(完整版)2020.1北京市朝阳区高一年级第一学期期末-数学试题及答案(图片版),推荐文档

北京市朝阳区2023-2024学年度第一学期期末质量检测高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）A （2）B （3）B （4）D （5）D （6）C（7）A（8）B（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）40（12）28n n + （13）（14）43（答案不唯一）（15）① ④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）由(0)10f m =+=得1m =−．所以2()cos cos 1f x x x x =+−cos2111212cos222222x x x x +=+−=+−π1sin(2)62x =+−．所以()f x 的最小正周期为2π2πT ==． ················································· 7分（Ⅱ）由πππ2π22π262k x k −++≤≤（k ∈Z ），得ππππ36k x k −+≤≤（k ∈Z ）．所以()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k −+（k ∈Z ）．因为()f x 在区间[0,]t 上单调递增，且ππ0[,]36∈−，此时0k =，所以π6t ≤，故t 的最大值为π6． ······················································· 13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）取PB 的中点F ，连接,CF EF ．因为E 是PA 的中点，所以//,2EF AB AB EF =． 又因为//,2AB DC AB DC =， 所以//EF DC 且EF DC =．所以四边形CDEF 为平行四边形． 所以//DE CF ．又因为DE ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． ······································································ 5分 （Ⅱ）取BC 的中点O ，连接PO ．因为PB PC =，所以PO BC ⊥． 又因为侧面PBC ⊥底面ABCD ， 且平面PBC平面ABCD BC =，所以PO ⊥平面ABCD ．如图，在平面ABCD 中，作//Oy BA ， 则,,PO BC PO Oy Oy BC ⊥⊥⊥， 建立空间直角坐标系O xyz −．选条件①：连接AO ，在Rt ABO △中，因为2AB =，1BO =，所以AO 在Rt PAO △中，因为AP =，AO =PO ．所以1(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(2A B C D P E −−−．所以13(,1,),(2,1,0)22BE BD ==．设平面EDB 的法向量是(,,)x y z =m ，则 0,0,BE BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即10,220.x y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令1x =，则2,y z =−=． 于是(1,=−m ．因为PO ⊥平面ABCD ，所以(0,0,1)=n 是平面BDC 的法向量．所以cos ,||||〈〉⋅==m n m n m n ．由题知，二面角E BD C −−为钝角，所以其余弦值为． ···················· 14分选条件③：连接AO ，因为PO ⊥平面ABCD ， 所以PAO ∠是直线AP 与平面ABCD 所成角．所以tan PO PAO AO ∠==．在Rt ABO △中，因为2,1AB BO ==，所以AO在Rt PAO △中，因为PO AO AO =，所以PO =．下同选条件①． ··············································································· 14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）设“甲比乙的步数多”为事件A ．在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多，所以2()7P A =． ··············································································· 3分（Ⅱ）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天．X 的所有可能取值为0,1,2，321255230127277533(0),(1),(2)777241C C C C C P X P X C C C C =========．所以X 的分布列为2416()0127777E X =⨯+⨯+⨯=． ························································· 10分（Ⅲ）11月6日． ···················································································· 13分 （19）（共15分）解：（Ⅰ）由()ln 1()R f x x a x a =−−∈得()1af x x '=−，依题意，(1)10f a '=−=，得1a =．经验证，()ln 1f x x x =−−在点(1,0)处的切线为0y =，所以1a =． ··········· 4分（Ⅱ）由题得()1a x a f x x x −'=−=．（1）若1a ≤，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以()f x 无极值点． （2）若1a >，当(1,)x a ∈时，()0f x '<，故()f x 在区间(1,)a 上单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在区间(,)a +∞上单调递增．所以x a =为()f x 的极小值点，且()f x 无极大值点． 综上，当1a ≤时，()f x 在区间(1,)+∞内的极值点个数为0；当1a >时，()f x 在区间(1,)+∞内的极值点个数为1． ····················· 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知当1a ≤时，()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=．所以()f x 在区间(1,)+∞内无零点．当1a >时，()f x 的单调递减区间为(1,)a ，单调递增区间为(,)a +∞． 所以()(1)0f a f <=．若()f x 在区间(1,)+∞内有零点t ，则(,)t a ∈+∞．而22()2ln 1f a a a a =−−，设2()2ln 1(1)g x x x x x =−−>， 则()22(1ln )1ln )g x x x x x '=−+=−−．设()2(1ln )(1)h x x x x =−−>，则12(1)()2(1)0x h x x x −'=−=>，所以()h x 在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)0g a g >=，即2()0f a >． 又2()0,f t a a =>， 所以2t a <． ··················································································· 15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题可知(,0),(0,),||A a B b AB −=因为AOB △的面积为1，所以112AOB S ab ==△．因为点O 到直线AB的距离为，所以1||12AOB S AB ===△．所以222,5,,ab a b a b =⎧⎪+=⎨⎪>⎩得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为2214x y +=． ························································ 5分（Ⅱ）点N 为线段CM 的中点，理由如下：由题知直线l 的斜率存在，设过点(2,1)P −的直线l 的方程为1(2)y k x −=+，即(2)1y k x =++． 由22(2)1,44,y k x x y =++⎧⎨+=⎩得2222(14)(168)16160k x k k x k k +++++=．由2222(168)4(14)(1616)640k k k k k k ∆=+−++=−>，得0k <． 设11)(,C x y ，22)(,D x y ，则221212221681616,1414k k k k x x x x k k +++=−=++． 直线AD 的方程为22(2)2y y x x =++，令1x x =，得点M 的纵坐标212(2)2M y x y x +=+．直线AB 的方程为1(2)2y x =+，令1x x =，得点N 的纵坐标11(2)2N y x =+．