兴义市天赋中学数学第三册(选修Ⅱ)教案：2.2数列的极限

兴义市天赋中学数学第三册(选修Ⅱ)教案：

2.2数列的极限

教学目的：

1. 理解数列极限的概念；

教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限

教学难点：数列极限的理解

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识 数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于某个常数a(即|an－a|无限地接近于0)，它有两个方面的意义.

教学过程：

一、复习引入：

1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子²天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n天剩余的木棒长度na＝12n(尺)；（2）前n天截下的木棒的总长度nb＝1-12n (尺) 分析变化趋势.

2. 观察下列数列，随n变化时，na是否趋向于某一个常数：

(1)nnan12; (2)nna)31(3; (3)an=4²(－1)n－1; (4)an=2n;

(5)an=3; (6)an=nn2)1(1; (7)an=(21)n; (8)an=6+n101

二、讲解新课：

1.数列极限的定义：

一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列}{na的项na无限趋近于．．．．．某个常数a（即naa无限趋近于0），那么就说数列}{na以a为极限，或者说a是数列}{na的极限．记作limnnaa，读作“当n趋向于无穷大时，na的极限等于a”

“n∞”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思limnnaa有时也记作：当n∞时，naa．

理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于某个常数a”的意义有两个方面：一方面，数列的项

an趋近于a是在无限过程中进行的，即随着n的增大an越来越接近于a；另一方面，an不是一般地趋近于a，而是“无限”地趋近于a，即|an－a|随n的增大而无限地趋近于0.

2.几个重要极限：

（1）01limnn （2）CCnlim（C是常数）

（3）无穷等比数列}{nq（1q）的极限是0，即 )1(0limqqnn

三、讲解范例：

例1判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1，21，31，„，n1，„ ；

（2）21，32，43，„，1nn，„；

（3）－2，－2，－2，„，－2，„；

（4）－0.1，0.01，－0.001，„，n)1.0(，„；

（5）－1,1，－1，„，n)1(，„；

解：（1）1，21，31，„，n1，„ 的项随n的增大而减小，且当n无限增大时，n1无限地趋近于0.因此，数列｛n1｝的极限是0，即limnn1＝0.

（2）21，32，43，„，1nn，„的项随n的增大而增大，且当n无限增大时，1nn无限地趋近于1.因此，数列｛1nn｝的极限是1，即limn1nn＝1.

（3）－2，－2，－2，„，－2，„的项随n的增大都不变，且当n无限增大时，无限地趋近于－2.因此，数列｛-2｝的极限是-2，即limn(-2)＝-2.

（4）－0.1，0.01，－0.001，„，n)1.0(，„的项随n的增大而绝对值在减小，且当n无限增大时，n)1.0(无限地趋近于0.因此，数列｛n)1.0(｝的极限是0，即limnn)1.0(＝0.

（5）－1,1，－1，„，n)1(，„的项随n的增大而在两个值－1与1上变化，且当n无限增大时，n)1(不能无限地趋近于同一个定值.因此，数列｛n)1(｝无极限

四、课堂练习：

1．下列命题正确的是（ ）

①数列31n没有极限 ②数列nn21的极限为0 ③数列

n233的极限为3 ④ 数列nn32没有极限

A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④

答案：D

2. 判断下列数列是否有极限，若有，写出极限

（1）1，41，91，„，21n，„ ； （2）7，7，7，„，7，„；

（3）,2)1(,,81,41,21nn； （4）2，4，6，8，„，2n，„；

（5）0.1，0.01，0.001，„，n101，„； （6）0，,32,21„，11n，„；

（7）,41,31,21„，11)1(1nn，„； （8）,51,59,54„，52n，„；

（9）－2, 0，－2，„，1)1(n,„，

答案：⑴0 ⑵7 ⑶0 ⑷不存在 ⑸0 ⑹-1 ⑺0 ⑻不存在 ⑼不存在．

3.命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

答案：B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是an=n1这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是an=nn2)1(1它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|an－0|=|nn2)1(1－0|=n21可以任意小.故选B.

4.下列数列，不存在极限的是„( )

A.,)1(,,271,81,131nn B.,)1(1,,431,321,211nn

C.－1，1，－1，1，„，(－1)n，„ D.,1,,34,23,2nn

答案：C.选项A的极限是0，选项B，an=)1(1nn的极限是0，选项D的极限an=nn1=1+n1→0+1=1.

五、小结 ：本节学习了数列的极限的定义，是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.设等比数列{qn－1}(|q|＞1)的前n项和为Sn，则nlimnnSS2的值是

A.21q B.41q C.q2 D.q4

2.已知a＞b＞1，则nlim1111nnnnbaba的值是

A. －ab B.a1 C.－b D.不存在

3.设Sn是无穷等比数列的前n项和,若nlimSn=41,则首项a1的取值范围是

A. （0，41）B.（0，21） C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）

4.设f(x)=(1+x)+(1+x)2+„+(1+x)n，f(x)中x2的系数为Tn，则nlimnnTn23等于

A. 31 B.61 C.1 D.2

5.已知等比数列{an}的公比为q(q≠－1)，其前n项的和为Sn,若集合N={S|S=nlimnnSS2}，则N等于

A.{0，1} B.{1，21 } C.{0，21} D.{0，1，21}

6. nlim)11(nnn等于

A.1 B.0 C.21 D.不存在

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

7.无穷数列{2312kk}（k=1,2,3,„„）的各项和是___________.

8.在数列{an}中，若nlim (3n－1)an=1,则nlimnan=___________.

9.设数列{an}，{bn}均为等差数列，（公差都不为零），nlimnnba=3,则nlimnnanbbb3221=___________.

10.已知nlim（112nn－an－b）=0，则a=___________,b=___________.

11.已知无穷等比数列{an}的首项为a1，公比为q且有nlim（21)21nqqa，则首项a1的取值范围是

___________.

三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

12.已知f(x)=422x (x＞0),设a1=1,且an+12²f(an)=2(n∈N*)，

求(1)数列{an}的通项公式；（2）nlim22232244nnananbb

13.如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切，„，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去，记圆On的面积为an，(n∈N*).

(Ⅰ)证明{an}是等比数列；

（Ⅱ）求nlim（a1+a2+a3+„+an)的值.

14.设数列{an}满足a1+3232aa+„+nan=a2n－1,{an}的前n项和为Sn(a＞0,a≠1,n∈N*).

(1)求an;

(2)求nlimnaSnn)1(2；

（3）求证：(n+2)(n+1)an+n(n+2)an+1＜2n(n+1)an+2

参考答案：

一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A

二、7.21 8.31 9.92 10.1 －1 11.21＜a1≤23,且a1≠1.

三、12.解：（1）由an+12²f(an)=2,得an+12²422na=2

∴an+12－an2=4 ∴{an2}是以1为首项，4为公差的等差数列，

∴an2=1+4(n－1)=4n－3

∵an＞0 ∴an=34n

(2)原式=nlim3424342324nnnnb

当|b|＜2,即－2＜b＜2时，原式=－31

当|b|=2，即b=±2时，原式=57

当|b|＞2，即b＞2或b＜－2时，原式=b2

综上，原式=21,(22)37,(2)5,(22)bbbbb或

13.解：（Ⅰ）记rn为圆On的半径.r1=21tan30°=63l，nnnnrrrr11=sin30°=21

∴rn=31rn－1(n≥2) ∴a1=πr12=122l

91)(11nnnnnrraa ∴{an}成等比数列.

（Ⅱ)∵an=(91)n－1²a1(n∈N) ∴nlim（a1+a2+„+an)=32391121la.

14.解（1） ∵a1+naaan3232=a2n－1

∴a1+132132naaan=a2(n－1)－1(n≥2)

∴a2(n－1)－1+nan=a2n－1 ∴an=n(a2n－a2n－2)(n≥2)