。北京朝阳区2019-2020学年第一学期期末高一数学试题

北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一年级数学试卷 2020.1本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分 （选择题共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}1,0,1A =-，集合{}2Z 20B x x x =∈-≤，那么AB 等于（A ）{}1- （B ）{}0,1 （C ）{}0,1,2 （D ）{}1,0,1,2-2. 已知命题2:1,1p x x ∀<->，则p ⌝是（A ）21,1x x ∃<-≤ （B ）21,1x x ∀≥-> （C ）21,1x x ∀<-> （D ）21,1x x ∃≤-≤3. 下列命题是真命题的是（A ）若0a b >>，则22ac bc > （B ）若a b >，则22a b >（C ）若0a b <<，则22a ab b << （D ）若0a b <<，则11a b> 4. 函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期是（A ）π2（B ）π （C ）2π （D ）4π5. 已知函数()f x 在区间(0,)+∞上的函数值不恒为正，则在下列函数中，()f x 只可能是（A ）12()f x x =（B ）()sin 2f x x =+ （C ）2()ln(1)f x x x =-+（D ）21,0()1,0x x f x x x ⎧->=⎨-+≤⎩6. 已知,,a b c R ∈，则“a b c ==”是“222a b c ab ac bc ++>++”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为12,E E ，则1E 和2E 的关系为 （A ）1232E E = （B ）1264E E =（C ）121000E E =（D ）121024E E =8. 已知函数4()()f x x a a R x=+-∈，2()43g x x x =-++，在同一平面直角坐标系里，函数()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧有两个交点，则实数a 的取值范围是（A ）{}3a a <-（B ）{}3a a >-（C ）{}3a a =-（D ）{}34a a -<<9. 已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是 （A ）a b c == （B ）a b c >>（C ）b c a >>（D ）b a c >>10. 已知正整数1210,,,x x x 满足当i j <（*,N i j ∈）时，i j x x <，且22212102020x x x +++≤，则91234()x x x x x -+++的最大值为 （A ）19 （B ）20（C ）21（D ）22第二部分（非选择题共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分. 11. °sin330=________.12. 若集合{}220A x x ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围是________.13. 已知函数2()log f x x =，在x 轴上取两点12(,0),(,0)A x B x （120x x <<），设线段AB 的中点为C ，过,,A B C 作x 轴的垂线，与函数()f x 的图象分别交于111,,A B C ，则点1C 在线段11A B 中点M 的________.（横线上填“上方”或者“下方”）14. 给出下列命题：①函数π()sin(2)2f x x =+是偶函数；②函数()tan 2f x x =在ππ(,)44-上单调递增；③直线π8x =是函数π()sin(2)4f x x =+图象的一条对称轴；④将函数π()cos(2)3f x x =-的图象向左平移π3单位，得到函数cos2y x =的图象.其中所有正确的命题的序号是________.15. 已知在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A 关于y 轴的对称点A '的坐标是______.若A 和A '中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组1()2xy x ay a >+⎧⎪⎨>+⎪⎩，则实数a 的取值范围是____. 16. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数sin()y A x ωϕ=+，[)0,x ∈+∞表示，其中0,0A ω>>.如图，平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，r 为半径作圆，A 为圆周上的一点，以Ox 为始边，OA 为终边的角为α，则点A 的坐标是________，从A 点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点(,)B x y ，动点B 在y 轴上的投影C 作简谐运动，则点C 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为___________.三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分14分）已知集合{}2560A x x x =--≤，{}121,B x m x m m R =+≤≤-∈.（Ⅰ）求集合RA ；（Ⅱ）若A B A =求实数m 的取值范围；18.（本小题满分18分）已知函数2()sin 2f x x x =-（Ⅰ）若点1,)2P 在角α的终边上，求tan 2α和()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅲ）若π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求函数()f x 的最小值.19.（本小题满分18分） 已知函数2()xf x x a=-（x a ≠）. （Ⅰ）若2(1)(1)f f =--，求a 的值；（Ⅱ）若2a =，用函数单调性定义证明()f x 在(2,)+∞上单调递减；（Ⅲ）设()()3g x xf x =-，若函数()g x 在(0,1)上有唯一零点，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分20分）已知函数2()log ()f x x a =+（0a >）.当点(,)M x y 在函数()y g x =图象上运动时，对应的点(3,2)M x y '在函数()y f x =图象上运动，则称函数()y g x =是函数()y f x =的相关函数.（Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x <；（Ⅱ）对任意的(0,1)x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，求a 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x g x =-，(0,1)x ∈.当1a =时，求()F x 的最大值。

北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知b a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得b a因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sin B，∵c＜b，可得B或，故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断. 【详解】f（x ）＝，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x +）＝2f（x），得f（x）＝2f（x ﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数的图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型B型C型D型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。

