全称量词与存在量词(二)否定

§1.3.2 全称量词与存在量词（二）否定

教学目标:能正确地对含有一个量词命题进行否定;进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力;培养对立统一的辩证思维。

教学重点:全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点: 隐蔽性否定命题的确定；

教学过程

一．问题情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,pqpq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）xR，x2-2x+1≥0

问题2：写出命题的否定

（1）p： xR，x2＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；

（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

二．学生活动

问题1：

（1）x∈M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；

（2）x∈M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；

（3）x∈M,p(x)，否定：xR，x2-2x+1<0；

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.

问题2：（1） xR，x2＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：BABAuu,BABAuu

三．建构数学

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题p： xM,有p(x)成立；其否定命题┓p为：x∈M,使p(x)不成立。存在性命题p：xM，使p(x)成立；其否定命题┓p为：xM,有p(x)不成立。

用符号语言表示：

p:xM,p(x)否定为p: xM, p(x)

p:xM,p(x)否定为p: xM, p(x)

在具体操作中就是从命题p把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定

词语 是 一定是 都是 大于 小于 且

词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或

词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立

词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立

四．数学运用

1．例题精讲：

例1 写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；

（2）p：xR，x2＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；

（4）p：x∈R，x2－x+1＝0；

分析：（1） P：有的人不晨练；（2） x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x2－x+1≠0；

例2 写出下列命题的否定。

（1） 所有自然数的平方是正数。

（2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

（4） 有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3 写出下列命题的否定。

（1） 若x2＞4 则x＞2.。

（2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

（3） 可以被5整除的整数，末位是0。

（4） 被8整除的数能被4整除。

（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

解（1）否定：存在实数0x，虽然满足20x＞4，但0x≤2。或者说：存在小于或等于2的数0x，满足20x＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）

（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个0x，使20x+ 0x-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

（2）p：若x2+x<2，则x2-x<2；

（3）p：正方形的四条边相等；

（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：（1） p：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2） p：若x2+x<2，则x2-x≥2；真命题

否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2；假命题。

（3） p：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4） p：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b<0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b<0。真命题。

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若p则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3． 原命题“若p则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

五．回顾反思

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

六．巩固练习：

1．课堂练习

（1）命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）

A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；

B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根. （2）有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（ ）

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．非以上错误

（3）命题“xR，x2-x+3>0”的否定是

（4）“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是

否命题是

（5）写出下列命题的否定，并判断其真假：

①p：m∈R，方程x2+x-m=0必有实根；

②q：R，使得x2+x+1≤0；

（6）写出下列命题的“非p”命题，并判断其真假：

①若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．

②平方和为0的两个实数都为0．

③若△ABC是锐角三角形， 则△ABC的任何一个内角是锐角．

④若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．

⑤若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．

2．课后作业

教材第16页练习 1, 2

习题 1, 2, 3, 4