数学MATH
课 题: 数列的极限 目的要求：
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数列的极限
设x n =f (n )是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x 1, x 2,…x n , …, 称为一个数列. x n 称为数列的第n 项，也称为通项,数列也可表示为{x n }或x n =f (x n )）例：
看数列1. n
x n 11+
=
从直观上看,这个数列当n 越来越大时, 对应的项xn 会越来越接近于1,或者说“当n 趋向
于无穷大时, 数列xn 趋近于1''.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?
注意到,实数a , b 的接近程度由| a -b |确定. | a -b |越小, 则a , b 越接近.因此, 要说明“ 当n 越来越大时, x n 越来越接近于1”就只须说明“ 当n 越来越大时, |x n -1 |会越来越接近于0”.而要说明“|x n -1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n 充分大时,| x n -1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数ε” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数ε, 当n 充分大时, | x n -1 | 比ε还小,由于ε是任意的,从而就说明了|x n -1| 会越来越接近于0. 事实上，n
x n
1|1|=-，给10001=
ε很小, 要1000
11|1|<
=-n x n 只须
n >1000 即可, 也
即在这个数列中,从第1001项开始,以后各项都有1000
1|1|<
-n x 又给：100001=
ε则从第10001项开始,以后各项都有10000
1|1|<-n
x ，一般, 任给ε >0,
不论多么小, 要使ε<=-n
x n 1|1|， 只须ε
1>n ，因此, 从第11+⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡ε项开始, 以后各项都
有ε<-|1|n x ，因ε是任意的, 这就说明了当n 越来越大时,
x n 会越来越接近于1.
定义: 设{x n }是一个数列, a 是一个常数, 若∀ε >0, ∃正整数N , 使得当n >N 时, 都有|x n -a |<ε,则称a 是数列{x n }当n 无限增大时的极限, 或称{x n }收敛于a ,
记作：
这时, 也称{x n }的极限存在, 否则, 称{x n }的极限不存在, 或称{x n }是发散的. 比如,
对于刚才的数列
1.
有1)11(lim =+∞→n
n ，,0)1(lim =-∞→n n
n
.lim 2
1
)1(lim 2不存在和而n n n n ∞→∞→+- 注1. 定义中的ε是预先给定的, 任意小的正数, 其任意性保证了x n 可无限接近于a ,另外, ε又是确定的, 它不是变量.
注2. 一般说来, N 随给定的ε变化而变化, 给不同的ε 确定的N 也不同,另外, 对同一个ε来说, N 不是唯一的(若存在一个N , 则N +1, N +2, …, 均可作为定义中的N .)
注3.定义中“ 当n >N 时, 有| x n -a |<ε”的意思是说, 从第N +1项开始,以后各项都有|x n -a |<ε,至于以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质. 几何意义:
由于| x n -a |<ε ⇔ a-ε 例1. 若x n =c (常数), 则c c n =∞
→lim
证明：∀ε >0. 由于|x n –1|=|c – c |= 0，取N =1, 当n >N 时, 有|xn –c |=0<ε，故c c n =∞
→lim 即
常数的极限就是常数本身.
例2. 设q 是满足 |q |<1的常数, 证明.0lim =+∞
→n
n q
证： 若 q = 0 , 结论显然成立.
设 0 < |q |<1.
现在, x n = q n , a = 0.
∀ε > 0. (要证∃N , 当n >N 时, 有 |q n -0| <ε )
因 | x n - a | = |q n -0| = |q n | = |q | n , 要使| x n - a | < ε , 只须 |q | n <ε 即可.
即 n ln
|q | < ln ε , .
|
|ln ln 即可或q n ε>
取正整数 ,||ln ln ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡≥q N ε则当 n > N 时, 有,||ln ln ||ln ln q q n εε≥>从而有| q n - 0 | <ε
.0lim =+∞
→n n q 故
练习. 证明：0cos 1
lim
=∞→πn n
n 证: ∀ε >0(要证∃N , 当n >N 时, 有) |0cos 1
|
επ<-n n
.1|0cos 1||0|n n n x n ≤-=-π因要使ε<-|0|n x ，,1
ε],1[.1εε=>N n 取即则，当n >N 时, 有.|0cos 1
||0|επ<-=-n n x n
.0cos 1
lim =∞→πn n
n 故 练习：..1lim
2
2为常数其中证明a n
a n n =++∞
→ 证：.1,2
2=+=
a n
a n x n
∀ε >0,
由于n
n
a n n a n a x n -+=-+=
-222
21||
)
(222
n a n n a ++=
.2n a ≤要使 | x n - a | <ε , ,2ε即可即εa n > ,2⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡≥εa N 取正整数则当 n > N 时, 有：
ε<-+12
2n
a n .1lim
2
2=++∞
→n
a n n 故
数列极限性质：
定理1. 若数列收敛, 则其极限唯一. 证:
