高中数学 第一章 统计案例 第1节 回归分析(第3课时)学案 北师大版选修1-21

跟踪训练2
某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进
行统计分析,得下表数据：
x 6 8 10 12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；
解 (1)如图：
(2)请根据上表提供的数据 ,用最小二乘法求出 y 关于 x的线
性回归方程y＝bx＋a；
解
i＝1 n
∑ xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158,
题型二 求线性回归方程
例2 已知某地区4～10岁女孩各自的平均身高数据如下：
年龄x/岁
4
5
106
6
112
7
116
8
121
9
124
10
130
身高y/cm 100
求y对x的线性回归方程.
解 制表 i xi yi 1 4 100 2 5 106 3 6 112 4 7 116 5 8 121 6 9 124 7 10 130
可以用线性关系表示；
③通过线性回归方程y＝a＋bx,可以估计和观察变量的取值 和变化趋势； ④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程,所 以没有必要进行相关性检验. 其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①反映的正是最小二乘法思想,故正确. ②反映的是画散点图的作用,也正确. ③解释的是线性回归方程y＝bx＋a的作用,故也正确. ④是不正确的,在求线性回归方程之前必须进行相关性检验, 以体现两变量的关系.
B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系 的两个量的一组数据的图形叫作散点图 C.线性回归方程最能代表具有线性相关关系的x,y之间的关系 D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程

1.2 相关系数1．了解回归分析的概念和最小二乘法的求法及作用． 2．理解相关系数的含义及求法．3．了解回归分析的基本思想．会建立回归模型，并能利用回归分析进行有效预测．1．变量间的关系往往会表现出某种不确定性，________就是研究这种变量之间的关系的一种方法，通过对变量之间关系的研究，从而发现蕴涵在事物或现象中的某些规律．【做一做1】 下列两变量中具有相关关系的是( )．A ．正方体的体积与边长B ．人的身高与体重C ．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间D ．球的半径与体积2．假设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，我们可用____________求变量之间的线性回归方程y ＝a ＋bx ，即求a ，b ，使这n 个点与直线y ＝a ＋bx 的“距离”平方之和最小，即使得Q (a ，b )＝(y 1－a －bx 1)2＋(y 2－a －bx 2)2＋…＋(y n －a －bx n )2达到最小．3．Q (a ，b )＝l yy ＋n [y －(a ＋b x )]2＋l xx ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －l xy l xx 2－xxy xxl l 2.其中x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝1n ∑i ＝1nx i ，y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n ＝1n ∑i ＝1ny i ，l xx ＝∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx 2i －n x 2，l xy ＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )＝∑i ＝1nx i y i －n x y ，l yy ＝∑i ＝1n(y i －y )2＝∑i ＝1ny 2i －n y 2.当Q (a ，b )取最小值时，b ＝____________，a ＝________.y 对x 的线性回归方程为__________，此直线一定过点______．公式比较复杂难记，只需记住a ，b 的求值公式即可．做题要细心，不可遗漏数据，使y＝bx ＋a必过点【做一做2－2】4．判断两个变量之间的线性相关关系的方法有(1)________________________；(2)______________________．两个变量之间是否有线性相关关系，可以通过画散点图直观判断，但是在某些情况下，从散点图中不容易判断变量之间的线性相关关系，特别是当数据量较大时，画散点图比较麻烦，此时就可以通过计算，用线性相关系数r来作出判断，比较容易实施．