2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc23．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？5．给定函数①，②，③y=|x2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①④B．②④C．②③D．①③6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（ ）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．2018-2019学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D．，【考点】集合的相等．【分析】根据两个集合相等，元素相同，排除A；根据两个集合相等，元素相同，排除B先解集合M，然后判断元素是否相同，排除C先化简集合N，然后根据集合元素的无序性，选择D【解答】解：A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，故排除B：M={2，3}，N={（2，3）}，因为M的元素为2和3，而N的元素为一个点（2，3），故元素不同，集合不同，故排除C：M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}，由M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}得，M={0，1}，故两个集合不同，故排除D：∵∴=，根据集合元素的无序性可以判断M=N，故选择D故答案为D【点评】本题考查两个集合相等的条件，涉及到元素相同以及集合元素的三个性质：无序性，互异性，确定性，为基础题2．若a＞b，则下列命题成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc2【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得A、B、C都不正确，对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．【解答】解：∵a＞b，故当c=0时，ac=bc=0，故A不成立．当b=0 时，显然B、C不成立．对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．3．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故应选C【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．给定函数①，②，③y=|x 2﹣2x|，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据增函数、减函数的定义，对数函数的单调性，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性即可判断每个函数在（0，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：①y=，x 增大时，增大，即y 增大；∴该函数在（0，1）上单调递增；②，x 增大时，x+1增大，减小；∴该函数在（0，1）上单调递减；③；∴x ∈（0，1）时，y=﹣x 2+2x ，对称轴为x=1；∴该函数在（0，1）上单调递增；④，∴指数函数在（0，1）上单调递减；∴在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②④．故选：B ．【点评】考查增函数、减函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，对数函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性．6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵，∴b ＞c ＞a ．故选A ．【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．7．函数的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y 轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x ＞0时，其图象是指数函数y=a x 在y 轴右侧的部分，因为a ＞1，所以是增函数的形状，当x ＜0时，其图象是函数y=﹣a x 在y 轴左侧的部分，因为a ＞1，所以是减函数的形状， 比较各选项中的图象知，C 符合题意故选C ．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（ ）A ．甲＞乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B ．甲＜乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C ．甲＜乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D ．甲＞乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据茎叶图，计算甲、乙的平均数，再根据数据的分布情况与方差的概念，比较可得答案．【解答】解：根据茎叶图有：①甲地树苗高度的平均数为=28cm，乙地树苗高度的平均数为=35cm，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；②甲地树苗高度分布在19～41之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右，乙地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，相对分散些；∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些；故选：B．【点评】本题考查了利用茎叶图估计平均数与方差的应用问题，关键是正确读出茎叶图，并分析数据，是基础题．9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，故选：C．【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到a（x+a）（x﹣2a+1）＜0对x≥1均成立，得到a满足的条件，求解不等式组可得答案．【解答】解：由g（x）=2x﹣2＜0，得x＜1，故对x≥1时，g（x）＜0不成立，从而对任意x≥1，f（x）＜0恒成立，由于a（x﹣a）（x+a+3）＜0对任意x≥1恒成立，如图所示，则必满足，解得﹣4＜a＜0．则实数a的取值范围是（﹣4，0）．故选：C．【点评】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是﹣2．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】将x=代入函数的表达式，求出函数值即可．【解答】解：f（）==﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了求函数值问题，考查分段函数以及对数函数的性质，是一道基础题．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.03．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.03，3．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，根据二次函数的图象和性质进行求值即可．【解答】解：∵y=4x（3﹣2x）=﹣8x2+12x=﹣8（x﹣）2+，∴当x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方得到函数的对称轴是解决二次函数的关键．14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．（用分数作答）【考点】模拟方法估计概率．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，∴P（A）==，=平方米，∴S不规则图形故答案为：．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．15．若函数的图象关于y轴对称，则a=．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，函数f（x）的定义域关于原点对称，从而求得a 的值．【解答】解：由于函数的图象关于y轴对称，故该函数为偶函数，故函数f（x）的定义域关于原点对称，故a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查偶函数的图象特征，偶函数的定义域关于原点对称，属于基础题．16．关于函数有以下四个命题：①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号是①②③④．