(1)||(41)(4)k k AB k k +=++，2224(1)||4k OA k +=+，进而可得22222||369||(41)4AB k OA k ==+，解得214k =，进而可得OAB ∆的面积213||||||24S OA AB OA ==，即可得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =，∴椭圆方程为2214x y +=．（Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立y kx m =+与2244x y +=，得224()4x kx m ++=， 222(41)8440k x kmx m ∴+++-=，∴△22222(8)4(41)(44)16(41)0km k m k m =-+-=+->，即2241k m +>，则122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+，因为0OA AB ⋅=，所以OA AB ⊥，设直线OA 的方程为1y x k =-，联立直线AB 的方程得121m y k =+，1121kmx ky k -=-=+， 代入221144x y +=，所以222()4()411km m k k -+=++，化简得22224(1)4k m k +=+，所以2222222222224(1)(41)(4)4(1)94141444k k k k k k m k k k k +++-++-=+-==+++，所以||AB =， 所以2222222222216(1)(41)144(1)||(41)(41)(4)k k m k k AB k k k ++-+==+++， 所以2222222112224(1)||()(1)()114m m k OA ky y k k k k +=-+=+==+++， 所以22222||369||(41)4AB k OA k ==+， 得22216(41)k k =+，解得214k =， 此时222224(1)2541417k m k k +==<++，满足△0>， 由22214(1)4(1)204||141744k OA k ++===++， 所以OAB ∆的面积2113315||||||||||222417S OA AB OA OA OA ==⨯==． 【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 30．【分析】（Ⅰ）根据题意列方程组，得a ，b ，进而可得椭圆的方程．（Ⅰ）分两种情况①若直线l 的斜率不存在时，②若直线l 的斜率存在时，直线AM ，BN 的交于点Q ，是否早定直线4x =上．【解答】解：（Ⅰ）因为||4AB =，椭圆C 离心率为12， 所以22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（Ⅰ）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为(1,0)，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是3(1,)2，点N 的坐标是3(1,)2-．所以直线AM 的方程是1(2)2y x =+，直线BN 的方程是3(2)2y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是(4,3)．所以点(4,3)在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ． 所以直线l 的方程为(1)y k x =-．联立方程组22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 显然△0>．不妨设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k-⋅=+． 所以直线AM 的方程是11(2)2y y x x =++．令4x =，得1162y y x =+．直线BN 的方程是22(2)2y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-． 所以12121212121212626(1)2(1)6(1)(2)2(2)(1)2222(2)(2)y y k x k x k x x k x x x x x x x x -----+--=-=+-+-+- 1212122112126(1)(2)2(2)(1)2[3(22)(22)]k x x k x x k x x x x x x x x ---+-=--+--+- 12122[25()8]k x x x x =-++22222(412)582[8]3434k k k k k -⨯=-+++22228244024322()034k k k k k --++==+．所以点Q 在直线4x =上．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 31．【分析】（Ⅰ）根据题意可得所以1b =，22311a b +=，解得2a =，进而可得椭圆的方程． （Ⅰ）联立直线l 与椭圆的方程可得关于x 的一元二次方程，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由韦达定理得12x x +，12x x ，由点到直线的距离公式可得原点O 到直线l的距离d ==，解得2254(1)m k =+，计算1212OA OB x x y y ⋅=+为0，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)，所以1b =，又因为椭圆经过点1)2，所以23114a +=，解得2a =，所以椭圆的方程为2214x y +=，（Ⅰ）证明：由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x kmx m +++-=， 由题意，△22222(8)4(14)(44)1616640km k m k m =-+-=-++>，即22140k m +->， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+，因为原点O 到直线l，所以d ==即2254(1)m k =+，因为12121212()()OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++22222121222448(1)()(1)4141m kmk x x km x x m k km m k k -=++++=+-+++222544041m k k --==+，所以OA OB ⊥．因此以AB 为直径的圆过原点O ．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，定点问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 32．【分析】（Ⅰ）把点A ，B 的坐标代入椭圆方程，求出a ，b 的值，即可得到椭圆W 的方程；（Ⅰ）先求出m 的值，设直线l 的方程为(2)(0y k x k =+≠，1)k ≠，与椭圆方程联立，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，利用韦达定理得到22121222121212,1313k k x x x x k k -+=-=++，再求出点P ，Q 的纵坐标，得到||||PM MQ 的表达式，把上式代入化简，即可得到||||PM MQ 为定值1． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>过(0,2)A ，(3,1)B --两点，得2b =，29114a +=，所以212a =．所以椭圆W 的方程为221124x y +=．