北京市朝阳区2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。

2022-2023学年北京市朝阳区高一下学期期中练习数学试题一、单选题1．已知是第三象限角，那么是（ ）α2αA ．第二象限角B ．第三象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角【答案】D【分析】先写出的范围，再计算出的范围，分是奇数和偶数讨论即可求解.α2αk 【详解】因为是第三象限角，所以，α()3222k k k Z πππαπ+<<+∈则，()3224k k k Z παπππ+<<+∈当时，，此时是第二象限角，2k n =()322224n n k Z παπππ+<<+∈2α当时，，21k n =+()()()32121224n n k Z παπππ++<<++∈即，此时是第四象限角，()3722224n n k Z παπππ+<<+∈2α综上所述：是第三象限角，是第二或第四象限角，α2α故选：D.2．若点在角的终边上，则的值为55sin ,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭αsin αA B ．C ．D ．1212-【答案】D【详解】试题分析：因为，所以，故选D ．551(sin,cos )(,662ππ=sin α==【解析】任意角的三角函数值．3．sin1.5，cos1.5，tan1.5的大小关系为（ ）A ．B ．tan1.5sin1.5cos1.5>>sin1.5tan1.5cos1.5>>C ．D ．sin1.5cos1.5tan1.5>>tan1.5cos1.5sin1.5>>【答案】A【分析】根据角的范围，得到相应三角函数值的范围求解.【详解】解：因为，ππ1.532<<1sin1.51,0cos1.5,tan1.52<<<<>所以，tan1.5sin1.5cos1.5>>故选：A4．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB 和弦AB 所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则2π3此弧田的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．43π43π-83π83π-【答案】A【分析】过点作，垂足为，求得，O OD AB ⊥D 1OD =AB =的面积，结合，即可求解.AOB 1AOB S S S =- 【详解】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为，2π3如图所示，过点作，垂足为，O OD AB ⊥D可得，πcos13OD OA ==π2sin 3AB OA ==可得扇形的面积为，的面积为 ，2112π4π2233S =⨯⨯=AOB 112AOB S =⨯△所以此弧田的面积为14π3AOB S S S =-= 故选：A.5．已知tan a =2，则= （ ）1cos 2sin 2αα+A ．2B ．C ．-2D ．1212-【答案】B【解析】利用二倍角公式，转化为，再利用商数关系求解.1cos 2sin 2αα+2cos sin cos ααα=【详解】因为tan a =2，所以，1cos 2sin 2αα+，212cos 12sin cos ααα+-=，2cos sin cos ααα=11tan 2α==故选：B6．若向量满足：则,a b ()()1,,2,a ab a a b b =+⊥+⊥ b =A ．2BC ．1D 【答案】B【详解】试题分析：由题意易知：即，，即.()0{(2)0a b a a b b +⋅=+⋅=210{20b a b a b +⋅=⋅+= 222b a b ∴=-⋅= b = 故选B.【解析】向量的数量积的应用.7．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且ABC A B C a b c ()()3a b c b c a bc +++-=，那么是（ ）sin 2sin cos A B C =ABC A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合()()3a b c b c a bc +++-=A sin 2sin cos A B C =正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.【详解】由，得，()()3a b c b c a bc +++-=22()3b c a bc +-=整理得，则，222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以，()0,πA ∈π3A =又由及正弦定理，得，化简得，sin 2sin cos A B C =22222a b c a b ab +-=⋅b c =所以为等边三角形，ABC 故选：B8．若△ABC 为钝角三角形，且，，则边c 的长度可以为（ ）2a =3b =A ．2.5B ．3C ．4D 【答案】C【分析】由于钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，分类讨论为最长边和为最长边两c b 种情况，即可得出结论.【详解】因为钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，因此有两种情况：若为最长边，由，c 2222490a b c c +-=+-<可得，又，c >235a b c +=+=>，可得C 正确；5c <<若为最长边，由，b 222249c a c b +=+<=可得，c <1c b a >-=所以，此时没有选项符合.1c <<故选：C9．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分C ,A B C 别为（单位：），且，则大跳台最高高度（ ）45,30,60AB = m 30AOB ∠=OC =A ．B ．C ．D ．45m 60m【答案】C【分析】分别在和 中，求得OB ，OA ，然后在中，利用余弦定理求解.BOC AOC AOB【详解】解：在中，，BOC tan 30OCOB == 在中，，AOC tan 45OCOA OC ==在中，由余弦定理得，AOB 2222cos AB OB OA OB OA AOB =+-⋅⋅∠即，2236003cos30OC OC OC =+-⋅⋅所以，23600OC =解得，60OC =故选：C10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）()()sin (0,2f x x ωϕωϕπ=+><A ．函数的最小正周期是()f x 2πB ．函数的图象关于直线对称π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2x π=-C ．函数在区间上单调递减()f x π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．函数在区间()f x 3π4π43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】D【分析】通过函数图象先求解周期，从而可得值，代入最高点即可求解出值，从而得函数解析ωϕ式，再利用整体法计算函数的对称轴，函数的单调递减区间以及在区间π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 上的最大值，判断每个选项.3π4π43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【详解】由图可知，，得，故A 错误；5πππ41264T =-=πT =所以，因为，2π2πω==5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，得，5ππ22π,122k k ϕ⨯+=+∈Z π2π,3k k ϕ=-+∈Z因为，所以，所以，2πϕ<π3ϕ=-()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，ππsin 2sin 21212ππ36f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令，得，ππ2π,62x k k Z -=+∈ππ,32k x k =+∈Z 所以函数的对称轴为，π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,32k x k =+∈Z所以不是函数的对称轴，B 错误；2x π=-π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3222,232k x k k Zπππππ+≤-≤+∈得，5π11πππ,1212k x k k Z +££+Î所以函数的单调递减区间为，()f x 5π11ππ,π1212k k k Zéùêú++Îêúëû所以函数在上单调递减，C 错误；()f x 5π11π,1212éùêúêúëû当时，，3π4π,43x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦π7π7π2,363x ⎛⎫⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以当时，函数的最大值为D 正确.73x π=sin 37π=故选：D二、填空题11．___________sin15cos15︒︒-=【答案】【分析】用辅助角公式求解即可.【详解】)sin15cos15sin15cos 45cos15sin 4545)30-=--== 故答案为：.12．已知向量，，则夹角的余弦值为_________．(4,3)a = 2(3,18)a b +=,a b 【答案】1665【分析】根据条件求出后，可得两向量的数量积与模，然后求夹角的余弦值b【详解】，，故(4,3)a = 2(3,18)a b +=(5,12)b =- 203616cos 51365a b a bθ⋅-+===⋅13．已知，，则__________．sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=()sin αβ+【答案】12-【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得，．22sin()1αβ++=1in()s 2αβ+=-［方法二］： 利用方程思想直接解出，两式两边平方相加得，则．sin 1cos ,cos sin αβαβ=-=-1cos 2β=1sin 2α=又或，所以．cos sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩cos sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1in()s 2αβ+=-［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式由，可得，则或cos sin 0αβ+=3sin cos sin 2πβαα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭322k πβπα=++．32()2k k πβππα⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭Z 若，代入得，即32()2k k πβπα=++∈Z sin cos 2sin 1αβα+==．2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k πααβπααα⎛⎫=+=++=-=-=-⎪⎝⎭若，代入得，与题设矛盾．2()2k k πβπα=--∈Z sin cos 0αβ+=综上所述，．1in()s 2αβ+=-［方法四］：平方关系＋诱导公式由，得．2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=1sin 2α=又，，即，则sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-⎛⎫===-=- ⎪-⎝⎭()2k k βαπ=-∈Z 22k απβ=-．从而．2()k k αβπα+=-∈Z 1sin()sin(2)sin 2k αβπαα+=-=-=-［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-，则或．sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=cos()0αβ-=sin()1αβ+=-若，则，即．cos()0αβ-=()2k k παβπ-=+∈Z ()2k k παβπ=++∈Z 当k 为偶数时，，由，得，又sin cos αβ=sin cos 1αβ+=1sin cos 2αβ==，所以．23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-当k 为奇数时，，得，这与已知矛盾．sin cos αβ=-sin cos 0αβ+=若，则．则，得sin()1αβ+=-2()2k k παβπ+=-∈Z sin sin 2cos 2k παπββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，这与已知矛盾．sin cos 0αβ+=综上所述，．1in()s 2αβ+=-【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．14．的值为____________.()1tan 7(1tan 38)++【答案】2【分析】由变形求解.()tan 7tan 38tan 7381tan 7tan 38++=-⋅【详解】解：因为，()tan 7tan 38tan 7381tan 7tan 38++=-⋅所以，()()tan 7tan 38tan 7381tan 7tan 38+=+-⋅所以，()1tan 7(1tan 38)++，1tan 7tan 38tan 7tan 38=+++⋅ ，()()1tan 7381tan 7tan 38tan 7tan 38=++-⋅+⋅ ，2=故答案为：215．已知，，，若关于α的方程有两个不相π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫ ⎪⎝⎭1sin tan cos βαβ-=sin sin 0m αβ++=等的实数根，则实数m 的取值范围是____________.【答案】918m -<<-【分析】由，结合两角和的正弦公式得到，再根据，1sin tan cos βαβ-=()sin cos αβα+=π02,α⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，得到，将，转化为，利用数形结合法π02,β⎛∈⎫⎪⎝⎭π22βα=-sin sin 0m αβ++=22sin sin 1m αα=--求解.【详解】解： 由，得，1sin tan cos βαβ-=sin 1sin cos cos αβαβ-=所以，即，sin cos cos sin cos αβαβα+=()sin cos αβα+=因为，，π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫ ⎪⎝⎭所以或，π2αβα+=-π2αβα+=+解得或（舍去），π22βα=-π2β=则，即为，sin sin 0m αβ++=πsin sin 202m αα⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭即，即，cos 2sin 0m αα++=212sin sin 0m αα-++=所以，22sin sin 1m αα=--因为，，π42βα=-π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，则，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin t α⎛=∈ ⎝在同一坐标系中作出的图象，2,21y m y t t ==--因为关于α的方程有两个不相等的实数根，sin sin 0m αβ++=由图象知：.918m -<<-三、解答题16．已知.22sin(3)cos(5)()3cos sin 22f παπααππαα-+=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）化简，并求的值；()f α6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）若，求的值；tan 3α=()f α（3）若，，求的值.12()25f α=(0,)απ∈sin cos αα-【答案】（1），2）；（3）.sin cos αα-×310-75【分析】（1）利用诱导公式化简表达式，并求得的值.()f α6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）利用齐次式的方法，将的表达式化为只含的形式，由此求得的值.()f αtan α()f α（3）利用同角三角函数的基本关系式，先求得的值，根据的符号，求2(sin cos )αα-sin cos αα-得的值.sin cos αα-【详解】（1）由，22sin (cos )()sin cos sin cos ααf ααααα×-==-×+所以sin cos 666f πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）；222sin cos tan 3()sin cos sin cos tan 110αααf αααααα×=-×=-=-=-++（3）由得，，12()25f α=12sin cos 025αα×=-<又，所以，所以，(0,)απ∈,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0αα->又，21249(sin cos )12sin cos 122525αααα-=-=+⨯=所以.7sin cos 5αα-=【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17．已知，，，，求的值.()5cos 13αβ-=-4cos 5β=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫⎪⎝⎭()cos 2αβ-【答案】1665【分析】根据题意，分别求得和，结合，即3sin 5β=()12sin 13αβ-=cos()cos[()2]αβαββ--=-可求解.【详解】由且，可得，4cos 5β=π02,β⎛∈⎫ ⎪⎝⎭3sin 5β==又由且，可得，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫⎪⎝⎭()0,παβ-∈因为，可得，()5cos 13αβ-=-()12sin 13αβ-==又因为cos()cos[()]cos()cos sin()2sin ββαβαβαβαββ---=--=+.541231613513565=-⨯+⨯=故答案为：.166518．