5.假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则变量间线性相关系数r的计算公式为r＝__________________.线性相关系数|r|≤1，|r|越大，变量之间的线性相关程度越高，用直线拟合的效果就越好．线性相关系数r的计算公式虽然比较复杂，但是可以分开计算．因为在求线性回归方程时，也要计算x，y，∑i＝1nx i y i和∑i＝1nx2i等量，只需再把∑i＝1ny2i计算出来即可．通常是通过列表格来完成上述各项的计算．【做一做3】在建立两个变量y与x的线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合得最好的模型是( )．A．模型1的相关系数r为0.98B．模型2的相关系数r为0.80C．模型3的相关系数r为0.50D．模型4的相关系数r为0.25答案：1．回归分析【做一做1】 B 选项A中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C中匀速行驶的车辆的行驶距离与时间成正比，也有函数关系；选项D中球的体积是43π与半径的立方相乘，有固定的函数关系．所以只有选项B中人的身高与体重具有相关关系．2．最小二乘法3.l xy l xx＝∑i ＝1n x i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2y －b x y ＝a ＋bx (x ，y )【做一做2－1】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 线性回归方程一定过点(x ，y )，又x ＝14×(0＋1＋2＋3)＝32，y ＝14×(1＋3＋5＋7)＝4，∴线性回归方程必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4. 【做一做2－2】 分析：样本点共有三个，可以直接计算．解：由所给数据可得：x ＝7，y ＝18，∑i ＝13x i y i ＝434，∑=312i i x ＝179，进而可以求得b ＝∑i ＝13x i y i －3xy∑i ＝13x 2i －3x 2＝434－3×7×18179－3×49＝1.75，a ＝y －b x ＝18－1.75×7＝5.75.∴线性回归方程为y ＝5.75＋1.75x . 4．(1)画散点图 (2)计算线性相关系数5.∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2∑i ＝1ny 2i －n y 2【做一做3】 A1．求线性回归方程的一般步骤 剖析：(1)作散点图：对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，在坐标系内作出散点图，并观察各样本点是否呈条状分布，是否都分布在一条直线的两侧．若是，则可设其线性回归方程为y ＝a ＋bx.(2)列表：(3)x ＝1n ∑n i ＝1x i ，y ＝1n ∑ni ＝1y i ，b ＝∑∑==--n i i ni i i xn x y x n y x 1221，a ＝y －b x . (4)写出回归方程：y ＝a ＋bx .2．样本的选取是否影响两个变量的线性回归方程剖析：会影响．这是因为我们所采集的样本只是两个变量之间的部分数据的关系，而且它们的散点图分布在某一条直线的附近，不一定就在直线上，所以不能用某个一次函数y ＝a ＋bx 来准确地表达它们之间的关系，我们只能近似地看作两个变量之间满足线性关系，符合一个一次函数y ＝a ＋bx ，而将x ＝x i 代入时，得到y 的值与所测得的y i 之间存在着一定的误差，误差为y i －y ＝y i －(a ＋bx i )＝y i －a －bx i (i ＝1,2，…，n)，那么，我们要想用y ＝a ＋bx 拟合得好一点，就要使误差小一点．但不能把这些误差直接相加，这是因为它们有正有负，相加可能抵消一部分，为了不使误差之和正负抵消，我们可设全部误差的平方和为Q(a ，b)，即Q(a ，b)＝∑ni ＝1(y i －a －bx i )2，用Q 的大小来度量总的误差大小，Q 是a ，b 的二元函数．当b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x2时，Q(a ，b)最小，此时a ＝y －b x .由此看来，所取的样本点不同，有可能得到的线性回归方程不同．题型一 求线性回归方程【例题1】 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验．测得的数据如下表所示：(1)求y 对x 的线性回归方程；(2)据此估计加工200个零件所用的时间是多少？ 反思：计算线性回归方程比较麻烦，对于样本点较少的情况可直接代入公式计算求值．实际问题中的数据都不好算，一般要借助计算器来完成．