（Ⅰ）(0,2)A ，(3,1)B --，∴直线AB 的方程为：2y x =+，令0y =得：2m =-，设直线l 的方程为(2)(0y k x k =+≠，1)k ≠，由22(2),1124y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(13)1212120k x k x k +++-=，且△0>，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则22121222121212,1313k k x x x x k k -+=-=++， 记直线AC 的方程为1122y y x x --=，令2x =-，得P 点的纵坐标11(22)(2)P k x y x -+=，记直线BD 的方程为2211(3)3y y x x ++=++， 令2x =-，得Q 点的纵坐标22(1)(2)3Q k x y x -+=+，112122122212212121212112221221(22)(2)2(3)(2)||||||||(1)(2)||(2)31212122412224()1221313||||1212221312122(13)|| 1.12122(13)PQ k x y x x x PM k x MQ y x x x k k x x x x x x k k k x x x x k k k x k k x -+++===-+++--⨯+⨯++++++++==-+++-++==-++ 所以||||PM MQ 为定值1． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的定义，考查了学生的计算能力，是中档题． 33．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出b ，结合离心率求解a ，即可得到椭圆方程．（Ⅰ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，求出M ，N 的坐标，然后求解AM AN k k +．的表达式，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知1b =，c e a = 又222a b c =+，解得2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅰ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则△216(112)0k =->，解得k <．(*) 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =，k =(*)式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为121211AM AN y yk k x x +=+++ 121212(4)(4)3321111k x k x k kk x x x x ++=+=++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++ 222222323(2)1426443211414k k k k k k k k -++=+--++++ 223(242)20363k k k k -+=+=-， 所以AM AN k k =-． 所以BAM OAN ∠=∠．【点评】本题考查椭圆的简单性质，以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．34．【分析】（Ⅰ）由题意及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅰ）由题意开始直线l 的方程，与椭圆联立，由判别式为0求出参数之间的关系，设G ，E 的坐标，由题意可得G ，E 用直线的参数表示的坐标，进而求出||||TA TB 与||||GA GB 的表示，可证得||||||||TA GA TB GB =．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得222212a c e a a b c=⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅰ）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：(0)y kx m m =+≠，22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：222(34)84120k x kmx m +++-=， 由题意可得△0=，即22226416(34)(3)0k m k m -+-=，解得：2234m k =+ 设1(G x ，0)，0(E x ，0)y 则1m x k =-，024434km kx k m-==-+， 因为ET x ⊥轴，所以4(kT m-，0)， 4|2||||42||2|4|||24||2||2()|k TA k m m k m k TB m k m k m -+-+-===++--， 又因为|2||||2||||2||2|m GA m k k m GB m k k-+-==++， 所以可证：||||||||TA GA TB GB =． 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆相切的性质，及证明的方法，属于中档题． 35．【分析】（Ⅰ）由已知点，椭圆的离心率以及a ，b ，c 的关系式即可求解；（Ⅰ）根据已知条件推出OD 与BC 平行，设出点D 的坐标，利用平行关系以及点D 在椭圆上联立方程即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：22222431c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a =，2b =，c =故椭圆的方程为：221164x y +=，且长轴长为28a =；（Ⅰ）因为点D 在x 轴下方，所以点Q 在线段AB （不包括端点）上， 由（Ⅰ）可知(4,0)A -，(4,0)B ，所以AOC ∆的面积为142⨯=因为ACQ ∆的面积比BDQ ∆的面积大所以点Q 在线段OB （不包括端点）上，且OCQ ∆的面积等于BDQ ∆的面积， 所以OCB ∆的面积等于BCD ∆的面积， 所以//OD BC ， 设(,)D m n ，0n <，则n m ==， 因为点D 在椭圆W 上，所以221164m n +=，解得2m =，n = 所以点D的坐标为(2,．【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题，考查了学生的运算能力，属于中档题． 36．【分析】()I利用离心率为3，且过(0,1)点，列出方程组求解a ，b ，得到椭圆方程． ()II 设直线l 的方程为：1(0)3y x m m =+≠，由221913x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2219()903x x m ++-=，通过△0>，推出m 的范围，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，利用韦达定理，求直线OM 的方程，与椭圆联立，求解E 、F ，利用弦长公式，计算证明即可．【解答】()I解：根据题意：2222311c a a b a c b b c ⎧=⎪⎧=⎪⎪⎪=-⇒=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎪⎩（4分）所以椭圆G 的方程为2219x y +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）()II 证明：设直线l 的方程为：1(0)3y x m m =+≠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）由221913x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2219()903x x m ++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）即2226990x mx m ++-=，需△22368(99)0m m =-->即202m <<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，CD 中点0(M x ，0)y ，则123x x m +=-，2129(1)2x x m =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）12000311,2232x x x m y x m m +==-=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 那么直线OM 的方程为：00y y x x =即13y x =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）由22191232x x y y x y ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩， 不妨令(E F ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 那么221212111||||||(1)[()4]449MC MD CD x x x x ⋅==++-2259[(3)4(1)]182m m =--⋅-25(2)2m =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）||||ME MF ⋅=25(2)2m -⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）所以||||||||MC MD ME MF ⋅=⋅．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 37．【分析】（Ⅰ）依题意长轴长为4，且离心率为12．求出a ，c ，然后求解b ，得到椭圆方程． ()II 直线:(1)l y k x =-，代入椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出||AB ，求出AB 中点坐标，通过（1）当0k =时，所以||4||AB DF =．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程求出D ，得到||DF ，然后转化求解即可、【解答】解：（Ⅰ）依题意24a =，2a =，离心率为12，1c =，则23b =，（4分） 故椭圆C 的方程为22143x y +=．（5分） ||()||AB II DF 是定值．（6分） 理由如下：由已知得直线:(1)l y k x =-，（7分）代入椭圆方程22143x y +=，消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=，（8分） 所以△22222(8)4(43)(412)1441440k k k k =--+-=+>，（9分）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，（10分）所以2222221211212||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++-。

2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。

北京市东城区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x33．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．12．（5分）sin的值为．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．2020-2021学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝e x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．【解答】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[]（k∈Z），当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：由于a＞b，且a和b的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确故选：B．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；在B中，＜cos，故B正确；在C中，＞，故C错误；在D中，＞cos＝sin，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，即，即o＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C．【点评】本题考查对数求值，属于中档题．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．故选：AB．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．12．（5分）sin的值为﹣．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【分析】①利用交集定义直接求解．②利用并集定义直接求解．【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝0或1 ．【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．【解答】解：f（x）＝则f（﹣2）＝2﹣2＝，∵f（t）＝1，①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，综上可得t＝0或t＝1．故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有①②④．（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t ﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）所以2＝a2﹣1，解得a＝2．①当x＝0时y＝，故选项A正确．②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，所以则2t2＞t1+t3．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．因为，所以．所以．（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，故＝＝＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x的范围．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．因为f（x）定义域为R，，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）为奇函数；（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，所以在（﹣∞，+∞）是增函数，（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．则只需，解得所以﹣1＜x≤0．所以x的取值范围为（﹣1，0]．【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【分析】（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。

2021-2022学年北京市西城区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =>，{}24B x x =<，那么A B ⋃=（ ）A ．()2,2-B ．()2,1-C ．()2,-+∞D ．()1,+∞【答案】C【分析】解不等式，直接求并集.【详解】由已知得{}{}2422B x x x x =<=-<<，所以{}2A B x x ⋃=>-， 故选：C.2．方程组222x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A ．()(){}1,1,1,1-- B ．()(){}1,1,1,1- C ．()(){}1,1,1,1--- D ．∅【答案】A【分析】解出方程组，写成集合形式.【详解】由2202x y x y +=⎧⎨+=⎩可得：11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩. 所以方程组222x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,1,1,1--. 故选：A3．函数12y x =+的定义域是（ ） A ．[)1,2 B ．[)1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．[)()1,22,⋃+∞【答案】B【分析】解不等式组1020x x -≥⎧⎨+≠⎩即可得定义域.【详解】由1020x x -≥⎧⎨+≠⎩得：1≥x所以函数112y x x =-++的定义域是[)1,+∞. 故选：B4．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在[)25,35内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（ ）A ．0.38B ．0.61C ．0.122D ．0.75【答案】B 【分析】利用频率=频率组距⨯组距，即可得解. 【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在[)25,35内的概率()0.0800.04250.12250.61P =+⨯=⨯=故选：B5．若a b >，0c d >>，则一定有（ ） A ．ac bd > B ．ac bd < C ．a b c d> D ．以上答案都不对 【答案】D【分析】对于ABC ，举例判断，【详解】对于AB ，若1,2,2,1a b c d =-=-==，则2ac bd =-=，所以AB 错误， 对于C ，若12,1,2,2a b c d ====，则212122a b c d =<==，所以C 错误，故选：D6．已知向量()1,1a =，()2,3b =-，那么2a b -=（ ）A ．5B ．C ．8 D【答案】B【分析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果. 【详解】因为向量()1,1a =，()2,3b =-，所以()25,5a b -=- (225a b -=+故选：B. 7．若23a=，则4log 3=（ ）A ．12aB ．aC ．2aD ．4a【答案】A【分析】利用对数的运算可求解.【详解】23a =，2242log 3log 2log 222aa a ∴=== 故选：A8．设a ，b 为平面向量，则“存在实数λ，使得a b λ=”是“向量a ，b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合充分条件和必要条件的概念以及向量共线即可判断. 【详解】充分性：由共线定理即可判断充分性成立；必要性：若=0b ，0a ≠，则向量a ，b 共线，但不存在实数λ，使得a b λ=，即必要性不成立. 故选：A.9．设()f x 为R 上的奇函数，且在()0,∞+上单调递增，()10f =，则不等式()10f x +<的解集是（ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,2D ．()(),21,0-∞-⋃-【答案】D【分析】根据函数单调性结合零点即可得解. 【详解】()f x 为R 上的奇函数，()00f =且在()0,∞+上单调递增，()10f =，()10f x +<得：011x <+<或11x +<- 解得()(),21,0x ∈-∞--.故选：D10．如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若2AB =，则AC MB +的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．10⎡⎣D ．2,10⎡⎣【答案】D【分析】根据题意可得出02MB ≤≤，然后根据向量的运算得出()22AC MB AC MB+=+=()211MB ++，从而可求出答案.【详解】因为点C 为AB 的中点，2AB =，所以2,4AC CAB π=∠=，所以()22222AC MB AC MBAC MB AC MB +=+=++⋅()22222cos22114AC MB AC MB MB MB MB π=++⋅=++=++，因为点M 为线段AB 上的一点，所以02MB ≤≤，所以()221110MB ≤++≤， 所以AC MB +的取值范围是2,10⎡⎣,故选：D. 二、填空题11．命题“0x ∀>，20x >”的否定是______．【答案】000,20xx ∃>≤【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“0x ∀>，20x >”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“000,20xx ∃>≤”故答案为：000,20xx ∃>≤12．茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，记甲，乙的平均成绩分别为a ，b ，则a ，b 的大小关系是______．【答案】a b >【分析】分别计算出甲，乙的平均分，从而可比较a ，b 的大小关系. 【详解】易知甲的平均分为8889909192905a ++++==，乙的平均分为878989939089.65b ++++==，所以a b >.故答案为：a b >.13．如图，在正六边形ABCDEF 中，记向量FA a =，ED b =，则向量BC =______．（用a ，b 表示）【答案】b a -a b -+【分析】由正六边形的性质：三条不相邻的三边经过平移可成等边三角形，即可得ED FA BC -=，进而得到结果.【详解】由正六边形的性质知：ED FA BC -=， ∴BC b a =-. 故答案为：b a -.14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在实数()0T T >，使得对于任意x D ∈，都有()()f x f x T <+，则称()f x 为“T —单调增函数”．对于“T —单调增函数”，有以下四个结论： ①“T —单调增函数”()f x 一定在D 上单调递增；②“T —单调增函数” ()f x 一定是“nT —单调增函数” （其中*x N ∈，且2n ≥） ： ③函数()[]f x x =是“T —单调增函数”（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）；④函数()1,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩不是“T —单调增函数”．其中，所有正确的结论序号是______． 【答案】②③④【分析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.【详解】①例如(),01,0x x f x x x <⎧=⎨-≥⎩，定义域为R ，存在2T =，对于任意x ∈R ，都有()()2f x f x <+，但()f x 在R 上不单调递增，①错误；②因为()f x 是T -单调增函数，所以存在0T >，使得对于任意x D ∈，都有()()f x f x T <+，因为2n ≥，0T >，所以()()f x T f x nT +<+，故()()f x f x nT <+，即存在实数0nT >，使得对于任意x D ∈，都有()()f x f x nT <+，故()f x 是nT -单调增函数，②正确；③()[]f x x =，定义域为R ，当1T =时，对任意的x ∈R ，都有[][]1x x <+，即()()1f x f x <+成立，所以()[]f x x =是T -单调增函数，③正确；④当12x =-时，1111222f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，若10T =>，则()1111lg 0222f x T f f ⎛⎫⎛⎫+=-+==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然不满足()()f x f x T <+，故()1,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩不是T -单调增函数，④正确.