要证点N 为线段CM 的中点，只需证明1)1(2N M y y y =+，即112M N y y y +=．因为2211112(2)(2)(2)(2)2M N y y y y y x x x x +++++=+121121121222222222222222(2)(2)(4)(2)(2)422()4168414216161682()41414(168)416216162(168)4(14)48242121,k x x x x x x x x k x x x x k k k k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k+++++=++++=+++++−++=++++−+++−+++=++−+++−=+=+−=所以点N 为线段CM 的中点． ····························································· 15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）10b =，20b =，31b =，103b =； ························································ 3分 （Ⅱ）由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =．若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=， 所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾． 所以11a =．设*1)(n n n d a a n +−∈=N ，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ．假设存在*k ∈N 使得2k d ≥．设k a t =，由12k k a a +−≥得12k a t ++≥．由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾．所以对任意*n ∈N 都有1n d =．所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+−=． ······································ 8分（Ⅲ）因为对于*n ∈N ，1n n B B +⊆，所以1n n b b +≤．所以111n n n n b n b n b ++++<++≤，即数列{}n n b +是递增数列． 先证明S T =∅．假设ST ∅≠，设正整数p ST∈．由于p S ∈，故存在正整数i p <使得i p i a =+，所以i a p i =−． 因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以11i a p i +−+≥．所以1p i b i −=−，1p i b i−+=．所以()11p i p i b p i i p −−+=−+−=−，1(1)11p i p i b p i i p −+−++=−++=+．又因为数列{}n n b +是递增数列，所以p T ∈/，矛盾． 所以S T =∅．再证明*ST =N ． 由题可知*ST ⊆N ．设*q ∈N 且q S ∈/，因为数列{}n n a +是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数j ，使得jq j a <+．令0min{|}j j j q j a =<+．若01j =，则11q a <+，即11a q >−，所以1a q ≥． 所以q b =，所以q q b q T+=∈．若01j >，则000101j j j a q j a −−+<<+，所以00101j j a q j a −<−+≤．所以0101q j b j −+=−，所以00100(1)11q j q j b q j j q−+−++=−++−=．因为001(1)q j q j b T−+−++∈，所以q T ∈．所以*S T ⊆N ．综上，*ST =N 且ST =∅．·························································· 15分。

北京市朝阳外国语学校2020-2021学年度第一学期期末考试高一年级 数学试卷班级_____层______ 姓名______________ 成绩__________一、 单项选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合{}1,0,1,2A =-,{B x y ==，则()RAB 等于 （ ）A.{}1B.{}0C.{}1,0-D.{}1,0,1-2.下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是 （ ） A.cos y x =B.|1|y x =-C.2y x =D.ln y x =3.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是 （ ） A.sin(+)2πα B.s(+)2co πα C.sin()πα+ D.s()co πα+4.函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ） A.()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5.下列命题正确的是 （ ）A.若a b ≥，则11≤a bB.若ln ln a b ≥，则11≤a bC.若a b ≥，则b c b a c a+≥+ D.a b e e ≥，则11≤a b 6.已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 在π2π[,]63上单调递增”是“02ω<≤”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在ABC ∆中,若tan tan 1,A B >则ABC ∆是 （ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 8.函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A.B.C. D.9.已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 （ ）A.123x x x <<B.132x x x <<C.213x x x <<D.312x x x <<10.如图，假定两点P ，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 作匀速运动，CQ x =；点P 沿 线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB y =)．令 P 与Q 同时分别从A ，C 出发，那么，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x 与y 的对应关系就是7710110()exy =，其中e 为自然对数的底．当点P 从线段AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为 （ ） A.3ln 2B.4ln 3C.ln 2D.ln3二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填写在答题卡横线上.） 11.命题p ：“[)0,x ∀∈+∞，2x e x >”的否定形式p ⌝为__________________. 12.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若PCA1sin 3α=，则cos()αβ-=___________.13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则t =___________,s 的最小值为____________. 14.函数()cos23cos f x x x =--的最小值为___________．15.若满足60,12,ABC AC BC k ∠===的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是_________ .16.已知函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=,且当(]0,2x ∈时(),23xf x =-有以下三个结论： ①()112f -=-； ②当1142a ⎛⎤∈⋅⎥⎝⎦时，方程()f x α=在区间[]4.4-上有三个不同的实根； ③函数()f x 有无穷多个零点，且存在一个零点Z b ∈.其中，所有正确结论的序号是____________. 三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 17.（本小题满分12分）已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-． （Ⅰ）当1m =-时，求AB ；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若AB =∅，求实数m 的取值范围．18.（本小题满分15分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<同时．．满足下列四个条件中的三个：① 最小正周期为π； ② 最大值为2； ③(0)1f =-； ④()06f π-=.（Ⅰ）给出函数()f x 解析式，并说明理由； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.（Ⅲ）求函数()f x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．19.（本小题满分14分）已知二次函数 ()222f x x ax =++．（Ⅰ）若[]15x ∈， 时，不等式()3f x ax >恒成立，求实数a 的取值范围． （Ⅱ）解关于x 的不等式 ()()21a x x f x ++>（其中 a ∈R ）．20.（本小题满分15分）若a ，b ，c 为锐角ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且()222sin sin sin sin sin B C B C B C +-+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆面积的取值范围．21.（本小题满分14分）对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数． （Ⅰ）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可） （Ⅱ）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）（Ⅲ）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．北京市朝阳外国语学校2020-2021学年度第一学期期末考试高一年级 数学试卷答案一、 单项选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.D2.C3.D4.A5.B6.A7.C8.D9.A 10.B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填写在答题卡横线上.）11.[)00,∃∈+∞x ，020x e x ≤ 12. 79- 13.12t =，s 的最小值为6π14.4- 15.{|012k k <≤或k = 16.①②. 三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 17.【详解】（1）当1m =-时，{}22B x x =-<<，则{}23A B x x ⋃=-<<；（2）由A B ⊆知122113m mm m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-，即m 的取值范围是(],2-∞-；（3）由AB =∅得①若21mm ，即13m ≥时，B =∅符合题意；②若21m m ，即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩．得103m ≤<或m ∈∅，即103m ≤<．综上知0m ≥，即实数的取值范围为[)0,+∞．18.解：（Ⅰ）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-.这与π0,02A ϕ><<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④. 由条件①，得2ππ||ω=， 又因为0ω>，所以2ω=. 由条件②，得2A =. 由条件④，得ππ()2sin()063f ϕ-=-+=，又因为π02ϕ<<，所以π3ϕ=.所以π()2sin(2)3f x x =+. （Ⅱ）由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ， 得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . （Ⅲ）当,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，[]()2sin 21,23f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ 所以函数f(x)的值域为[]1,2-．19.【详解】(1) 不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]15x ∈， 时，可变形为：222x a x x x +<=+，即min 2a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭.又2x x +≥=2x x=，即[]15x =，时，等号成立，2min x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即a <实数a的取值范围是：a <（2） 不等式 ()()21a x x f x ++>，即 ()22122a x x x ax ++>++，等价于()21220ax a x +-->，即()()210x ax -+>，①当0a =时，不等式整理为20x ->，解得：2x >； 当0a ≠时，方程()()210x ax -+=的两根为：11x a=-，22x = ②当0a >时，可得102a -<<，解不等式 ()()210x ax -+>得：1x a<- 或 2x >； ③当102a -<<时，因为12a ->，解不等式 ()()210x ax -+>得：12x a <<-；④当12a =-时，因为12a -=，不等式 ()()210x ax -+>的解集为 ∅；⑤当12a <-时，因为12a -<，解不等式 ()()210x ax -+>得：12x a-<<；综上所述，不等式的解集为：①当0a =时，不等式解集为()2,+∞；②当0a >时，不等式解集为()12a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭,,；③当102a -<<时，不等式解集为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；④当12a =-时，不等式解集为∅；⑤当12a <-时，不等式解集为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．20.【详解】（1）在ABC ∆中，可得B C A +=π-，所以sin()sin()sin B C A A π+=-=， 因为()222sin sin sinsin sin B C B C B C +-+=，即222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理，可得222b c a bc +-=，又由余弦定理，可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）由（1）知3A π=，可得23B C π+=， 又由正弦定理sin sin c b C B = ，可得sin 2sin sin sin b C Cc B B==，则2sin()112sin 313sin 2sin 22sin 3sin 22tan ABC B C S bc A B B Bππ-==⨯⨯⨯==+⨯， 因为ABC ∆为锐角三角形，可得02B π<<且2032B ππ<-<，解得62B ππ<<，所以tan B >，所以10tan B<>所以2ABC S <<△，即ABC 的面积的取值范围是2. 21【详解】（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2．（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =， 考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=，若d c c -=，则考虑,b c ，2c b c c d <+<=，c b S ∴-∈，则c b b -=，{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．（3）记1009n =，则21S n =+，首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=， 分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，2n Mx ∴=， 对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈， 特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=，以此类推：()1i x im i n =≤≤，22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．。