如图，在四边形中，，，，且.OBCD 2CD BO = 2OA AD = 90D Ð=°1BO AD ==（Ⅰ）用表示；,OA OB CB （Ⅱ）点在线段上，且，求的值.P AB 3AB AP =cos PCB ∠【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）CB 32OA OB =--cos PCB ∠=【分析】Ⅰ直接利用向量的线性运算即可．()Ⅱ以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得().代入各值即可．55,cos 33CP CB CP AP AC PCB CP CB⋅⎛⎫=-=--∠= ⎪⎝⎭⋅，【详解】（Ⅰ）因为 ，2OA AD =所以 .因为 ，32DO AO=2CD BO = 所以=++CB CD DO OB 322BO AO OB=++32OA OB=--（Ⅱ）因为 ，2CD BO = 所以 .因为，OB CD 2OA AD = 所以点共线.,,O A D 因为，90D ∠=︒所以.90O ∠=︒以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.O OA x 因为 ，，，1BO AD == 2CD BO = 2OA AD = 所以 .()()()2,0,0,1,3,2A B C 所以，.()1,2AC =()2,1AB =-因为 点在线段上，且，P AB 3AB AP =所以121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 所以.55,33CP AP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭因为，()3,1CB =--所以.cos CP CB PCB CP CB ⋅∠===⋅ 【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．19．在△ABC 中，a ＝3，B ＝2A ．b =（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）试比较∠B 与∠C 的大小．【答案】（Ⅰ；（Ⅱ）∠B ＜∠C【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得cosA 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用二倍角公式可求cosB ，进而可求sinB 的值，根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC 的值，由于cosB ＞cosC ，根据余弦函数的图象和性质可求∠B ＜∠C ．【详解】（Ⅰ）∵a ＝3，B ＝2A ．b =∴由正弦定理可得：，a bbsinA sinB 2sinAcosA ==∴cosAb 2a ===（Ⅱ）∵A ∈（0，π），可得：sinA∵B ＝2A ，==∴cosB ＝cos2A＝2cos 2A﹣1，∴sinB，13===∵A+B+C ＝π，∴cosC ＝﹣cos （A+B ）＝sinAsinB﹣cosAcosB∴cosB ＞cosC ，=又∵函数y ＝cosx 在（0，π）上单调递减，且B ，C ∈（0，π），∴∠B ＜∠C【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．已知数的相邻两对称轴间的距离为.2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π(1)求的解析式；()f x (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），()f x 6π12得到函数的图象，当时，求函数的值域；()y g x =,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，()g x 4()3g x =4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12,,n x x x 若，试求与的值.m =1231222n n x x x x x -+++++ n m 【答案】(1)()2sin 2f x x =(2)[-(3)205,3n m π==【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；()2sin f x x ω=2ω=()2sin 2f x x =（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；()sin()243g x x π=-()g x （3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.4()3g x =2sin(4)33x π-=sin y x =n m【详解】（1）由题意，函数21()2sin ()1626f x x x ππωω⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦cos()2sin()2sin 6666x x x xππππωωωω=+-+=+-=因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.()f x 2πT π=2ω=故()2sin 2f x x=（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.()f x 6π2sin(2)3y x π=-再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.12()2sin(4)3y g x x π==-当时，，,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦当时，函数取得最小值，最小值为，432x ππ-=-()g x 2-当时，函数433x ππ-=()g x故函数的值域.()g x ⎡-⎣（3）由方程，即，即，4()3g x =42sin(4)33x π-=2sin(4)33x π-=因为，可得，4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦设，其中，即，结合正弦函数的图象，43x πθ=-,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin 3θ=sin y x =可得方程在区间有5个解，即， 2sin 3θ=,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5n =其中，122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-=解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以.m =()()()()1212345233445223220x x x x x x x x x x x x x π=++++++++++++=综上，2053n m π==，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或sin y x =的性质解题；cos y x =（2）求y =A sin(ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；21．已知函数（，，）的部分图像如图所示，点为()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<,,B D F 与轴的交点，点分别为的最高点和最低点，若将其图像向右平移个单位后得到()f x x ,C E ()f x 12函数的图像，而函数的最小正周期为4，且在处取得最小值．()g x ()g x 0x =（1）求参数和的值；ωϕ（2）若点为函数的图像上的动点，当点在之间（包含）运动时，恒P ()f x P ,C E ,C E 1BP PF ⋅≥成立，求实数的取值范围；A （3）若，是函数图像上的两点，满足与共线，且的中()11,M x y ()22,N x y ()f x OM ON + ODMN 点不在函数的图像上，求的值．()f x ()21cos 2x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1），；（2）；（3）．2πω=4πϕ=-(1-【分析】（1）根据题意求出表达式，根据题中相关条件即可求得和的值；（2）利用()g x ()g x ωϕ向量基底法的运算法则得出，将恒成立转化为，利用24BP PF DP⋅=- 1BP PF ⋅≥ ()min1BP PF ⋅≥数形结合的手段求出其最小值代入计算即可；（3）由与共线得出，结合表OM ON + OD120y y +=达式计算得到或，，代入检验舍去，的情况，1214x x k+=+2124x x k-=+Z k ∈1214x x k+=+Z k ∈再代入所求式计算即可.【详解】（1）依题意得，，()11sin 22g x f x A x ωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵函数的最小正周期为4，()g x ∴，则．2242T πππω===()sin 24g x A x ππϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭又∵函数在处取得最小值，()g x 0x =∴，，242k ππϕπ-=-+Z k ∈即，，24k πϕπ=-+Z k ∈又∵，∴取，得．ϕπ<0k =4πϕ=-（2），()()2224BP PF DP DB DF DP DB DP DP⋅=-⋅-=-=-由图像易知，当点与点或点重合时，取到最大值取到最小值P C E DPBP PF ⋅，∵恒成立，∴，解得23A -231A -≥1BP PF ⋅≥0A <≤（3）由与共线易得，的中点在轴上，OM ON + ODMN x ∴，即，120y y +=12sin sin 2424x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则或，，1222424x x k πππππ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭1222424x x k ππππππ⎛⎫-=-++ ⎪⎝⎭Z k ∈化简得或，．当时，的中点，1214x x k +=+2124x x k -=+Z k ∈1214x x k +=+MN 12,02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在函数的图像上，不符合题意，舍去，Z k ∈()f x ∴，，2124x x k-=+Z k ∈则.()()()21cos cos 24cos 2122x x k k ππππ⎡⎤⎡⎤-=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

北京市朝阳区2019-2020学年高一（上）期末数学试卷选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1 3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2 8．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4} 9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的．（横线上填“上方”或者“下方”）14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B （x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值2019-2020学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x＜﹣1，x2≤1，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．3．（5分）下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．【解答】解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；对于D，若a＜b＜0，则，成立；故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T ＝，可得结论．【解答】解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T＝＝π，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y＝A sin （ωx+φ）的周期等于T＝，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断．【解答】解：∵x＞0，根据幂函数的性质可知，y＝＞0，不符合题意，∵﹣1≤sin x≤1，∴2+sin x＞0恒成立，故选项B不符合题意，C：∵x2﹣x+1＝，而f（x）＝ln（x2﹣x+1），故值域中不恒为正数，符合题意，D：当x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞0恒成立，不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．6．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再讨论充要性．【解答】解：由a，b，c∈R，知：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，∴“a＝b＝c”⇒“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”，“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”⇒“a，b，c不全相等”．“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．【点评】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4}【分析】作出函数f（x）与函数g（x）的图象，数形结合即可判断出a的取值范围【解答】解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的示意图如图：因为f（x）＝x+﹣a≥2﹣a＝4﹣a（x＞0），当且仅当x＝2时取等号，而g（x）的对称轴为x＝2，最大值为7，根据条件可知0＜4﹣a＜7，解得﹣3＜a＜4，故选：D．【点评】本题考查函数图象交点问题，涉及对勾函数图象在第一象限的画法，二次函数最值等知识点，属于中档题．9．（5分）已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c 的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．【解答】解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg ＜0，不满足题意；故选：D．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是中档题．10．（5分）已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22【分析】要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，结合题意，则需前8项最小，第9项最大，则第10项为第9项加1，由此建立不等式，求出第9项的最大值，进而得解．【解答】解：依题意，要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，则x i＝i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8），且x10＝x9+1，故，即，又2×292+2×29﹣1815＝﹣75＜0，2×302+2×30﹣1815＝45＞0，故x9的最大值为29，∴x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为29﹣（1+2+3+4）＝19．故选：A．【点评】本题考查代数式最大值的求法，考查逻辑推理能力及创新意识，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是[﹣2，2]．【分析】根据集合A的意义，利用△≤0求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则不等式x2﹣ax+2＜0无解，所以△＝（﹣a）2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的上方．（横线上填“上方”或者“下方”）【分析】求出点C1，M的纵坐标，作差后利用基本不等式即可比较大小，进而得出结论．【解答】解：依题意，A1（x1，log2x1），B1（x2，log2x2），则，则＝，故点C1在线段A1B1中点M的上方．故答案为：上方．【点评】本题考查对数运算及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是①②③．【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解．【解答】解：在①中，函数＝cos2x是偶函数，故①正确；在②中，∵y＝tan x在（﹣，）上单调递增，∴函数f（x）＝tan2x在上单调递增，故②正确；在③中，函数图象的对称轴方程为：2x+＝kπ+，k∈Z，即x＝，k＝0时，x＝，∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确；在④中，将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos（2x+）的图象，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a 的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．【解答】解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组，可得：且⇒a＜0且﹣1＜a＜2⇒﹣1＜a＜0故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．故答案为：（﹣1，1），{a|a≥0或a≤﹣1}．【点评】本题主要考查对称点的求法以及二元一次不等式组和平面区域之间的关系，属于基础题．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是A（r cosα，r sinα），从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．