题型二 计算线性相关系数【例题2】 某工厂有一大型机器设备，其使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：请问维修费用y 与使用年限x 之间是否具有线性相关关系？如果具有，请求出线性回归方程．分析：本题为探索两个变量之间是否具有线性相关关系的题型，可通过计算线性相关系数来加以判断，因为数据比较多，可列表分项计算．反思：对于数量比较多的数据判断它们相应的变量是否线性相关，可通过计算线性相关系数来判断．题型三 利用回归分析进行有效预测【例题3】 为了了解某地母亲身高x 与女儿身高y 的相关关系，现随机测得10对母女的身高，所得数据如下表所示：(2)求相关系数r ，并分析模型的拟合效果．分析：通过观察两变量对应的数据，可判断x 与y 之间存在线性相关关系，通过列表计算，求出回归方程，并通过计算线性相关系数来判断两变量的线性相关程度．反思：一个模型拟合得好不好，可通过计算线性相关系数r 来判断，|r|的值越接近于1，变量之间的线性相关程度越高，拟合得越好．设所求的回归直线方程为＝＋.同时，利用上表可得b ＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x 2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668， a ＝y －b x ≈91.7－0.668×55＝54.96，即所求的线性回归方程为y ＝0.668x ＋54.96. (2)这个线性回归方程的意义是当x 增大1时，y 的值约增加0.668，而54.96是y 不随x 增大而变化的部分．因此当x ＝200时，y 的估计值为y ＝54.96＋0.668×200＝188.56≈189. 故加工200个零件时所用的时间约为189分． 【例题2】由此可得：x ＝5，y ≈6.185 7，∑i ＝17x i y i ＝251.1，∑i ＝17x 2i ＝203，∑i ＝17y 2i ＝311.51.∴线性相关系数r ＝∑i ＝17x i y i －7x y∑i ＝17x 2i －7x2∑i ＝17y 2i －7y2≈251.1－7×5×6.185 7203－7×52×311.51－7×6.185 72≈0.989 5.∴维修费用与使用年限之间存在线性相关关系．b ＝∑i ＝17x i y i －7xy∑i ＝17x 2i －7x 2≈251.1－7×5×6.185 7203－7×52≈1.235 7， a ＝y －b x ≈6.185 7－1.235 7×5＝0.007 2，∴线性回归方程为y ＝0.007 2＋1.235 7x . 【例题3(1)由表可得x ＝158.8，y ＝159.1，∑i ＝110x 2i ＝252 222，∑i ＝110y 2i ＝253 185，∑i ＝110x i y i ＝252 688，进而可以求得b ＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x2＝252 688－10×158.8×159.1252 222－10×158.82≈0.78， a ＝y －b x ＝159.1－0.78×158.8≈35，∴线性回归方程为y ＝35＋0.78x .当x ＝161 cm 时，y ＝160.58 cm ，即女儿的身高为160.58 cm.(2)r ＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x 2∑10i ＝1y 2i －10y2＝252 688－10×158.8×159.1252 222－10×158.82×253 185－10×159.12≈0.715，说明模型拟合得效果较好．1由一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的线性回归方程为y ＝a ＋bx ，则下列说法正确的是( )．A ．直线y ＝a ＋bx 必过点( x ， y )B ．直线y ＝a ＋bx 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一点C ．直线y ＝a ＋bx 是由(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的两点确定的D ．(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )这n 个点到直线y ＝a ＋bx 的距离之和最小答案：A 正确理解线性回归方程的含义，所求的线性回归方程并不一定要经过这n 个样本点中的某些点，而是这n 个点到直线的距离的平方和最小，即用最小二乘法求出线性回归方程中a ，b 的值，由于a ＝x b y -，即x b a y +=，由此可以看出(x ，y )适合线性回归方程y ＝a ＋bx ，所以直线y ＝a ＋bx 必过点(x ，y )．2对于线性相关系数r ，下列说法正确的是( )．A ．r∈(－∞，＋∞)，r 越大，相关程度越强；反之，相关程度越弱B ．|r|∈(0，＋∞)，|r|越大，相关程度越强；反之，相关程度越弱C ．