原子与分子物理学报JOURNAL OF ATOMIC AND MOLECULAR PHYSICS第37卷第6期2020年12月Vol. 37 No. 6Dec. 2020doi : 10.19855/j.l000-0364.2020.065001原子分子光子系统的耗散相互作用和退相干景俊(浙江大学物理学系光学研究所#杭州310027$摘要：原子分子系统与量子化的电磁场或光子模式耦合的系统是非相对论量子力学理论研究和实验研 究的主要对象和模型•现实系统必然与外界环境耦合,且即便原子隔绝较好、光学腔壁品因子足够高,原子系统也不等价于少数几个能级构成的简单模型：它仍然有不为零的几率跃迁到不可控的能级空间、与原 子相互作用的自由空间真空场的量子效应也必须考虑.本文将结合开放量子系统理论的基本要素与与子光学学基本模型，对原子分子系统在电磁场中发生的耗散以及量子子相干过程做简单综述，并重点介绍描 述量子系统退相干过程简主流理论工具—— 主方程.关键词：原子子学；量子子相干；量子子方程中图分类号：O65 文献标识码：A 文章编号：1000-0364(2020)06-0935-05Relaxation and decoherence process of the atom - photon systemJING Jun(Institute of Optics , Department of Physics , Zhejiang University , Hangzhou 310027 # China )Abstract : Atomic and molecular systems coupled te the quantized electro 一 magnetic field os photons constitute the most part of the interested systems os models in the field of non - relativistio quantum mechanics. Even fot the welS 一 isolated dtomio system as well as the high Q - factoo covity , the quantum mechanico. system connot be considered as a simpSe modd consisted of sevvraS leve's. In practico , C is affected by the surrounding environ ment. Fot instances , the quantum system has nonzero probability te jump out of the subspaco undet contco and it is subjeC te tie quantum effecO raised by the interaction with tie vvcuum state of the free spaco. In the frame work of open 一 quantum 一 system dynamico combining with the fundamentae modes of atomio optico, we wiH briefly review the relevvnt basio concepts of the dissipation and decoherenco processes of O v atomio systems cou pled t the exOrna felds. The focus of the paper is to introduco the quantum master equation as the mainstream tod tr theof quantum decoherenco.Key wores : Atomio optico ; Quantum decoherenco ; Quantum mastee equation1引言原子分子系统与量子化的电磁场或光子模式耦合的系统⑴无论在理论还是实验方面都是非相 对论量子力学研究的主要对象和模型[2-4].