【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．【专题】函数思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：对于①，若x是有理数，则f（x）=1，则f（1）=1，若x是无理数，则f（x）=0，则f（0）=1，即对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；故①正确，对于②，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是偶函数，故②正确；对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；对于④，取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查命题的真假判断，给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共40分.17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（Ⅰ）先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义即可求出；（Ⅱ）根据交集的定义即可求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由的定义域得A={x|﹣1＜x≤5}．当m=3时，B={x|﹣1＜x＜3}，则∁R B={x|x≤﹣1或x≥3}．所以A∩∁R B={x|3≤x≤5}．（Ⅱ）因为A={x|﹣1＜x≤5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，所以有﹣42+2×4+m=0．解得m=8．此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意．所以m=8．【点评】本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算，属于基础题．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个某市年月日﹣月日（天）对空气质量指数进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分布的意义和作用．【专题】图表型；概率与统计．【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率；（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．…（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．则基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个．其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个，∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为．【点评】本题考查条形图，考查学生的阅读能力，考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题．19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值；（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0．（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0，所以．又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．所以．综上，（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．方法一令3t2﹣2t﹣k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得．方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t2﹣2t，t∈R则∴故实数k的取值范围为．【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．【考点】函数的值．【专题】证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．（Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）当x∈（k n，k n+1]时，，由此得到，当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n），由此能求出f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，∴．∵函数f（x）为二阶伸缩函数，∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．∵x∈（1，3]时，．∴．令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．∴函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．∴当x∈（k n，k n+1]时，．∵，所以．∴当x ∈（k n ，k n+1]时，f （x ）∈[0，k n ）． 当x ∈（0，1]时，即0＜x ≤1，则∃k （k ≥2，k ∈N *）使，∴1＜kx ≤k ，即kx ∈（1，k ]，∴f （kx ）∈[0，1）．又，∴，即．∵k ≥2，∴f （x ）在（0，k n+1]（n ∈N *）上的取值范围是[0，k n ）． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．2019年3月12日。

北京市朝阳区201X-201X 学年度高一年级第一学期期末统一考试数学学科试卷 201X.1（考试时间100分钟 卷面总分120分）第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}|2B x x =≥，则u A C B ⋂（A ） {}1 （B ） {}0,1 （C ） {}1,2 （D ） {}0,1,2（2）函数2()lg(1)f x x =++的定义域为 （A ）()1,1- （B ）()1,-+∞ （C ）()1,+∞ （D ）(),1-∞（3）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是偶函数的为（A ）1y x =+ （B ）3y x =- （C ）1y x=（D ）y x x =（4）偶函数()f x的图象如右图所示，则(1),(f f f - 的大小关系是（A）(1)(f f f -<< （B）((1)f f f <<- （C）((1)f f f <<- （D）(1)(f f f -<< （5）函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是 （A ）()1,2 （B ）()2,3 （C ）1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）(),e +∞（6）从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在[)[)[]120,130,130,140,140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从身高在[)120,130内的学生中选取的人数应为（A ）8 （B ）12 （C ）10 （D ）30（7）已知,a b ∈R ，下列命题正确的是（A ） 若a b >， 则a b > （B ） 若a b >， 则11a b< （C ） 若a b >，则22a b >（D ） 若a b >，则22a b >Ox（8）()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2xf x =，则当0x <时，()f x =（A ）12x⎛⎫- ⎪⎝⎭（B ）12x⎛⎫ ⎪⎝⎭（C ）2x - （D ）2x（9）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化的情况：一种是即时曲线()y f x = ，另一种平均价格曲线()y g x =，如(2)3f =表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；(2)3g =表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示()y f x =，虚线表示()y g x =，其中可能正确的是（A ） （B ） （C ）（D ）（10）函数()f x 满足对定义域内的任意x ，都有(2)()2(1)f x f x f x ++<+，则函数()f x可以是（A ）()21f x x =+ （B ）2()2f x x x =- （C ）()x f x e = （D ）()ln f x x =第二部分（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（11）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为 .