故答案为：②③④ 三、双空题15．若不等式20x ax b ++>的解集为()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，则=a ______，b =______．【答案】 52-1 【分析】由题设知：1,22是20x ax b ++=的根，应用根与系数关系即可求参数值.【详解】由题设，1,22是20x ax b ++=的根，∴52a -=，即52a =-，1b =. 故答案为：52-，1. 四、解答题16．在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是34，乙答题错误的概率是13，乙、丙两人都答题正确的概率是14，假设每人答题正确与否是相互独立的． (1)求丙答题正确的概率；(2)求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率． 【答案】(1)38(2)548【分析】（1）设丙答对这道题的概率为x ，利用对立事件和相互独立事件概率公式，即可求解；（2）由相互独立事件概率乘法公式，即可求解. (1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件,,A B C ，设丙答对题的概率()P C x =，乙答对题的概率()12133P B =-=，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此,,A B C 是相互独立事件. 根据相互独立事件同时发生的概率公式，得()2134P BC x ==，解得38x =，所以丙对这道题的概率为()38P B = (2)甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为 ()()()()32351143848P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17．设()23f x x ax =-+，其中a R ∈．(1)当1a =时，求函数()f x 的图像与直线3y x =交点的坐标； (2)若函数()f x 有两个不相等的正数零点，求a 的取值范围； (3)若函数()f x 在(),0∞-上不具有单调性，求a 的取值范围． 【答案】(1)()1,3，()3,9(2)a >(3)0a <【分析】（1）联立方程直接计算；（2）根据二次方程零点个数的判别式及函数值正负情况直接求解； （3）根据二次函数单调性可得参数范围. (1)当1a =时，()23f x x x =-+，联立方程233y x x y x⎧=-+⎨=⎩，解得：13x y =⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为()1,3和()3,9. (2)由()f x 有两个不相等的正数零点，得方程230x ax -+=有两个不等的正实根1x ，2x ， 即()1220Δ43002030x x a a a f +=>⎧⎪=-⨯>⎪⎪⎨>⎪⎪=>⎪⎩，解得a >(3)函数()23f x x ax =-+在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；又函数()f x 在(),0∞-上不具有单调性， 所以02a<，即0a <. 18．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：(1)若乙的平均得分高于甲的平均得分，求x 的最小值；(2)设6x =，10y =，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求a b ≥的概率；(3)在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 【答案】(1)5(2)12(3)6，7，8【分析】（1）由题意得14x y +>，又010y ≤≤，即可求得x 的最小值； （2）利用列举法能求出古典概型的概率； （3）由题设条件能求出x 的可能的取值为6,7,8. (1) 由题意得79669944x y ++++++>，即14x y +>. 又根据题意知010y ≤≤，410x ∴<≤， 所以x 的最小值此为5. (2)设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足a b ≥”为事件M ， 记甲的4局比赛为1234,,,A A A A ，各局的得分分别是6,6,9,9；乙的4局比赛为1234,,,B B B B ，各局的得分分别是7,9,6,10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B .而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，∴事件M 的概率81()162P M ==. (3)x 的所有可能取值为6，7，8.19．已知函数()21log 1x f x x -=+． (1)若()1f a =，求a 的值；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(3)若()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，求实数m 的范围． 【答案】(1)3- (2)奇函数，证明见解析(3)(],1-∞-【分析】（1）代入x a =，得到21log 11a a -=+，利用对数的运算即可求解； （2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()(),f x f x -的数量关系，由此完成证明； （3）将已知转化为()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，求出()f x 在[)3,+∞的最小值，即可得解. (1)()1f a =，21log 11a a -∴=+，即121a a -=+，解得3a =-， 所以a 的值为3- (2)()f x 为奇函数，证明如下：由10110x x x -⎧>⎪+⎨⎪+≠⎩，解得：1x >或1x <-，所以定义域为()(),11,-∞-⋃+∞关于原点对称， 又()()122221111log log log log 1111x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪-+-++⎝⎭， 所以()f x 为奇函数； (3)因为()2221122log log log 1111x x f x x x x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭， 又外部函数2log y u =为增函数，内部函数211y x =-+在[)3,+∞上为增函数， 由复合函数的单调性知函数()f x 在[)3,+∞上为增函数， 所以()()22min 3113log log 1312f x f -====-+， 又()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，所以()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，所以1m ≤-， 所以实数m 的范围是(],1-∞-20．