【分析】由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），根据题意∠BOx＝ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．【解答】解：由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），则∠BOx＝ωt+α，点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．故答案为：A（r cosα，r sinα），y＝r sin（ωt+α）．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，三角函数解析式，属于中档题．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；【分析】（Ⅰ）容易求出A＝{x|﹣1≤x≤6}，然后进行补集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，解出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集、补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅲ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值．【解答】解：（Ⅰ）若点在角α的终边上，所以，，故，所以tan2α＝＝＝．f（α）＝＝2．（Ⅱ）由于函数f（x）＝sin2x﹣2＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅲ）由于，所以，所以当x＝时，函数的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）将a＝2代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅲ）问题转化为h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由2f（1）＝﹣f（﹣1）得，，解得a＝﹣3；（Ⅱ）当a＝2时，，设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ），若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，即h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点（x＝a不是函数h（x）的零点），且二次函数h（x）＝2x2﹣3x+3a的对称轴为，若函数h（x）在（0，1）上有唯一零点，依题意，①当h（0）h（1）＜0时，3a（3a﹣1）＜0，解得；②当△＝0时，9﹣24a＝0，解得，则方程h（x）＝0的根为，符合题意；③当h（1）＝0时，解得，则此时h（x）＝2x2﹣3x+1的两个零点为，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．【点评】本题考查函数单调性的证明及二次函数的零点分布问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质可得，解出即可；（Ⅱ）根据题意，求得，依题意，在（0，1）上恒成立，由此得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知，，则只需求出的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，则，解得﹣a＜x＜2﹣a，∴所求不等式的解集为（﹣a，2﹣a）；（Ⅱ）由题意，2y＝log2（3x+a），即f（x）的相关函数为，∵对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，∴当x∈（0，1）时，恒成立，由x+a＞0，3x+a＞0，a＞0得，∴在此条件下，即x∈（0，1）时，恒成立，即（x+a）2＜3x+a，即x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＜0在（0，1）上恒成立，∴，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）当a＝1时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上，f（x）＜g（x），∴，令，则，令μ＝3x+1（1＜μ＜4），则，∴，当且仅当“”时取等号，∴|F（x）|的最大值为．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查换元思想的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。

北京市朝阳区2023~2024学年度第一学期期末质量检测高一数学（答案在最后）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{}{}2,1,2,3,2,Z A B x x k k =-==∈∣，则A B = （）A.{2,1}-B.{2,2}- C.{1,2}D.{2,3}【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解.【详解】由集合{}{}2,1,2,3,2,Z A B xx k k =-==∈∣，集合B 由，所有偶数构成，集合A 中只有-2,2两个偶数，故{2,2}A B =- .故选：B.2.命题“x ∀∈R ，都有||0x x +≥”的否定为（）A.x ∃∈R ，使得||0x x +<B.x ∃∈R ，使得||0x x +≥C.x ∀∈R ，都有||0x x +≤D.x ∀∈R ，都有||0x x +<【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定知识即可求解.【详解】由“x ∀∈R ，使得0x x +≥”的否定为“x ∃∈R ，使得0x x +<”，故A 正确.故选：A.3.已知,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.22a b >B.ac bc> C.22a b> D.11a b<【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及特例法，结合指数函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但22a b <，所以A 错误；对于B 中，当0c =时，ac bc =，所以B 不正确；对于C 中，由指数函数2x y =为单调递增函数，因为a b >，可得22a b >，所以C 正确；对于D 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但11a b>，所以D 不正确.故选：C.4.设x ∈R ，则“x ＞1”是“2x ＞1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由1x >可得21x >成立，反之不成立，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.已知0x 是函数3()e x f x x =+的一个零点，且()()00,,,0a x b x ∈-∞∈，则（）A.()0,()0f a f b <<B.()0,()0f a f b >> C.()0,()0f a f b >< D.()0,()0f a f b <>【答案】D 【解析】【分析】判断出()f x 的单调性，根据0x 是函数()f x 的一个零点求出()f x 的值域可得答案.【详解】因为3e ,x y y x ==为x ∈R 上的单调递增函数，所以3()e x f x x =+为x ∈R 上的单调递增函数，又因为0x 是函数3()e x f x x =+的一个零点，所以()0,x x ∈-∞时()0f x <，()0,x x ∈+∞时()0f x >，若()()00,,,0a x b x ∈-∞∈，则()0,()0f a f b <>.故选：D.6.已知112223211,,log 332a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c <<B.c a b<< C.b a c<< D.c b a<<【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数和对数函数的单调性比较大小即可.【详解】因为幂函数12y x =在[)0,∞+上单调递增，12133<<，所以112212133⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1b a <<，因为对数函数23log y x =在()0,∞+单调递减，1223<，所以223312log log 123>=，即1c >，所以b a c <<，故选：C.7.已知函数ππ()2sin()0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.π1,4ωϕ==- B.π1,4ωϕ==C.π2,4ωϕ==-D.π2,4ωϕ==【答案】B 【解析】【分析】结合三角函数的周期性求ω，利用特殊点的相位求ϕ的值.【详解】由图可知：7π3ππ244T =-=⇒2πT =，由2π2πω=⇒1ω=.由3ππ4ϕ+=⇒3πππ44ϕ=-=.故选：B8.函数()|sin |cos f x x x =+是（）A.奇函数，且最小值为 B.C.偶函数，且最小值为 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A 、B 不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数()f x 的最大值和最小值，即可求解.【详解】由函数()|sin |cos f x x x =+，可得其定义域x ∈R ，关于原点对称，且()|sin()|cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，因为()()()()2πsin 2πcos 2πsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，所以2π为()y f x =的一个周期，不妨设[0,2π]x ∈，若[0,π]x ∈时，可得π()sin cos )4f x x x x =+=+，因为[0,π]x ∈，可得ππ5π[,]444x +∈，当ππ42x +=时，即π4x =时，可得max ()f x =；当π5π44x +=时，即πx =时，可得min ()1f x =-；若[]π,2πx ∈，可得π()sin cos )4f x x x x =-+=+，因为[π,2π]x ∈，可得π5π9π[,]444x +∈，当π2π4x +=时，即7π4x =时，可得max ()f x =；当π5π44x +=时，即πx =时，可得()min 1f x =-，综上可得，函数()f x ，最小值为1-.故选：D.9.已知函数()f x 的图象是在R 上连续不断的曲线，()f x 在区间项[1,)+∞上单调递增，且满足()()20f x f x -+=，()23f =，则不等式3(1)3f x -<+<的解集为（）A.(2,2)- B.(1,1)- C.(0,2)D.(1,3)【答案】B 【解析】【分析】通过条件分析函数具有的性质，再把函数不等式转化为代数不等式求解.【详解】由()()2f x f x -=-得：()f x 的图象关于点()1,0对称；()23f =⇒()03f =-；又()f x 在R 上连续不断，且在[)1,+∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增.()313f x -<+<⇒012x <+<⇒11x -<<.故选：B10.在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c 随时间t （单位：min ）的变化规律可以用函数模型0etc c δλ-=+近似表达．在该通风条件下测得当0,5,10t t t ===时此会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当15t =时c 的值约为（）t 0510c0.15%0.09%0.07%A.0.04%B.0.05%C.006%.D.0.07%【答案】C 【解析】【分析】根据题意知建立方程组分别求出51e3δ-=，0.09%λ=，从而可求解.【详解】由题意得：当0t =时，0000.15%c c ec δλλ-=+=+=①，当5t =时，5e0.09%c c δλ-=+=②，当10t =时，10e0.07%c c δλ-=+=③，由-①②得51e 0.06%δλ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭④，由-②③得55e1e 0.02%δδλ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑤，由⑤④得51e 3δ-=⑥，所以00.09%3c c λ=+=⑦，由-①⑦得20.06%3λ=，解得0.09%λ=，所以当15t =时，315555001e eee0.15%0.09%0.09%0.0633%3c c c δδδδλλ----⎛⎫=+=+⨯⨯=-+⨯≈ ⎪⎝⎭，故C 正确.故选：C.第二部分（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.函数()()lg 1f x x =+的定义域为_________________.【答案】()1-+∝，【解析】【分析】根据对数的真数大于零，列出不等式解出即可.【详解】由10x +>得1x >-，则函数()()lg 1f x x =+的定义域为()1-+∝，.故答案为:()1-+∝，12.若1x >，则11x x +-的最小值是_____．【答案】3【解析】【分析】111111x x x x +=-++--，利用基本不等式可得最值．【详解】∵1x >，∴11111311x x x x +=-++≥=--，当且仅当111x x -=-即2x =时取等号，∴2x =时11x x +-取得最小值3.故答案为：3．13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，若角α的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，角β的终边与角α的终边关于原点对称，则sin α=__________，cos β=__________．【答案】①.35②.45【解析】【分析】根据角α终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可求出sin α，cos α，再根据角β的终边与角α的终边关于原点对称，从而可求解cos β.【详解】对空①：由点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在角α的终边上，所以445cos 5α-=-，335sin 5α==.对空②：由角β的终边与角α的终边关于原点对称，所以4cos cos 5a β=-=.故答案为：35；45.14.已知函数()21x f x a =⋅-的图象过原点，则=a __________；若对x ∀∈R ，都有()f x m >，则m 的最大值为__________．【答案】①.1②.1-【解析】【分析】根据函数()f x 过原点，从而求出a 的值；对于()f x m >，只需求出()min f x m >，从而可求解.【详解】对空①：由函数()·21xf x a =-过原点，即()00·210f a =-=，得1a =；对空②：由函数()21xf x =-在定义域上单调递增，且()211xf x =->-恒成立，所以m 的最大值为1-.故答案为：1；1-.15.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的一个取值为__________．【答案】π4（答案不唯一）【解析】【分析】根据图象平移变换得到()g x 的解析式，结合图象关于y 轴对称，令()01g =±，求出ϕ的值.【详解】函数()sin 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()()sin 2g x x ϕ=+，因为函数()g x 的图象关于y 轴对称，则()()0sin 201g ϕ=+=±，即sin 21ϕ=±，所以π2π2k ϕ=+，即π1π42k ϕ=+，N k ∈，所以ϕ的一个取值为π4,故答案为：π4（答案不唯一）.16.已知函数()2f x x b =+，()g x 为偶函数，且当0x ≥时，2()4g x x x =-，记函数()()()()()()(),,f x f x g x T x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，给出下列四个结论：①当0b =时，()T x 在区间[2,)-+∞上单调递增；②当8b =-时，()T x 是偶函数；③当0b <时，()T x 有3个零点；④当8b ≥时，对任意x ∈R ，都有()0T x >．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③【解析】【分析】根据题意，结合函数()(),f x g x 的解析式，利用函数的新定义，结合函数的图象、函数的零点的定义，逐项判定，即可求解.【详解】因为()g x 为偶函数，且当0x ≥时，2()4g x x x =-，当0x <时，可得()2()4g x g x x x =-=+，所以224,0()4,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，对于①中，当0b =时，()2f x x =，令()()f x g x =，解得0,2,6x x x ==-=，如图所示，()224,22,224,2x x x T x x x x x x ⎧+<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，结合图象，可得函数()T x 在区间[2,)-+∞上单调递增，所以①正确；对于②中，当8b =-时，可得()28f x x =-，令2428x x x -=-，即2680x x -+=，解得2x =或4x =，当2x <时，可得()()T x g x =；当24x ≤≤时，可得()()T x f x =；当4x >时，可得()()T x g x =，即2224,04,02()28,244,4x x x x x x T x x x x x x ⎧+<⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪-≥⎩，其中()()33,32f f -=-=-，所以()()33f f -≠，所以当8b =-时，函数()T x 不是偶函数，所以②不正确；对于③中，当0b <时，令()0f x =，即20x b +=，解得02bx =->，当0x <时，令()0g x =，即240x x +=，解得4x =-，当0x ≥时，令()0g x =，即240x x -=，解得0x =或4x =，若042b <-<时，函数()T x 有三个零点，分别为4x =-，0x =和2b x =-；若42b-=时，即8b =-时，函数()T x 有三个零点，分别为4x =-，0x =和4x =；若42b->时，即8b <-时，函数()T x 有三个零点，分别为4x =-，0x =和4x =；综上可得，当0b <时，函数()T x 有三个零点，所以③正确；对于④中，当0x <时，令()0g x =，即240x x +=，解得4x =-，将点(4,0)-代入函数()y f x =，可得2(4)0b ⨯-+=，解得8b =，如图所示，当8b ≥时，函数()0T x ≥，所以④不正确.