|r|≤1，且|r|越大，相关程度越强；反之，相关程度越弱D ．以上说法都不正确答案：C 熟记关于线性相关系数r 的重要结论是解决此类问题的关键．3某工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料的有效成分含量x 之间的相关关系，现取8对观察值，计算得∑-=8152i i x ，∑-=81228i i y ，∑-=8121478i x ，∑-=811849i i i y x ，则y 对x 的线性回归方程为( )．A ．y ＝11.47＋2.62xB ．y ＝－11.47＋2.62xC ．y ＝2.62＋11.47xD ．y ＝11.47－2.62x答案：A 由已知条件，得x ＝6.5，y ＝28.5，代入，得b ＝∑∑==--8122818y8i ii i i xx x y x ＝25.684785.285.681849⨯-⨯⨯-≈2.62，a ＝y －b x ≈28.5－2.62×6.5＝11.47，∴线性回归方程为y ＝11.47＋2.62x .________________________________________________________________________．答案：y ＝－0.7x ＋5.25 由已知，得x ＝2.5，y ＝3.5，∑=412i i x ＝30，∑=41i i i y x ＝31.5，所以b ＝∑∑==--4122414y4i ii i i xx x y x ＝－0.7.所以a ＝y －b x ＝5.25.所以线性回归方程是y ＝－0.7x ＋5.25.5求y 解：由表中数据可得：x ＝6.5，y ＝8.327612=∑=i i x ，∑=61i i i y x ＝396，进而可以求得b ＝∑∑==--6122616y 6i i i i i xx x y x ＝25.6632785.66396⨯-⨯⨯-≈1.143，a ＝y －b x ≈8－1.143×6.5＝0.570 5.∴所求的线性回归方程为y ＝0.570 5＋1.143x . 由y ≤16，即0.570 5＋1.143x ≤16.解得x≤13.5，所以进价应不超过13.5元．。

第2课时回归分析的应用1.根据线性回归方程,对相关结论进行预测.2.理解从散点图进行非线性回归分析的意义,掌握如何将非线性回归问题转化为线性回归问题的方法.3.了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.重点:根据线性回归方程,对相关结论进行预测,探究非线性模型通过变换转化为线性回归模型的方法.难点:了解常用函数的图像特点,选择不同的模型建模,并通过相关指数对不同的模型进行比较.有关法律规定:香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语,那么吸烟和健康之间有因果关系吗?每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?要回答这个问题,我们先来一起学习本节的知识吧!问题1:相关系数的概念及相关系数r的性质相关系数r用来描述线性相关关系的强弱,且样本相关系数r===.r有如下性质:(1)|r|≤1;(2)|r|越接近于1,误差Q越小,x,y的线性相关程度越强;(3)|r|越接近于0,误差Q越大,x,y的线性相关程度越弱;(4)当r>0时,称两个变量正相关;当r<0时,称两个变量负相关;当r=0时,称两个变量线性不相关.问题2:在回归分析中,通过模型计算预测变量的值时,应注意的问题.(1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体;(2)我们所建立的回归方程一般都有时间性;(3)样本取值的范围会影响回归方程的适用范围;(4)不能期望回归方程得到的预测值就是预测变量的精确值.问题3:几种能转化为线性回归模型的非线性回归模型(1)幂函数曲线y=ax b作变换u=ln y,v=ln x,c=ln a,得线性函数u=c+bv.(2)指数曲线y=a e bx作变换u=ln y,c=ln a,得线性函数u=c+bx.(3)倒指数曲线y=a作变换u=ln y,c=ln a,v=,得线性函数u=c+bv.(4)对数曲线y=a+b ln x作变换u=y,v=ln x,得线性函数u=a+bv.问题4:非线性回归问题进行回归分析的方法(1)若问题中已给出经验公式,这时可以将解释变量进行交换(换元),将变量的非线性关系转化为线性关系,将问题化为线性回归分析问题来解决.(2)若问题中没有给出经验公式,需要我们画出已知数据的散点图,通过与各种函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图像作比较,选择一种与这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量交换,将问题化为线性回归分析问题来解决.从以下几个方面认识相关关系:(1)相关关系与函数关系不同.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系;相关关系是一种非确定性关系.(2)函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.相关关系在现实生活中大量存在,从某种意义上讲,函数关系是一种理想的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系,不仅可以使我们处理更为广泛的数学应用问题,还可以使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度.一般情况下,在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下,应先进行相关性检验,在确认其具有线性相关关系后,再求其回归直线方程;由部分数据得到的回归直线,可以对两个变量间的线性相关关系进行估计,这实际上是将非确定性的相关关系问题转化成确定性的函数关系问题进行研究.由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸,它在情况预测、资料补充等方面有着广泛的应用.1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是().A.角度和它的余弦值B.正方形的边长和面积C.正n边形的边数和各内角度数之和D.人的年龄和身高【解析】函数关系就是一种变量之间的确定性的关系,A,B,C三项都是函数关系,它们的函数表达式分别为f(θ)=cos θ,g(a)=a2,h(n)=nπ-2π.D项不是函数关系,对于年龄确定的人群,仍可以有不同的身高,故选D.【答案】D2.为了表示n个点与相应直线在整体上接近程度,我们常用()表示.A.(y i-y)B.(y i-)C.(y i-y)2D.(y i-)2【解析】由回归直线方程y=a+bx,可知y为一个量的估计量,而y i为它的实际值,在最小二乘法中[y i-(a+bx)]2,即(y i-y)2,故选C.【答案】C3.在一次实验中,测得(x,y)的四组值分别是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5),则y与x之间的回归直线方程为.【解析】因为A,B,C,D四点都在直线y=x+1上,故填y=x+1.【答案】y=x+14.1907年一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间位于192吨到3246吨,船员的人数从5人到32人,船员的人数关于船的吨位的回归分析得到如下结果:船员人数=9.1+0.006×吨位.(1)假定两艘轮船吨位相差1000吨,船员平均人数相差多少?(2)估计最小的船的船员数和最大的船的船员数.【解析】(1)船员平均人数之差=0.006×吨位之差=0.006×1000=6,即船员平均相差6人.(2)9.1+0.006×192=10.252,估计最小的船的船员数为10.9.1+0.006×3246=28.576,估计最大的船的船员数为28.利用公式,确定回归直线方程某5名学生的数学和化学成绩如下表:学生A B C D E学科数学成绩(x)8876736663化学成绩(y)7865716461(1)画出散点图;(2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程.【方法指导】熟记公式,根据表格计算公式中所需的各种数据.【解析】(1)散点图(略).(2)=73.2,=67.8,x i y i=25054,=27174,所以b==≈0.625.a=-b=67.8-0.625×73.2=22.05.所以y对x的回归直线方程为y=0.625x+22.05.【小结】利用公式求解时应注意以下几点:①求b时应先求出,,x i y i,,再由a=-b求a的值,并写出回归直线方程.②线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而来,存在着误差,这种误差可能导致预测结果的偏差.③回归直线方程y=a+bx中的b表示x增加1个单位时y的变化量为b,而a是不随x的变化而变化的量.④可以利用回归直线方程y=a+bx预测在x取某一个值时,y的估计值.根据回归直线方程,对结果进行分析或预测从某大学中随机选取8 名女大学生,其身高和体重数据如下表:编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预测体重的回归方程,并预测一名身高为172 cm 的女大学生的体重.【方法指导】可以计算出r≈0.798.这表明体重与身高有较强的线性相关关系,从而可以建立身高和体重的线性回归方程,根据身高和体重的线性回归方程,由身高预测体重.【解析】由于问题中要求根据身高预测体重,因此选取身高为自变量x,体重为因变量y.作出散点图(如图).从图中可以看出,样本点呈条状分布,身高和体重有较强的线性相关关系,因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系,根据公式,可以得到b≈0.848,a≈-85.712.