某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e （单位：万元）与使用时间n （*N n ∈，单位：年）之间的函数关系式为2210e n n =+，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？(2)若当年平均盈利额．．．．．达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？【答案】(1)该渔船捕捞3年开始盈利；(2)114万元.【分析】（1）由题设可得50980y n e =-->，解一元二次不等式即可确定第几年开始盈利.（2）由平均盈利额98402m n n=--，应用基本不等式求最值注意等号成立条件，进而计算总收益.(1)由题意，渔船捕捞的利润25098240980y n e n n =--=-+->，解得1010n <又*N n ∈，78<，故2103<<，∴该渔船捕捞3年开始盈利.(2)由题意，平均盈利额984024012y m n n n ==--≤-=，当且仅当7n =时等号成立，∴在第7年平均盈利额达到最大，总收益为71230114⨯+=万元.21．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.(1) {}2,3,5A =，{}6,10,15B ∴=(2)设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数大于等于7个， 所以生成集B 中元素个数的最小值为7.(3)不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =， 不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

2021-2022学年北京市顺义区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|21}M x x =-≤<，{|12}N x x =-<≤，则M N =（ ）A ．{|22}x x -≤≤B ．{|11}x x -<<C ．{|11}x x -≤≤D ．{|11}x x -<≤【答案】B【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合{|21}M x x =-≤<，{}|12=-<≤N x x ， 根据集合的交集的概念及运算，可得{}|11M N x x ⋂=-<<. 故选：B.2．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．21y x =B ．2x y =C ．ln y x =D ．2y x =【答案】D【分析】利用奇函数的定义逐个分析判断【详解】对于A ，定义域为{}0x x ≠，因为2211()()()f x f x x x -===-，所以()f x 是偶函数，所以A 错误，对于B ，定义域为R ，因为()2()x f x f x --=≠-，且()2()x f x f x --=≠，所以()f x 是非奇非偶函数，所以B 错误，对于C ，定义域为{}0x x >，因为定义域不关于原点对称，所以()f x 是非奇非偶函数，所以C 错误，对于D ，定义域为R ，因为()2()f x x f x -=-=-，所以()f x 是奇函数，所以D 正确， 故选：D3．函数y ） A ．[1,1]- B ．(,1][1,)∞∞--⋃+ C ．(1,1)- D ．,1(),)1(-∞-⋃+∞【答案】A【分析】由被开方数非负求解即可【详解】由题意得210x -≥，解得11x -≤≤， 所以函数的定义域为[1,1]-，4．设命题:(0,)p x ∃∈+∞，使得12x x+<，则命题为p 的否定为（ ） A ．(0,)∀∈+∞x ，12x x+> B ．(0,)x ∃∈+∞，使得12x x+> C ．(0,)∀∈+∞x ，12x x +≥ D ．(0,)x ∃∈+∞，使得12x x+≥ 【答案】C【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p 的否定判断作答. 【详解】依题意，命题p 是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题p 的否定是：(0,)∀∈+∞x ，12x x+≥. 故选：C 5．已知函数()a f x x 的图象经过点(2,8)，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出a 的值即可. 【详解】因为函数()a f x x 的图象经过点(2,8)，所以28a =，则3a =. 故选：C.6．已知0.21()2a =，0.12b =，2log 0.9c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】A【分析】根据给定条件利用指数、对数函数的性质直接比较作答.【详解】函数2x y =在R 上单调递增，而0.20.1-<，则0.20.1022-<<，又0.20.21()22a -==，即0a b <<，函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，0.91<，则22log 0.9log 10c =<=， 所以2log 0.9. 故选：A7．函数||e 2x y =-的零点个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】根据给定条件直接解方程即可判断作答.【详解】由0y =得：||e 20x -=，即||e 2x =，解得||ln 2x =，即ln 2x =±， 所以函数||e 2x y =-的零点个数为2. 故选：C8．已知||||0m n >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．m n > B ．||0m n +> C ．0m n +< D ．11m n< 【答案】B【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，分0,0n n ><两种情况判断【详解】对于A ，若2,1m n =-=时，满足||||0m n >>，而不满足m n >，所以A 错误， 对于B ，当0n >时，则||0m n +>一定成立，当0n <时，由||||0m n >>，得m n >-，则||0m n +>，所以B 正确，对于C ，若2,1m n ==时，满足||||0m n >>，而不满足0m n +<，所以C 错误， 对于D ，若2,1m n =-=-时，则满足||||0m n >>，而不满足11m n<，所以D 错误， 故选：B9．已知函数()sin f x x a =+，则函数()x g x a =在R 上单调递增，是()0f x ≥恒成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分、必要条件的定义证明即可. 【详解】因为函数()x g x a =在R 上单调递增，则1a >，()0f x ≥恒成立，即()sin f x x a =≥-恒成立，1a -≤-，即1a ≥.所以 “1a >”是“1a ≥”的充分不必要条件. 故选：A.10．某市中心城区居民生活用水阶梯设置为三档，采用边际用水量确定分档水量为: 第一档水量为240立方米/户年及以下部分；第二档水量为240立方米/户年以上至360立方米/户年部分(含360立方米/户年)；第三档水量为360立方米/户年以上部分.家庭常住人口在4人(不含4人)以上的多人口户，凭户口簿，其水量按每增加一人各档水量递增50立方米/年确定.第一档用水价格为2.1元/立方米；第二档用水价格为3.2元/立方米；第三档用水价格为6.3元/立方米.小明家中共有6口人，去年整年用水花费了1602元，则小明家去年整年的用水量为（ ）. A ．474立方米 B ．482立方米 C ．520立方米 D ．540立方米【答案】D【分析】根据题意，建立水费与用水量的函数关系式，即可求解. 【详解】设小明家去年整年的用水量为x ，水费为y . 若340x ≤时，则 2.1714y x =≤；若340460x <≤时，则()2.1340340 3.21098y x =⨯+-⨯≤； 若460x <时，则()1098 6.3460y x =+-. 