如果将系统拓展到人工原子、超导回路、离子阱、光子晶格、量子点等新量子平台.i],那么它不仅涵盖了传统的原子分子物理和量子光学的主要内 容，而且构成量子信息和量子调控的物理基础[12,13].正如在单个二能级原子和单模激光场的耦合模型 Jaynes - Cummings 模型中所观察到的，如果不考虑能量耗散和量子退相干效应，那收稿日期：2020-5-19基金项目：国家自然科学基金( 11974311, U1801661 )；浙江省自然科学基金(LD18A040001 )；中央高校基础研究基金(2018QNA3004)作者简介：景俊(1979—),男，江苏省泰州市人，博士，主要致力于开放量子系统动力学、非微扰量子调控、几何量子计算、量子退相干、量子光学系统、固态量子调控、以及量子力学基本理论方面的研究.E-maf : **************.cn936原子与分子物理学报第37卷么它的动力学是相干且可逆的•这正是薛定定方程所描述的结果•对人工原子，包括量子点、超导量子比特、里德堡原子，以及新颖电磁辐射源，包括激光、微波激射、同步辐射、微波源的广泛研究涵盖了从无线电波到远红外的频段与原子分子系统的耦合，从而在相当程度上再次引起人们对原子与光相互作用的兴趣.新的研究方法能够获得有关原子和分子结构以及动力学的更确切的信息、从而有助于控制原子和分子的内部和外部自由度、并且产生新的辐射形式.这些进展已经引来越来越多的物理学家、化学家、其他研究人员和工程师对物质和低能辐射之间发生的作用［14'17］产生兴趣（本文的目标是为已经具有一定量子力学和原子分子物理基础的研究人员介绍在开放量子力学框架下研究原子与光相互作用的基础理论，特别是关于量子系统退相干动力学的描述理论一主方程.主方程及其等价方法构成了整合涉及物质—辐射相互作用的几乎所有物理方面的基本工具［18-23］2开放量子系统与量子退相干在量子力学基本问题方面，含时薛定量方程以及冯诺伊曼方程已经在原则上提供了闭合量子系统的动力学方程.如果不计较开放系统的环境或者噪声对它的影响和作用，或者拥有对全部希尔伯特空间的计算能力，就没有必要在开放量子系统的框架下处理问题•但实际上对于大多数实际问题这两者都是无法做到的•首先定义何为环境.在全量子框架下，环境是与量子系统相互作用的另一个量子系统，拥有足够多、足够复杂的自由度，以至于相对人们感兴趣的量子系统而言，是不受控制的.具有可操作性的处理方案的前提是通过测量或物理建模给出环境自由度的统计性质.这些性质包括且不限于玻色统计或费米统计、谱密度函数、关联函数、温度一如果它处在热力学平衡态下的话.然后通过理论推演，使得这些统计性质反映在受研究的量子系统的动力学方程中•其次何为噪声.布朗运动中的涨落可逆当作是一种经典噪声，按照涨落—耗散定理的要求，它具有一定的关联函数和谱密度函数，它们两者互为傅里叶变换关系.量子系统面对的噪声，可以是经典噪声，也可可是量子噪声.在物理上，两者都要符合涨落—耗散定理；在特定情况下,符合一定关联函数的经典噪声和量子噪声对系统的影响在系综统计后不可区分.因此有时可可用噪声取代环境自由度的全量子化处理.在纯量子框架下，噪声可区直接用环境算符以及新合系数直接表达出来.就其效应而言，有时需要特别指出，哪些噪声造成了系统的退极化和能量耗散,哪些噪声不涉及能量损耗而直接反映出同一系综内不同量子系统在相位上的脱散.前者反映了原子分子系统的布居数在高低能态上的转移；后者代表了相位关联的消失.对量子系统而言，前者当然也同时弓来系统间失去相位上的固有联系，但后者在许多文献中才被称为“纯量子的退相干”.因此量子退相干本质上是一种量子力学效应，与经典耗散或随机涨落有所区别，虽然后者也会引起量子效应.在哥本哈根学派定义的量子测量假设以及后来由冯诺伊曼严格化后的量子测量理论中，不难发现退相干是量子测量的效应.测量仪器扮演了量子化的环境自由度的角色，系统根据与待测物理量配套的测量仪器指针态展开的本征基矢做随机投影.无论是读出结果的测量，还是不读结果的测量，指针态对应的本征基矢之间的相干项在测量后全部消失整在广泛关注量子信息处理的前沿研究中，退相干显然是任何量子处理，特别是量子计算，或任何必须利用量子线性叠加原理优势的技术不可回避的问题.它在绝大多数时候显然是难以逾越的障碍.根据DiVincenzo为可行的量子计算机定出的必须满足的若干条件，量子系统的相干时间除以量子门的运行时间必须足够大，否则量子线路模型就没有实际价值.