北京市朝阳区2019-2020学年高一（上）期末数学试卷选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1 3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2 8．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4} 9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的．（横线上填“上方”或者“下方”）14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B （x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值2019-2020学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x＜﹣1，x2≤1，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．3．（5分）下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．【解答】解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；对于D，若a＜b＜0，则，成立；故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T ＝，可得结论．【解答】解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T＝＝π，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y＝A sin （ωx+φ）的周期等于T＝，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断．【解答】解：∵x＞0，根据幂函数的性质可知，y＝＞0，不符合题意，∵﹣1≤sin x≤1，∴2+sin x＞0恒成立，故选项B不符合题意，C：∵x2﹣x+1＝，而f（x）＝ln（x2﹣x+1），故值域中不恒为正数，符合题意，D：当x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞0恒成立，不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．6．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再讨论充要性．【解答】解：由a，b，c∈R，知：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，∴“a＝b＝c”⇒“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”，“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”⇒“a，b，c不全相等”．“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．【点评】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4}【分析】作出函数f（x）与函数g（x）的图象，数形结合即可判断出a的取值范围【解答】解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的示意图如图：因为f（x）＝x+﹣a≥2﹣a＝4﹣a（x＞0），当且仅当x＝2时取等号，而g（x）的对称轴为x＝2，最大值为7，根据条件可知0＜4﹣a＜7，解得﹣3＜a＜4，故选：D．【点评】本题考查函数图象交点问题，涉及对勾函数图象在第一象限的画法，二次函数最值等知识点，属于中档题．9．（5分）已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c 的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．【解答】解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg ＜0，不满足题意；故选：D．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是中档题．10．（5分）已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22【分析】要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，结合题意，则需前8项最小，第9项最大，则第10项为第9项加1，由此建立不等式，求出第9项的最大值，进而得解．【解答】解：依题意，要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，则x i＝i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8），且x10＝x9+1，故，即，又2×292+2×29﹣1815＝﹣75＜0，2×302+2×30﹣1815＝45＞0，故x9的最大值为29，∴x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为29﹣（1+2+3+4）＝19．故选：A．【点评】本题考查代数式最大值的求法，考查逻辑推理能力及创新意识，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是[﹣2，2]．【分析】根据集合A的意义，利用△≤0求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则不等式x2﹣ax+2＜0无解，所以△＝（﹣a）2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的上方．（横线上填“上方”或者“下方”）【分析】求出点C1，M的纵坐标，作差后利用基本不等式即可比较大小，进而得出结论．【解答】解：依题意，A1（x1，log2x1），B1（x2，log2x2），则，则＝，故点C1在线段A1B1中点M的上方．故答案为：上方．【点评】本题考查对数运算及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是①②③．【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解．【解答】解：在①中，函数＝cos2x是偶函数，故①正确；在②中，∵y＝tan x在（﹣，）上单调递增，∴函数f（x）＝tan2x在上单调递增，故②正确；在③中，函数图象的对称轴方程为：2x+＝kπ+，k∈Z，即x＝，k＝0时，x＝，∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确；在④中，将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos（2x+）的图象，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a 的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．【解答】解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组，可得：且⇒a＜0且﹣1＜a＜2⇒﹣1＜a＜0故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．故答案为：（﹣1，1），{a|a≥0或a≤﹣1}．【点评】本题主要考查对称点的求法以及二元一次不等式组和平面区域之间的关系，属于基础题．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是A（r cosα，r sinα），从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．【分析】由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），根据题意∠BOx＝ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．【解答】解：由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），则∠BOx＝ωt+α，点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．故答案为：A（r cosα，r sinα），y＝r sin（ωt+α）．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，三角函数解析式，属于中档题．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；【分析】（Ⅰ）容易求出A＝{x|﹣1≤x≤6}，然后进行补集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，解出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集、补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅲ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值．【解答】解：（Ⅰ）若点在角α的终边上，所以，，故，所以tan2α＝＝＝．f（α）＝＝2．