（12）已知幂函数()y f x =图象过点()2,8，则(3)f = . （13）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 .（14）当1x >-时，函数11y x x =++的最小值为 . （15）如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与边DC 交于点E ，F 是BE 上任意一点（包括端点），在矩形ABCD 内随机取一点M ，则点M 落在AFD △内部的概率的取值范围是 .（16）对于集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅()2,n N n *∈≥，如果1212n n a a a a a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+，则称集合A 具有性质P .给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭具有性质P ；②若12,a a ∈R ，且{}12,a a 具有性质P ，则124a a >； ③若12,N a a *∈，则{}12,a a 不可能具有性质P ；④当3n =时，若(1,2,3)i a N i *∈=，则具有性质P 的集合A 有且只有一个.其中正确的结论是 .B三、解答题：本大题共4小题，共40分. （17）（本小题满分9分）已知集合{}{}2|310,|1210A x x x B x m x m =--=-<<+≤. （Ⅰ）当3m =时，求A B ⋂； （Ⅱ）若B A ⊆,求实数m 的取值范围.（18）（本小题满分9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组数据的方差2S 甲和2S 乙，并由此分析两组技工的加工水平； （Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．注：x 为数据12,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数，方差()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦（19）（本小题满分10分）已知函数2()2f x ax bx a =+-+.（Ⅰ）若关于x 的不等式()0f x >的解集是()1,3-，求实数,a b 的值； （Ⅱ）若,02b a => 解关于x 的不等式()0f x >.（20）（本小题满分12分）对于函数(),(),()f x g x x ϕ 如果存在实数,a b 使得()()()x a f x b g x ϕ=⋅+⋅，那么称()x ϕ为(),()f x g x 的线性组合函数.如对于()1f x x =+，2()2g x x x =+，2()2x x ϕ=-，存在2,1a b ==-，使得()2()()x f x g x ϕ=-，此时()x ϕ就是(),()f x g x 的线性组合函数.（Ⅰ）设222()1,(),()23f x x g x x x x x x ϕ=+=-=-+，试判断()x ϕ是否为(),()f x g x的线性组合函数？并说明理由；（Ⅱ）设212()log ,()log ,2,1f x x g x x a b ====，线性组合函数为()x ϕ，若不等式23()2()0x x m ϕϕ-+<在x ⎤∈⎦上有解，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设()91(),()1x f x x g x x==≤≤，取,01a b =>，线性组合函数()x ϕ使()x b ϕ≥恒成立，求b 的取值范围．（可利用函数ky x x=+（常数0k >）在上是减函数，在)+∞是增函数）。

北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测 高一年级数学答案 2020.1二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分70分） 17． (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）{16}A x x =-≤≤，A R ð{16}x x x =<->或 . ……………………4分（Ⅱ）因为A B A =U ，所以B A ⊆. 当=B ∅时，+1>21m m -则<2m ；当B ≠∅时，由题意得211,216,11,m m m m -≥+⎧⎪-≤⎨⎪+≥-⎩解得722m ≤≤. 综上，实数m 的取值范围是7(,2⎤-∞⎥⎦. ……………………14分18．(本小题满分18分) 解：（Ⅰ）因为点)2P -1在角α的终边上，所以1sin 2α=-，cos α=，tan α=.则22(2tan 3tan 211tan 13ααα⨯-===--2()sin 2f ααα=-+19．(本小题满分18分)解：（Ⅰ）由2(1)(1)f f =--可得4211a a=---，得3a =-. ………3分 （Ⅱ）()12,2,x x ∀∈+∞，且12x x <， 则1221121212224()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x --=-=----，因为12(2)(2)0x x -->，210x x ->， 所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以()f x 在(2,)+∞内单调递减.……………………10分（Ⅲ）22233()3x x x ag x x x a x a-+=⋅-=-- 若()g x 在()0,1有唯一零点，即2()233h x x x a =-+在()0,1上有唯一零点 (x a =不是函数()h x 的零点) ， 因为2()233h x x x a =-+的对称轴方程为34x =， 若()h x 在()0,1上有唯一零点，由题意：（1）当(0)(1)0h h ⋅<时，3(31)0a a -<，解得103a <<； （2）当=0∆时，924=0a -，解得3=8a ，则方程()0h x =的根为34x =，符合题意；（3）当(1)0h =时，解得1=3a ； 则2()231h x x x =-+.()0h x =的两个根为1=1x ，21=2x ，符合题意. 所以a 的取值范围是13038a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或 ……………………18分 20． (本小题满分20分) 解：（Ⅰ）依题20,log ()1,x a x a +>⎧⎨+<⎩则0,2,x a x a +>⎧⎨+<⎩所以2.a x a -<<-所以原不等式的解集为{}2x a x a-<<- ……………………5分（Ⅱ）由题意22log (3)y x a =+，所以21log (3)2y x a =+. 所以()f x 的相关函数为21()log (3)2g x x a =+. 依题意，对任意的(0,1)x ∈， ()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，即当(0,1)x ∈，221()()log ()log (3)02f xg x x a x a =++<--成立.由0,30x a x a +>+>，0a >得3a x >-. 在此条件下，即(0,1)x ∈时，222log ()log (3)x a x a +<+成立，即2()3x a x a +<+，即22(23)0x a x a a +-+-<.设22()(23)h x x a x a a =+-+-， 要使(0,1)x ∈时，()0h x <成立，只需(0)0,(1)0h h ≤⎧⎨≤⎩成立，解得01a ≤≤，即a 的取值范围是(]0,1.……………………13分（Ⅲ）当=1a 时，易知在区间(0,1)上，()()f x g x <.即22131()()()log 2(1)x F x g x f x x +=-=+，设t =()2310(1)x t x +>+，则21(1)31x t x +=+. 令31=x u +(14)u <<,则13u x -=. 所以22()1143(4)9u u t u u +==++ 因为44u u +≥（当且仅当2u =时等号成立），可得189t ≥，当13x =时等号成立，满足(0,1)x ∈，则t 的最大值为98.所以()F x 的最大值是22193log =log 3282-.……………………20分。