故答案为：①③.三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知集合{}2340,{0}A xx x B x x a =--≤=->∣∣．（1）当4a =时，求A B ⋃；（2）若()A B =∅R ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}1A B x x ⋃=≥-（2）1a <-【解析】【分析】（1）化简集合,A B ，直接利用并集运算求解即可；（2）化简集合，根据交集运算结果求解参数.【小问1详解】由题知，{}{}234014A xx x x x =--≤=-≤≤∣，{}{0}B x x a x x a =->=>∣，因为4a =，所以{}4B x x =>，所以{}1A B x x ⋃=≥-.【小问2详解】因为()A B =∅R ð，且{}14A x x =-≤≤，{}R B x x a =≤ð，所以1a <-.18.已知,αβ为锐角，21sin ,tan()102ααβ=+=．（1）求tan α和tan β的值；（2）求2αβ+的值．【答案】（1）1tan 7α=，1tan 3β=（2）π4【解析】【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出cos α，再根据商数关系和两角和正切公式化简得结果；（2）根据二倍角公式得sin 2,cos 2ββ，，再根据两角和余弦公式得()cos 2αβ+，最后根据范围求结果.【小问1详解】因为,αβ为锐角，2sin 10α=，所以cos 10α==，所以2sin 110tan cos 77210ααα==，又因为tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-，所以1tan 3β=，【小问2详解】因为,αβ为锐角，1tan 3β=，所以22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 10cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以sin 22sin cos 3101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=，所以()43cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，又因为,αβ为锐角，所以3π022αβ<+<，所以π24αβ+=.19.设函数()2()log 4(1)x f x m m =+>-．（1）当0m =时，求(1)f 的值；（2）判断()f x 在区间[0,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；（3）当[0,)x ∈+∞时，()f x 的最小值为3，求m 的值．【答案】（1）2（2）()f x 在区间[0,)+∞上的单调递增，证明见解析（3）7【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的解析式，进而求出(1)f 的值；（2）利用函数单调性的定义证明单调性；（3）由（2）的单调性，可得()()min 03f x f ==，求出m 的值.【小问1详解】当0m =时，222()log 4log 22x x f x x ===，所以(1)2f =.【小问2详解】()f x 在区间[0,)+∞上的单调递增，证明如下：在[0,)+∞上任取12,x x ，且12x x <，则()()()()1122122224log 4log 4log 4x x x x m m m m f x f x =++--+=+，因为120x x ≤<，1m >-，所以12144x x ≤<，所以12044x x m m <+<+，即121440x x m m <+<+，所以12204log 4x x m m++<，即()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，即()f x 在区间[0,)+∞上的单调递增.【小问3详解】[0,)x ∈+∞时，由（2）可得()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()()()022min 0log 4log 13f x f m m ==+=+=，所以3217m =-=.20.设函数2()2cos cos (0)f x x x x m ωωωω=++>，且(0)1f =．（1）求m 的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求ω的值及()f x 的零点．条件①：()f x 是奇函数；条件②：()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π；条件③：()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）1m =-（2）选择①，不存在；选择②，12ω=，ππ,Z 6k k -+∈；选择③，1ω=，ππ,Z 122k k -+∈【解析】【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据(0)1f =，即可求解；（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【小问1详解】2()2cos cos f x x x x mωωω=++πcos 212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭，又1(0)2112f m =⨯++=，所以1m =-.【小问2详解】由（1）知，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，选择①：因为()f x 是奇函数，所以()00f =与已知矛盾，所以不存在()f x .选择②：因为()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π，所以π2T =，2πT =，2π21Tω==，12ω=则()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得ππ,Z 6k x k -+∈=.即()f x 零点为ππ,Z 6k k -+∈.选择③：对于()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω>，令πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈，ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈，解得ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈，ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈，即()f x 增区间为ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 减区间为ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以0k =时符合，即()f x 在ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π2π,63ωω⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，所以π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩且2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得1ω=，则()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以令()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得ππ,Z 122k x k =-+∈，即()f x 零点为ππ,Z 122k k -+∈.21.已知集合{}12,,,n A a a a = ，其中*n ∈N 且*4,(1,2,,)i n a i n ≥∈=N ，非空集合B A ⊆，记()T B 为集合B 中所有元素之和，并规定当B 中只有一个元素b 时，()T B b =．（1）若{1,2,5,6,7,8},()8A T B ==，写出所有可能的集合B ；（2）若{}{}1233,4,5,9,10,11,,,A B b b b ==，且()T B 是12的倍数，求集合B 的个数；（3）若{1,2,3,,21}(1,2,,)i a n i n ∈-=L L ，证明：存在非空集合B A ⊆，使得()T B 是2n 的倍数．【答案】21.{}8，{}1,7，{}2,6，{}1,2,522.423.证明见详解【解析】【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的B ；对（3），分情况讨论，寻找使()T B 是2n 倍数的集合B .【小问1详解】所有可能的集合B 为：{}8，{}1,7，{}2,6，{}1,2,5.【小问2详解】不妨设：123b b b <<，由于123311b b b ≤<<≤，且123,,b b b A ∈，所以()123345123091011T B b b b ++=≤=++≤=++.由题意，()T B 是12的倍数时，()12T B =或()24T B =.当()12T B =时，因为12334512b b b ++≥++=，所以当且仅当{}3,4,5B =时，()12T B =成立，故{}3,4,5B =符合题意.当()24T B =时，若311b =，则1213b b +=，故{}3,10,11B =或{}4,9,11B =符合题意；若310b =，则1214b b +=，故{}5,9,10B =符合题意；若39b =，则12345918b b b ++≤++=，无解.综上，所有可能的集合B 为{}3,4,5，{}3,10,11，{}4,9,11，{}5,9,10.故满足条件的集合B 的个数为4.【小问3详解】（1）当n A ∉时，设12···n a a a <<<，则1212,,···,,2,2,···,2n n a a a n a n a n a ---∈{}1,2,3,···,1,1,···,21n n n -+-，这2n 个数取22n -个值，故其中有两个数相等.又因为12···n a a a <<<，于是1222···2n n a n a n a ->->>-，从而12,,···,n a a a 互不相等，122,2,···,2n n a n a n a ---互不相等，所以存在μ，ν{}1,2,···,n ∈使得2a n a μν=-.又因a n μ≠，a n ν≠故μν≠.则{},B a a μν=，则()2T B a a n μν=+=，结论成立.（2）当n A ∈时，不妨设n a n =，则121,,···,n a a a -（4n ≥），在这1n -个数中任取3个数，i j k a a a <<.若j i a a -与k j a a -都是n 的倍数，()()2k i k j j i a a a a a a n -=-+-≥，这与(],,0,21i j k a a a n ∈-矛盾.则,,i j k a a a 至少有2个数，它们之差不是n 的倍数，不妨设()2121a a a a ->不是n 的倍数.考虑这n 个数：1a ，2a ，12a a +，123a a a ++，···，121···n a a a -+++.①若这n 个数除以n 的余数两两不同，则其中必有一个是n 的倍数，又1a ，22a n <且均不为n ，故存在21r n ≤≤-，使得()12···N*r a a a pn n +++=∈.若p 为偶数，取{}12,,···,r B a a a =，则()T B pn =，结论成立；若p 为奇数，取{}12,,···,,r n B a a a a =，则()()1T B pn n p n =+=+，结论成立.②若这n 个数除以n 的余数中有两个相同，则它们之差是n 的倍数，又21a a -，1a 均不是n 的倍数，故存在21s t n ≤<≤-，使得()()()1212······N*t s a a a a a a qn q +++-+++=∈.若q 为偶数，取{}12,,···,s s t B a a a ++=，则()T B qn =，结论成立；若q 为奇数，取{}12,,···,,s s t n B a a a a ++=，则()()1T B qn n q n =+=+，结论成立.综上，存在非空集合B A ⊆，使得()T B 是2n 的倍数.T B是2n的倍数是问题的关键.【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合B，使得()。

北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学2024.7一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，且，则a 可以为（）A. －2B. －1C.D.2.在复平面内，复数对应点的坐标为，则（ ）A. B. C. D. 3. 若向量，，，则（ ）A.B. C. 4D. 4. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 5. 下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（ ）A. B. C D. 6. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D. 7. 若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数茎叶图如图所.的{}220A x x =-<a A ∈321iz+()2,1-z =13i +3i +3i-+13i--()2,5a = ()1,2b x x =-+ a b ⊥ x =1717-4-()f x =()1,1-()()1,12,-+∞ [)2,+∞()[)1,12,∞-⋃+ππ,04⎛⎫⎪⎝⎭tan y x =sin y x =212cos y x=-sin cos y x x=-1x <-210x ->12x x+<-sin 0x x ->cos 0x x +>{}n a {}n a {}n a ()*312N n n n n a a a a n +++⋅=⋅∈示，则下列结论错误的是（ ）A. 甲命中个数的极差为29B. 乙命中个数的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲每组命中个数的中位数是259. 已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（ ）A. B. C.D.10. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）A. 72B. 74C. 76D. 78二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设是等差数列，且，，则数列的前项和_____________.12. 现有甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板，某学校要从中随机选取3种作为教学工具备选，则其中甲、乙、丙中至多有2种被选取的概率为_____________.13. 函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为______，若函数存在极值，则的取值范围为______.14. 已知函数，则_____________.15. 若等差数列满足.对，在中的所有项组成集合.记中最小值为，最大值为，元素个数为，所有元素和为，则下列命题中①为等比数列；②；③；④.所有正确的命题的序号是_____________.1a 2a 3a 4a 5a 5a 81-27-181127G G L L D=L 0L D G 0G 0.50.40.20.21g20.3010≈{}n a 11a =12n n a a +=+{}n a 1010S =()2,11,1x a x f x ax x x ⎧≤=⎨-+>⎩0a >1a ≠a a ()22sin sin 2cos f x x x x =+-5π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a ()*3Nn a n n =∈*N k ∀∈{}na ()12,2kk +kT kTk b k c k L k S 12,,,,k c c c 32kk k b c +=⨯1k L k ≥-413kkS <<三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，，，分别为，，所对的边，已知.（1）求的大小；（2）若且的长.17. 已知数列满足，且.（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求满足条件最大整数.18. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）证明：对，函数有且仅有两个极值点，，并求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围.19. 某学校为了解高一新生体质健康状况，对学生体质进行测试.现从男、女生中各随机抽取40人，测试数据按《国家学生体质健康标准》整理如下：等级数据范围男生人数男生平均分女生人数女生平均分优秀1091.3491良好883.98841及格 16702270.2不及格60以下649.6649.1总计\4075.04071.9（1）若按规定测试数据不低于60，则称体质健康为合格.