（Ⅱ）由于函数f（x）＝sin2x﹣2＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅲ）由于，所以，所以当x＝时，函数的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）将a＝2代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅲ）问题转化为h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由2f（1）＝﹣f（﹣1）得，，解得a＝﹣3；（Ⅱ）当a＝2时，，设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ），若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，即h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点（x＝a不是函数h（x）的零点），且二次函数h（x）＝2x2﹣3x+3a的对称轴为，若函数h（x）在（0，1）上有唯一零点，依题意，①当h（0）h（1）＜0时，3a（3a﹣1）＜0，解得；②当△＝0时，9﹣24a＝0，解得，则方程h（x）＝0的根为，符合题意；③当h（1）＝0时，解得，则此时h（x）＝2x2﹣3x+1的两个零点为，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．【点评】本题考查函数单调性的证明及二次函数的零点分布问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质可得，解出即可；（Ⅱ）根据题意，求得，依题意，在（0，1）上恒成立，由此得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知，，则只需求出的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，则，解得﹣a＜x＜2﹣a，∴所求不等式的解集为（﹣a，2﹣a）；（Ⅱ）由题意，2y＝log2（3x+a），即f（x）的相关函数为，∵对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，∴当x∈（0，1）时，恒成立，由x+a＞0，3x+a＞0，a＞0得，∴在此条件下，即x∈（0，1）时，恒成立，即（x+a）2＜3x+a，即x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＜0在（0，1）上恒成立，∴，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）当a＝1时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上，f（x）＜g（x），∴，令，则，令μ＝3x+1（1＜μ＜4），则，∴，当且仅当“”时取等号，∴|F（x）|的最大值为．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查换元思想的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。

2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，则∁U A＝（）A．{3，4}B．{﹣1，3，4}C．{0，1，2}D．{﹣1，4}2．已知向量＝（﹣1，2），＝（x，4），且⊥，则||＝（）A．B．C．D．83．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．3D．44．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝（）A．B．C．10D．155．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点．若|PF|＝4，则|PM|＝（）A．B．5C．D．6．已知函数，给出下列四个结论：①函数f（x）是周期为π的偶函数；②函数f（x）在区间上单调递减；③函数f（x）在区间上的最小值为﹣1；④将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象与g（x）＝sin2x的图象重合．其中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且f（1）＝0，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x+x．设a＝f（5），，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a8．已知圆C：x2+y2＝4，直线l：x+y+t＝0，则“l与C相交”是“|t|＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，D为垂足．若|DF|＝|DA|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与曲线y＝x3从左至右依次交于A，B，C三点．若直线l：kx﹣y+3＝0（k∈R）上存在点P满足||＝2，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．二、填空题（共5小题）.11．设a∈R．若复数z＝i（1+ai）为纯虚数，则a＝，z2＝．12．在（x2+）6的展开式中，常数项是．（用数字作答）13．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据《周髀算经》记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五．一般地，像（3，4，5）这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组．若从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，12，15），（9，40，41），（10，24，26），（11，60，61），（12，16，20）这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为．14．若函数f（x）＝sin（x+φ）+cos x为偶函数，则常数φ的一个取值为．15．设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意x1∈D，存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M，给出下列四个结论：①函数y＝x3﹣x不具有性质M；②函数具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]具有性质M，则t＝510；④若函数具有性质M，则a＝5．其中，正确结论的序号是．三、解答题（共6小题）.16．在△ABC中，，c＝3，且b≠c，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）b的值；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：sin B＝2sin A；条件②：sin A+sin B＝2sin C．17．某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，绘制成评分频率分布直方图如图：（Ⅰ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；（Ⅱ）从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和的大小．（结论不要求证明）18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，，E是线段AD的中点，连结BE．（Ⅰ）求证：BE⊥PA；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段PB上是否存在点F，使得EF∥平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．已知椭圆（a＞b＞0）过点，且C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，求|PA|•|PB|的取值范围．20．已知函数f（x）＝lnx﹣（a+2）x+ax2（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围．21．已知无穷数列{a n}满足：a1＝0，a n+1＝a n2+c（n∈N*，c∈R）．对任意正整数n≥2，记M n＝{c|对任意i∈{1，2，3，…n}，|a i|≤2}，M＝{c|对任意i∈N*，|a i|≤2}．（Ⅰ）写出M2，M3；（Ⅱ）当c＞时，求证：数列{a n}是递增数列，且存在正整数k，使得c∉M k；（Ⅲ）求集合M．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，则∁U A＝（）A．{3，4}B．{﹣1，3，4}C．{0，1，2}D．{﹣1，4}解：∵U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{0，1，2}，∴∁U A＝{﹣1，3，4}．故选：B．2．已知向量＝（﹣1，2），＝（x，4），且⊥，则||＝（）A．B．C．D．8解：根据题意，向量＝（﹣1，2），＝（x，4），若⊥，则•＝﹣x+8＝0，则x＝8，故＝（8，4），则||＝＝4，故选：C．3．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．3D．