于是得到回归方程y=0.848x-85.712.因此,对于身高172 cm 的女大学生,由回归方程可以预测其体重为y=0.848×172-85.712=60.144 kg.【小结】解析中b=0.848是斜率的估计值,说明身高x每增加1个单位时,体重y就增加0.848 kg,这表明体重与身高具有正的线性相关关系.尽管身高172 cm的女大学生的体重不一定是60.144 kg,但一般可以认为她的体重接近60.144 kg.可线性化的非线性回归问题一只红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表:温度x/℃21232527293235产卵数y/个711212466115325试建立y与x之间的回归方程,并预测温度为28 ℃时产卵数目.【方法指导】作出散点图(或根据已知的散点图)分析欲采用较为恰当的拟合曲线,用换元法转化成线性关系再进行回归分析.【解析】选择变量,画散点图.在散点图中,根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c1的周围,其中c1和c2是待定参数.即问题变为如何估计待定参数c1和c2.我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=ln y,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的周围.这样,就可以利用线性回归模型来建立y和x之间的非线性回归方程了.由已知表的数据可以得到变换后的样本数据表(下表):x21232527293235z1.9463.3983.0453.1784.1904.7455.784下图给出了表中数据的散点图.从图中可以看出,变换后的样本点分布在一条直线附近,因此可以用线性回归方程来拟合.由表中的数据得到线性回归方程z=0.242x-2.884.相关系数r≈0.953.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为y=e0.242x-2.884.当x=28 ℃时,y ≈49.预测当气温为28 ℃时,产卵数为49个.综上所述,在本题中指数函数模型比一元线性模型、二次函数模型有更好的拟合效果.【小结】对于给定的样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中a和b都是未知参数.应先根据散点图或利用相关系数r判断两变量间是否存在线性相关关系,若两变量线性相关性显著,采用例1的方法进行线性回归分析;若两变量线性相关性不显著,则可采用例2的方法和步骤进行拟合效果分析.在某种产品表面进行腐蚀线实验,得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据:时间t(s)5101520304050607090120深度y(μm)610101316171923252946试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程.【解析】经计算可得相关系数r≈0.982,所以可以认为y与t之间有较强的线性相关关系.≈46.36,≈19.45,=36750,=5422,t i y i=13910.b==≈0.3.a=-b=19.45-0.3×46.36≈5.542.故所求的回归直线方程为y=0.3t+5.542.一机器可以按各种不同的速度运转,其生产物件有一些会有缺点,每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化,用x表示转速(单位:转/秒),用y表示每小时生产的有缺点物件个数,现观测得到(x,y)的4组观测值为(8,5),(12,8),(14,9),(16,11).(1)假定y与x之间有线性相关关系,求y对x的回归直线方程;(2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为10,则机器的速度不得超过多少转/秒.(精确到1转/秒)【解析】(1)设回归直线方程为y=bx+a,=12.5,=8.25,=660,x i y i=438.于是b===,a=-b=8.25-×12.5=-×=-.故所求的回归直线方程为y=x-.(2)由y=x-≤10,得x≤≈15,即机器速度不得超过15转/秒.为了研究某种细菌随时间x变化时,繁殖个数y的变化,收集数据如下:天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190(1)用天数x作解释变量,繁殖个数y作预测变量,作出这些数据的散点图;(2)建立解释变量x与预测变量y之间的回归方程.【解析】(1)所作散点图如图所示.(2)由散点图看出样本点分析在一条指数函数y=c1的周围,于是令z=ln y,则x、z数据如下表格,x123456z1.792.483.223.894.555.25由计算器得z=0.69x+1.112,r≈0.9999,则有y=e0.69x+1.112.1.