所以无论是量子物理的基本问题，还是量子前沿技术的发展，都需要人们重视退相干过程的基础研究，从而设计出提高量子相干时间的方案,或者要么回避、要么正面利用退相干效应.这里不对有到已放3主方程的推导方法现在在入技术性环节一如何建立开放的原子分子系统的退相干动力学主方程•“主”这个词意思就是关注某一少自由度或少体系统，而把其环境或不关心的希尔伯特子空间对该系统的作用考虑到方程的结构和参量中去，最后得到方程仅含有少自由度或少体系统的算符.假设初始时刻系统与环境是没有有合的，即*（o）=*（0）第6期景俊：原子分子光子系统的耗散相互作用和退相干9379*(+),且整体哈密顿量可写为：*S*9D+D9*+(*(1)其中*是系统的自由哈密顿量，*是环境的自由哈密顿量，h,S&>+9G是系统与环境相互作用哈密顿量，这里的+和G分别表示系统和环境的算符，s>代表第第种量子退相干通道.(用来衡量相互作用哈密顿量相对系统自由哈密顿量的相对幅度，一般符合微扰论的要求.为简单起见，以下在相互作用表象下进行推导，即对所有算符o，都有0(:=9h+h”0(2)首先从整体系统的冯诺伊曼方程出发(它总是成立的):%P t(：dt二一*(：,pT((3)并将其形式解*(:二P t(+)-加+s[H(s)，p T(7/代入方程的右边对易子.可以得到：%pT(：dt二-ia[*(：,p(0)/-+s.h(：,[h(s)，P t(s)]](4)然后对该方程做第一步马尔可夫近似以及玻恩近似，即将⑷式要p(s)替换为p(t)，物理上抛弃了从初始时刻到当下时刻之前的系统演化历史对系统当前变化量的贡献，而是只关心当下时刻的贡献，数学上带来的误差为0((3).并让方程等号两边都对环境部分自由度进行部分求迹，从而得到关于系统密度算符的二阶微扰的动力学方程(注意在下面这个方程后，不再使用约等号)：df p t2—Jc.h(：，p j(0)/-(2JdsJc.h(：，[h(s)，p T(：//(5) 0其中第一项正比于Tc.G(t)p E(0)/，也就是环境算符G的期望值，可可将其设为零.这本质上不是一个假设，因为总可下令H"&，+9 (G-2G〉)、H"H+(&〈G3s>.在环境弛豫时间远小于系统动力学时间的假设下，可可认为环境状态基本不变(一般可认为环境处在热力学平衡态)，这就得到了微扰论下的玻恩-马尔可夫主方程(Bom-Markov master equation):—^%(—二-J%T C.h(：，[H(s)，p s(t)9pg(0)//(6)它在二阶微扰成立的前提下可可包含量子环境的结构参量，也就是各模式与系统的相对该合强度、各模式自身的本征频率的统计信息，因而在许多文献中也被称为“非马尔可夫”主方程.注意它不是“精确主方程”.23/，因为没有包含结构化的环境对系统动力学的所有阶次的贡献.从微扰论物理的角度需要进一步明确两点：1，主方程的建立基于系统-环境相互作用哈密顿量与系统自由哈密顿量之间存在能量/时间的尺度分离,否则对全部希尔伯特空间的计算就不可避免从2,环境的状态一般默认为热力学平衡态，那么系统在环境噪声下的随机量子跃迁过程和耗散应该受到涨落-耗散定理的限制.4真空环境下的Lindblad主方程下下用相对具体的一个例子进一步推演，为简单起见，将(吸收进方程.假设相互作用哈密顿量H,=SB e+S e B.系统跳跃算符满足S(t): e iHst Se~iHst=Se-，0t,其中,是原子分子系统本征频率.环境自由哈密顿量为h#=&宀；e；,环境集体湮灭算符为B=&冲；.这里；[是玻色环境的湮灭算符，g[是是合系统与第第个模式的贡合系数.所以在相互作用表象下，H(t)=SB e(t)+S e B(t),B(t):&t g[e-(心0)t(7)于是玻恩-马尔可夫主方程可具体表达为P s(t)=-F(t)[S s p S(t)-S p S(t)S]-'[p(t)SS e-S e p s(t)S/+h.C.(8)其中两个含时系数的定义是tF(j)二+乃#.b(：#(s)P b],t'=\dsTi B.B#(s)B(t)*#/(9)这里暗含环境状态p为热力学平衡态的假设.另外对于许多本征频率为微波波段的人工原子而言，光频波段的电磁环境因为能量与之远不匹配而总可以认为处在真空或零温.