4解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P﹣ABC，底面三角形ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝2，AB⊥BC，三棱锥的高为PO＝2．∴该三棱锥的体积为V＝．故选：A．4．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝（）A．B．C．10D．15解：log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5＝log3（a1a2a3a4a5）＝log3a35＝log395＝10，故选：C．5．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点．若|PF|＝4，则|PM|＝（）A．B．5C．D．解：∵P是C上一点．且|PF|＝4，∴PD＝4＝x+1⇒x P＝3代入y2＝4x得y P2＝12，∴PM＝＝＝2，故选：C．6．已知函数，给出下列四个结论：①函数f（x）是周期为π的偶函数；②函数f（x）在区间上单调递减；③函数f（x）在区间上的最小值为﹣1；④将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象与g（x）＝sin2x的图象重合．其中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④解：由f（﹣x）＝cos（﹣2x﹣）＝cos（2x+）≠f（x），所以f（x）不是偶函数，故①错误；因x，所以2x﹣∈[0，π]，而余弦函数在[0，π]上单调递减，故②正确；因x，所以2x﹣∈[﹣，]，所以f（x）的最小值为﹣，故③错误；将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，y＝cos[2（x﹣）﹣]＝cos（﹣2x）＝sin2x，故④正确；故选：D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且f（1）＝0，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x+x．设a＝f（5），，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a解：因为当x∈（0，1）时，f（x）＝2x+x，又f（x+2）＝f（x），且f（x）为奇函数，所以f（5）＝f（3）＝f（1）＝0，即a＝0，＝，故b＞0，＝，故c＜0，所以b＞a＞c．故选：A．8．已知圆C：x2+y2＝4，直线l：x+y+t＝0，则“l与C相交”是“|t|＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：圆心C（0，0），半径为2，则圆心到直线l的距离为，因为l与C相交，则有d＜r，所以，即，所以“l与C相交”是“|t|＜2”的必要而不充分条件．故选：B．9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，D为垂足．若|DF|＝|DA|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．解：过点D作DC⊥AF于点C，∵|DF|＝|DA|，∴点C为AF的中点，∴|CF|＝|AF|＝，而点F（﹣c，0）到渐近线y＝﹣x的距离为|DF|＝＝b，∴cos∠AFD＝＝，即＝，∴c（a+c）＝2b2＝2（c2﹣a2），即c2﹣ac﹣2a2＝0，∴c＝2a或c＝﹣a（舍），∴离心率e＝＝2．故选：B．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与曲线y＝x3从左至右依次交于A，B，C三点．若直线l：kx﹣y+3＝0（k∈R）上存在点P满足||＝2，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．解：∵f（x）＝x3和y＝mx都是奇函数，∴B为原点，且A，C两点关于原点对称．故原点O为线段AC的中点．∴|+|＝|2|＝2||＝2，∴|PB|＝1．即P为单位圆x2+y2＝1上的点．∴直线l：y＝kx+3与单位圆有交点，∴≤1，解得k≥2或k≤﹣2．故选：D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A ＝{﹣2，1，2，3}，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，1}B ．{﹣2，2}C ．{1，2}D ．{2，3}2．命题“∀x ∈R ，都有|x |+x ≥0”的否定为（ ） A ．∃x ∈R ，使得|x |+x ＜0 B ．∃x ∈R ，使得|x |+x ≥0 C ．∀x ∈R ，都有|x |+x ≤0D ．∀x ∈R ，都有|x |+x ＜03．若a ，b ，c 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．1a ＜1bC ．ac ＞bcD ．2a ＞2b4．设x ∈R ，则“x ＞1”是“x 2＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知x 0是函数f （x ）＝e x +x 3的一个零点，且a ∈（﹣∞，x 0），b ∈（x 0，0），则（ ） A ．f （a ）＜0，f （b ）＜0 B ．f （a ）＞0，f （b ）＞0C ．f （a ）＞0，f （b ）＜0D ．f （a ）＜0，f （b ）＞06．已知a =(23)12，b =(13)12，c =log 2312，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=1，φ=−π4B ．ω=1，φ=π4C ．ω=2，φ=−π4D ．ω=2，φ=π48．函数f （x ）＝|sin x |+cos x 是（ ） A ．奇函数，且最小值为−√2 B ．奇函数，且最大值为√2 C ．偶函数，且最小值为−√2D ．偶函数，且最大值为√29．已知函数f （x ）的图象是在R 上连续不断的曲线，f （x ）在区间[1，+∞）上单调递增，且满足f （2﹣x ）+f （x ）＝0，f （2）＝3，则不等式﹣3＜f （x +1）＜3的解集为（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣1，1）C ．（0，2）D ．（1，3）10．在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c 随时间t （单位：min ）的变化规律可以用函数模型c =c 0+λe−tδ近似表达．在该通风条件下测得当t ＝0，t ＝5，t ＝10时此会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当t ＝15时c 的值约为（ ）A ．0.04%B ．0.05%C ．0.06%D ．0.07%二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．函数f （x ）＝lg （x +1）的定义域是 ． 12．已知x ＞1，则x +1x−1的最小值为 ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，若角α的终边经过点P(−45，35)，角β的终边与角α的终边关于原点对称，则sin α＝ ，cos β＝ ．14．已知函数f （x ）＝a •2x ﹣1的图象过原点，则a ＝ ；若对∀x ∈R ，都有f （x ）＞m ，则m 的最大值为 ．15．将函数f （x ）＝sin2x 的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g （x ）的图象．若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则φ的一个取值为 ．16．已知函数f （x ）＝2x +b ，g （x ）为偶函数，且当x ≥0时，g （x ）＝x 2﹣4x ．记函数T （x ）={f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)＜g(x)，给出下列四个结论：①当b ＝0时，T （x ）在区间[﹣2，+∞）上单调递增； ②当b ＝﹣8时，T （x ）是偶函数； ③当b ＜0时，T （x ）有3个零点；④当b ≥8时，对任意x ∈R ，都有T （x ）＞0． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分。