2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如图，在等腰梯形ABCD 中，222CD AB EF a ===，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起使得平面BEFC ⊥平面ADFE .若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）.若12=θθ，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为A.214a B.249a C.214a π D.249a π 2．设1153a =，1315b =，151log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<3．设定义在R 上的函数()f x 满足：当12x x <时，总有()()122122xxf x f x <，且()12f =，则不等式()2xf x >的解集为（） A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.()1,1-D.()(),11,-∞+∞4．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（）2cm .A.4003πB.400πC.800πD.7200π5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（ ） A.{}33x x -<< B.{1x x <-或}5x > C.{3x x <-或}3x > D.{5x x <-或}1x >6．已知()3sin 5απ-=，则cos2=α（） A.－925 B.925C.－725 D.7257．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（）A.3-B.13-C.13D.38．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A.3y x =- B.3y x -= C.32y x =D.31y x =-9．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.1a <- B.13a -<< C.3a >-D.31a -<<10．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3D.()2,4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（考试时间 100 分钟 满分 120 分）一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）下列各组中的两个集合 A 和 B ，表示同一集合的是（A ） A，，{1,3, π} B {π, 1, | 3 |} ，（D ） A b c R ， （2）若a ，则下列不等式中成立的是a（A ） ac （B ） （C ）（D ）ac 2 ≥ b c 2b(x)x x 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：（3）函数 f 3 2 的一个近似根（精确度0.1）为那么方程 x（A ）1.23 2（4）某程序框图如图所示，若输出的S，则判断框内为4？ （B ） （D ）6?k 7?5 1y x，② y o l g ( 1)x ，③ y |x 2x | 2 ，④ ( )，其中在区间 2 y x 6（D ）①③0.3 b 2 ，0.3 ，0.2，则a ， ，c 三者的大小关系是bc ab c（B ）ba c（D ）c b a（A ）b （C ） a（0a 1）的图象的大致形状是（7）函数 y10（8）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了 株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x x 和方差进行比较，， 甲乙下面结论正确的是（A ） x ＞ x ，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定甲乙（B ） x ＜ x ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定甲甲甲乙乙乙＜＞，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定（9）右图是王老师锻炼时所走的离家距离（ ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老Sf (x)0 （10）已知函数 fx，若对任意，总有 成立，则实数a 的取值范围是（A ）(, 4) （C ）(4, 0)（B ）[4, 0) （D ）(4, )（11）已知函数 f2 则 的值是________．x.若要从身高在[120, 130) [130, 140) [140,150] 三组内的学， ， 18生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，.3，则函数 y ．2（14）如图，一不规则区域内，有一边长为1 米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依平方米.（用分数作答）x 2a的图象关于 y 轴对称，则 ．(x )（16）关于函数 f 有以下四个命题：；(x)②函数 f ③若T 为一个非零有理数，则 f 对任意④在 f．x x m 的定义域为集合 B . ( ) l g ( 2 )已知函数 f 的定义域为集合 A ，函数 g x2R（Ⅱ）若 m（18）（本题满分 9 分）空气质量指数 PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，表示空气 污染越严重： PM2.5 日均浓度 空气质量级别 空气质量类别0～35 一级 优35～75 二级 良75～115 >250 三级 六级轻度污染中度污染 重度污染 严重污染（19）（本题满分 10 分）x (x ) x 02x . 已知定义域为R 的单调减函数 f 是奇函数，当 时， 3（Ⅰ）求 f （Ⅱ）求 f的值； 的解析式；（Ⅲ）若对任意的 R ，不等式t22上的函数 f，如果对任意x(0, )，都有k≥ 2, N * ）成立，则称 fx ，求 f 的值；(2 3)(x) (x)（Ⅰ）若函数 f 为二阶伸缩函数，且当 y f (x) 2xx x ，求证：函数2（Ⅱ）若函数 f 在 f (x) 在(0,，求]（Ⅲ）若函数 fkn 1（ nN *）上的取值范围．高一数学试卷参考答案第一部分（选择题 共 50分）一、选择题：本大题共 10小题,每小题 5分，共 50分.题号 1 答案D2 D3 C4 A5 B6 A7 D8 B9 10 CC二、填空题：本大题共 6小题,每小题 5分，共 30分.题号 111213141516 ①②③④925 1 2 答案0.030 32 9 2注：（12）题第一空 3分，第二空 2分.三、解答题：本大题共 4小题，共 40分.4x 5 x 2 A x| 1 x 5（17）解:（Ⅰ）由 f (x) 的定义域得 ≤ . x 1 当则 m 3时， B x|1 x 3 ， ð B x| x 1, x 3} ≤ 或 ≥ . Rð B x |3 x 5 所以 A ≤ ≤ .……………………………… 6分R {x| 1 x 5} ≤| 1 4 （Ⅱ）因为 A ， A B x x ， 42 4 m 0 . 所以有 2 解得 m 8.B x | 2 x 4 此时 ，符合题意.所以m 8.……………………………… 9分（18）解:（Ⅰ）由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为16天，16 8所以此次监测结果中空气质量为良的概率为 = ； ………3分30 15（Ⅱ）样本中空气质量级别为三级的有 4天，设其编号为a ， ，c ，d ；b 样本中空气质量级别为四级的有 2天，设其编号为e ， ，f则基本事件有：(a , b) (a , c ) (a , d) (a , e ) (a , f ) (b , c) (b , d) (b , e ) (b , f ) (c, d) (c , e ) ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (c , f ) (d, e ) (d, f ) (e , f ) ， ， ， 共 15 个.