所下可合理假定电磁环境处在真空态或零温，则有938原子与分子物理学报第37卷F(-=\&」g k*9,[_,0)Q-s)\d,](,)(%-9s(,_，o)0几(10)其中=(,)=&」*+(,-,[)是环境态密度或模式密度函数.而'(-=0.略加计算，即将F(-的积分上限推至无穷，消除其含时特征，也就是执行第二步马尔可夫近似，就可以得到相互作用表象下的Lindblad型主方程：5[S t S,P s(-/(11)其中退相干因子％=,)8(,-，o)与真空自发辐射理论中的费米黄金法则吻合；而5=-!>+，=，是著名的兰姆位移，反应了原0，-，0子分子系统因为受到电磁场环境的作用而产生的能级偏移.注意教科书里的兰姆位移一般发生在基态，但实际上它也可夫发生在激发态.5讨论需要再次强调的是，主方程是量子力学框架下的动力学方程一不难发现它在幺正变换下保持形式不变.一个合理的主方程必然得到合法的系统密度矩阵，也就是每一时刻的系统密度矩阵必然是半正定的.动力学方程所对应的系统状态的映射必须是全正定且迹守恒(Complete Positive Trace-preserving).要得到特定物理体系的主方程，原则上应从特定全量子模型出发，仿照前文步步推演，不可夫做过分的非物理的近似•比如将玻恩-马尔可夫主方程的积分上限推至无穷有时候在短时动力学中会带来非正定的问题，其物理原因就是这种近似违背了物理定律的因果律.发Lindblad方程为代表的现象学方程，比如量子光学领域熟悉的光学布洛赫方程，只要保证系数为正常数，就不会带来非物理的结果•但是它不能反映强耦合情况下的物理，比如非马尔可夫效应.另外跳跃算符应用系统哈密顿算符的本征态基矢展开，从而在物理上对应真实的量子跳跃(quantum jump)过程.只有本征态基矢之间的瞬时量子跳跃才能正确地描述微观量子过程•值得指出的是，只有极其少数特定主方程可以得到解析解.比如纯退相位(pure dephasing)模型和零温环境下的少数量子跳跃模型.有时不得不采用量子跳跃方法(quantum jump method)、量子轨迹方法"quantum trajectoa approach)或量子郎之万方程替代量子Lindblad方程进行数值求解.比如可以证明：发下的量子态扩散方程(一种量子轨迹方程或随机薛定谔方程).*4，*5]与Lindblad 方程完全等价：*-1(z”)〉=(—*+Sz：-1S e S)I1(z”)〉(12)其中：是满足系综平均条件A[::]=%(t-s)的高斯型白噪声，这里町]是指对系综求平均值.求解随机薛定定方程后还要对噪声轨迹求系综平均，从而得到密度矩阵*(-=A[I1(:*)3〈1(:*)I]-6总结和展望量子退相干理论在当前研究中的兴起和应用伴随着单量子系统的实验实现.通常布洛赫方程或者爱因斯坦几率方程被用来描述受到电磁场驱动的原子分子系综的动力学•但离子阱、单模腔、量子点、超导回路等新兴量子平台的发明提供了观察和操控单个粒子的可能性.对辐射场信息的获取，比如通过对系统发射到环境内光子的探测,会导致系统波函数的突变•无论是探测到光子还是没有探测到，也就是零结果，都会导致信息的增加.这样新的洞察便会注入到原子光子动力学及耗散过程中，这就发展出新的退相干动力学方法.除了对物理的新洞察，这些方法也会使得对复杂问题的模拟成为可能，比如用主方程方法也可处理激光冷却问题•参考文献：[1]Cohen-Tannoudji C，Dupont一Roc 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热 学 习 题 课Ⅰ 教学基本要求 气体动理论及热力学1.了解气体分子热运动的图象。
理解理想气体的压强公式和温度公式。
通过推导气体压强公式，了解从提出模型、进行统计平均、建立宏观量与微观量的联系到阐明宏观量的微观本质的思想和方法。
能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。
了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。
2.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程。
3.了解麦克斯韦速率分布率及速率分布函数和速率分布曲线的物理意义。
了解气体分子热运动的算术平均速率、方均根速率。
了解波耳兹曼能量分布律。
4.通过理想气体的刚性分子模型，理解气体分子平均能量按自由度均分定理，并会应用该定理计算理想气体的定压热容、定体热容和内能。
5.掌握功和热量的概念。
理解准静态过程。
掌握热力学过程中的功、热量、内能改变量及卡诺循环等简单循环的效率。
6.了解可逆过程和不可逆过程。
了解热力学第二定律及其统计意义。
了解熵的玻耳兹曼表达式。
Ⅱ 内容提要一、气体动理论(主要讨论理想气体) 1.状态方程 pV =( M/M mol )RTpV /T = 常量 p=nkT2.压强公式32 3 322/ n /v /v nm p t ερ===3.平均平动动能与温度的关系232/2kT/v m w ==4.常温下分子的自由度 单原子 i=t=3 双原子 i=t+r =3+2=5 多原子 i=t+r =3+3=65.能均分定理每个分子每个自由度平均分得能量 kT /2 每个分子的平均动能()kT i k /2=ε理想气体的内能：E =( M/M mol ) (i /2)RT ； 6.麦克斯韦速率分律：22232)2(4d d ve kTmv N N )v (f kT mv -==ππmol 2rms 33RT/M kT/m v v === ()()mol 88M RT/m kT/v ππ== mol 22RT/M kT/m v p ==7.平均碰撞次数 v n d Z 22π=8.平均自由程 ()n d 221πλ=二、热力学基础 1.准静态过程(略)2.热力学第一定律Q= (E 2－E 1)+A d Q =d E +d A准静态过程的情况下()⎰+-=21d 12V V V p E E Q d Q=d E +p d V3.热容 C =d Q /d T定体摩尔热容 C V ,=(d Q /d T )V /ν 定压摩尔热容 C p ,=(d Q /d T )p /ν 比热容比 γ=C p ,/C V , 对于理想气体：C V ,=(i /2)R C p ,=[(i /2)+1]R C p ,-C V ,=R γ=(i +2)/i4.几个等值过程的∆E 、 A 、 Q 等体过程 ∆E = (M/M mol )C V ,∆TA =0 Q=(M/M mol )C V ,∆T等压过程 ∆E = (M/M mol )C V ,∆TA = p (V 2-V 1) Q=(M/M mol )C p ,∆T等温过程 ∆E =0 A =(M/M mol )RT ln(V 2/V 1)Q =(M/M mol )RT ln(V 2/V 1)绝热过程 pV γ=常量Q=0 ∆E= (M/M mol )C V ,∆TA = -(M/M mol )C V ,∆T =(p 1V 1-p 2V 2)/( γ-1)5.循环过程的效率及致冷系数：η=A /Q 1=1-Q 2/Q 1 w=Q 2/A =Q 2/(Q 1-Q 2) 卡诺循环: ηc =1-T 2/T 1 w c =T 2/(T 1-T 2) 6.可逆过程与不可逆过程(略)7.热力学第二定律两种表述及其等价性(略) 8.熵 S=k ln Ω熵增原理 孤立系统中 ∆S ＞0 Ⅲ 课堂例题一.选择题1. 下面各种情况中可能存在的是(A) 由pV =(M/M mol )RT 知,在等温条件下,逐渐增大压强,当p →∞时,V →0； (B) 由pV =(M/M mol )RT 知,在等温条件下,逐渐让体积膨胀,当V →∞时,p →0； (C) 由E =(M/M mol )iRT /2知,当T →0时,E →0；(D) 由绝热方程式V γ－1T =恒量知，当V →0时，T →∞、E →∞.2. AB 两容器分别装有两种不同的理想气体,A 的容积是B 的两倍,A 容器内分子质量是B 容器分子质量的1/2.两容器内气体的压强温度相同,(如用n 、ρ、M 分别表示气体的分子数密度、气体质量密度、气体质量)则(A) n A =2n B , ρA =ρB , M A = 2M B . (B) n A = n B /2 , ρA =ρB /4 , M A = M B /2. (C) n A = n B , ρA =2ρB , M A = 4M B . (D) n A = n B , ρA =ρB /2 , M A = M B . 3. 由热力学第一定律可以判断一微小过程中d Q 、d E 、d A 的正负,下面判断中错误的是(A) 等容升压、等温膨胀 、等压膨胀中d Q >0； (B) 等容升压、等压膨胀中d E >0； (C) 等压膨胀时d Q 、d E 、d A 同为正； (D) 绝热膨胀时d E >0.4. 摩尔数相同的两种理想气体，一种是氦气，一种是氢气，都从相同的初态开始经等压膨胀为原来体积的2倍，则两种气体 (A) 对外做功相同，吸收的热量不同. (B) 对外做功不同，吸收的热量相同. (C) 对外做功和吸收的热量都不同. (D) 对外做功和吸收的热量都相同.5. 如图3.1所示的是两个不同温度的等温过程，则(A) Ⅰ过程的温度高，Ⅰ过程的吸热多. (B) Ⅰ过程的温度高，Ⅱ过程的吸热多. (C) Ⅱ过程的温度高，Ⅰ过程的吸热多. (D) Ⅱ过程的温度高，Ⅱ过程的吸热多.二.填空题 1. 质量相等的氢与氦放在两个容积相等的容器里，它们的温度相同，用脚码1代表H 2，用脚码2代表He ，则质量密度之比ρ1:ρ2= ；分子数密度之比n 1:n 2= ；压强之比p 1:p 2 ；分子平均动能之比1ε:2ε= ；总内能之比E 1:E 2= ；最可几速率之比v p1:v p2= .2. 取一圆柱形气缸，把气体密封在里面，由外界维持它两端的温度不变,但不相等，气缸内每一处都有一不随时间而变的温度，在此情况下，气体是否处于平衡态？答 .3. 设气体质量均为M ,摩尔质量均为M mol 的三种理想气体,定容摩尔热容为C V ,分别经等容过程(脚标1)、等压过程(脚标2)、和绝热过程(脚标3),温度升高均为∆T ,则内能变化分别为∆E 1 = , ∆E 2 = , ∆E 3 = ；从外界吸收的热量分别为Q 1= ,Q 2= ,Q 3= ；对外做功分别为A 1= , A 2= , A 3= .三.计算题1. 一气缸内盛有一定量的刚性双原子分子理想气体,气缸活塞的面积S =0.05m 2, 活塞与缸壁之间不漏气,摩擦忽略不计, 活塞左侧通大气,大气压强p 0=1.0×105pa,倔强系数k =5×104N/m 的一根弹簧的两端分别固定于活塞和一固定板上,如图 3.2,开始时气缸内气体处于压强、体积分别为p 1=p 0=1.0×105pa, V 1=0.015m 3的初态,今缓慢的加热气缸,缸内气体缓慢地膨胀到V 2=0.02m 3.求:在此过程中气体从外界吸收的热量.2. 一定量的理想气体经历如图3.3所示的循环过程,A →B 和C →D 是等压过程,B →C 和D →A 是绝热过程.己知:T C = 300K, T B = 400K,试求此循环的效率.图3.1图3.2图3.3Ⅳ 课堂例题解答一.选择题 B D D A A二.填空题1. 1:1, 2:1, 2:1, 5:3, 10:3, 2:1 .2. 否.3. M /M mol C V ∆T , M /M mol C V ∆T ,M /M mol C V ∆T ;M /M mol C V ∆T , M /M mol (C V +R )∆T , 0;0,M /M mol C V ∆T , M /M mol R ∆T , －M /M mol C V ∆T .三.计算题1. 从V 1变到V 2，弹簧压缩x =(V 2-V 1)/S ，则p 2=p 0+kx/S= p 0+k (V 2-V 1)/S 2∆E=νC V (T 2-T 1)=(i /2)(p 2V 2-p 1V 1) =(i /2){[p 0+k (V 2-V 1)/S 2]V 2-p 0V 1} =(i /2)[p 0(V 2-V 1)+k V 2(V 2-V 1)/S 2]A =p 0Sx +(1/2)kx 2=p 0(V 2-V 1)+(1/2) k [(V 2-V 1)/S ]2，Q =∆E +A=p 0(V 2-V 1)(i +2)/2+k (V 2-V 1)[(i +1)V 2-V 1]/(2S 2)=7000J2.吸热过程AB 为等压过程Q 1=νC p (T B -T A )放热过程CD 为等压过程Q 2=νC p (T C -T D )η=1-Q 2/Q 1=1- (T C -T D )/(T B -T A )=1- (T C /T B )[(1-T D /T C )/(1-T A /T B )而 p A γ-1T A -γ= p D γ-1T D -γp B γ-1T B -γ= p C γ-1T C -γ p A =p B p C =p D所以 T A /T B =T D /T C 故 η=1-T C /T B =25%。