北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一年级数学试卷20(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共5()分)和非选择题(共100分)两部分第一部分(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题海小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 己知集合 A = {—1,0,1},集合 B = {xeZ∣T -2x5θ},那么 AUB 等于(A) {-l}(B) {0,1} 2. 已知命题P ^X<-l,x 1>1,则是(A) 3x<-1, X 2≤ 1 (C) ∀x<-l,x 2>1 3. 下列命题是真命题的是(A)若a>b>O > 则ac 2 >bc 2(C)若 αvbvθ,贝 IJ cr <ab< b 24. 函数/(x) = COS 2X-Sin 2X 的最小正周期是(B) π(C) {0,l,2} (D) {-1,0,1,2}(B) ∀x≥-l,x 2>1 (D) av≤-l,x 2≤l(B) 若a>b ,则α? >b 2(D)若a<b<Q,则->-a b(C) 2π (D) 4π(B) /(x) = SillX+26.己知 α,b,Ce 贝 IJ aa =b =c ,f tia 2+b 2+c 2 >ab + ac +bc ,f fi ⅛(A)充分而不必要条件 (B 〉必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5. 已知函数/(x)在区间(0, + ∞)上的函数值不恒为正, 则在下列函数中，/(X)只可能是(C) /(x) = ħι(x 2-x+l)(D) ∕ω=2v-l,x>0 -x + l,x≤O(A) f(X) = X-7.通过科学研究发现：地震时释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE =4.8 + 1.5M .已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E l, E2,则耳和血的关系为(A) E I = 32E2(B) E l = 64E2(C) E L = IOOOE2 (D) E l = 1024£：& 己知函数f(x) = x+--a(aeR)f g(x) = -x2 +4x+3 f在同一平面直角坐标系里，函X 数∕ω与goo的图像在)‘轴右侧有两个交点，则实数Q的取值范围是(A) {α∣αv-3} (B) {α∣α>-3} (C) {α∣α = -3} (D) {α∣-3<αv4}9.已知大于1的三个实数a,b,c满足(Iga)2-2Igalgb+ Igblgc = O,则a,b,c的大小关系不可能是(A) a = b = c(B) a>b>c(C) b>c>a(D) b>a>c10.己知正整数x t, x2 ,∙∙∙,⅞满足当ivj ( /, J ∈ N* )时，X i < XJ ,且V +√ + ∙∙∙ + x102≤ 2020 ,则 x9- (X I+x2+x3+x4)的最大值为(A) 19 (B) 20 (C) 21 (D) 22第二部分(非选择题共U)O分)二•填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分.11.Si∏330° = _____ .12.若集合A = {x∣x2-αv + 2<θ} = 0,则实数α的取值范围是_______ .13.已知函数f(x) = Iog2X t在 X 轴上取两点 A(X I, O), B(Λ2,0) ( O < x1 < X2 ),设线段AB的中点为C,过A,B,C作X轴的垂线，与函数/(x)的图象分别交于A l,B∖,C∖,则点G在线段人耳中点M的__________ .(横线上填“上方”或者'‘下方”)14.给出下列命题:①函数/(兀)=Sm(^ + 2x)是偶函数:②函数/(Q = taιι2x在上单调递增;③直线X = £是函数/(x) = sin(2x+∙^)图彖的一条对称轴；④将函数/(x) = cos(2x-^)的图象向左平移彳单位，得到函数J = CoS2x的图象•其中所有正确的命题的序号是__________ .15. _________________________________________________________________ 已知在平面直角坐标系；IOy中，点A(l,l)关于y轴的对称点A'的坐标是 ______________________ •若A 和占中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组 1 r ,则实数α的取值范围是16.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动” •可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 y =Asin(cux+0) , x∈[θ,+∞)表示，其中A>Q,ω>Q.如图，平面直角坐标系XOy 中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为&，则点A的坐标是 ,从A点出发，以恒定的角速度0转动，经过r秒转动到点B(x,y),动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为______________________ .三解答题:本大题共4小题,共70分•解答应写出文字说明,演算步琛或证明过程.17.(本小题满分14分)已知集合 A = {x*2 — 5x-6≤θ} , B = {Λ∣W + L≤x≤2m-L, IfieR].(I)求集合A ；(II)若AU3 = A求实数加的取值范围；18.(本小题满分18分)已知函数/(x) = siιι2x-2√3siii2x+√3 •(I)若点P(¥，»在角。

北京市朝阳区2017-2020学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C.{}|0x x > D.{}|2x x >2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4 D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“sin 2α=”是“cos2=0α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.3D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >-8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上， CE DE⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a= ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受A到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同m.一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，bb cdaca cbD C BA P 21B C且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2020.1三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ .所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=； 当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+， 则()f B的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A DAC D =，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．ACBB 1C 1A 1DE 1又因为11A B AC ⊥，1BC A B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20.y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<,所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i ja a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

2020北京朝阳高一（上）期末数学2020.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共80分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A={−1，0，1}，集合B={x∈Z/x2−2x≤0}，那么A∪B等于（）A. {−1}B. {0，1}C. {0，1，2}D. {−1，0，1，2}2.已知命题p:∀x<−1，x2>1，则¬p是（）A. ∃x<−1，x2≤1B. ∀x≥−1，x2>1C. ∀x<−1，x2>1D. ∃x≤−1，x2≤13.下列命题是真命题的是（）A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若a>b，则a2>b2C. 若a<b<0，则a2<ab<b2D. 若a<b<0，则1a>1b4.函数f(x)=cos2x−sin2x的最小正周期是（）A. π2B. πC. 2πD. 4π5.已知函数f(x)在区间(0，+∞)上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f(x)只可能是（）A. f(x)=x 12 B. f(x)=sinx+2C. f(x)=ln⁡(x2−x+1)D. f(x)={2x−1，x>0−x+1，x≤06.已知a，b，c∈R，则“a=b=c”是“a2+b2+c2>ab+ac+bc”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间关系：lgE=4.8+1.5M.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1与E2的关系式为（）A. E1=32E2B. E1=64E2C. E1=1000E2D. E1=1024E28.已知函数f(x)=x+4x−a(a∈R)，g(x)=−x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f(x)与g(x)的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A. {a/a<−3}B. {a/a>−3}C. {a/a=−3}D. {a/−3<a<4}9.已知大于1的三个实数a，b，c满足(lga)2−2lgalgb+lgblgc=0，则a，b，c大小关系不可能的是（）A. a=b=cB. a>b>cC. b>c>aD. b>a>c10.已知正整数x1，x2，⋯，x10满足当i<j(i，j∈N∗)时，x i<x j，且x12+x22+⋯+x102≤2020，则x9−(x1+x2+x3+x4)的最大值为（）A. 19B. 20C. 21D. 22二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