给定x与y的一组样本数据,求得相关系数r=-0.990,则().A.y与x不相关B.y与x非线性相关C.y与x正相关D.y与x负相关【解析】因为r<0,故选D.【答案】D2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是().A.角度和它的正切值B.人的右手一柞长和身高C.正方体的棱长和表面积D.真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间【解析】由正切函数y=tan x知A是函数关系;人的右手一柞长和身高不是确定的关系,故B不是函数关系;设正方体的棱长为a,则它的表面积S=6a2,C是函数关系;由物理知识知,自由落体运动物体的下落距离h和下落时间t满足h=gt2(t>0),D是函数关系.【答案】B3.已知回归直线的方程为y=2-2.5x,则当x=25时,y的估计值是.【解析】将x=25代入方程得y=2-2.5×25=-60.5.【答案】-60.54.某市统计1994~2019年在校中学生每年高考考入大学的百分比,把农村、县镇、城市分开统计,为了便于计算,把1994年编号为0,1995年编号为1,…,2019年编号为10,如果把每年考入大学的百分比作为统计变量,把年份从0到10作为自变量进行回归分析,可得到下面三条回归直线,城市:y=9.50+2.54x;县镇:y=6.76+2.32x;农村:y=1.80+0.42x.(1)对于农村学生来讲,系数等于0.42意味着什么?(2)在这一阶段,哪里的大学入学率增长最快?【解析】(1)对于农村学生来讲,系数等于0.42意味着1994~2019年在校中学生每年高考考入大学的百分比逐年增加0.42.(2)在这一阶段,城市的大学入学率增长最快.(2019年·山东卷)某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表:广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预测广告费用为6万元时销售额为().A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元【解析】由表可计算==,==42,因为点(,42)在回归直线y=bx+a上,且b为9.4,所以42=9.4×+a,解得a=9.1,故回归方程为y=9.4x+9.1,将x=6代入方程得y=65.5,选B.【答案】B1.观察两个变量(存在线性相关关系)的数据如下:x-10-6.99-5.01-2.983.9857.998.01y-9-7-5-34.014.9978则两变量间的线性回归方程为().A.y=x+1B.y=xC.y=2x+D.y=x+1【解析】由于线性回归方程一定经过样本点的中心(,),所以本题只需求出,,然后代入所给选项进行检验,即可得到答案.由表中数据可得=0,=0,只有B项中的方程过点(0,0),故选B.【答案】B2.在以下四个散点图中(如图所示),适用于作线性回归的散点图为().A.①②B.①③C.②③D.③④【解析】①表示正相关,③表示负相关.【答案】B3.若线性回归方程y=a+bx中,b=0,则相关系数r=.【解析】由b==0,得(x i-)(y i-)=0,所以r==0.【答案】04.某种产品的广告费用支出x(万元)与销售额y(万元)之间有如下的对应数据:x(万元)24568y(万元)3040605070(1)求相关系数和回归直线方程;(2)据此预测广告费用支出为10万元时销售收入y的值.【解析】(1)=(2+4+5+6+8)=5,=(30+40+60+50+70)=50,=22+42+52+62+82=145,=302+402+602+502+702=13500 ,x i y i=1380,r=≈0.919,即两变量间有很强的线性相关关系.b==6.5,a=-b=50-6.5×5=17.5,故回归直线方程为y=6.5x+17.5.(2)当x=10时,预测y的值为y=10×6.5+17.5=82.5.5.已知对一组观测值(x i,y i)作出散点图后,确定其具有线性相关关系.若对于y=bx+a,求得b=0.51,=61.75,=38.14,则回归直线方程为().A.y=0.51x+6.65B.y=6.65x+0.51C.y=0.51x+42.30D.y=42.30x+0.51【解析】y=bx+a过点(,),∴a=-b=38.14-0.51×61.75≈6.65,∴y=0.51x+6.65.【答案】A6.炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间是().A.确定性关系B.相关关系C.函数关系D.无任何关系【解析】解答本题的关键是弄清相关关系的定义及相关关系与函数关系的区别.【答案】B7.某化工厂为预测某产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之间的线性相关关系,现取8组观测值,计算得x i=52,y i=228,=478,x i y i=1849,则y与x的回归直线方程是.