令1602y =，解得：540x = 故选：D 二、填空题 11．5sin4π= _____. 【答案】2【解析】【详解】试题分析：由题：5sin 4π=2sin()sin 44πππ+=-=【解析】三角函数的诱导公式.12．函数log (1)2a y x =+-恒过定点________. 【答案】(0,2)-【分析】根据函数图象平移法则和对数函数的性质求解即可【详解】将log a y x =的图象现左平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到log (1)2a y x =+-的图象，因为log a y x =的图象恒过定点(1,0)， 所以log (1)2a y x =+-恒过定点(0,2)-，故答案为：(0,2)-13．使得sin cos 2αβ-=成立的一组α，β的值分别为_____. 【答案】2π，π（不唯一） 【分析】使得sin cos 2αβ-=成立，只需sin =1,cos 1αβ=-，举例即可. 【详解】使得sin cos 2αβ-=成立，只需sin =1,cos 1αβ=-， 所以2,2k k Z παπ=+∈,2,m m Z βππ=+∈，使得sin cos 2αβ-=成立的一组α，β的值分别为2π，π 故答案为：2π，π（不唯一） 14．关于函数()cos |cos |1f x x x =+-有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增③()f x 的最大值为1 ④()f x 在[],ππ-有4个零点 其中所有正确结论的编号是______. 【答案】①③【分析】利用奇偶性定义可判断①；0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2cos 1=-f x x 可判断②；分、()32,222x k k k Z ππππ⎛⎤∈++∈ ⎥⎝⎦时求出()f x 可判断故③； [],x ππ∈-时，由()0f x =可判断④.【详解】因为x ∈R ，()cos |cos |1()-=+-=f x x x f x ，所以①正确； 当时，()2cos 1=-f x x ，当()32,222x k k k Z ππππ⎛⎤∈++∈ ⎥⎝⎦时，()1f x =-， 0k =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2cos 1=-f x x 单调递减，故②错误；当时，0cos 1x ≤≤，()12cos 11f x x -≤=-≤；当()2,22ππππ⎛⎤∈++∈ ⎥⎝⎦x k k k Z 时，()1f x =-，综上()f x 的最大值为1，故③正确；[],x ππ∈-时，由()2cos 10=-=f x x 得1cos 2x =，解得,33x x ππ==-， 由()1f x =-不存在零点，所以()f x 在[],x ππ∈-有2个零点，故④错误. 故答案为：①③.三、双空题 15．已知函数1()2,(0)f x x x x=+>，则当x =______时，函数()f x 取到最小值且最小值为_______. 【答案】2222【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为0x >， 所以1()222=+≥f x x x当且仅当12x x =即2x =. 222四、解答题16．已知关于x 不等式2(2)20,(R)x a x a a -++<∈的解集为A . (1)若{}23A x x =<<，求a 的值； (2)若1A ∈，求实数a 的取值范围；(3)若非空集合{|12}A x x ⊆-<<，请直接写出符合条件的整数a 的集合. 【答案】(1)3； (2)(,1)-∞； (3){}1,0,1-.【分析】(1)由给定解集可得2，3是方程2(2)20x a x a -++=的二根即可求解作答. (2)根据给定条件列出关于a 的不等式求解作答. (3)分a 大于2或小于2两类讨论作答.(1)因方程2(2)20x a x a -++=的根为2x =或x a =，而不等式2(2)20x a x a -++<的解集为{}23A x x =<<，则2，3是方程2(2)20x a x a -++=的二根，所以3a =. (2)因为1A ∈，即有21(2)20a a -++<，解得：1a <， 所以实数a 的取值范围为(,1)-∞. (3)因A 非空，则2a ≠，当2a >时，(2,)A a =，显然集合A 不是集合{|12}x x -<<的子集， 当2a <时，(,2)A a =，而{|12}A x x ⊆-<<，则12a -≤<， 所以整数a 的集合是{}1,0,1-.17．在平面直角坐标系xOy 中，角α（02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，）和角β（,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）的顶点均与坐标原点O 重合，始边均为x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于,P Q 两点，,P Q 两点的纵坐标分别为513，45.(1)求tan α，tan β的值； (2)求()()sin sin 2sin cos παβαπβ⎛⎫-- ⎪⎝⎭-++的值. 【答案】(1)5tan 12α=，4tan 3β=-(2)47【分析】（1）先利用任意角的三角函数的定义求出sin ,sin αβ，再利用同角三角函数的关系可求得答案，（2）先利用诱导公式化简，再代值计算即可 (1)因为在平面直角坐标系xOy 中, 角α，β的顶点均与坐标原点O 重合，终边分别与单位圆交于,P Q 两点，且,P Q 两点的纵坐标分别为513，45， 又因为02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义得：5sin 13α=，4sin 5β=，所以12cos 13α==，3cos 5β=-， 所以sin 5tan cos 12ααα==，sin 4tan cos 3βββ==-. (2)()()sin sin cos sin 2sin cos sin cos παβαβαπβαβ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=-++--12484135655314713565-===-+18．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值及相应的x 取值.【答案】(1)最小正周期为π，(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)最小值为-1，x 的值为2π，最大值为2，x 的值为6π【分析】（1）利用周期公式可得()f x 最小正周期，由sin y t =的单调递增区间可得()f x 的单调递增区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72666x πππ≤+≤，当262ππ+==x z ，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，当7266x z ππ+==，即2x π=时，函数()f x 取得最小值可得答案.