1北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷2020．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i (2i)+对应的点的坐标为（A ）(1,2)（B ）(2,1)（C ）(1,2)-（D ）(2,1)-（2）已知23a -=，0.5log 2b =，2log 3c =，则（A ）a b c >>（B ）a c b >>（C ）b c a >>（D ）c a b>>（3）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（A ）2y x=±（B ）3y x=±（C ）22y x =±（D ）32y x =±（4）在△ABC 中，若3b =，6c =，4C π=，则角B 的大小为（A ）6π（B ）3π（C ）32π（D ）3π或32π（5）从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（A ）20（B ）40（C ）60（D ）120（6）已知函数||||()e e x x f x -=-，则()f x （A ）是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增（B ）是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减（C ）是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增（D ）是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减（7）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，2则该几何体的体积为（A ）23（B ）43（C ）2（D ）4（8）设函数3()3()f x x x a a =-+∈R ，则“2a >”是“()f x有且只有一个零点”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅的最大值是（A ）B ）（C ）4（D ）8（10）笛卡尔、牛顿都研究过方程(1)(2)(3)x x x xy ---=，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y 轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（A ）②③（B ）①④（C ）③（D ）③④（第7题图）3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

2020-2021学年北京市朝阳区一年级（上）期末数学试卷一、选择正确答案填写在（）里（共21分）1．根据数字15，可以选择下面的算式是（）A．9+7B．18﹣8C．8+72．得数小的车先到车站，第一个到站的是（）号车．A．B．C．3．谁搭的积木不稳（）A．B．C．4．图中不是14的是（）A．B．C．二、我会填，（24分）5．18和20中间的数是．6．16和12两个数，接近10，接近20．7．①一共有个数，其中最大的数是，最小的数是．②从左往右数，20是第个数，5是第个．③从右往左数，第三个数是．④请把上面的数按从大到小的顺序排一排．＞＞＞＞＞．三、解答题．8．（3分）我会准确报时时．妈妈起床的时间是．9．（8分）根据算式画一画，把算式补充完整．（1）4+＝10△△△△（2）+8＝1510．（8分）如图，仔细数一数，再填空．个；个；个；个．11．（9分）仔细看图，列出一个加法算式一个减法算式：+＝．﹣＝．﹣＝．七、解决问题．（27分）12．解决问题．13．解决问题．14．原来有多少根胡萝卜？□〇□＝□（根）15．小熊排队数游戏，它们之间有几只小熊？16．如果把下面其中两堆花给小红．（1）小红最多有几朵？□〇□＝□（朵）（2）小红最少有几朵？□〇□＝□（朵）2020-2021学年北京市朝阳区一年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择正确答案填写在（）里（共21分）1．根据数字15，可以选择下面的算式是（）A．9+7B．18﹣8C．8+7【答案】C2．得数小的车先到车站，第一个到站的是（）号车．A．B．C．【答案】B3．谁搭的积木不稳（）A．B．C．【答案】A4．图中不是14的是（）A．B．C．【答案】C二、我会填，（24分）5．18和20中间的数是19．【答案】见试题解答内容6．16和12两个数，12接近10，16接近20．【答案】见试题解答内容7．①一共有6个数，其中最大的数是20，最小的数是3．②从左往右数，20是第3个数，5是第6个．③从右往左数，第三个数是3．④请把上面的数按从大到小的顺序排一排．20＞16＞13＞9＞5＞3．【答案】见试题解答内容三、解答题．8．（3分）我会准确报时时．妈妈起床的时间是5时．【答案】见试题解答内容9．（8分）根据算式画一画，把算式补充完整．（1）4+6＝10△△△△△△△△△△（2）7+8＝15【答案】见试题解答内容10．（8分）如图，仔细数一数，再填空．5个；4个；4个；3个．【答案】见试题解答内容11．（9分）仔细看图，列出一个加法算式一个减法算式：5+8＝13．13﹣5＝8．13﹣8＝5．【答案】见试题解答内容七、解决问题．（27分）12．解决问题．【答案】见试题解答内容13．解决问题．【答案】见试题解答内容14．原来有多少根胡萝卜？□〇□＝□（根）【答案】见试题解答内容15．小熊排队数游戏，它们之间有几只小熊？【答案】见试题解答内容16．如果把下面其中两堆花给小红．（1）小红最多有几朵？□〇□＝□（朵）（2）小红最少有几朵？□〇□＝□（朵）【答案】见试题解答内容。

数学试卷一、选择题 1、已知集合，，则集合是A ．B ．C ．D ．2.对于R α∈,下列等式中恒成立的是( ) A. ()cos cos αα-=-B. ()sin sin αα-=-C. ()sin sin παα+=D. ()cos cos παα+=3、要得到函数 y = sin 的图象,只要将函数 y = sin x 的图象A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位4、设，则A ．B ．C ．D ．5、化简向量等于A. B. C.D.6、已知函数 是定义域为R 的奇函数,当时,,则等于A 、B 、C 、D 、<7、在同一个坐标系中画出函数 的部分图象，其中 ，则下列所给图象中可能正确的是8、定义在R 上的偶函数满足:对任意的 ,有,则当时,有A 、B 、C 、D 、<二、填空题 9、已知点A,B ,则线段AB 的中点M 的坐标为 ___________10.已知42,lg ax a ==,则x =__________. 11、如果函数的图象过点，那么 的值为12.已知()()221120x f x x x--=≠,则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________. 13、在中，，且,则边的长为14、已知函数若函数 有3个零点,则实数 的取值范围是 ______ ▲_______. 三、解答题 15、已知向量,.(I) 若 , 共线,求 的值;(II)若,求的值;(III)当时,求与夹角的余弦值.16、已知.(I) 求函数的定义域;(II) 判断函数的奇偶性;(III)求的值.17、已知, .(1)求的值;(2)求的值;(3)若且,求的值18、已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值19、已知函数, .(1)当时,求函数的最大值;(2)如果对于区间上的任意一个,都有成立,求的取值范围.20、已知函数满足,对于任意R都有,且,令.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）研究函数在区间上的零点个数.参考答案答案： 1、 解析： 略 2.答案：B解析：根据诱导公式知:结合正弦、余弦函数的奇偶性得: ()cos cos αα-=,故A 错;()sin sin αα-=-正确,故B 对;()sin 180sin αα︒-=故C 错; ()cos 180cos αα︒+=-,故D 错.∴只有B 正确. 故选B.答案： 3、解析： 根据函数图象平移“左加右减,上加下减”的原则可知,将函数 的图象向左平移个单位可以得到函数 的图象,故选A答案： 4、 解析：，所以，故选A答案： 5、 解析：,故选B 。