试估计该校高一新生体质健康合格的概率；（2）在高一新生中，随机选取一名男生和一名女生，试估计恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；（3）已知表中男生与女生在优秀、良好、及格、不及格四个等级的各级平均分都接近（差的绝对值不大的.ABC V a b c A ∠B ∠C ∠()sin 2a C c A =-A 2226a b c c -=-ABC S =V a {}n a 123a =()*121n n n a a n a +=∈+N 11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n a 121112025na a a +++< n ()()2xf x x a e =-0a =()y f x =()()00f ，R a ∀∈()f x 1x 212()x x x <()f x ()()()2112214x f x x f x x x -≥-a []90100，[]8089，[]6079，于0.5），但男生的总平均分75.0却明显高于女生的总平均分71.9.经研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级.（只需写出结论）20. 已知函数，.（1）若曲线在处切线过原点，求的值；（2）若在上最小值为1，求的值；（3）当时，若，都有，求整数的最小值.21. 对给定的正整数，设数列，若存在，使得，则将数列进行操作变换，得到数列，且为，或之一，记为. 设（个），从开始进行次操作变换，依次得到数列，即，.（1）当时，分别判断从开始进行次操作变换，是否可以得到如下数列？若不可以，直接判断即可；若可以，请写出相应的及；①；②；③；（2）当时，从开始进行次操作变换，是否可能得到数列？若不可以，请说明理由；若可以，求出与的所有可能取值.（3）给定正奇数，为使的各项均不相同，求操作变换次数的最小值.()ln 1f x k x x =++R k ∈()y f x =()()1,1f k ()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦k 1k =()0,x ∞∀∈+()()22f x m x x ≤+m 3n ≥12:,,...,n A a a a 1i j n ≤<≤i j a a =A T B B 121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-+-+121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-++-()B T A =0:0,0,...,0A n 00A m T 12,,...,m A A A ()1i i A T A -=1,2,...,i m =4n =0A m T m 121,,...,m A A A -2,0,0,2-2,1,0,2-3,0,1,2--5n =0A m T :,1,0,1,2m A x --x m 5n ≥m A n m北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学 答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】B 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】D 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】##09.100910【13题答案】【答案】①. 2（满足均可）②. 【14题答案】【15题答案】【答案】②③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）证明略， （2）2024【18题答案】【答案】（1） （2）答案略 （3）【19题答案】【答案】（1） （2）（3）去掉的等级为优秀.【20题答案】【答案】（1） （2）或 （3）1【21题答案】【答案】（1）①可以，，，，；②不可以；③不可以1a >()0,1π6A =a =221nn na =+0y =2a ≥17203101k =1ek =e k =-4m =1:1,0,0,1A -2:1,1,1,1A --3:2,0,1,1A --（2），（3）2x =5m =324n n -。

2022-2023学年北京市朝阳区高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．角化为弧度等于（ ）．0135A ．B ．C ．D ．π3π234ππ6【答案】C【详解】分析：根据与的关系，写出对应的弧度，之后再做乘法运算，求出结果即可.180︒π1︒详解：因为，所以，所以，故选C.180=π︒1=180π︒1353135==1804ππ︒点睛：该题考查的是有关角度制与弧度制的转换关系，解决该题的关键是掌握，从而求得180=π︒结果.2．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）()2,0a =()3,1a b -=A ．B ．//C ．D ．2a b ⋅=a b()b a b⊥+a b= 【答案】C【解析】采用排除法，根据向量平行，垂直以及数量积的坐标运算，可得结果.【详解】设，(),b x y =因为向量，，()2,0a =()3,1a b -=则，解得，2301x y -=⎧⎨-=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩所以，故()1,1b =--()1,1a b +=-所以，()()()11110b a b ⋅+=-⨯+-⨯-=所以，()b a b⊥+ 故选：C.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，属基础题.3．已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）()1,1a m=-(),2b m =2m =ab A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当时，，则与共线；2m =()11a =，()22b =，a b当与共线时，， ，a b()12m m -=1221m m ==-，所以 “”是“与共线”的充分不必要条件；2m =a a故选:A.二、多选题4．已知，那么下列命题中成立的是（ ）sin sin αβ>A ．若、是第一象限角，则αβcos cos αβ>B ．若、是第二象限角，则αβtan tan αβ>C ．若、是第二象限角，则αβcos cos αβ>D ．若、是第四象限角，则αβtan tan αβ>【答案】CD【分析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小.【详解】如图(1)，α、β的终边分别为OP 、OQ ，，sin sin MP NQ αβ=>=此时，故A 错；cos cos OM ON αβ=<=如图(2)，OP 、OQ 分别为角α、β的终边，，sin sin MP NQ αβ=>=∴，故B 错；tan tan AC AB αβ=<=如图(2)，角α，β的终边分别为OP 、OQ ，，sin sin MP NQ αβ=>=∴，故C 正确；cos cos ON OM βα=<=如图（4），角α，β的终边分别为OP 、OQ ，sin sin MP NQ αβ=>=∴，故D 正确.tan tan TH TK αβ=>=故选：CD.三、单选题5．已知函数，若对任意的实数，总有，则的最()ππ2sin 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ()()()12f x f x f x ≤≤12x x -小值是（ ）A ．2B ．4C ．D ．π2π【答案】A 【分析】由题知，，先得到所满足的条件，然后再求的1min 2max()(),()()f x f x f x f x ==12,x x 12x x -最小值.【详解】由题意，若对任意的实数，总有，则x ()()()12f x f x f x ≤≤，故由，解得，于1min 2max ()()2,()()2f x f x f x f x ==-==12ππ2sin 225ππ2sin 225x x ⎧⎛⎫+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩111122134,534,5x k k x k k ⎧=+∈⎪⎪⎨⎪=+∈⎪⎩Z Z 是，当时，的最小值为.12124()2x x k k -=-+12k k =12x x -2故选：A6．设定义在上的函数，则（ ）R ()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x A ．在区间上是增函数B ．在区间上是减函数27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．在区间上是增函数D ．在区间上是减函数,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据每个选项中的范围，得到的范围，利用正弦函数的图象得到函数x 3x π+的单调性，再根据函数的符号去绝对值可得的单调性.sin(3y x π=+sin(3y x π=+()f x 【详解】对于A ，当时，，函数为减函数，所以2736x ππ≤≤332x πππ≤+≤sin(3y x π=+为增函数，故A 正确；()|sin(|3f x x π=+sin()3x π=-+对于B ，当时，，函数先递减后递增，所以2x ππ-≤≤-2336x πππ-≤+≤-sin()3y x π=+先递增后递减，故B 不正确；()|sin(|3f x x π=+sin()3x π=-+对于C ，当时，，函数先递增后递减 ，所以84x ππ≤≤11724312x πππ≤+≤sin()3y x π=+先递增后递减，故C 不正确；()|sin(|3f x x π=+sin(3x π=+对于D ，当时，，函数为递减函数，所以233x ππ≤≤233x πππ≤+≤sin()3y x π=+()|sin()|3f x x π=+为递减函数，当时，，函数为递减函数，所以sin(3x π=+2536x ππ<≤736x πππ<+≤sin(3y x π=+为增函数，故D 不正确.()|sin(|3f x x π=+sin()3x π=-+故选：A【点睛】关键点点睛：熟练掌握正弦函数的单调性是本题解题关键.7．设是第二象限角，则的终边在（ ）α3αA ．第一、二、三象限B ．第二、三、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限【答案】D 【分析】由，得到，对k 赋值判断.π2π2ππ,Z 2k k k α+<<+∈2ππ2ππ,Z 36333k k k α+<<+Î【详解】解：因为是第二象限角，α所以，π2π2ππ,Z 2k k k α+<<+∈，2ππ2ππ,Z 36333k k k α+<<+Î当 时，，在第一象限；=0k ππ633α<<当 时， ，在第二象限；=1k 5ππ63α<<当 时， ，在第四象限；=2k 3π5π233α<<故选：D8．若,则cos 2sin αα+=tan α=A ．B ．2C ．D ．1212-2-【答案】B【解析】将，两边平方，再利用“1”的代换可得，即cos 2sin αα+=()222cos 2sin 5sin cos αααα+=+，再分子分母同除以，得到求解.2222cos 4sin 4sin cos 5sin cos αααααα++=+2cos α2214tan 4tan 5tan 1ααα++=+【详解】cos 2sin αα+= ，()2cos 2sin 5αα∴+=则，()222cos 2sin 5sin cos αααα+=+即，2222cos 4sin 4sin cos 5sin cos αααααα++=+，2214tan 4tan 5tan 1ααα++∴=+解得.tan 2α=故选：B【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数基本关系式化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值n 记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成n π2n 2n πA ．B ．C ．D ．360sin nnπ︒360cosnnπ︒180cosnnπ︒90cosnnπ︒【答案】C【分析】设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：r n ，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问180180sin cosn n n n π⨯=⨯2n 2180sin n n n π⨯= 题得解.【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，r n n 由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：n ，整理得：，221360sin 2r n r n π≈⨯⨯ 1360sin2n n π≈⨯⨯此时，即：1360sin 2n n n π⨯⨯= 180180sin cosn n n n π⨯=⨯同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：2n ，整理得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯13601802sin sin 22n n n n π≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n n π⨯=所以2180sin 180cosnnn nnππ==⨯故选C【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．10．如图所示，边长为1的正方形的顶点，分别在边长为的正方形的边ABCD A D 2A B C D ''''和上移动，则的最大值是（ ）A B ''A D ''A B A C ''⋅A ．4B ．C ．D ．21+π【答案】D【分析】建立直角坐标系，设，求出、两点的坐标，利用平面向量数量积的坐标表A AD θ'∠=B C 示公式，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式以及三角函数的性质即可求得最大值.【详解】如图：以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系：A 'A B ''x 设，由于，故，，A AD θ'∠=1AD =cos A A θ'=sin A D θ'=如图，，π2BAx θ∠=-1BA =故，，πcos cos cos sin 2B x θθθθ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭πsin cos 2B y θθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即，，()cos sin ,cos B θθθ+()cos sin ,cos A B θθθ'=+同理，，，即，CDy θ∠=sin C x θ=cos sin Cy θθ=+()sin ,cos sin C θθθ+()sin ,cos sin A C θθθ'=+所以()()sin cos sin cos cos sin A B A C θθθθθθ=+++''⋅，22cos sin 2sin cos 1sin 2θθθθθ=++=+当即时，有最大值，π22θ=π4θ=A B A C ''⋅ 112+=故选：D四、填空题11．已知600°角的终边上有一点，则a 的值为___________.(,3)P a -【答案】【解析】根据任意角的三角函数的定义可得，即可求得的值.3tan 60a ︒=-a 【详解】tan 600tan(360240)︒︒︒=+tan(18060)︒︒=+3tan 60a ︒==-=a =故答案为：.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义及其应用.12．已知，，则，夹角的大小为_____________．8a b ⋅=- 16a b =a b 【答案】120°【分析】根据向量的夹角公式计算求解即可.【详解】设，夹角为，，a b θ81cos ,0180°162a b a b θθ⋅-===-≤≤120°θ∴=故答案为：120°.13．若，，则 .1tan 2α=()2tan 5βα-=()tan 2βα-=【答案】112-【分析】将式子中的角变成，然后利用两角差的正切公式求解即可.2βα-()βαα--【详解】.()()()()21tan tan 152tan 2tan 211tan tan 12152βααβαβααβαα----=--===-⎡⎤⎣⎦+-+⨯故答案为：112-【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式，解题的关键是把要求的角转化成已知角的和与差，属于基础题.14．若平面向量满足：；则的最小值是_________,a b 23a b -≤ a b ⋅ 【答案】98-【详解】试题分析：因为，所以，，－8，所以23a b -≤22(2)49a b a b +-⋅≤9≤≥98-，即的最小值是．98-【解析】不本题主要考查平面向量模的计算，数量积．点评：简单题，涉及平面向量模的计算问题，往往要“化模为方”．15．函数，若函数在区间内没有零点，则实数()211sin sin (0)222xf x x ωωω=+->()f x x ∈()π,2π的取值范围是_____ω【答案】][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【分析】由三角恒等变换公式化简，再根据三角函数性质列式求解【详解】，1cos 11()sin 2224x f x x x ωπωω-=+-=-时，，()π,2πx ∈πππ(π,2π)444x ωωω-∈--无解，则()=0f x ππ(π,2π)(π,π),Z44k k k ωωπ--⊆+∈当时，得，解得，=0k ππ04π2ππ4ω-≥ω-≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1548ω≤≤当时，得，解得，1k =-πππ4π2π04ω-≥-ω-≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩108ω<≤当时，得，得无解，=1k πππ4π2π2π4ω-≥ω-≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ω同理得取其他整数时无解，k 综上，的取值范围是.ω][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦故答案为：][1150,,848⎛⎤⋃⎥⎝⎦五、解答题16．已知，与的夹角是.4,8a b ==a b 120 (1)求的值及的值；a b ⋅ a b+(2)当为何值时，？k ()()2a b ka b+⊥-【答案】(1)，；16a b ⋅=- a b += (2).7k =-【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求(2)()a b ka b +⊥- (2)()0a b ka b +⋅-=解．