其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：(a , e ) (b , e ) (c , e ) (d, e ) (a , f ) (b , f ) (c , f ) (d, f ) (e, f ) ， ， ， ， ， ， ， ， 共 9 个.所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为9 3. ……………9 分15 5(x ) （19）解:（Ⅰ）因为定义域为R 的函数 f 所以 f(0)0. 是奇函数，……………………………………2 分0 x 0 ，（Ⅱ）因为当 x 时， x (x )2x .所以 f 3 (x) f (x ) f (x).又因为函数 f 是奇函数，所以 xf (x) 2 所以 . x 3x 2 , x 0, x3 (x)0, x 0, 综上， f ……………………………………6 分x2 , 0. x x 3(t2t) f (2t k) 0 f t (2 ) (2 )（Ⅲ）由 f 得 f t t2 k . 2 2 2 (x ) f (t 2t) f (k 2t )f (x) R t 2t k 2t 在 上是减函数，所以 2 2 .因为 f 是奇函数， 所以 2 .又 2 3t2t k 0 对任意 恒成立.t R 即 2 1 3t 2t k 0 412k 0 0 .由【方法一】令 【方法二】即k2 ，则 ，解得 .k 3 3t 2tR对任意恒成立.g(t)3t 2t 2t 令 2，tR2 1 1 1 1 (t) 3t 2t 3(t t) 3(t ) 则 gk 2 2 2 3 3 3 3 3 1 (, ) 故实数 的取值范围为 k． ……………………………………10 分 3 （20）解:（Ⅰ）由题设，当 x (1, 2]( ) 1 l og 时， f x x ，131 1(3)=1+log 3 1 所以 f . 2 21 3(x) 因为函数 f 为二阶伸缩函数，所以对任意 x(0, )，都有 f .(2x) 2 f (x) 所以 f(2 3) 2 f ( 3) 1.……………………………4 分x (3, 3 ] m N (1, 3]．（Ⅱ）当 x m 1 （ ）时，m 3m f (3x) 3 f (x).(x) 由 f 为三阶伸缩函数，有 (1, 3] 时， f x x x . ( ) 32注意到 x x x x x x (x ) 3f ( ) 3 f ( ) 3 f ( ) 3 3( )( ) 3 x x 所以 f 2 ． 2 m m 2 m 1 3 3 23 m3 m3m(x) 2x 0 x 0 x 3或 (3 , 3 ] 内. ……7 分令 f ，解得 m ，它们均不在 上无零点．……………………………8 分m m 1 f (x)2x (1,) 在所以函数 y f(kx ) k f (x)(x) （Ⅲ） 由题设，若函数 f 且当 x(1, k]为k 阶伸缩函数，有 ，的取值范围是[0,1). (x) 时， f x (k , k ] (x) k f ( ) 所以当 x 1 时， f ．n n n k n x x因为(1, k]， 所以 f ( )[0,1)．k nk n(k , k ] f (x)[0,k ) .所以当 x n 1 时， n n 当x (0, 1]时，即0 x 1，1k (k 2,k N ) 0 1 x 则 使 ， k1 kx k k(1, ]kx，即 ， f (kx )[0,1)． 1f (x ) f (kx ) 又 ， k1 1 1 f (x )[0, ) k f (x) f (kx)[0, ) ，即 ．k kk 2因为 ≥ ，N*）上的取值范围是[0, k ) n 所以 f (x) 在 (0, k ]（nn 1．……………12 分1 1(3)=1+log 3 1 所以 f . 2 21 3(x) 因为函数 f 为二阶伸缩函数，所以对任意 x(0, )，都有 f .(2x) 2 f (x) 所以 f(2 3) 2 f ( 3) 1.……………………………4 分x (3, 3 ] m N (1, 3]．（Ⅱ）当 x m 1 （ ）时，m 3m f (3x) 3 f (x).(x) 由 f 为三阶伸缩函数，有 (1, 3] 时， f x x x . ( ) 32注意到 x x x x x x (x ) 3f ( ) 3 f ( ) 3 f ( ) 3 3( )( ) 3 x x 所以 f 2 ． 2 m m 2 m 1 3 3 23 m3 m3m(x) 2x 0 x 0 x 3或 (3 , 3 ] 内. ……7 分令 f ，解得 m ，它们均不在 上无零点．……………………………8 分m m 1 f (x)2x (1,) 在所以函数 y f(kx ) k f (x)(x) （Ⅲ） 由题设，若函数 f 且当 x(1, k]为k 阶伸缩函数，有 ，的取值范围是[0,1). (x) 时， f x (k , k ] (x) k f ( ) 所以当 x 1 时， f ．n n n k n x x因为(1, k]， 所以 f ( )[0,1)．k nk n(k , k ] f (x)[0,k ) .所以当 x n 1 时， n n 当x (0, 1]时，即0 x 1，1k (k 2,k N ) 0 1 x 则 使 ， k1 kx k k(1, ]kx，即 ， f (kx )[0,1)． 1f (x ) f (kx ) 又 ， k1 1 1 f (x )[0, ) k f (x) f (kx)[0, ) ，即 ．k kk 2因为 ≥ ，N*）上的取值范围是[0, k ) n 所以 f (x) 在 (0, k ]（nn 1．……………12 分。

2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。

2019-2020学年第一学期高三（上）期末数学试卷一、选择题1．在复平面内，复数i（2+i）对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）2．已知a＝3﹣2，b＝log0.52，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b3．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x4．在△ABC中，若b＝3，c＝，C＝，则角B的大小为（）A．B．C．D．或5．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A．20 B．40 C．60 D．1206．已知函数f（x）＝e|x|﹣e﹣|x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．48．设函数f（x）＝x3﹣3x+a（a∈R），则“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是（）A．B．C．4 D．810．笛卡尔、牛顿都研究过方程（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A．②③B．①④C．③D．③④二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（2x+）4的展开式中的常数项为．12．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝；数列{a n}的前n项和的最小值为．13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差DX＝2.1，P（X＝3）＜P（X＝7），则p＝．15．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+π）＝2f（x），当x∈[0，π）时，f（x）＝sin x．若存在x0∈（﹣∞，m]，使得f（x0）≥4，则m的取值范围为．16．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：q＝λ1，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10﹣3焦耳/（厘米•度），不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10﹣4焦耳/（厘米•度），△T为室内外温度差．q值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是型．三、解答题共6小题，共86分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知函数f（x）＝x+m（m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）对于任意都有f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．18．