(1)函数()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的最小正周期为22T ππ==，令2,6t x π=+因为sin y t =的单调递增区间是()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ ，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以，函数()f x 的单调递增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)令26z x π=+，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以72666x πππ≤+≤，即7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当262ππ+==x z ，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，因此()f x 的最大值为26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时自变量x 的值为6π；当7266x z ππ+==，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，因此()f x 的最小值为12f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时自变量x 的值为2π.19．已知函数()2()31xf x m m R =+∈+(1)若函数()f x 为奇函数，求实数m 的值；(2)判断函数()f x 在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；(3)若函数()f x 为奇函数，求满足不等式()()22120f t f t -+-<的实数t 的取值范围.【答案】(1)1m =-(2)函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析 (3)(,3)(1,)-∞-+∞【分析】（1）利用奇函数的定义可得m 的值； （2）利用单调性定义证明即可；（3）根据()f x 的奇偶性和单调性可得t 的取值范围. (1)函数()f x 的定义域为R ，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以223131x x m m -+=--++， 所以232223131x x x m ⨯=--=-++，所以1m =-. (2)函数()f x 在R 上单调递减.下面用单调性定义证明： 任取12,x x R ∈，且12x x <，则121222()()3131x x f x f x m m -=+--++21122(33)=(31)(31)x x x x -++因为3x y =在R 上单调递增，且12x x <，所以21330x x ->，又12(31)(31)0x x ++>，所以12()()f x f x >， 所以函数()f x 在R 上单调递减. (3)因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，由()()22120f t f t -+-<得()()2212-<--f t f t ，即()()2212f t f t -<-，由（2）可知,函数()f x 在R 上单调递减， 所以2212t t ->-， 即2230t t +->，解得3t <-或1t >， 所以t 的取值范围为(,3)(1,)-∞-+∞.20．为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量y （单位：mg ）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中y 与x 成正比，药物释放完毕后，y 与x 的函数关系为x b y a -=（a b ，为常数），其图象经过11(,1)(1,)516A B ，，根据图中提供的信息，解决下面的问题.(1)求从药物释放开始，y 与x 的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到0.25mg 以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操时间为40分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.【答案】(1)1515,0511(),325x x x y x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩； (2)可以，理由见解析.【分析】(1)将图象上给定点的坐标代入对应的函数解析式计算作答.(2)利用(1)的结论结合题意，列出不等式求解作答.(1)依题意，当105x ≤≤时，设y kx =，因函数y kx =的图象经过点A ，即11=5k ，解得5k =， 又当15x =时，151b a -=，解得15b =，而图象过点B ，则14155116a a -==，因此5544411()(2)1632a -===， 所以y 与x 的函数关系式是1515,0511(),325x x x y x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩. (2)由(1)知，因药物释放完毕后有151()32x y -=，1,5x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭， 则当空气中每立方米的药物含量降低到0.25mg 以下，有1511()0.25324x -<=，解得：35x >， 因此至少需要36分钟后才能保证对人身无害，而课间操时间为40分钟，所以学校可以选用这种药物用于教室消毒.【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，将实际问题转化、抽象为数学问题作答.21．若函数()f x 在定义域内存在实数0x 使00(1)()(1)f x f x f +=+成立，则称函数()f x 有“漂移点”0x .(1)函数()23f x x =+是否有漂移点？请说明理由；(2)证明函数2()3x f x x =+在(0,1)上有漂移点；(3)若函数2()ln 2a f x x =+ 在(0,)+∞上有漂移点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)没有，理由见解析；(2)证明见解析；(3)3[,3)2a ∈. 【分析】(1)根据给定定义列方程求解判断作答.(2)根据给定定义构造函数，由零点存在性定理判断函数的零点情况即可作答.(3)根据给定定义列方程，变形构造函数，利用函数有零点分类讨论计算作答.(1)假设函数()23f x x =+有“漂移点”0x ，则002(1)3235x x ++=++，此方程无实根， 所以函数()23f x x =+没有漂移点.(2)令()(1)()(1)h x f x f x f =+--，()0,1x ∈，则212()(1)3342233x x x h x x x x +=++---=+⋅-，有(0)1,(1)5h h =-=，即有(0)(1)0h h ⋅<，而函数()h x 在(0,1)单调递增，因此，()0h x =在(0,1)上有一个实根，所以函数()23x f x x =+在(0,1)上有漂移点.(3)依题意，设2()ln2a f x x =+在(0,)+∞上的漂移点为0x ，则2200ln ln ln (1)223a a a x x =++++， 即2200(1)223a a a x x =⋅+++，亦即2200[(1)2]3(2)a x x ++=+，整理得：200(3)2360a x ax a -++-=，由已知可得0a >，令()()23236g x a x ax a =-++-，0x >，则()g x 在(0,)+∞上有零点，当0<<3a 时，()g x 的图象的对称轴为(3)a x a =--，而0(3)a a ->-，则244(3)(36)0a a a ∆=---≥， 即2215180a a -+≤，整理得(6)(23)0a a --≤，解得362a ≤≤，则332a ≤<， 当3a =时，630x +=，32x =-<0，则3a =不成立， 当3a >时，0(3)a a -<-，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又()0360g a =->，则()g x 恒大于0，因此，()g x 在(0,)+∞上没有零点. 综上得，3[,3)2a ∈. 【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数的图象及其性质，利用数形结合的方法解决问题.。