(精确到小数点后两位数)【解析】根据给出的数据可先求=x i=6.5,=y i=28.5,然后代入公式b==≈2.62,从而a=-bx=28.5-2.62×6.5=11.47,所以回归直线方程y=11.47+2.62x.【答案】y=11.47+2.62x8.在彩电显影中,由经验可知形成染料光学密度y与析出银的光学密度x的公式为y=A(b<0),现测得试验数据如下:x i0.050.060.250.310.070.100.380.430.140.200.47y i0.100.141.001.120.230.371.191.250.590.791.29试求y对x的回归方程.【解析】由题意知,对于给定的公式y=A(b<0)两边取自然对数,得ln y=ln A+.与线性回归方程相对照可以看出,只要令u=,v=ln y,a=ln A,就有v=a+bu.这是v对u的线性回归方程,对此再套用相关系数公式,求回归系数a和b.题目中所给的数据由变量置换u=,v=ln y,变为如下所示的数据:u i20.00016.6674.0003.22614.28610.000v i-2.303-1.96600.113-1.470-0.994u i2.6322.3267.1435.0002.128v i0.1740.223-0.528-0.2360.255可以求出|r|≈0.998.可知u与v具有很强的线性相关关系.再求出b≈-0.146,a≈0.548,所以v=0.548-0.146u,把u和v置换回来,得ln y=0.548-,所以y==e0.548·≈1.73,所以y对x的回归方程为y=1.73.9.一唱片公司预测支出费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系,从其所发行的唱片中随机抽选了10千张,得到如下的资料:x i=28,=303.4,y i=75,=598.5,x i y i=237,则y与x的相关系数r 的绝对值为.【解析】根据公式,得相关系数r===0.3,所以|r|=0.3.【答案】0.310.测得某国10对父子身高(单位:英寸)如下:父亲身高(x)60626465666768707274儿子身高(y)63.665.26665.566.967.167.468.370.170(1)对变量y与x进行相关性检验;(2)如果y与x之间具有线性相关关系,求回归方程;(3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子的身高.【解析】(1)=66.8,=67.01,=4462.24,=44974,=4490.3401,=44941.93,x i y i=44842.4,r===≈0.98,所以y与x之间具有很强的线性相关关系.(2)设回归方程为y=bx+a.由b===≈0.4646,a=-b=67.01-0.4646×66.8≈35.97.故所求的回归方程为y=0.4646x+35.97.(3)当x=73时,y=0.4646×73+35.97≈69.9,所以当父亲的身高为73英寸时,估计儿子的身高为69.9英寸.。

分析： bx y ae 考虑函数 来拟合数据的变化关系，将其转
化成线性函数，两边取对数：ln y ln a bx 设 u ln y, c lna ，则上式变为 u c bx ， 即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为 x=2，‥变换后的数据如下表：
y e u e 5.056 e 0.138 x
8
i
8x y
8 x
线性回归方程为 y 53.191 1.345x

2
1.345, a
．
y bx 53.191
新课讲解
下表按年份给出了1981~2001年我国出口贸易 量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我 国的出口贸易量么？
从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好， 若用直线来预测，误差将会很大。 而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。
n n
复习回顾
＊ 线性相关系数r及性质：
r
x y
i 1 i
n
i
nx y
2 2 y n y i i 1 n
x nx
i 1 2 i
n
，其中 1 r 1 。 Nhomakorabea2
＊ r 值越大，变量的线性相关程度就越高； r 值越接近于0，线性相关程度就越低。
＊ 当 r 0 时，两变量正相关； 当 r 0 时，两变量负相关； 当 r 0 时，两变量线性不相关。
复习回顾
，
( xi x)( yi y ) xi yi nx y i 1 i 1 b n n 2 2 2 ( x x ) x n ( x ) i i i 1 i 1 a y bx 1 n 1 n y yi x xi 其中 n i 1 n i 1