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成频率分布直方图如图：（Ⅰ）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数；（Ⅱ）从所抽取的20人中得分落在组[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝3，PF＝2FA，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求异面直线AB与DF所成角的余弦值；（Ⅲ）判断直线EF与平面PBC的位置关系，请说明理由．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点，且椭圆C的一个顶点D的坐标为（﹣2，0）．过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B 不同于点D），直线DA与直线m：x＝4交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与直线m 交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点F的坐标；（Ⅱ）求证：D，B，N三点共线．21．已知函数f（x）＝（sin x+a）lnx，a∈R．（Ⅰ）若a＝0，（ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（ⅱ）求函数f（x）在区间（1，π）内的极大值的个数．（Ⅱ）若f（x）在内单调递减，求实数a的取值范围．22．设m为正整数，各项均为正整数的数列{a n}定义如下：a1＝1，a n+1＝（Ⅰ）若m＝5，写出a8，a9，a10；（Ⅱ）求证：数列{a n}单调递增的充要条件是m为偶数；（Ⅲ）若m为奇数，是否存在n＞1满足a n＝1？请说明理由．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数i（2+i）对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C．2．已知a＝3﹣2，b＝log0.52，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b解：∵0＜3﹣2＜1，log0.52＜log0.51＝0，log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：D．3．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得e＝＝2，即有c＝2a，由c2＝a2+b2，可得b2＝3a2，即b＝a，则渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x．故选：B．4．在△ABC中，若b＝3，c＝，C＝，则角B的大小为（）A．B．C．D．或解：∵b＝3，c＝，C＝，由正弦定理可得，，∴sin B＝＝＝，∵b＞c，B＞C，∴B＝或，故选：D．5．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A．20 B．40 C．60 D．120解：由题可知分两种情况：①1名教师，3名学生，×＝30；②2名教师，2名学生，×＝30；故共有：30+30＝60．故选：C．6．已知函数f（x）＝e|x|﹣e﹣|x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减解：∵f（x）＝e|x|﹣e﹣|x|，则f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）e x﹣e﹣x单调递增，故选：C．7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．4解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体的底面面积为的三角形，高为2的三棱锥体．故V＝．故选：A．8．设函数f（x）＝x3﹣3x+a（a∈R），则“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，函数f（x）＝x3﹣3x+a，其导数f′（x）＝3x2﹣3，分析可得：在区间（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，在区间（﹣1，1）上，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，在区间（1，+∞）上，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，则当x＝﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）＝a+2，当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝a﹣2；据此可得：若a＞2，f（x）的极小值f（1）＝a﹣2＞0，f（x）有且只有一个零点，故“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”充分条件，若f（x）有且只有一个零点，必有a+2＜0或a﹣2＞0，即有a＜﹣2或a＞2，故“a＞2”不是“f（x）有且只有一个零点”必要条件，综合可得：故“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”充分不必要条件，故选：A．9．已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是（）A．B．C．4 D．8解：以点B为圆心，直线BC，BA分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：B（0，0），A（0，2），D（2，2），圆B的半径为，∴设，∴，，∴＝，∴时，取最大值8．故选：D．10．笛卡尔、牛顿都研究过方程（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A．②③B．①④C．③D．③④解：设P（x，y）为曲线（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy上，则P（x，y）关于y轴对称点Q（﹣x，y）显然不满足方程，故①错误；则P（x，y）关于x轴对称点Q（x，﹣y）显然不满足方程，故②错误；当x＜0时，（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy＜0，此时y＞0，故曲线不经过第三象限，③正确，结合已知曲线方程可知，（1，0），（2，0），（3，0），（﹣1，24）在曲线上，④错误故选：C．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（2x+）4的展开式中的常数项为24 ．解：由通项公式得：T r+1＝C（2x）4﹣r（）r＝24﹣r C x4﹣2r，令r＝2，得展开式的常数项为：24﹣2C＝24，故答案为：2412．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝﹣6 ；数列{a n}的前n项和的最小值为﹣20 ．解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1+n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n﹣）2﹣，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差DX＝2.1，P（X＝3）＜P（X＝7），则p＝0.7 ．解：某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，则X～B（10，p），∵X的方差DX＝2.1，P（X＝3）＜P（X＝7），∴，解得p＝0.7．故答案为：0.7．15．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+π）＝2f（x），当x∈[0，π）时，f（x）＝sin x．若存在x0∈（﹣∞，m]，使得f（x0）≥4，则m的取值范围为．解：函数f（x）＝，作出函数f（x）的图象如图：当3π≤x＜4π时，由f（x0）≥4，得8sin（x0﹣3π）≥4，得sin（x0﹣3π）≥，得≤x0﹣3π≤，得≤x0≤，即若存在x0∈（﹣∞，m]，使得f（x0）≥4，则m的取值范围为m≥，故答案为：[，+∞）16．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：q＝λ1，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10﹣3焦耳/（厘米•度），不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10﹣4焦耳/（厘米•度），△T为室内外温度差．q值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是B型．解：A型双层玻璃窗户：；B型双层玻璃窗户：；C型双层玻璃窗户：；D型双层窗户：；根据q＝λ1，且q值越小，保温效果越好，故答案为：B．三、解答题共6小题，共86分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知函数f（x）＝x+m（m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）对于任意都有f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．解：（Ⅰ）因为＝＝．所以f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又函数y＝sin x的单调递增区间为（k∈Z）．由，k∈Z，得，k∈Z．所以f（x）的单调递增区间为．（Ⅲ）因为，所以．所以．所以．当，即时，f（x）的最大值为m+3，又因为f（x）＜0对于任意恒成立，所以m+3＜0，即m＜﹣3．所以m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成频率分布直方图如图：（Ⅰ）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数；（Ⅱ）从所抽取的20人中得分落在组[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．解：（Ⅰ）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有0.0050×20×20＝2（人），得分落在组（20，40]的人数有0.0075×20×20＝3（人）．∴所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有2人，得分落在组（20，40]的人数有3人．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2．，，．∴X的分布列为：∴X的期望．（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝3，PF＝2FA，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求异面直线AB与DF所成角的余弦值；（Ⅲ）判断直线EF与平面PBC的位置关系，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：连结AC．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．（Ⅱ）解：设AC，BD交于点O．因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BD．如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），，，P（0，﹣1，3），F（0，﹣1，1）．则，，设异面直线AB与DF所成角为θ，则，，所以AB与DF所成角的余弦值为．（Ⅲ）解：直线EF与平面PBC相交．证明如下：由（Ⅱ）可知，，，，设平面PBC的一个法向量为＝（x，y，z），则，即令，得＝（）．则＝﹣1≠0，所以直线EF与平面PBC相交．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点，且椭圆C的一个顶点D的坐标为（﹣2，0）．过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B 不同于点D），直线DA与直线m：x＝4交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与直线m 交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点F的坐标；（Ⅱ）求证：D，B，N三点共线．解：（Ⅰ）因为点在椭圆C上，且椭圆C的一个顶点D的坐标为（﹣2，0），所以解得所以椭圆C的方程为．所以椭圆C的右焦点F的坐标为（1，0）．（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝1．显然，，或，．当，时，直线DA的方程为，点M的坐标为（4，3）．所以k MF＝1．直线FN的方程为y＝﹣（x﹣1），点N的坐标为（4，﹣3）．则，．所以，所以D，B，N三点共线．同理，当，时，D，B，N三点共线．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1）．由得（3+4k2）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）＝0．且△＝（﹣8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．直线DA的方程为，点M的坐标为．所以．直线NF的方程为，点N的坐标为．则，．所以＝＝＝＝＝＝＝0．所以与共线，所以D，B，N三点共线．综上所述，D，B，N三点共线．21．已知函数f（x）＝（sin x+a）lnx，a∈R．（Ⅰ）若a＝0，（ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（ⅱ）求函数f（x）在区间（1，π）内的极大值的个数．（Ⅱ）若f（x）在内单调递减，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）（ⅰ）因为f（x）＝sin xlnx，所以，．又因为，所以曲线y＝f（x）在点处的切线方程为，化简得．………（ⅱ）当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，此时f（x）无极大值．当时，设g（x）＝f'（x），则，所以f'（x）在内单调递减．又因为，f'（π）＝﹣lnπ＜0，所以在内存在唯一的，使得f'（x0）＝0．所以f（x）在（1，x0）内单调递增，在（x0，π）内单调递减，此时f（x）有唯一极大值．综上所述，f（x）在（1，π）内的极大值的个数为1………（Ⅱ）由题可知，其中．当a≤﹣1时，f'（x）＜0，故f（x）在内单调递减；下面设a＞﹣1．对于，lnx＜lnπ＜lne2＝2，且cos x＜0，所以cos xlnx＞2cos x．所以当时，．设h（x）＝sin x+2x cos x+a，，则h'（x）＝cos x+2cos x﹣2x sin x＝3cos x﹣2x sin x＜0．所以h（x）在上单调递减．，h（π）＝﹣2π+a．当﹣2π+a≥0时，即a≥2π时，h（π）≥0，对，h（x）＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在内单调递增，不符合题意．当﹣2π+a＜0时，即﹣1＜a＜2π时，，h（π）＜0，所以，使h（x1）＝0，因为h（x）在内单调递减，所以对，h（x）＞0，所以f'（x）＞0．所以f（x）在内单调递增，不符合题意．所以当a＞﹣1时，f（x）在内不单调递减．综上可得a≤﹣1，故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．22．设m为正整数，各项均为正整数的数列{a n}定义如下：a1＝1，a n+1＝（Ⅰ）若m＝5，写出a8，a9，a10；（Ⅱ）求证：数列{a n}单调递增的充要条件是m为偶数；（Ⅲ）若m为奇数，是否存在n＞1满足a n＝1？请说明理由．解：（Ⅰ）a8＝6，a9＝3，a10＝8．（Ⅱ）先证“充分性”．当m为偶数时，若a n为奇数，则a n+1为奇数．因为a1＝1为奇数，所以归纳可得，对∀n∈N*，a n均为奇数，则a n+1＝a n+m，所以a n+1﹣a n＝m＞0，所以数列{a n}单调递增．再证“必要性”．假设存在k∈N*使得a k为偶数，则，与数列{a n}单调递增矛盾，因此数列{a n}中的所有项都是奇数．此时a n+1＝a n+m，即m＝a n+1﹣a n，所以m为偶数．（Ⅲ）存在n＞1满足a n＝1，理由如下：因为a1＝1，m为奇数，所以a2＝1+m≤2m且a2为偶数，．假设a k为奇数时，a k≤m；a k为偶数时，a k≤2m．当a k为奇数时，a k+1＝a k+m≤2m，且a k+1为偶数；当a k为偶数时，．所以若a k+1为奇数，则a k+1≤m；若a k+1为偶数，则a k+1≤2m．因此对∀n∈N*都有a n≤2m．所以正整数数列{a n}中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．设集合A＝{（r，s）|a r＝a s，r＜s}，设集合B＝{r∈N*|（r，s）∈A}⊆N*．因为A≠∅，所以B≠∅．令r1是B中的最小元素，下面证r1＝1．设r1＞1且．当时，，，所以；当时，，，所以．所以若r1＞1，则r1﹣1∈B且r1﹣1＜r1，与r1是B中的最小元素矛盾．所以r1＝1，且存在满足，即存在n＞1满足a n＝1．。