【详解】（1）∵，与的夹角是，4,8a b ==a b 120 ∴，1cos12048162a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；a +=== （2）由题意，，()()()2222210a b ka b ka b k a b +⋅-=-+-⋅= 即，()1612816210k k ---=解得，7k =-即时，.7k =-()()2a b ka b+⊥- 17．已知函数()2cos sin f x x x=+(1)求的值；π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)求的最大值和最小值，并写出取最值时x 的值．()f x【答案】(1)π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)，或，，，()max 54f x =()π2π3x k k Z =+∈()π2π3x k k Z =-∈()min 1f x =-()21πx k =+Z k ∈【分析】（1）将代入函数解析式求解；π6x =（2）由，利用二次函数的性质求解.()2215cos 1cos cos 24f x x x x ⎛⎫=+-=--+⎪⎝⎭【详解】（1）解：；22πππ1cos sin 6662f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2），()2215cos 1cos cos 24f x x x x ⎛⎫=+-=--+⎪⎝⎭因为，1cos 1x -≤≤所以当时，，1cos 2x =()max 54f x =此时或()π2π3x k k Z =+∈()π2π3x k k Z =-∈当时，，cos 1x =-()min 1f x =-此时，.()21πx k =+Z k ∈18．已知向量，.(2sin ,cos )a x x =(cos ,2cos )b x x = （1）设，求的单调递增区间；()f x a b =⋅()f x （2）若，向量与共线，且为第二象限角，求的值．(2,1)c = a b - c x ()a b c +⋅【答案】（1）的单调递增区间为（2）()f x 3[,,Z88k k k ππππ-+∈【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式将函数整理为，令()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解出的范围即为所求的单调递增区间；（2）根据向量共线的坐标表222242k x k πππππ-≤+≤+x 示可求得，利用同角三角函数关系求得；根据数量积的坐标运算可求得结果.tan x sin ,cos x x【详解】（1）()22sin cos 2cos sin 2cos 21214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭由，得：，222242k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈388k x k ππππ-≤≤+Zk ∈的单调递减增区间为：，()f x \3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2），()2sin cos ,cos a b x x x -=-- ()2,1c =与共线 ，即a b + c2sin cos 2cos x x x ∴-=-1tan 2x =-是第二象限角，x sin x ∴=cos x =又()2sin cos ,3cos a b x x x +=+()4sin 2cos 3cos 4sin 5cos a b c x x x x x ∴+⋅=++=+=【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解、平面向量数量积的坐标运算，涉及到平面向量数量积运算、向量共线的坐标表示、同角三角函数关系、利用二倍角和辅助角公式化简三角函数等知识.19．已知函数在区间上的最大值为6.()222cos f x x x m=++0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）求常数的值及函数图像的对称中心；m ()f x （2）作函数关于轴的对称图像得函数的图像，再把函数的图像向右平移个单()f x y ()1f x ()1f x 4π位得函数的图像，求函数的单调减区间.()2f x ()2f x 【答案】（1），对称中心为；（2）.3m =(),4212k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】（1）化简可得，由最大值求得，令可()2sin 216x m f x π⎛⎫+++ ⎪⎭=⎝3m =2,6x k k Z ππ+=∈求得对称中心；（2）根据图像变换求得的解析式，再根据三角函数的性质即可求出单调递减区间.()2f x【详解】（1），()2cos 212sin 216x x m x mf x π⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭=当时，，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以当时，取得最大值为，所以，262x ππ+=()f x 36m +=3m =则，()2sin 246f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令，则，2,6x k k Zππ+=∈,212k x k Z ππ=-∈所以的对称中心为；()f x ,4,212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭（2）和关于轴对称，，()1f x ()f x y 1()2sin 246f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴把函数的图像向右平移个单位得，()1f x 4π2()2sin 242cos 24266f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令可得222,6k x k k Zππππ-+∈ 7.1212k x k k Z ππππ++∈ 故的单调减区间为.()2f x ()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 20．如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲EF FBC 线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛()2sin 0,03y A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭[]4,0x ∈-()1,2B -，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧CD CD EF O ．DE（1）求的值和的大小；ωDOE ∠（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一ODE EF 个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大OD PDE POE θ∠=值时的值．θ【答案】（1）， ；（2）.6π4π8πθ=【详解】试题分析：（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值．试题解析：(1)由条件得.∴.∴曲线段的解析式为.当时，.又，∴,∴.(2)由(1)，可知.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.设,,“矩形草坪”的面积为.∵，∴,故当，即时，取得最大值．21．如果函数的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得()y f x =成立，则称此函数具有“性质”．()()f x a f x +=-()P a(1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有a 的值；若不具有sin y x =()P a ()P a“性质”，请说明理由；()P a(2)设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个()y g x =()1P ±1122x -≤≤()g x x =()y g x =y mx =数为2023个，求m 的值．【答案】(1)具有"性质"，sin y x =()P a()2ππ,a k k =+∈Z (2)12023m =±【分析】（1）根据题意，直接验证函数是否有性质即可得到结果；sin y x =()P a（2）根据题意，由“性质”可得是以2为周期的周期函数，然后分奇数，偶数讨论，()1P ±()y g x =即可得到是周期为1的函数，最后分讨论，即可得到结果.()y g x =0,0,0m m m ><=【详解】（1）由得，()()sin sin x a x +=-()sin sin x a x+=-根据诱导公式得()2ππ,a k k =+∈Z 所以具有"性质"，其中．sin y x =()P a()2ππ,a k k =+∈Z （2）∵具有"性质"，∴，．()y g x =()1P ±()()1g x g x +=-()()1g x g x -+=-∴，()()()()2111g x g x g x g x +=++=--=从而是以2为周期的周期函数．()y g x =设，则，所以1322x ≤≤11122x -≤-≤()()()()()2111111g x g x g x g x x x g x =-=-+-=-+=-+=-=-再设，()1122n x n n -≤≤+∈Z 当时，，则，所以()2n k k =∈Z 112222k x k -≤≤+12221x k -≤-≤；()()22g x g x k x k x n=-=-=-当时，，则，所以()21n k k =+∈Z 11212122k x k +-≤≤++13222x k ≤-≤.()()221g x g x k x k x n=-=--=-∴对于，都有．()1122n x n n -≤≤+∈Z ()g x x n =-而，所以．1111122n x n +-≤+≤++()()()()111g x x n x n g x +=+-+=-=∴是周期为1的函数．()y g x =①当时，要使得与有2023个交点，0m >y mx =()y g x =只要与在上有2022个交点，而在有一个交点即可．y mx =()y g x =[)0,1011[)1011,1012∴过，从而得；y mx =20231,22⎛⎫⎪⎝⎭12023m =②当时，同理可得；0m <12023m =-③当时，不合题意．0m =综上所述，．12023m =±【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解“性质”，类似于函数的周期性，解答第二问的关()P a键在于得到函数的对称性与周期性，即可得到结果.()g x。

卜人入州八九几市潮王学校和平区第一二零二零—二零二壹高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题：1.l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，那么以下说法正确的选项是〔〕 A.假设lα⊥，m α⊂，那么l m ⊥B.假设l m ⊥，m α⊂，那么l α⊥C.假设//l m ，m α⊂，那么//l αD.假设//lα，m α⊂，那么//l m【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的断定与性质、线面平行的断定与性质依次判断各个选项可得结果. 【详解】A 选项：由线面垂直的性质定理可知A 正确；B 选项：由线面垂直断定定理知，l 需垂直于α内两条相交直线才能说明l α⊥，B 错误；C 选项：假设l α⊂，那么平行关系不成立，C 错误；D 选项：,l m 的位置关系可能是平行或者异面，D 错误.应选：A【点睛】. 2.圆22240xy x y +-+=与直线()2220tx y t t R ---=∈的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可确定其恒过的定点，由点与圆的位置关系的断定方法知该定点在圆内，那么可知直线与圆相交. 【详解】由()2220tx y tt R ---=∈得：()()2220x t y --+=∴直线()2220tx y t t R ---=∈恒过点()1,2-142850+--=-<()1,2∴-在圆22240x y x y +-+=内部∴直线()2220tx y t t R ---=∈与圆22240x y x y +-+=相交应选：C【点睛】此题考察直线与圆位置关系的断定，涉及到直线恒过定点的求解、点与圆的位置关系的断定，属于常考题型. 3.假设3,2θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，直线:tan 1l y x θ=⋅+的倾斜角等于〔〕 A.θπ- B.θC.2πθ- D.πθ+【答案】A 【解析】 【分析】 根据0,2πθπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭以及()tan tan θθπ=-可求出直线l 的倾斜角.【详解】3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πθπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且直线l 的斜率为()tan tan θθπ=-， 因此，直线l 的倾斜角为θπ-.应选：A.【点睛】此题考察直线倾斜角的计算，要熟悉斜率与倾斜角之间的关系，还要根据倾斜角的取值范围来求解，考察计算才能，属于根底题.4.点A (－1,1)和圆C ：〔x ﹣5〕2+〔y ﹣7〕2=4,一束光线从A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是－2B.8D.10【答案】B 【解析】 【分析】点A 〔﹣1，1〕关于x 轴的对称点B 〔﹣1，﹣1〕在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的路程最短，最短为|BC|﹣R ．【详解】由反射定律得点A 〔﹣1，1〕关于x 轴的对称点B 〔﹣1，﹣1〕在反射光线上，当反射光线过圆心时，最短间隔为|BC|﹣2=10﹣2=8，故光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为8． 应选B ．【点睛】此题考察光线的反射定律的应用，以及两点间的间隔公式的应用．5.过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，那么直线l 与m 间的间隔为()A.4B.2C.85D.125【答案】A 【解析】设:30212032120l ax y m a m ax y a -+=∴--+=∴-++=54a =∴=，因此直线l 与m 4=，选A.6.(2021全国I 理科)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何〞其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少〞1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【答案】B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，那么12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，应选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为()B. C.132D.【答案】C 【解析】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，那么OD ⊥底面ABC ，那么O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R ＝1328.点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点PA 、PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，假设四边形PACB 的最小面积是2，那么k 的值是〔〕A.3B.2C. D.2【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，可知Rt PAC Rt PBC ∆≅∆，由四边形PACB 的最小面积是2，可知此时PA PB=取最小值2，由勾股定理可知PCC 到直线()400kx y k ++=>结合点到直线的间隔公式可求出k 的值.【详解】如以下列图所示，由切线长定理可得PA PB=，又AC BC=，PC PC=，且90PAC PBC ∠=∠=，Rt PAC Rt PBC ∴∆≅∆，所以，四边形PACB 的面积为PAC ∆面积的两倍， 圆C 的HY 方程为()2211x y +-=，圆心为()0,1C，半径为1r =，四边形PACB 的最小面积是2，所以，PAC ∆面积的最小值为1， 又11122PACS PA AC PA ∆=⋅=≥，min 2PA ∴=，由勾股定理PC ==≥当直线PC 与直线()400kx y k ++=>垂直时，PC即min PC ==24k =，0k >，解得2k =.应选：D.【点睛】此题考察由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点P 的位置，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.9.假设直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，那么()()2222a b -+-的最小值为〔〕B.5 D.10【答案】B 【解析】试题分析：把圆的方程化为HY 方程得()()22214x y +++=，所以圆心M 坐标为()2,1--半径2r ，因为直线l始终平分圆M的周长，所以直线l过圆M的圆心M，把()2,1M --代入直线:10l ax by ++=得；210,a b --+=即210a b +-=，(),a b 在直线210x y +-=上，()()2222a b -+-是点()2,2与点(),a b 的间隔的平方，因为()2,2到直线210a b +-=的间隔d ==()()2222a b -+-的最小值为5，应选B.考点：1、圆的方程及几何性质；2、点到直线的间隔公式及最值问题的应用.【方法点晴】此题主要考察圆的方程及几何性质、点到直线的间隔公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，此题就是利用几何意义，将()()2222a b -+-的最小值转化为点到直线的间隔解答的. 10.假设圆()2229x y -+=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的间隔为2，那么直线l 的斜率的取值范围是〔〕A.,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎦⎣⎭B.(),-∞⋃+∞C.⎡⎢⎣⎦D.⎢⎣【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，设圆心到直线l 的间隔为d ，利用数形结合思想可知1d ≤，并设直线l 的方程为0kx y ，利用点到直线的间隔公式可得出关于k 的不等式，解出即可.【详解】如以下列图所示：设直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程可表示为y kx =，即0kx y ，圆心为()2,0C，半径为3r =，由于圆C 上至少有三个不同的点到直线l 的间隔为2，所以32d -≥，即1d ≤，即()22211k d k =≤+-，整理得231k ≤，解得3333k -≤≤，因此，直线l 的斜率的取值范围是33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 应选：C.【点睛】此题考察直线与圆的综合问题，解题的关键就是确定圆心到直线间隔所满足的不等式，并结合点到直线的间隔公式来求解，考察数形结合思想的应用，属于中等题. 二、填空题： 11.在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，1AC BC ==，那么异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．【答案】3010【解析】 【分析】先找出线面角，运用余弦定理进展求解【详解】连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，那么1DE AC ，连接1A E1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角在111RtAC B 中，111AC =，1111122C E C B ==1A E ∴=同理可得12A D =,2DE =2221cos A DE +-∠==,∴异面直线1A B 与1AC所成角的余弦值是10【点睛】此题主要考察了异面直线所成的角，考察了空间想象才能，运算才能和推理论证才能，属于根底题． 12.直线1:420l mx y +-=与2:250l x y n -+=互相垂直，且垂足为()1,p ，那么m n p -+的值是______. 【答案】20 【解析】 【分析】先由两直线垂直，可求出m 的值，将垂足点代入直线1l 的方程可求出p 的点，再将垂足点代入直线2l 的方程可求出n 的值，由此可计算出m n p -+的值.【详解】12l l ⊥，()2450m ∴+⨯-=，解得10m =，直线1l 的方程为10420x y +-=，即5210x y +-=， 由于点()1,p 在直线1l 上，51210p ∴⨯+-=，解得2p =-，将点()1,2-的坐标代入直线2l 的方程得()21520n ⨯-⨯-+=，解得12n =-，因此，1012220m n p -+=+-=.故答案为：20.【点睛】此题考察了由两直线垂直求参数，以及由两直线的公一共点求参数，考察推理才能与计算才能，属于根底题.13.点()2,5A 和点()4,7B ，点P 在y 轴上，假设PA PB +的值最小，那么点P 的坐标为______.【答案】170,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】作出图形，作点A 关于y 轴的对称点()2,5A '-，由对称性可知PA PA '=，结合图形可知，当A '、P 、B 三点一共线时，PA PB PA PB '+=+取最小值，并求出直线A B '的方程，与y 轴方程联立，即可求出点P 的坐标. 【详解】如以下列图所示，作点A 关于y 轴的对称点()2,5A '-，由对称性可知PA PA '=，那么PA PB PA PB A B''+=+≥，当且仅当A '、P 、B 三点一共线时，PA PB +的值最小，直线A B '的斜率为751423-=+，直线A B '的方程为()1743y x -=-，即3170x y -+=， 联立31700x y x -+=⎧⎨=⎩，解得0173x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因此，点P 的坐标为170,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：170,3⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察利用折线段长的最小值求点的坐标，涉及两点关于直线对称性的应用，考察数形结合思想的应用，属于中等题.14.三棱锥P ABC -中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，那么12V V =____________ 【答案】14【解析】 【详解】由1.2EABPAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 间隔为h ，那么点D 到平面PAB 间隔为12h ，所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅== 考点：几何体的体积.15.设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，假设AB =，那么圆C 的面积为________ 【答案】4π 【解析】因为圆心坐标与半径分别为(0,),C a r =，所以圆心到直线的间隔d ==，那么2232a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4S r πππ==+=，应填答案4π．16.假设直线y ＝x ＋m 与曲线xm 的取值范围是______.【答案】{m |－1＜m ≤1或者m}【解析】 【分析】 由x 2+y 2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是〔0，0〕的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数m 的取值范围． 【详解】由x 2+y 2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是〔0，0〕的半圆， 且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点， 从图上看出其三个极端情况分别是： ①直线在第四象限与曲线相切， ②交曲线于〔0，﹣1〕和另一个点， ③与曲线交于点〔0，1〕．直线在第四象限与曲线相切时解得m=，当直线y=x+m 经过点〔0，1〕时，m=1．当直线y=x+m 经过点〔0，﹣1〕时，m=﹣1，所以此时﹣1＜m≤1．综上满足只有一个公一共点的实数m 的取值范围是：﹣1＜m≤1或者m=．故答案为：{m |－1＜m ≤1或者m ．【点睛】此题考察实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用． 三、解答题： 17.在ABC ∆中，角A ，,BC ，的对边分别是a ，b ，c ，()()sin sin a b A B -+()sin sin c A C =-，4c =．〔1〕假设6b =，求sinA ．〔2〕假设D E 、在线段BC 上，且BD DEEC ==，AE =，求AD 的长．【答案】〔1〔2【解析】 【分析】〔1〕根据正弦定理化简边角关系式，可整理出余弦定理形式，得到1cos 2B =；再根据正弦定理求得sin C ，根据同角三角函数得到cos C ；根据两角和差公式求得sin A ；〔2〕设BD x =，在AEB ∆中利用余弦定理构造方程求得1x =，从而可证得2AEB π=∠，利用勾股定理求得结果.【详解】〔1〕()()()sin sin sin sin a b A B c A C -+=-由正弦定理得：()()()a b a b c a c -+=-整理得：222a cb ac +-=2221cos 22a cb B ac +-∴==由正弦定理sin sin b cB C=得：64sin sin3C π=sin C ⇒=〔2〕设BD x =，那么：2BE x =，AE =在ABE ∆中，利用余弦定理2222cos AE AB BE AB BE B =+-⋅得：221121642422x x x =+-⨯⨯⨯，解得：2x =-〔舍〕或者1x =2BE ∴=，AE =4AB =，即222BE AE AB +=2AEB π∴∠=【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到正弦定理化简边角关系式、同角三角函数求解、两角和差公式的运算，考察对于定理和公式的应用，属于常规题型.18.在四棱锥P ABCD -中，BCBD DC ===2AD AB PD PB ====．〔1〕假设点E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ； 〔2〕当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值．【答案】〔1〕见解析；〔2.【解析】 【分析】(I)结合平面与平面平行断定,得到平面BEM 平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD 和平面PDB 的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可. 【详解】(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . 由得，BCD ∆为等边三角形，BM CD ⊥.∵2AD AB ==，BD =∴30ADB ABD ∠=∠=， ∴90ADC ∠=，∴//BM AD .又∵BM⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD . 又∵EM⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴EM ∥平面PAD . ∵EM BMM ⋂=，∴平面BEM ∥平面PAD∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . (Ⅱ)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥.∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.那么D (0，3-，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).易知平面PBD 的一个法向量为()1100n =，，.设平面PCD 的法向量为()2n x y z =，，，那么2n DC ⊥，2n DP ⊥，∴220n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∵()330DC =，，，()031DP =，，，∴33030x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩.令3y =，得13x z =-=-，，∴()2133n ，，=--，∴121212113cos 1313n n n n n n ⋅-===-⋅，.设二面角C PD B --的大小为θ，那么13cos 13θ=. 【点睛】本道题考察了平面与平面平行断定和性质,考察了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难. 19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.〔1〕求证：//MN平面ABCD ；〔2〕求二面角11D AC B --的正弦值；〔3〕设E 为棱11A B 上的点，假设直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2310；〔372 【解析】【详解】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2MN ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 〔Ⅰ〕证明：依题意，可得(0,0,1)n=为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD〔Ⅱ〕，设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，那么1110{0n AD n AC ⋅=⋅=，即220{20x y z x -+==，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =，设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，那么2120{n AB n AC ⋅=⋅=，又1(0,1,2)AB =，得20{20y z x +==，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =- 因此有12121210cos ,10n n n n n n ⋅〈〉==-⋅12310,10sin n n 〈〉=所以二面角11D AC B --310〔Ⅲ〕依题意，可设111A EA B λ=，其中[0,1]λ∈，那么(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+，又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，由得 2221cos ,3(1)(2)1NE n NE n NE nλ⋅〈〉===⋅-+++，整理得2430λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈，解得72λ=，所以线段1A E 72.考点：直线和平面平行和垂直的断定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用. 20.在平面直角坐标系xOy 中，圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线3y =上.〔1〕假设圆M 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 〔不同于原点O 〕，求证：AOB ∆的面积为定值；〔2〕设直线3:43l y x =-+与圆M 交于不同的两点C 、D ，且OC OD =，求圆M 的方程；〔3〕设直线y =2〕中所求圆M 交于点E 、F ，P 为直线5x =上的动点，直线PE 、PF 与圆M 的另一个交点分别为G 、H ，求证：直线GH 过定点.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕()(2214x y -+-=；〔3〕证明见解析. 【解析】 【分析】〔1〕由题意设圆心坐标为t ⎛⎝⎭，可得半径为r =0x =、0y =，可得出点B 、A 的坐标，利用三角形的面积公式即可证明出结论成立；〔2〕由OC OD=，知OMl ⊥，利用两直线垂直的等价条件：斜率之积为1-，解方程可得t ，讨论t的取值，求得圆心到直线的间隔，即可得到所求圆的方程； 〔3〕设()05,Py ，()11,G x y 、()22,H x y ，求得E 、F 的坐标，以及直线PE 、PF 的方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合3PEPF k k =，得出()121227200x x x x -++=，设直线GH 的方程为y kx b =+，代入圆的方程，利用韦达定理，可得b 、k 之间的关系，即可得出所求的定点.【详解】〔1〕由题意可设圆心为Mt ⎛ ⎝⎭，那么圆的半径为r =那么圆M 的方程为()22223x t y t t t ⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即2220x y tx y +--=.令0x =，得y t =，得0,B t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；令0y =，得2x t =，得()2,0A t .11222AOB S OA OB t ∆∴=⋅==〔定值〕；〔2〕由OC OD=，知OMl ⊥，所以2OM k t==1t =±.当1t =时，圆心(M 到直线:4l y x =+的间隔)21d =小于半径，符合题意；当1t =-时，圆心(1,M -到直线:4l y x =+的间隔)21d =大于半径，不符合题意.所以，所求圆M 的方程为()(2214x y -+=；〔3〕设()05,Py ，()11,G x y ，()22,H x y，又知(E -，(F ，所以016PEGE y k k ===，022PF FH y k k ===. 因为3PE PF k k =，所以(()(()22122212913y yx x ⨯=+-.将(()221141y x =--，(()222241y x -=--代入上式，整理得()121227200x x x x -++=.①设直线GH 的方程为y kx b =+，代入()(2214x y -+=，整理得()()2221220k x kb x b ++--+-=.所以122221kb x x k --+=-+，21221b x x k-⋅=+.代入①式，并整理得(2271030b k b k +-+-+=，即(250b k b k ++=，解得2b k =或者5b k =.当2b k =时，直线GH 的方程为()2y k x =-(；当5bk =时，直线GH 的方程为()5y k x =-，过定点(检验定点(和E 、F 一共线，不合题意，舍去.故GH过定点(.【点睛】此题考察圆的方程的求法和运用，注意运用联立直线方程和圆的方程，消去一个未知数，运用韦达定理，考察直线恒过定点的求法，考察运算才能，属于难题．。

2020年北京市朝阳区数学高二(下)期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在复平面内，复数(),z a bi a R b R =+∈∈对应向量OZ uuu v（O 为坐标原点），设OZ r =u u u v ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边逆时针旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：()()cos sin cos sin nn n z r i r n i n θθθθ=+=+⎡⎤⎣⎦，则()101-+=（ ）A ．1024-B ．1024-+C ．512-D ．512-+【答案】D 【解析】 【分析】将复数化为()1111cos sin z r i θθ=+的形式，再利用棣莫弗定理解得答案. 【详解】()10101010222020112(cos sin )2(cos sin )2()51233332i i ππππ⎛⎫-=+=+=-=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查复数的计算，意在考查学生的阅读能力，解决问题的能力和计算能力.2．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A ．-40B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点 【答案】B 【解析】 【分析】由图判断函数()h x 的单调性，结合()y g x =为()y f x =在点P 处的切线方程，则有'0()0h x =，由此可判断极值情况. 【详解】由题得，当0(,)x x ∈-∞时，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，又''000()()()'0h x g x f x =-=，则有0x 是()h x 的极小值点，故选B . 【点睛】本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解.4．若变量x ，y 满足约束条件211y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1x yx ++的取值范围是（ ）A ．11[,]22- B ．13[,]22C ．11(,][,)22-∞-⋃+∞D ．13(,][,)22-∞+∞U分析：根据题意，将1x yx ++化简成斜率的表达形式111y x -++；所以就是求可行域内与()1,1-连线斜率的取值范围加1,。

高一数学（答案在最后）2024.9本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，只需将答题纸交回.一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合{12},{3}M xx N x x =<<=<∣∣，则M N = （）A.{2}xx <∣ B.{3}xx <∣ C.{12}x x <<∣ D.{13}xx <<∣【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由交集的运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为集合{12},{3}M x x N x x =<<=<∣∣，则{12}M N xx ⋂=<<∣.故选：C2.已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{Z |2}A x x =∈<，则U A =ð（）A.{}1,0,1- B.{}2,2,3- C.{}2,1,2-- D.{}2,0,3-【答案】B 【解析】【分析】由补集的运算即可求解.【详解】解：{}{Z |2}1,0,1A x x =∈<=-，{}2,2,3U A ∴=-ð，故选：B ．3.已知x ，y ∈R ，则“x y >”是“22x y >”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】通过特例，结合充分必要条件的判定方法即可判断.【详解】()12->-，而()()2212-<-同样()()2221->-，而()21-<-，所以充分性、必要性都不成立.故选：D4.命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是（）A.2R,0x x ∀∉≥B.2R,0x x ∀∈<C.2R,0x x ∃∈<D.2R,0x x ∃∈≥【答案】C 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定是存在题词命题，再直接写出命题的否定.【详解】命题：2R,0x x ∀∈≥是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是：2R,0x x ∃∈<，故选：C5.设a ，b 为非零实数，则“0a b >>”是“11a b<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由0a b >>可以得到11a b<，故充分性成立，当2a =-，3b =-时满足11a b<，但是推不出0a b >>，故必要性不成立，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分而不必要条件.故选：A6.函数224()(0)x x f x x x-+=>的最小值及取得最小值时x 的值为（）A.当2x =±时最小值为2B.当1x =时最小值为3C.当0x =时最小值为4D.当2x =时最小值为2【答案】D 【解析】【分析】将函数224()x x f x x -+=化成4()2f x x x =+-的形式，然后用均值不等式即可求出答案.【详解】函数2244()2x x f x x x x-+==+-，当0x >时，4222x x +-≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，所以当2x =时最小值为2.故选：D.7.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（）A.80B.70C.60D.50【答案】B 【解析】【分析】利用韦恩图分析出只阅读过西游记的人数为10，从而求出答案.【详解】如图所示，因为阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，所以只阅读过红楼梦的人数为20，又其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，故只阅读过西游记的人数为10，所以这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为601070+=.故选：B8.已知0a >，0b >，2a b +=，则14y a b=+的最小值是（）A.72B.4C.92D.5【答案】C 【解析】【分析】将2a b +=化为12a b+=，即可将14y a b=+变形为142a b y a b +⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式即可求得答案.【详解】0,0,2a b a b >>+= ，12a b+∴=，14142a b y a b a b +⎛⎫⎛⎫∴=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭52525922222222b a b a a b a b =++≥+⋅=+=（当且仅当423b a ==时等号成立），故选：C9.已知不等式2304kx kx -+>对任意的实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为（）A.{|03}k k <<B.{|03}k k <≤C.{|03}k k ≤<D.{|03}k k ≤≤【答案】C 【解析】【分析】先对k 的取值进行分类讨论，在0k ≠时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得.【详解】因不等式2304kx kx -+>对任意的实数x 恒成立，则①当0k =时，不等式为304>，恒成立，符合题意；②当0k ≠时，不等式在R 上恒成立等价于20Δ30k k k >⎧⎨=-<⎩，解得：03k <<.综上可得：实数k 的取值范围为{|03}k k ≤<.故选：C.10.已知正数a ，b 满足26a b +=，则1221a b +++的最小值为（）A.78B.109C.910 D.89【答案】C 【解析】【分析】由26a b +=，得到22210a b +++=，再利用“1”的代换求解.【详解】解：因为26a b +=，所以22210a b +++=，所以()1211419222521102221010a b a b a b ⎡⎛⎫+=++++≥+=⎢ ⎪++++⎝⎭⎢⎣，当且仅当()2222b a +=+，即43a =，73b =时，等号成立．故选：C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝2，则xy 的最大值为________．【答案】1【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为x ＞0，y ＞0所以x y +≥即2≤，解得1xy ≤，当且仅当1x y ==时等号成立.则xy 的最大值为1.故答案为：1.12.若不等式20ax bx c --<的解集是{23}xx <<∣，则不等式20cx bx a -->的解集为__________．【答案】1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据不等式的解集与对应方程的关系，结合韦达定理，求,,a b c 的关系，代入所求不等式，即可求解.【详解】由题意可知，0236a ba c a⎧⎪>⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，5b a =，6c a =-，则220650cx bx a ax ax a -->⇔--->，即26510x x ++<，即()()21310x x ++<，解得：1123x -<<-，所以不等式的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎩⎭.故答案为：1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎩⎭13.某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人___________台.【答案】300【解析】【分析】由总成本表示出平均成本，利用基本不等式求最小值和取最小值时x 的值.【详解】购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++，则平均成本()150112600P x x x x =++≥+=，当且仅当150600x x=，即300x =时，平均成本最低为2万元.故答案为：300.14.已知1x >，则11y x x =+-的最小值为_____，当y 取得最小值时x 的值为______.【答案】①.3②.2【解析】【分析】利用基本不等式求出最小值以及y 取得最小值时x 的值．【详解】10x -> ，11111311y x x x x ∴=+=-++≥+=--当且仅当2x =时取等号故答案为：3;215.设S 为非空数集，若,a b S ∀∈，都有a b +，a b -，ab S ∈，则称S 为封闭集.下列命题：①整数集是封闭集；②自然数集是封闭集；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则一定有0S ∈.其中所有真命题的序号为_______________.【答案】①④##④①【解析】【分析】根据集合新定义进行验证即可．【详解】解：对于①，当a ∈Z ，b ∈Z 时，a b +，a b -，ab ∈Z ，即整数集是封闭集，故①正确；对于②，当2a =，3b =时，1N a b -=-∉，自然数集不是封闭集，故②错误；对于③，当0a b ==时，{}0是封闭集，但不是无限集，故③错误；选项④，当a b =时，0a b -=，故0S ∈，，故④正确；故答案为：①④.三、解答题（共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.设集合{}(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=．（1）若{}2A B = ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1-或3-.（2）3a ≤-【解析】【分析】（1）由题可知2B ∈，将其代入集合B 中的方程求出a ，然后检验是否满足题意即可；（2）由题可知B A ⊆，因此根据判别式∆讨论集合B 中元素的个数即可.【小问1详解】由2320x x -+=得=1或=2，故集合{}1,2.A ={}2,2AB B ⋂=∴∈ ，代入B 中的方程,得2430a a ++=，解得=−1或3a =-；当=−1时，{}{}2402,2B xx =-==-∣，满足条件；当3a =-时，{}{}24402B xx x =-+==∣，满足条件；综上可得，a 的值为1-或3-.【小问2详解】对于集合B 中的方程，()()22Δ4(1)4583a a a =+--=+,A B A B A ⋃=∴⊆ ,①当Δ0<，即3a <-时,B =∅满足条件;②当Δ0=,即3a =-时，{}2B =，满足条件；③当Δ0>，即3a >-时,{}1,2B A ==才能满足条件,则由根与系数的关系得：()21221125a a ⎧+=-+⎨⨯=-⎩解得2527a a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以a 无解,综上可得，a 的取值范围是3a ≤-.17.已知集合{}2340,{0}A xx x B x x a =--≤=->∣∣．（1）当4a =时，求A B ；（2）若()A B =∅R ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}1A B x x ⋃=≥-（2）1a <-【解析】【分析】（1）化简集合,A B ，直接利用并集运算求解即可；（2）化简集合，根据交集运算结果求解参数.【小问1详解】由题知，{}{}234014A xx x x x =--≤=-≤≤∣，{}{0}B x x a x x a =->=>∣，因为4a =，所以{}4B x x =>，所以{}1A B x x ⋃=≥-.【小问2详解】因为()A B =∅R ð，且{}14A x x =-≤≤，{}R B x x a =≤ð，所以1a <-.18.解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．【答案】答案见解析.【解析】【分析】分类讨论解含参的一元二次不等式即得.【详解】不等式()2330ax a x -++≤化为(3)(1)0ax x --≤，当0a =时，解得1x ≥；当0a <时，不等式化为3(1)0x x a --≥，解得3x a≤或1x ≥；当0a >时，不等式化为3()(1)0x x a--≤，若0<<3a ，即31a>，解得31x a ≤≤；若3a =，解得1x =；若3a >，即31a <，解得31x a≤≤，所以当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≥；当0a <时，原不等式的解集为3{|1}x x a a≤≥或；当0<<3a 时，原不等式的解集为3{|1}x x a≤≤；当3a =时，原不等式的解集为{1}；当3a >时，原不等式的解集为3{|1}x x a≤≤.19.（1）已知3x >，求43x x +-的最小值．（2）已知102x <<，求()12x x ⋅-的最大值．【答案】（1）7；（2）18．【解析】【分析】（1）配凑后根据基本不等式求出和的最小值即可；（2）变形后根据基本不等式求出积的最大值即可.【详解】（1）因为3x >，所以30x ->，所以()443333x x x x +=+-+--∵()4343x x +-≥=-∴473x x +≥-（当且仅当5x =时等号成立），所以所求最小值为7．（2）因为102x <<，所以120x ->，所以()()()2212111122122248x x x x x x -⋅-=⨯≤+-⨯=，当且仅当212x x =-，即14x =时等号成立，所以所求最大值为18．20.已知:p x A ∈，且{}|11A x a x a =-<<+；:q x B ∈，且{}2|430B x x x =-+≥.（1）是否存在实数a ，使得A B =∅ ，A B = R ，若存在求出实数a 的值，若不存在，说明理由；（2）若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）存在，2a =（2）(][),04,-∞+∞U 【解析】【分析】（1）化简集合B ，假设存在实数a 满足条件，由此可列不等式求a ；（2）结合充分条件定义可得A B ⊆，根据集合包含关系列不等式求a 的取值范围.【小问1详解】解不等式2430x x -+≥，得3x ≥或1x ≤，故{|3B x x =≥或}1x ≤假设存在a ，使得A B =∅ ，A B =R ，则有13a +=且11a -=，解得2a =，所以当2a =时满足题意；【小问2详解】若p 是q 的充分条件，则A B ⊆，则11a +≤，或13a -≥解得0a ≤，或4a ≥，所以a 的取值范围为(][),04,∞∞-⋃+.21.设(){}{}12,,,0,1,1,2,,n n i S x x x x i n =⋯∈=⋯（n 为正整数），对任意的()12,,,n x x x α=⋅⋅⋅，()12,,,n y y y β=⋅⋅⋅，定义1122n nx y x y x y αβ⋅=++⋅⋅⋅+（1）当3n =时，()1,1,0α=，()1,0,1β=，求αβ⋅；（2）当3n =时，集合n A S ⊆，对于任意α，A β∈，αβ⋅均为偶数，求A 中元素个数的最大值；（3）集合n A S ⊆，对于任意α，A β∈，αβ≠，均有0αβ⋅≠，求A 中元素个数的最大值．【答案】（1）1（2）4（3）12n -【解析】【分析】（1）直接根据定义计算即可；（2）当3n =时，集合n A S ⊆，对于任意α，A β∈，αβ⋅均为偶数，则有两种情况，一种任意两个元素相同位置不能同时出现1，另一种情况必有两个相同位置同时出现1，分别讨论即可判断个数最大值；（3）由()12,,,n x x x α=⋅⋅⋅得到()121,1,,1n x x x γ=--⋅⋅⋅-，再根据0αγ⋅=且0αβ⋅≠，得到A γ∉，由此即可判断A 中个数.【小问1详解】当3n =时，1122331110011x y x y x y αβ⋅=++=⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】因为112233x y x y x y αβ⋅=++均为偶数，所以结果为0或2，若0αβ⋅=，则A 中的任意两个元素乘积为0，即()()()()0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0共有四个元素，若2αβ⋅=，则A 中必有两个位置为1，即()()0,1,1,1,1,1，所以A 中元素个数的最大值为4;【小问3详解】()12,,,n x x x α=⋅⋅⋅，α中的“1”变为“0”，“0”变为“1”，得到()121,1,,1n x x x γ=--⋅⋅⋅-，可得0αγ⋅=，因为0αβ⋅≠，A α∈，所以A γ∉，因为n S 中有2n 个元素，则A 中元素个数最多有1222nn -=个，所以A 中元素个数的最大值为12n -.【点睛】关键点点睛：本题主要考查集合中元素个数的最大值求法，关键在于理解材料中的定义，根据条件要求确定元素位置上的取值不同，再进行讨论得到个数最大值，而在不限n 时，需根据要求判断出对立条件下的情况，即可求解.。